反函数在高考中常见题型分析

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2018高考复习数学第一轮第21讲反函数(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

2018高考复习数学第一轮第21讲反函数一、知识要点1、反函数的定义：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使()y f x =，这样得到的x =()1fy -．在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=；（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=；（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域3、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称4、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；二、例题精讲例1、求下列函数的反函数（1）()()12log 111y x x =-+<；（2）)110y x =-≤≤答案：（1）()1112x y x R -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）)01y x =≤≤例2、已知函数()21x f x x a +=+()x a ≠-且12a ≠，求反函数()1f x -，并当()f x 与()1f x -的图像重合时求a ．答案：2a =-例3、已知函数()2xf x a =+的反函数是()1y fx -=，设()1,P x a y +、()2,Q x y 、()32,R a y +是()1y f x -=图像上不同的三点．（1）如果存在正实数x ，使得123,,y y y 依次成等差数列，试用x 表示实数a ；（2）在（1）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的范围．答案：（1）)02a x x x =>≠且；（2）0a >或12a =-．例4、已知函数())0f x a =<，其反函数为()1f x -．（1）若点)1P-在反函数()1f x -的图像上，求a 的值；（2）求证：函数()f x 的图像与y x =的图像有且仅有一个公共点．答案：（1）1a =-；（2）提示：y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩有且只有一解落在20,a ⎛⎤- ⎥⎝⎦内即可．例5、已知函数(()log 1a y x a =+>的反函数()1f x -．（1）若()()111fx f --<，求x 的取值范围；（2）判断()12f-与()121f -、()13f -与()131f -的大小关系，并加以证明；（3）请你根据（2）归纳出一个更一般的结论，并给予证明．答案：（1）1x <；（2）()12f ->()121f -，()13f ->()131f -；（3）()()()111,2f n nf n N n -->∈≥例6、已知函数()1y fx -=是()y f x =的反函数，定义：若对给定的实数()0a a ≠，函数()y f x a =+与()1y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1y fax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”．（1）判断函数()()210g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数()()0y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”，求()y f x =的表达式．答案：（1）不满足；（2）()y x b b R =-+∈；（3）()()0kf x k x=≠三、课堂练习1、函数()()2log 14f x x x =+≥的反函数()1f x -的定义域是．答案：[)3,+∞2、已知()f x 是定义在[]4,0-上的减函数，其图像端点为()4,1A -，()0,1B -，记()f x 的反函数是()1f x -，则()11f -的值是，()f x 的值域是．答案：4-，[]1,1-3、若lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()xf x a =与()xg x b =的图像关于对称．答案：y 轴4、设函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，且()21y f x =-的图像经过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的反函数的图像必过点（） A 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭B 、11,2⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,0D 、()0,1答案：C5、已知函数()f x 存在反函数()1f x -，若1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭过点()2,3，则函数11f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭恒过点（） A 、()3,2B 、11,23⎛⎫⎪⎝⎭C 、11,32⎛⎫⎪⎝⎭D 、1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C四、课后作业一、填空题1、函数()()1312f x x =-+的反函数()1f x -= ．答案：()()321x x R -+∈2、若直线1y ax =+与直线2y x b =-+关于直线y =x 对称，则a = ，b = ．答案：12-，23、已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解为x = ．答案：14、已知函数()()y f x x D =∈的值域为A ，其反函数()1y fx -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x D >∈的充要条件是．答案;()10fa -=且()()1f x x x A -<∈5、设()()12,01,0xa x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x =有且只有两个实数根，则实数a 的取值范围是．答案：[)2,46、若函数()xf x a k =+的图像经过点()1,7，又函数()14fx -+的图像经过点()0,0，则()f x 的解析式为．答案：()43xf x =+二、选择题7、函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是（）A 、(],1a ∈-∞B 、[)2,a ∈+∞C 、[]1,2a ∈D 、(][),12,a ∈-∞+∞答案：D8、函数()()1ln1,1x y x x +=∈+∞-的反函数为（） A 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+B 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- C 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+D 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- 答案：B9、设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图像过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +等于（）A 、6B 、5C 、4D 、3答案：C三、解答题10、已知函数()lg 101xy =-．（1）求()y f x =的反函数()1y f x -=；（2）若方程()()12fx f x λ-=+总有实根，求实数λ的取值范围．答案：（1）()()()1lg 101xf x x R -=+∈；（2）()lg 2λ≥11、给定实数a （0a ≠且1a ≠），设函数11x y ax -=-（x R ∈且1x a≠），求证：（1）经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴；（2）这个函数图像关于直线y x =成轴对称图形；（3）你能否再给出一些函数，其图像关于直线y x =成轴对称图形？答案：（1）提示：证明斜率不为0即可；（2）提示：证明其反函数为其自身；（3）())2,,0,0,01ax by x y x b y bc a c y x cx a+==-+=+≠≠=≤≤-等．12、为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（1）首先选取如下函数：21y x =+，21xy x =+，y = 求出以上函数图像与其反函数图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为()1,1--， 21x y x =+与其反函数2x y x=-的交点坐标为()()0,0,1,1,y =()210y x x =-≤的交点坐标为⎝⎭，()1,0-，()0,1-；（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明．现在请你完成（2）和（3）答案：（2）原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上；（3）提示：反证法．。

SXA262高考数学必修_反函数常考题型6

反函数常考题型例析一、求反函数例1、函数)24(log 2++=x y )0(>x 的反函数是（）)(A -=x y 412+x )2(>x )(B -=x y 412+x )1(>x )(C -=x y 422+x )2(>x )(D -=xy 422+x )1(>x 解析：由0>x 知424>++x ，)24(log 2++=x y 2>，由)24(log 2++=x y 得y x 224=++，224+-=y y x ，所以所求反函数为-=x y 422+x )2(>x 。

例2、函数1)(-=x x x f 的反函数)(1x f -=＿＿＿＿。

解析：由题意知1≠x ，设1111-+=-=x x x y ，（1≠y ）所以111-=-x y ，即111+-=y x ，所以1-=x x y ，所以反函数)(1x f -1-=x x （1≠x ）。

点评：上述两题主要考查了反函数的概念及求法。

当函数的反函数存在时，反函数求解步骤一般有三步：⑴由)(x f y =，解出)(1y fx -=；⑵将)(1y f x -=中x 、y 互换位置得到=y )(1x f -；⑶写出=y )(1x f -的定义域。

即“一解”“二换”“三写”。

但写反函数的定义域时，要求写原函数的值域。

二、求字母的值或取值范围例3、已知函数a x y -=2的反函数是3+=bx y ，则=a ＿＿；=b ＿＿。

解析：函数a x y -=2的反函数是a x y 2121+=，由对应系数相等可知=a 6；=b 21。

例4、设函数)(log )(b x x f a += )1,0(≠>a a 且的图像过点2(，)1，其反函数图像过点2(，)8，则=+b a （）)(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D 3解析：因为函数)(log )(b x x f a += )1,0(≠>a a 且的图像过点2(，)1，所以1)2(log =+b a ，又因为它的反函数图像过点2(，)8，所以原函数的图像过8(，)2，所以2)8(log =+b a 。

高考数学中的反函数与反比例函数

高考数学中的反函数与反比例函数在高中数学中，反函数与反比例函数是两个非常重要的概念，也是高考中经常会出现的考点。

这两个概念在实际生活中也有很多应用，比如在金融领域中的薪资水平和经济增长率之间的关系，以及在电路中电流、电压和电阻之间的关系等等。

本文将对这两个概念进行详细描述和解析，希望能为广大学生提供一些帮助。

一、反函数在函数关系中，我们通常用x表示自变量，y表示因变量。

而对于一些特定的函数关系来说，我们也可以用y表示自变量，x表示因变量。

这样的函数关系就是反函数。

如果函数f(x)的自变量和因变量可以互换，也就是f(x)中x和y的角色可以交换，那么这个函数就是可逆函数。

在这个函数中，我们把y表示为x，x表示为y，并把这个新的函数记作f^-1(x)。

这个新的函数就是f(x)的反函数。

反函数的定义如下：如果一个函数f(x)满足以下条件：1.它是一对一函数（在函数的定义域内，不同的输入值对应不同的输出值）2.其图像关于y=x对称那么，它的反函数f^-1(x)为由f(x)换元得到的关于x的函数。

其中，要满足“一对一函数”的条件非常重要。

如果一个函数不是一对一函数，那么它就没有反函数。

比方说，在函数y=x^2中，不同的输入值x对应的输出值y可能是相同的，那么这个函数就不是一对一函数。

有关反函数的公式如下：f(x)=y ⟺ f^-1(y)=x这个公式的意思是，如果f(x)中输入值为 x，输出值为 y，那么f^-1(y)中与之对应的输入值就是 x。

在高考中，我们需要掌握如何求反函数的方法。

下面我们以一元线性函数 y=kx+b 为例：1. 令 y=f(x)，并将输入值x和输出值y互换。

2. 将得到的等式解出x=f^-1(y)。

3. 将x=f^-1(y)代入y=kx+b得到f^-1(x)=(y-b) / k。

这样就求出了反函数f^-1(x)。

二、反比例函数反比例函数指的是y与x成反比例关系的函数，即y=k / x(k为常数)。

反函数中的四个结论

反函数中的四个结论在高考中的应用反函数中有四个重要的小结论，别看它们貌不惊人，然而在解题中却有着广泛的应用，本文将以数例与大家谈谈它们在高考中的应用。

一、四个重要结论： 1、ab fb a f =⇔=-)()(1；2、若原函数过点（a,b ）,则其反函数必过点（b, a ）。

3、原函数的定义域、值域恰为其反函数的值域、定义域。

4、原函数与其反函数的图像关于直线y=x 对称。

二、结论应用：例1、（2000年上海春季高考）若函数()2+=x x x f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-311f。

分析：本题的常规思路为：（1）求反函数（2）代入求⎪⎭⎫ ⎝⎛-311f 。

若注意到结论1,则可简便求解。

解：令t f =⎪⎭⎫⎝⎛-311，则()31=t f ， ∴312=+t t ，解之得：1=t点评：这种解法的优点在于不用求反函数。

当原函数的反函数比较难求时，这种解法就显得更为简捷。

例2、（2000年上海高考）已知函数()b x f x+=2的反函数为()x f1-。

若()x fy 1-=的图像经过点Q(5,2)，则b= 。

解：由()x fy1-=的图像经过点Q(5,2)，知函数()b x f x+=2过点（2,5），∴()52=f 即：522=+b ，解得：b ＝1例2、若点(1,2)既在函数bax y +=的图像上，又在其反函数的图像上，求a,b 的值。

分析：本题的常规思路是先求函数bax y+=的反函数，然后将点的坐标代入。

但若注意到结论2，就可以略去求反函数的过程。

解：由结论2,易知函数bax y +=同时经过点(1,2)及(2,1)，于是有f(1)=2,f(2)=1,即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+122b a b a ，∴⎩⎨⎧=+=+124b a b a ，即⎩⎨⎧=-=73b a例3、（2001年全国春季高考）函数xy--=1的反函数是（）A. y=x 2-1(-1≤x ≤0)B. y= x 2-1 (0≤x ≤1)C. y=1-x 2 (x ≤0)D.y=1-x 2(0≤x ≤1) 解法1.由函数01≤--=x y，知反函数的定义域为(]0,∞-。

反函数例题解析

2．4 反函数·例题解析[例1]求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解(2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x[例2]求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解(1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解(2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域一样，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．[例5]设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。

SXA261高考数学必修_反函数常见考点

反函数常见考点一．利用反函数的概念求函数值例1.若f(2x-1)=x+1，则1(2)f -= 。

分析：令x+1=2，则x=1，则2x-1=1即f(1)=2，因此1(2)f -=1.点评：此题是否不必有求反函数的解析式呢？由上解答看出是不必要的。

充分利用反函数的性质：f(a)=b ⇔1()f b a -=即可解决此类问题。

二．求原函数与其反函数的交点例2.若与1()f x -都过（1，2）点，则f(x)与1()f x -图象交点的个数为个。

分析：解方程组21⎧=⎪⎨=⎪⎩解得a=-3,b=7，则由f(x)与1()f x -的图象关于直线y=x 对称知f(x)与1()fx -均过（2，1）点，又因为2条曲线与y=x 交点也是同一点，故共有3个交点。

点评：函数f(x)与1()f x -的交点若为（a,b ），则点（b,a ）也为它们的交点；三．利用函数与其反函数的图象的对称性解决函数性质问题例3.函数f(x)=12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12(4)f x --的单调减区间是。

分析：（1）设u=4-x 2，1()fx -=12log x ，令u>0，4- x 2>0，得-2<x<2。

当x ∈(-2,0)时，u 是增函数，而1()f x -=12log x 为减函数，则12(4)fx --是单调递减函数。

即（-2，0）。

（2）f(x)在定义域内为减函数，由于原函数与其反函数的图象关于y=x 对称，单调性不变，则其反函数在定义域内也为减函数；因此只需考虑4- x 2的增区间，由复合函数“同增异减”可得4- x 2的增区间即为12(4)f x --的减区间。

解法同上。

点评：（1）函数y=f(g(x))，若y=f(x)是递减的，则u=g(x)的增区间就是y=f(g(x))的减区间，u=g(x)的减区间就是y=f(g(x))的增区间；（2）互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同（对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间）。

高考第一轮复数学：2.5反函数

2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）. 答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C 深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】已知函数f （x ）是函数y =1102+x－1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x －1（x ∈R ），得10x =y y +-11，x =lg y y +-11.∴f （x ）=lg xx+-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）. ∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg x x +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lg x x +-11=lg （－1+x +12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练夯实基础1.（2004年全国Ⅱ）函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1） B.y =x 2－2x +2（x ≥1） C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）. 答案：B2.（文）（2004年全国Ⅲ，文3）记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B （理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0）解析：y =e 2x ⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）. 答案：C3.（2004年北京，5）函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.a ∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.（2004年福建，7）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是AC D 2x y O Oy x-1-1解析：y =log 2x ⇔x =2y ⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x .答案：C5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b 的图象上.把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b 可得.答案：－712 7106.（2004年全国Ⅲ，15）已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g （x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x －1.又∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x －1.∴f （x ）=1－3－x .∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---xx 3113 ⎩⎨⎧<≥.0,0x x∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2.答案：－2 培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m 5=5，得m =－1.8.已知函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0=3－1=2.又函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2.∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4.故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得 f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）.9.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx-+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx-+11＞1. 当a ＞1时，原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0.∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11x x a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）；当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）.（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立.显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立. 由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】（2004年上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于A.10－x －1B.10x －1C.1－10－xD.1－10x 解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】若函数y ＝ax ax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.解法一：由y ＝ax ax +-11，解得x ＝a ay y +-1.故函数y ＝axax +-11的反函数为y ＝a ax x +-1.∵函数y ＝axax+-11的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝ax ax +-11与它的反函数y ＝a ax x +-1相同.由ax ax+-11＝a ax x +-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax+-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1.【例3】函数y =xx+12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。

高考数学函数专题、反函数

函数专题（一）、反函数1.原函数存在反函数的条件：原函数从定义域到值域上要满足一对一的对应关系，而不能有多对一的的对应关系。

因此单调函数一定有反函数，存在反函数的原函数不一定是单调函数。

偶函数一定没有反函数。

2.)1(+=x f y 的反函数不是)1(1-+=x f y 而是1)(1--=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1-1-1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y . 同理，)1(1-+=x f y 的反函数不是)1(+=x f y ，而是1)(-=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y .3.原函数和反函数在相同定义域内的单调性相同。

4.原函数与反函数的交点不一定都在直线y =x 上，它们还可以位于直线y =x 的两侧，且以（a ，b ）、（b ，a ）的形式成对出现，如x x f ）（161)(=与其反函数x x f 1611-log )(=的交点有），（4121和），（2141，这两个交点就不在直线y =x 上。

例1.（2010长宁区二模）如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上例2.设)(1x f -是函数f (x )＝2x －(13)x ＋x 的反函数，则)(1x f ->1成立的x 的取值范围是________例3.已知132)(-+=x x x f ，函数)(x h y =的图像与)1(1-=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则)8(h =__________变式训练：1.已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，则实数t 的值为_________2.已知函数()log (2)log (2)(0,1)a a f x x x a a =+-->≠，设()f x 的反函数为1()f x -.若关于x 的不等式1()()f x m m R -<∈有解，则m 的取值范围是________3.的反函数1()f x -的对称中心为（－1，3），则实数a 的值为4.()1x y a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若，则实数a 为____________5.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，1(5)2f -=，若函数(1)y f x =-是奇函数，那么1(5)f --=________6.函数)(x f y =的图像与x y 2=的图像关于y 轴对称，若)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)2(21x x f y -=-的单调递增区间是_______________7.（2013上海）对区间I 上有定义的函数)(x g y =，记)(I g ={y |)(x g y =，x ∈I}．已知定义域为[0，3]的函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，且)2,1[))1,0([1=-f ，)1,0[])4,2((1=-f ．若方程0)(=-x x f 有解0x ，则0x =__________8.若1x 满足233=+xx ，2x 满足2)1(3log 33=-+x x ，则21x x +=_________9．（2007陕西）若函数)(x f 的反函数为)(1x f -,则函数)1(-x f 与)1(1--x f 的图像可能是（）10.已知函数存在反函数，方程－＝0的解集是P ，方程－＝0的解集是Q ，则一定有（） A.P QB.Q P C.P ＝Q D.P∩Q ＝11．函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，则)1(+=x f y 的图像与)1(1-+=x f y 的图像（）A.关于直线x y =对称B.关于直线1+=x y 的对称C.关于直线1-=x y 对称D.关于直线1=x 对称)(x f )(1x f -)(x f x )(x f )(1x f -⊆⊆Φ12.（2016闵行区二模）设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则()()y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则()()y ff x =也是单调递减函数；（4）若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点。

高中数学解题思路大全—例析反函数的几种题型及解法

1 例析反函数的几种题型及解法一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y=f -(x)。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

y=f -(x) 的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域原函数和反函数的图象关于直线 y = x 对称运用：如果原函数或反函数的图象经过点（a,b ）那么，如果点（m,n ）是点（a,b ）关于直线 y = x 对称点，则它的反函数或原函数的图象必经过点（m,n ）。

一. 反函数存在的充要条件类型例1. （2004年北京高考）函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（） A. (]a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []a ∈12，二. 反函数的求法类型例2. （2005年全国卷）函数yx x =-≤2310()的反函数是（） A.y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()1032.2 求y x x x =--≤-2231()的反函数。

三. 求反函数定义域、值域类型例3. （2004年北京春季）若f x -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

四. 反函数的奇偶性、单调性类型例4. 函数y e e x x=--2的反函数是（）A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数五. 反函数求值类型例 5. （2005年湖南省高考）设函数f （x ）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f x f -=140()()，，则f -=14()___________。

高考反函数问题常见类型解析

高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。

在历年高考中占有一定的比例。

为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。

一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。

而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。

故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。

特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。

二. 式子求解型例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（）A. y x x =+≥-()()113B. y x x =-+≥-()()113C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113故选（B ）。

点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。

三.求定义域值域型例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

反函数题型及解析

反函数题型及解析1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=．2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+23.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3）4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣15.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1）6.求下列函数的反函数．（1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x．反函数题型解析1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R．由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1，此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）；（2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；（3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}．2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域．解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2）3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y=的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1}（2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以，则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0）（3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠}（2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞），则反函数的定义域为[0，+∞）（3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）5.分析:由已知解析式，用y表示出x，然后把x与y互换，即得反函数，应注意定义域与值域的互换．解：（1）由y=得到x=，把x与y互换可得：y=，（x∈R）；（2）由y=（e x﹣e﹣x）得到：e x=y±，∵e x＞0，∴e x=y+，由此得：x=ln（y+）∴函数y=（e x﹣e﹣x）的反函数是y=ln（x+）（x∈R）；（3）∵y=1+ln（x﹣1）∴x=e y﹣1+1（y∈R），∴函数y=1+ln（x﹣1）的反函数为y=e x﹣1+1（x∈R）；6.分析:首先确定函数的值域，即反函数的定义域，然后看作方程解出x，从而将x与y互换即可．解：（1）∵y=log（1﹣x）+2（x＜0）；∴y＜2，∴y=﹣log2（1﹣x）+2，∴x=1﹣22﹣y，即y=1﹣22﹣x，（x＜2）；（2）∵y=2﹣（﹣2≤x≤0）的值域为[0，2]，∴x=﹣，即y=﹣，（x∈[0，2]）；（3）∵y=（﹣1≤x≤0）的值域为[，1]，∴x2=1+log3y，∴x=﹣，故y=﹣，（≤x≤1）；（4）y=x|x|+2x的值域为R，当x≥0时，y=x2+2x，故x=，当x＜0时，y=﹣x2+2x，x=1﹣；故y=．。

高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题07反函数

专题07 反函数【标题01】没有弄明白反函数的定义域怎么求【习题01】y =(12)x ≤≤的反函数是 ( )A.111)y x =-≤≤B. 11)y x =≤≤C. 111)y x =-≤≤D. 11)y x =≤≤【经典错解】∵222y x x =- ∴22(1)1x y -=- 所以1x -=1x =．,x y 对换得1y = 又210x -≥ ∴11x -≤≤．因而()f x 的反函数为1y = (11x -≤≤)【详细正解】∵222y x x =- ∴22(1)1x y -=-因为12x ≤≤ 所以011x ≤-≤∴11x x -=∴=,x y 对换得1y =又∵(12)y x ==≤≤ ∴01y ≤≤ 即原函数值域为[0,1]．所以反函数为11)y x =≤≤.故选B .【深度剖析】（1）经典错解错在没有弄明白反函数的定义域怎么求.（2）经典错解有两处错误，错误①：因为12x ≤≤ 所以011x ≤-≤，由22(1)1x y -=-开方取“正号”而不是取“负号”；②反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到，而不是由反函数解析式确定.（3）求反函数的一般步骤分四步，第一步:解方程求x ；第二步：交换x 和y ；第三步：求原函数的值域得到反函数的定义域，第四步：写出原函数的反函数.【习题01针对训练】函数()210x y x -=+>的反函数是 .【标题02】对函数1(1)f x -+的求法理解不透彻【习题02】已知()34f x x =+，求函数1(1)f x -+的解析式.【经典错解】由已知得(1)3(1)437f x x x +=++=+37y x ∴=+即73y x -=，∴1(1)f x -+=73x - 【详细正解】因为()34f x x =+的反函数为1()f x -＝43x -，所以1(1)f x -+＝(1)43x +-33x -=＝113x - 【深度剖析】（1）经典错解错在对函数1(1)f x -+的求法理解不透彻. （2）错解将函数1(1)f x -+看作是(1)f x +的反函数.实际上(1)f x +与1(1)f x -+并不是互为反函数，一般地应该由()f x 先求1()f x -，再得到1(1)f x -+.【习题02针对训练】函数()f x =则函数1(1)f x -+=（）A ．21x -B ．12(1)x + C ．2(1)x + D ．21x +【标题03】没有理解透彻充要条件的定义【习题03】函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是 ( )A ．(,1]a ∈-∞B ．[2,)a ∈+∞C ．a [1,2]∈D ．(,1][2,)a ∈-∞+∞【经典错解】选A 或B .∵(,1]a ∈-∞ ∴()f x 在区间[1,2]上是增函数，∴()f x 存在反函数，当[2,)a ∈+∞，对称轴x a =在区间[1,2]的右侧，∴()f x 在区间[1,2]上是减函数，∴()f x 存在反函数.【详细正解】∵(,1]a ∈-∞ ∴()f x 在区间[1,2]上是增函数，∴()f x 存在反函数，当[2,)a ∈+∞，对称轴x a =在区间[1,2]的右侧，∴()f x 在区间[1,2]上是减函数，∴()f x 存在反函数的充分必要条件是(,1][2,)a ∈-∞+∞，故选D .【深度剖析】（1）经典错解错在没有理解透彻充要条件的定义.（2）如果条件A 可以推出结论B,则条件A 是结论B 的充分条件，如果结论B 可以推出条件A ，则条件A 是结论B 的必要条件.所以(,1]a ∈-∞是充分条件，并不是必要条件. [2,)a ∈+∞是充分条件，并不是必要条件.【习题03针对训练】要使函数23y x ax =-+在区间[2,3] 上存在反函数，则实数a 的取值范是 .【标题04】对“互为反函数的图像关于直线y x =对称”这一性质理解不透彻【习题04】已知()f x 的反函数是1()fx -，如果()f x 与1()f x -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上，判断此命题是否正确？【经典错解】由于原函数和反函数的图像关于直线y x =对称，所以如果()f x 与1()fx -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上.所以该命题是正确的.【详细正解】比如函数1161()log 16x y y x ==与互为反函数，它们的图像关于直线y x =对称，在它们的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线y x =上.所以该命题是错误的. 【深度剖析】（1）经典错解错在对“互为反函数的图像关于直线y x =对称”这一性质理解不透彻.（2）“两互为反函数图像关于直线y x =对称”，如果它们有交点，它们的交点不一定在直线y x =上.【习题04针对训练】设方程240x x +-=的根为α，设方程2log 40x x +-=的根为β，则αβ+= .高中数学经典错题深度剖析及针对训练第07讲：反函数参考答案【习题01针对训练答案】2log (1)(12)y x x =--<<【习题01针对训练解析】由21x y -=+得21x y -=-，∴2log (1)x y -=-，即2log (1)x x =--，又由0x >，得021x -<<，即21x y -=+(1,2)∈，∴所求反函数为2log (1)(12)y x x =--<<.【习题02针对训练答案】C【习题02针对训练解析】因为1212()()(1)(1)f x x f x x f x x --=⇒=⇒+=+，故选C .【习题03针对训练答案】(,4][6,)-∞+∞。

高考反函数问题常见类型解析

高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。

在历年高考中占有一定的比例。

为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。

而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。

故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。

点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。

三.求定义域值域型例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题07反函数

反函数中的四个结论在高考中的应用

一、四个重要结论：1、；2、若原函数过点（a,b）,则其反函数必过点（b, a）。

3、原函数的定义域、值域恰为其反函数的值域、定义域。

4、原函数与其反函数的图像关于直线y=x对称。

二、结论应用：例1、（2000年上海春季高考）若函数，则。

分析：本题的常规思路为：（1）求反函数（2）代入求。

若注意到结论1,则可简便求解。

解：令，则，∴，解之得：点评：这种解法的优点在于不用求反函数。

当原函数的反函数比较难求时，这种解法就显得更为简捷。

例2、（2000年上海高考）已知函数的反函数为。

若的图像经过点Q(5,2)，则b= 。

解：由的图像经过点Q(5,2)，知函数过点（2,5），∴即：，解得：b＝1例2、若点(1,2)既在函数的图像上，又在其反函数的图像上，求a,b的值。

分析：本题的常规思路是先求函数的反函数，然后将点的坐标代入。

但若注意到结论2，就可以略去求反函数的过程。

解：由结论2,易知函数同时经过点(1,2)及(2,1)，于是有f(1)=2,f(2)=1,即：，∴，即例3、（2001年全国春季高考）函数的反函数是（）A. y=x2-1(-1≤x≤0)B. y= x2-1 (0≤x≤1)C. y=1-x2(x≤0)D.y=1-x2(0≤x≤1)解法1.由函数，知反函数的定义域为。

故选C.解法2、易知：f(-3)=-2,则f-1(-2)=-3，由A、B、D的定义域可知只能选C.例4、（94年全国高考）设函数f(x)=1-(-1≤x≤0)，则函数y=f-1(x)的图象是例4、若函数，则其反函数的图像为（）　解：（方法一）可以求得的反函数为：，但函数的图像目前大家还不会作。

（方法二）由函数易知：的值域为：。

(完整)高一反函数·典型例题精析

反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。

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