大学物理第八章习题解和小测验Word版
8 －7 两根相距为d 的无限长平行直导线，通以大小相等流向相反的电流，且电流均以
t
I
d d 的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内．求线圈中的感应电动势．
解：分析 可用电磁感应定律求解．回路处于非均匀磁场，磁通量需用?
?=S
ΦS B d 计算，
且 B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B 1、B 2 之矢量和．建如图示坐标系，因
()B B x =，取平行于长直导线宽为ｄx 、长为 d 的面元x d S d d =，故总通量可由积分求
得（取面元y x S d d d =，则上述积分实为二重积分）．注意：本题在工程技术中又称互感现象，故也可用t
I
M
M d d -=ε求解． 解1 过面元ｄS 的通量微元（取回路正法向垂直平面向内=有向面元）： ()x d x
I
μx d d x I μΦd π2d π2d d d d 0021-+=?+?=?=S B S B S B （1）
故过线圈的磁通量为： ()4
3ln π2d π2d π2d 020
20Id μx x Id μx d x Id μΦΦd d d
d
=-+==??
? （2）
由电磁感应定律得： t
I
d t d d 34ln π2d d 0??? ??μ=Φ-=ε
（3）
解2 设两直导线有电流I ，过线圈的磁通量为（计算如上）：
43
ln π20dI μΦ= （1）
线圈与两导线间的互感为： 4
3
ln π20d μI ΦM == （2）
设电流以
t
I
d d 变化，线圈中的互感电动势为： t
I
d t I M d d 34ln π2d d 0??? ??μ=-=ε （3）
当
dt
dI
>0 时，线圈中的感应电动势方向沿顺时针。 问题：如线圈以速率v 沿水平向右运动，如何用电磁感应定律求图示的电动势呢？ 注意：此时线圈中有动、感生电动势．设时刻t 线圈左端距右侧直导线的距离为 ξ，则穿过回路的磁通量()ξf ΦS
,1d =?=?
S B ，它表现为变量I 和ξ的二元函数，将Φ代入
t
d d Φ-
=ε 即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中v =t ξ
d d ，再令ξ＝d 即可求
得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，一项为动生电动势，另一项为感生电动势。
8 －11 长为 L 的铜棒以距端点 r 处为支点，以角速率 ω 绕过支点且垂直于棒的轴转动.设磁感强度为 B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．
解：分析 注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势为不同概念，就像电源的端电压与电源电动势．开路时两者大小相等方向相反：电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向．本题可直接用积分法求解，亦可将整个棒的电动势看作是
O A 与O B 上电动势的代数和，且两者可直接利用第８－2节例1 给出的结果．
解1 如图（ａ）在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl ，且取 X 轴正向为有向线段方向：
()()r L lB l lB L-r r AB AB 22
1
d d -ω-=ω-=??=ε??-l B v （1）
故棒两端的电势差：()r L lB U AB AB
22
1
-ω=
ε-= （2） 当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高。
解2 将AB 棒上的电动势看作是O A 棒和O B 棒上电动势的代数和．其中：
22
1
r B OA ω=
ε； ()2
2
1r L B OB -ω=ε （3）
则： ()r L BL OB OA AB
221
-ω-=ε-ε=ε （4）
故棒两端的电势差： ()r L lB U AB
AB
22
1
-ω=ε-= （5）
8-19. 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，共有N 匝，求该螺绕环的自感 L ．
解： 分析: 如同电容，自、互感仅与回路系统自身性质有关．求自感 L 有两种方法： 1． 设电流I 过线圈，计算磁场过自身回路的总磁通量，由I
Φ
L =
计算 L ；
2． 让回路通以变化率已知的电流，测出回路中感应电动势，由t
I L L
d /d ε=计算 L ．
式中L ε和
t
I
d d 易通过实验测定，故此法适合于工程．此外还可通过计算能量的方法求解． 解法1：设电流I 过线圈，线圈回路呈长方形，由安培环路定理可求得在R 1 ＜r ＜R 2 范围内的磁场分布为：
x
NI
μB π20=
（1） 由于线圈由N 匝相同的回路构成，故过回路的磁链为：
1
2
200ln
π2d π2d 2
1
R R hI N μx h x NI μN N ψS
R R ==?=??
S B （2） 则： 1
2
20ln
π2R R h N I L μ=ψ= （3） 若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr 倍．
8-24. 两同轴平行相距l 的圆线圈A 、C ，半径分别为R 和r ，若r 很小，可认为线圈A 在C
中所产生的磁感强度是均匀的。求两线圈的互感系数。若线圈C 匝数增加N 倍，则互感系数又为多少？
[解]：分析: 互感与两回路系统性质（形状、大小、相对位置、匝数以及周围磁介质）有关．求互感有两种方法：
1.设电流I 过一线圈计算磁场对另一回路的磁通量，用公式计算M ；
2.让回路通以变化率已知的电流，测出另一回路中互感电动势，由公式计算
M ．
设线圈A 通电流I ，线圈Ｃ的平面上各点的磁感强度可近似为（轴线上及附近区域）：
B=
(
)
2
322
2
o R 2IR
+μ （0）
磁通：
F m =c S B
?=
(
)
22
3222
o r R 2IR π+μ
（1）
∴互感：
M=F m ¤ I=
(
)
2
322
2
2o R 2r R
+πμ （2）
线圈C 为N 匝时：
M￠=Y m ¤ I=NF m ¤ I=NM （3）
小测验：
1. 用条形磁铁竖直插入木质圆环, 在环中：
(A) 产生感应电动势, 也产生感应电流；(B) 产生感应电动势, 不产生感应电流； (C) 不产生感应电动势, 也不产生感应电流；(D) 不产生感应电动势, 产生感应电流；
2．关于电磁感应下列说法正确的是：
(A) 变化的电场产生的磁场定随时间变化；(B) 变化的磁场产生的电场定随时间变化；
(C) 有电流就有磁场, 无电流一定无磁场； (D) 变化的电场产生的磁场不一定随时间而变化；
3. 在磁场变化着的空间, 如没有导体存在则该空间：
(A) 既无感应电场又无感应电流； (B) 既无感应电场又无感应电动势； (C) 有感应电场和感应电动势； (D) 有感应电场无感应电动势；
4. 在磁场变化着的空间里没有实体物质, 则此空间中没有：
(A) 电场 (B) 电力 (C) 感生电动势 (D) 感生电流
5. 两相同磁铁分别以相同速度同时插进两全同木、铜环内。在同一时刻过两环包围面积的磁通量：
(A) 相同； (B) 不相同, 铜环磁通量大于木环的磁通
量；
(C) 不相同, 木环通量大于铜环通量； (D) 因为木环内无磁通量, 不好进行比较；
6. 圆线圈在均匀磁场中作下列运动, 线圈中产生感应电流的是:
(A) 线圈沿磁场方向平移； (B) 线圈沿垂直于磁场方向平移； (C) 线圈以自身直径为轴（平行磁场）转动；(D) 线圈以自身直径为轴（垂直磁场）转动；
7. 电阻为R 、自感系数为L 的线圈, 将其接入电动势为)(t ε的交变电源．设线圈的自感电动势为L ε, 则流过线圈的电流为:
(A)
R
t )
(ε； (B)
R
t L
)(εε-； (C)
R L
ε ； (D)
R
t L
)(εε+；
8. 用线圈的自感系数L 表示载流线圈磁场能量的公式 W m ＝2
1L I 2 ：
(A) 只适用于无限长密绕螺线管； (B) 只适用于单匝圆线圈；
(C) 只适用于一个匝数很多且密绕的螺绕环； (D) 适用于自感系数一定的任意线圈；
9. 麦克斯韦为完成电、磁场的统一提出的两个假说:
(A) 涡旋电场和涡旋磁场；(B) 位移电流和位移电流密度；
(C) 位移电流和涡旋磁场；(D) 位移电流和涡旋电场；
10. 下列何种情况的位移电流为零 ?
(A)B＝0；(B) 电场不随时间而改变；(C) 开路；(D) 磁场不随时间而改变；
答案：B、D、C、D、A、D、B、D、D、B；
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）