平面向量的坐标
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。
平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。
一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。
位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。
当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。
当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。
当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。
当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。
二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。
方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。
通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。
三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。
首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。
四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。
2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。
3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。
五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
记aλa=(λx，2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．。
平面向量的坐标表示与向量模长
平面向量的坐标表示与向量模长在平面几何中，向量是一种具有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
为了描述和计算向量的性质和运算，常常使用它的坐标表示和模长。
本文将探讨平面向量的坐标表示以及如何计算其模长。
一、平面向量的坐标表示平面向量通常由两个不平行的线段表示，其中一个线段表示向量的大小和方向，另一个线段表示向量的方向。
为了方便计算和描述，我们可以使用坐标表示来表示平面向量。
平面坐标系是一个由两条彼此垂直的坐标轴组成的坐标系，通常称为x轴和y轴。
以原点O为起点，x轴和y轴正方向分别为正向和负向。
在平面坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点到y轴的水平距离，y表示点到x轴的垂直距离。
对于平面向量AB，可以使用一个有序对来表示其坐标表示，即(ABx, ABy)，其中ABx表示向量AB在x轴上的投影长度，ABy表示向量AB在y轴上的投影长度。
二、向量的模长向量的模长表示向量的大小，也称为向量的长度。
在平面向量中，向量的模长通常由向量的坐标表示计算而得。
设平面向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，那么向量AB的模长记作|AB|，可以通过勾股定理得到如下公式：|AB| = √(ABx^2 + ABy^2)其中^2表示平方运算，√表示开方运算。
三、示例与应用为了更好地理解平面向量的坐标表示和模长，我们来看一个具体的示例。
示例：已知平面向量AC的坐标表示为(3, 4)，求向量AC的模长。
解析：根据上述公式，我们可以计算向量AC的模长：|AC| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量AC的模长为5。
平面向量的坐标表示和模长在几何学和物理学中有着广泛的应用。
它们可以用于描述力和力矩等物理量，计算线段的长度和方向等几何性质。
同时，在向量运算和向量计算中，坐标表示和模长也是必不可少的工具。
结论平面向量的坐标表示和模长是描述和计算向量性质的重要工具。
通过使用坐标表示，我们可以准确地表示向量的方向和大小；通过计算模长，我们可以得到向量的大小。
平面向量的坐标运算
a // b (b 0)的充要条件是 x1y2 x2 y1 0
(1) 消去时不能两式相除, 因为y1, 注意： y2 有可能为0. 可分 0与 = 0讨论．
1 8)， AC AB, 3
分别为(0，4)、( 2，0)和( 2， 4). 分析：待定系数法设定点C、D的坐 标，再根据向量 AC ， AB ， DA 和 CD 的关 系进行坐标运算，用方程思想解之．
说明：本题涉及到方程思想，对运 算能力要求较高．
例1.已知 a (4, 2), b (6, y)，且 a b ，
求 y。
例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，求证;A、B、 C三点共线
例3 已知A( 1, 2), B(2,
1 DA BA, 求点C、D和向量CD 的坐标. 3
小结：
1 、本节课我们主要学习了平面向 量平行的坐标表示，要掌握平面向量平 行的充要条件的两种形式，会用平面向 量平行的充要条件的坐标形式证明三点 共线和两直线平行(重合)．
2 、向量平行 ( 共线 ) 充要条件的两 种表示形式： a // b(b 0) a b;
(2) 充要条件不能写成
y1 y2 , x1 x2
因为x1, x2有可能为0. (3) 向量平行(共线)充要条件的两种表 示形式： a // b(b 0) a b;
a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0.
请认真看教材P113例4、例5．
平面向量的坐标和坐标变换公式
平面向量的坐标和坐标变换公式平面向量是二维空间中的量，它可以表示为一个有方向和大小的箭头。
在数学中，我们通常使用坐标来描述向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示以及坐标变换公式。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用两个实数表示一个平面向量。
设向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。
例如，向量A在坐标系中的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，则向量A的坐标表示为(Ax, Ay) = (x, y)。
二、平面向量的坐标变换公式当平面向量发生坐标变换时，它的起点和终点位置可能发生改变。
为了描述这种改变，需要引入坐标变换公式。
1. 平移变换平移是指将平面向量的起点和终点同时平移相同的距离。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，平移向量坐标为(Tx, Ty)。
则坐标变换公式为：(Bx, By) = (Ax + Tx, Ay + Ty)2. 旋转变换旋转是指将平面向量绕原点旋转一定的角度。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，旋转角度为θ。
则坐标变换公式为：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 缩放变换缩放是指将平面向量的大小进行伸缩。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，缩放因子为k。
则坐标变换公式为：Bx = k * AxBy = k * Ay4. 倾斜变换倾斜是指将平面向量在x轴或y轴方向上进行伸缩。
设平面向量A 在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，倾斜角度为α。
则坐标变换公式为：Bx = Ax + Ay * tanαBy = Ay + Ax * tanα总结：本文介绍了平面向量的坐标表示以及坐标变换公式，并按照题目要求采用相应的格式进行了阐述。
第七单元_第三节_平面向量的坐标
向量的坐标表示
同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量也可以用一
对实数表示．在平面上，建立一个直角
y
轴上的单位向量为
r
j，则
x
轴上的向量总可
r
以表示成 xi 的形式，y
轴上的向量总可以
表示成
y rj的形式，其
中x ， y 分别是它们在数轴上的坐标．
向量的坐标表示
ur uur c1 c2
反之，如果
ur uur c1 c2
，
那么 x1 x2 ， y1 y2．
案例讲解
例2
当m,
n
为何值时，
r
rr
a (m n) i 3 j
与
rr
r
b 2i (4m n) j
相等？
解：根据向量相等的条件，得 m n 2 3 4m n 解之，得 m=1,n=1 ．
图7－16
uuur r r
即
AC xi y j .
向量的坐标表示 事实上，平面直角坐标中的上任意一向量
rrr 都可唯一地表示成 c xi y j .
y yj c
j O i xi x
rrr
r
rr
我们把 c xi y j 叫做 c 的坐标形式，把 xi叫做 c 在 x 轴上的分
v
r
向量，把 y j 叫做 c 在y轴上的分向量。把有序数对(x, y)叫做向量
在直角坐标系中的坐标，记做
r c
(x,
y)，其中
x
r 叫做c
的横坐标，y
r
r
叫做 c 的纵坐标．c (x, y)叫做向量的坐标表示．
案例讲解
例1 写出下列向量的坐标表示；
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维向量，表示了平面上的位移量或者力的作用线。
为了便于计算和表达，平面向量通常使用坐标表示。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法。
一、平面向量的定义平面向量是由大小和方向确定的箭头。
通常用有向线段表示，箭头所指示的方向为向量的方向，线段的长度则表示向量的大小，即模。
平面向量的定义如下：设平面上两个点A和B，表示平面向量的有向线段为→AB。
则平面向量的定义为：→AB = (x, y)其中，x为向量的x轴分量，y为向量的y轴分量。
二、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示就是将向量表示为一个有序数对(x, y)，其中x 表示向量在x轴的分量，y表示向量在y轴的分量。
具体地，我们可以通过以下步骤来得到平面向量的坐标表示：1. 确定基准线：选择一个基准线作为x轴，通常选择水平的线段。
2. 确定正方向：在基准线上确定一个正方向，通常选择从左到右。
3. 确定坐标系：在确定基准线和正方向后，建立一个平面直角坐标系。
4. 确定向量的坐标：根据向量的起点和终点在坐标系中的位置来确定向量的坐标。
首先确定向量的x轴分量，即向量在x轴上的投影长度。
然后确定向量的y轴分量，即向量在y轴上的投影长度。
举例来说，考虑一个平面向量→AB，在坐标系中，点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)。
则向量→AB的坐标表示为：→AB = (Bx - Ax, By - Ay)三、向量的运算平面向量的坐标表示使得向量之间的运算更加方便。
以下是平面向量的常见运算：1. 向量的加法：设有向量→AB和→CD，它们的坐标表示分别为→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)。
则两个向量的和为：→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)2. 向量的数乘：设有向量→AB和实数k，它的坐标表示为→AB = (x, y)。
则向量的数乘为：k→AB = (kx, ky)3. 向量的减法：设有向量→AB和→CD，它们的坐标表示分别为→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)。
平面向量的坐标运算 课件
类型 2 平面向量的坐标运算
[典例 2] (1)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C＝(－
4，－3)，则向量B→C＝( )
A．(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
(2)已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：①2a＋3b；
②a－3b；③1a－1b. 23
→ (1)解析：依题意得AB＝(3，1)，
温馨提示 向量既有几何表示下图形的几何运算，又 有坐标表示下的代数运算，说明向量是数形结合的载体．
类型 1 平面向量的坐标表示
[典例 1] 如图，取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向 量 i，j 作为基底，分别用 i，j 表示O→A，O→B，A→B，并求 出它们的坐标．
→
→
→
解：由图形可知，OA＝6i＋2j，OB＝2j＋4j，AB＝
归纳升华 平面向量坐标的线性运算的方法
1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差 及向量数乘的运算法则进行．
2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量 的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
3．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
类型 3 平面向量坐标运算的应用 [典例 3] 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若A→P ＝A→B＋λA→C(λ∈R)，试求 λ 为何值时： (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内． 解：设点 P 的坐标为(x，y)， 则A→P＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
→
→
－4i＋2j，它们的坐标表示为：OA＝(6，2)，OB＝(2，4)，
→ AB＝(－4，2)．
归纳升华 1．求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点 相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点 的坐标． 2．求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、 终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐 标．
平面向量的表示和坐标
平面向量的表示和坐标在数学中，平面向量是描述平面上有大小和方向的量。
平面向量可以通过各种方式进行表示和描述，其中最常用的是用坐标表示法。
一、平面向量的定义和性质平面向量是由两个有序实数（也可以是复数）组成的有序对。
在平面直角坐标系中，平面向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为平面上的一点。
平面向量的性质如下：1. 平面向量的大小等于其模长，记作 |AB| 或 ||AB||，表示从 A 点到B 点的距离。
2. 平面向量的方向由无穷多个与其大小相等的向量共同确定。
3. 平面向量可以通过平移、缩放、反向等运算进行操作。
二、平面向量的坐标表示法平面向量的坐标表示法是一种常用的描述方法，它使用有序实数对（x，y）表示一个向量。
例如，向量 AB 可以表示为 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的有序实数对表示。
三、平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算包括加法、减法、数乘等操作。
1. 加法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。
则它们的和为 AB+ CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 减法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。
则它们的差为 AB- CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘：设有向线段 AB 表示为 AB = (x, y)，常数 k 为实数。
则kAB = (kx, ky)。
四、平面向量的模长和方向角向量的模长表示向量的大小，可以使用勾股定理计算。
设向量 AB = (x, y)，则其模长|AB| = √(x^2 + y^2)。
向量的方向角表示向量与 x 轴正向的夹角。
设向量 AB 的方向角为α，则有：α = arctan(y/x) (x>0)α = arctan(y/x) + π (x<0, y>=0)α = arctan(y/x) - π (x<0, y<0)α = π/2 (x=0, y>0)α = -π/2 (x=0, y<0)注：arctan 表示反正切函数。
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1平面向量坐标运算
平面向量坐标运算是以数学方法来处理空间或空间的抽象的概念，主要用于解决平面物体的空间坐标的运算问题。
平面向量坐标运算实质上是基于平面数学（也称为二维几何）的基本原理的，它的核心思想是利用一个坐标轴来确定给定点的相对位置，然后通过一些图形化的操作，来描述和计算出平面上物体位置之间的相互关系。
平面向量坐标运算包括直角坐标，极坐标和双曲坐标三种核心坐标系。
其中，直角坐标是由一条横轴和一条纵轴的组合，通过横纵坐标的组合来确定一点在平面上的坐标；极坐标是由一个极轴，一个极点以及横纵坐标组合来确定一点在平面上的坐标；双曲坐标则是由两条曲线构成，来确定一点在平面上的坐标。
平面向量坐标运算通常用来解决三角恒等、矩阵乘法、求矢量和、求两点之间距离、斜率及方程、几何图形的建立等问题。
其中常用的计算有加法、减法、乘法、除法、叉积、内积等运算。
通过平面向量坐标运算，可以很方便和准确的计算分析出平面物体的坐标变化，并且可以很容易地求出物体彼此之间的距离、位置和方向，有利于我们进行几何图形的描述和分析。
平面向量的坐标与方向
平面向量的坐标与方向平面向量是在二维空间中的向量，可以用坐标表示。
坐标表示法是指使用有序数对$(x,y)$表示向量的方法，其中$x$表示向量在$x$轴上的投影，$y$表示向量在$y$轴上的投影。
这种方法常用于平面解析几何中。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积运算。
以二维平面上的向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$为例，它们的坐标表示分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则它们的和向量$\mathbf{a}+\mathbf{b}$的坐标表示为$(x_1+x_2, y_1+y_2)$。
减法运算和加法相似，只是将相应的坐标分别相减。
数量乘法是指将向量的每个坐标分别乘以一个常数，得到的新向量的坐标为$(kx, ky)$。
点积运算是指将两个向量对应坐标相乘后相加，例如$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2$。
平面向量的方向可以用角度或方向角表示。
方向角是指向量与$x$轴正向之间的夹角，以弧度制表示。
设向量$\mathbf{a}$的方向角为$\theta$，则有$\tan\theta=\frac{y}{x}$。
而角度是指以度数表示的方向角，常用于直观地描述向量的方向。
平面向量还可以通过模和单位向量来描述。
模表示向量的长度，用符号$|\mathbf{a}|$表示。
若向量$\mathbf{a}$的坐标表示为$(x, y)$，则有$|\mathbf{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$。
单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量的每个坐标除以其模得到。
例如，若向量$\mathbf{a}$的模为$|\mathbf{a}|$，则单位向量$\mathbf{u}$的坐标表示为$(\frac{x}{|\mathbf{a}|}, \frac{y}{|\mathbf{a}|})$。
平面向量的坐标与方向是解析几何中重要的概念和工具。
在平面解析几何的应用中，坐标表示法使得对向量的运算更加便捷，可以通过计算坐标直接得到向量之间的关系。
平面向量的坐标表示与计算
平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念之一，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示方法以及如何进行计算。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用有序数对表示其坐标，也可以用分量表示。
下面将详细介绍这两种表示方法。
1.有序数对表示法假设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂,y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。
其中，x₂-x₁表示横坐标的变化量，y₂-y₁表示纵坐标的变化量。
例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的坐标表示为(1-3, 2-4)，即(-2, -2)。
2.分量表示法平面向量的分量表示法是指将向量表示为一个有序数组，该数组的元素是向量在各个坐标轴上的分量值。
假设平面向量为v，其分量表示为v = (a, b)，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
例如，给定平面向量v = (3, 4)，则向量v在x轴上的投影为3，在y轴上的投影为4。
二、平面向量的计算平面向量的计算包括向量的加法、减法、数量乘法以及数量除法。
下面将逐一进行介绍。
1.向量的加法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a + b的坐标表示为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a + b的坐标表示为(1+3, 2+4)，即(4, 6)。
2.向量的减法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a - b的坐标表示为(a₁-b₁, a₂-b₂)。
例如，给定向量a = (5, 6)和向量b = (2, 3)，则向量a - b的坐标表示为(5-2, 6-3)，即(3, 3)。
3.数量乘法设向量a = (a₁, a₂)，常数k，则向量ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
例如，给定向量a = (2, 3)和常数k = 4，则向量ka的坐标表示为(4*2, 4*3)，即(8, 12)。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
平面向量的坐标公式大全
平面向量的坐标公式大全若向量a=x，y，向量b=m，n，则a乘以b=xm+yn，a+b=x+m，y+n。
在直角坐标系内，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
2、减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。
3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。
扩展资料：物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。
18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。
同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。
它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。
哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。
随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。
平面向量的坐标运算
设向量OA ( k ,12)， (4,5), OB OC (10, k ), 当k为何值时，A、 B、C 三点共线 ？
应用：
已知 3： A、B、C、D 四点坐标分别 为A(1,0)、B(4,3)、C ( 2,4)、D(0,2), 试证明四边形 、B、C、D是梯形. A
练习：
已知b的方向与a ( 3,4)的方 向相同，且| b | 15, 求b .
推导过程：
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 注意：
1. 消去时不能两式相除， y1 , y2 有可能为 ， 0 b 0, x2 , y2中至少有一个不为 . 0 y1 y2 2. 充要条件不能写成： x1 , x2 有可能为0 . x1 x2
推导过程：
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 注意：
1. 消去时不能两式相除， y1 , y2 有可能为 ， 0 b 0, x2 , y2中至少有一个不为 . 0
应用：
B 4：已知点A(4,0)， (4,4), C (2,6), 求AC和OB的交点P的坐标 .
课堂小结
向量平行（共线）的充要条件 的坐标形式
课堂小结
向量平行（共线）的充要条件 的坐标形式
x1 y2 x2 y1 0
推导过程：
3. 从而向量共线的充要条 件有两种 形式： ①a // b (b 0) a b ② x1 y2 x2 y1 0 .
应用：
若向量a ( 1, x )与b ( x ,2)共线 1： 且方向相同, 求 x .
平面向量的坐标表示与计算
平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念，用于描述平面上的位移、力、速度等物理量。
在平面上，一个向量可以用其坐标表示，并通过坐标进行计算。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，通常使用点表示向量的起点，箭头表示向量的方向和长度。
假设有平面向量AB，其中点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2, y2)，向量AB的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足向量的平行四边形法则。
假设有平面向量AB和平面向量CD，其中AB的坐标表示为(a, b)，CD的坐标表示为(c, d)，则向量AB+CD的坐标表示为(a+c, b+d)。
通过将两个向量的横坐标相加，纵坐标相加，即可得到它们的和向量的坐标表示。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘满足将向量的每个坐标分别乘以一个常数。
假设有平面向量AB的坐标表示为(a, b)，常数k，那么k*AB的坐标表示为(k*a, k*b)。
通过将向量的每个坐标分别乘以常数k，即可得到数乘后的向量。
四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反，然后与减向量进行加法运算来实现。
假设有平面向量AB和平面向量CD，其中AB的坐标表示为(a, b)，CD的坐标表示为(c, d)，则向量AB-CD的坐标表示为(a-c,b-d)。
通过将CD取反，然后与AB进行加法运算，即可得到减法后的向量的坐标表示。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积可以通过将两个向量的对应坐标成对相乘，然后相加而得到。
假设有平面向量AB和平面向量CD，其中AB的坐标表示为(a, b)，CD的坐标表示为(c, d)，则向量AB·CD的坐标表示为(a*c+ b*d)。
通过将两个向量的对应坐标成对相乘，然后相加，即可得到数量积的坐标表示。
六、平面向量的模长平面向量的模长可以通过对向量的坐标进行开方运算而得到。
假设有平面向量AB的坐标表示为(a, b)，则向量AB的模长表示为√(a^2 +b^2)。
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向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去
原点到起点的向量的坐标.
继续探索 活动探究
读书部分：复习课本34-36页，预 习36-37页
课堂作业：习题７.2Ａ组第2题
实践调查：试着发现生活中的 向量坐标的应用．
作业
课程结束
•再见！
y 5
（+，+）
4
·A( 2，4 )
3
2
·B ( 4，2 )
1 0
1
2
3
4பைடு நூலகம்
·F（5，0）
5
x 横轴
-1
· -2
E ( 1，- 2 )（+，－）
-3
·-4 G （0，-4）
创设情境 兴趣导入
设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，
OA 为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）．则 OM 2i，ON 3j．
由平行四边形法则知
OA OM ON 2i 3 j．
图7－17
动脑思考 探索新知
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量，
(1) 设点 M (x, y) ，则 OM xi + yj （如图7－18(1)）； (2) 设点 A(x1, y1)，B(x2, y2 ) （如图 7－18(2)），则
AB OB OA (x2i + y2 j) (x1i + y1 j) (x2 x1)i ( y2 y1) j．
7.2.1 平面向量的坐标
-----送评课件 来自定远职教中心
复习旧知 意在导入
• 写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的坐 标，
• 每一个象限内的点的坐标在符号上有何特 点？坐标轴上又有什么特点?
纵轴
（－，+）
· C ( -2，1 )
-4 -3 -2 -1
（－，－）
·D ( -4，- 3 )
y M(x,y)
j
Oi
x
y
A
B
j
O
i
图7－18(1)
图7－18(2)
总 结
x
动脑思考 探索新知
由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对
有序实数 (x, y) ， 使得 a xi yj ．有序实数对 (x, y)
叫做向量a的坐标，记作
a (x, y)．
巩固知识 典型例题
例2 已知点 P(2,1)，Q(3,2) ，求 PQ，QP 的坐标．
解 PQ (3, 2) (2, 1) (1,3),
QP (2, 1) (3, 2) (1, 3)．
运用知识 强化练习
1. 点A的坐标为（－2，3），写出向量 OA的坐标，
并用i与j的线性 组合表示向量 OA
． OA 2， 3
=-2i 3 j． 2． 设向量 a 3i 4 j ,写出向量a的坐标．
(3) AB (4,3), BA (4,3)．
自我反思 目标检测
1 向量坐标的概念？
2
任意一般起地点，的设平向面量直的角坐坐标标系表中，示x轴？的单位向量
为i, y轴的单位向量为j，则对于从原点出发的任意
向量a都有唯一一对实数x、y，使得 a xi yj．
有序实数对 (x, y)叫做向量a的坐标，记作 a (x, y)．
a 3， 4．
运用知识 强化练习
3.已知A，B两点的坐标，求 AB，BA的坐标．
(1) A(5,3), B(3, 1);
(2) A(1, 2), B(2,1);
(3) A(4,0), B(0, 3)．
答案
(1) AB (2,4), BA (2,4)；
(2) AB (1,1), BA (1,1)；