2013中考数学压轴题 函数直角三角形问题精选解析(一)

1 2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(一)

例1

如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴

交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段34

PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

图1

解析

（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．

（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达

式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.

k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．

（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB =

=．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝

⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522

EC FC ==． 进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝

⎭． 直线B C:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．

过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．

在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-

=，所以tan ∠CED 23DH EH ==． ②1(12,2)P --，265(1,)22

P --．