概率统计随机变量的数字特征辅导第5讲(第1,2节)

第五章 随机变量的数字特征

第1节 离散型随机变量的数学期望

例1 设随机变量X 的分布律如下:

求,EX 2

EX , )53(2+X E .

解 2.03.023.004.02-=⨯+⨯+⨯-=EX ,

,

8.23.00)3.04.0(43.023.004.0)2(2222=⨯++=⨯+⨯+⨯-=EX 3

.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)53(2222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-=+X E 4.133.05)3.04.0(17=⨯++⨯= .

例2 设随机变量X 的分布律为 1{}k P X k pq -==， ,0,1p q q p >=-， 1,2,k

= ,

求EX 和2

EX .

解 1

1

1

{}k k k EX k P X k k pq +∞+∞

-===⋅==⋅∑∑

11

k k p

k q +∞

-==⋅∑2

11

(1)p q p

=⋅

=-. 这里,利用了幂级数求和公式

)1()(11

1

'-='=∑∑∞

+=∞

+=-x x

x kx

k k

k k 2

)

1(1x -= ，

x

x x x x k k k -=

+++++=∑+∞

=11

120

,(1||

2

2211

1

{}k k k EX k P X k k pq +∞+∞

-===⋅==⋅∑∑

21

1

k k p k q +∞

-==⋅∑ 32

11(1)q q

p q p ++=⋅

=-,

利用了

))

1((

)()(2

1

11

1

1

2

'-='='=∑∑∑+∞

=-+∞=+∞

=-x x

kx x kx x

k

k k k k

k k

3

)1(1x x -+=

, (1||

解 根据题意X 的分布律为1{}(1)k P X k p p -==-, ,2,1=k ;

11

1

{}(1)k k k EX kP X k k p p +∞+∞

-=====-∑∑2

11

(1(1))p p p

=⨯

=-- . 例 4 若事件A 在第i 次试验中出现的概率为i p ,设X 是事件A 在起初n 次独立重复试验中出现的次数,求)(X E .

解 设⎩⎨

⎧=A i A i X i 次试验中不出现

第次试验中出现第,0,,1, n i ,,2,1 =,

根据题意,则有n X X X X +⋅⋅⋅++=21,

且有 i i p X P ==}1{, n i ,,2,1⋅⋅⋅=,i i i i p X P X P EX ==⋅+=⋅=}0{0}1{1, 于是 )(21n X X X E EX +⋅⋅⋅++=∑∑====

n

i i

n i i

p

EX 1

1

.

例5 将红、白、黑三只球随机地逐个放入编号为1，2，3,4的四个盒内（每盒容纳球的个数不限），以X 表示有球盒子的最小号码，求随机变量X 的分布律,并求EX . 解 根据题意知，随机变量X 可能取的值为：1，2，3,4

64141}4{33===X P , 647

412}3{3

33=-==X P , 6419423}2{333=-==X P , 6437

4

34}1{3

33=-==X P 即随机变量X 的分布律为

}{4

1

k X P k EX k ==∑=16

2564100641464736419264371==⨯+⨯+⨯+⨯

= .

例6 将4个有区别的球随机放入编号为4~1的4个盒内,设X 为盒内球的最多个数, 求随机变量X 的分布律,并求EX .

解 依题意==}1{X 恰好每盒中各有一个球,646

4

}1{444===A X P ;

==}2{X 恰有一盒中各有两个球,其它两盒中各有一球+恰有两盒中各有两个球,

64454!2}2{4

2

4

2

22434

2

4

=+==A C C A C X P , (将4个球平均分成两组,考虑到对称性,不同的分组数是3!

22224=C C ;而不是62

4=C ); ==}3{X 恰有一盒中有3个球,其它一盒中有一个球,

64124}3{42434===A C X P ;641

4}4{4

1444===A C X P ,

即随机变量X 的分布律为

}{4

1

k X P k EX k ==∑=8

1764136641464123644526461==⨯+⨯+⨯+⨯

= . 例7设做某项试验,每次成功的概率为)10(<

==}{k X 试验进行了k 次,第k 次试验成功,在前)1(-k 次试验中恰好成功一次,

随机变量X 的分布律为

222

11)1)(1()

1(}{p p k p p p C k X P k k k -----=⋅-==,⋅⋅⋅=,3,2k ; (2)设 =B “恰进行了偶数次试验”,

2

1

1

2

2)

1)(12(}2{)(p p m m X P B P m m m ∑∑∞=∞

=---===2

22

2

])1(1[)1(1p p p ---+⋅= 22)2(22p p p -+-=.

这里用到了如下公式

)()()12(1

)

1(21

1

21

2

2'='=-∑∑∑∞

=-∞

=-∞

=-m m m m m m x

x x

x

m 2

22

2)

1(1)1(x x x x -+='-=, )1|(|