浅谈常微分方程教学的几点体会

1 从常微分方程的历史背景入手， 介绍常微分方程的起源， 发展与应用，引起学生的兴趣，使他们愿意学这门课程
17 世 纪 ，常 微 分 方 程 与 微 积 分 相 伴 而 生 ，微 积 分 是 它 的 母 体 ，生
产生活实践是它生命的源泉。 至 18 世纪上半叶，人们的目光主要放在
常微分方程的“求解”上，常微分方程处于实数域解析理论阶段，工业
为常微分方程。
通过数学建模例子让学生真正体会到学习《常微分方程》有一定
的实用价值，从而主动的想学好这门课，培养他们的学习兴趣。 良好的
开端是成功的一半，从学生的兴趣点入手，引导学生从一无所知，到有
所知，再到想知道所有，对以后的教学很有帮助。
2 在教书的同时，也要育人。 教师不仅要传授知识，还要培养 学生正确的世界观，价值观，正确对待这门课程，学以致用
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○本刊重稿○
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2010 年 第 29 期
浅谈常微分方程教学的几点体会
王言芹 (常州大学数理学院应数系 江苏 常州 213164)
【摘 要】根据应用型本科院校的教学特点，结合实际，主要从教学内容、教学方法和培养学生的创新能力等方面，对数学与应用数学专业 “常微分方程”课程教学谈了几点体会。
传染病 （瘟疫） 经常在世界各地流行， 如霍乱、 天花、 艾滋病、
SARS、甲型 H1N1 流感病毒等。建立传染病的数学模型，分析其变化规
律，防止其蔓延是一项艰巨的任务。 这里仅就一般的传染规律讨论传
染病的数学模型。
假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数 n。 开始时染病
人数为 x0，在时刻 t 的健康人数为 y(t)，染病人数为 x(t)。 由于总人数为 常数，有
解法二：积分，得 ln y =x2+ln c ，故得通解
2
x
y=ce
，c
为任意不等于零的常数。
另外，y=0 也是其解 ，可 令 通 解
2
中取 c=0 即可。 故方程的所有的解为 y=cex ，c 为任意常数。
显然，解法二比解法一简单，可提醒同学们其中的解题技巧是巧
妙的选取任意常数， 由于一阶微分方程的通解中含有一个任意常数，
3 在熟悉教材的基础上挖掘高深的知识，用简单的例子阐明 深刻的道理
如在一阶微分方程的初等解法中，有些例题解法繁琐，不容易懂，
而事实上，阐明的道理很简单，可替换成其它简单的让学生感兴趣的
例子。 对于课后习题中的一些题目，可当作例题来讲，让学生学以致
用，从中体会学习的乐趣。 如：
例 2 解方程 dy =2xy。 dx
总之，在常微分方程的教学中．教师应注意做到内容教学和方法 教学的有机结合，充分利用常微分方程自身的特点，有意识地引导、启 发、培养学生独立地发现问题、分析问题、解决问题，使学生能够大胆 地猜想、主动地提出见解。 教师要善于把“引”贯穿于整个教学活动之 中，只要我们认真研究和探索，学生不仅能学好常微分方程的基本知 识、基本理论。 还能逐步优化自己的思维品质．提高创造性思维能力， 终身受益。 科
x(t)+y(t)=n
（1）
设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，
比例常数为 k, 称 k 为传染系数，于是，
dx(t) dt
=ky(t)x(t)，
（2）
x(0)=x0， 将（1）代入 （2），得到下面系统
dx =kx(n-x)，
dt
（3）
x(0)=x0， 这个模型称为 SI 模型，即易感染者和易感染者模型, 这个模型就
【关键词】常微分方程；教学内容；教学方法；兴趣；创新能力
《常微分方程》 是数学与应用数学专业开设的一门必修的基础理 论课，是数学分析、高等代数和解析几何的应用和发展。 学好这门课程 不仅可加深这三门课已学过的概念和方法，提高应用能力，而且为后 继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物 理、经济等学科和工程技术的桥梁。 因此，如何学好这门课，不论对 学生，还是对老师，都显得尤为重要。 笔者根据近几年的教学经验，就 如何教好这门课，谈谈以下几点体会。
的 线 性 方 程 ， 如 果 把 x 看 成 是 y 的 函 数 ， 原 方 程 可 以 改 写 为 dx = dy
xy2-1 y3
，这是关于 x 的线性方程，一般的学生想不到。
还有贝努里方
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程，齐次方程的初等解法对学生来讲，也是个难点。 可是等学习了全微
分方程和积分因子法之后，这些问题就会迎刃而解。 用积分因子法可
z=y2=x(c+x2)。
解法二（积分因子法）：原方程可改写为(y2+2x3)dx-2xydy=0， （1）
此方程存在积分因子
μ(x)=
1 x2
，将
1 x2
乘以方程（1）两边，并重新 分
项组合，得
y2dx-2xydy x2
+2xdx=0，即 d(- y2 x
)+dx2=0，
所以，得通解 x2- y2 =c，即 y2=x(c+x2)。 显然，用积分因子法解此方 x
刚踏入大二的大学生普遍对素质教育和能力培养的重要性认识 还不够充分，不少学生在学习过程中习惯老师教什么，自己就学什么。 遇到疑问不知道如何下手解决， 甚至有的学生质疑为何教师要讲教 材上没有的内容等。 毫无疑问，学生还不能从高中灌输式的模式中完 全解脱出来，对大学生的学习能力的培养还没有真正的理解。 因此，在 教学中，应该激发学生学习的欲望，充分让他们对数学规律进行自主 探索，使数学规律的教学变成学生自觉的行动，并使其体验到成功的 快感。 除此之外，教师在课堂上的一言一行，处理问题的方式都在潜移 默化地影响学生。 所以，我们通过自己的行动和授课内容开阔学生的 视野，去引导学生，不仅可以活跃课堂气氛，而且在思想上教育学生自 己应该树立什么样的人生观和价值观，告诉学生新时代的学生应该做 什么，怎么做，进而帮助学生用正确的态度对待学习和处理学习中的 疑难问题，提高他们解决问题的能力，学好此门课程。
革命带来的数学繁荣促进了常微分方程的成长，先探讨解的存在性与
唯一性而不是一味求解。 奇点理论，边值解，形式级数解等先后出现，
使常微分方程成长为一个数学分支，步入了复数域解析阶段。 从 19 世
纪后半叶开始，不解方程而确定解的性质的定性理论开始建立，数学
思想方法再次实现了大的进步，朝着解析方法、几何方法、数值方法 3
● 【参考文献】
［1］王 高 雄 ，周 之 铭 ，朱 思 铭 ，王 寿 松．常 微 分 方 程.第 三 版[M].北 京:高 教 出 版 社, 2006,7. ［2］ 丁 同 仁 ,李 承 治 .常 微 分 方 程 教 程 .第 二 版 [M].北 京 :高 教 出 版 社 ,2004. ［3］ 张 伟 年 .常 微 分 方 程 [M].北 京 :科 学 出 版 社 ,2005. ［4］陶 祥 兴 ，张 松 艳． 精 品 课 程 的 建 设 与 实 践 ——— 以 常 微 分 方 程 课 为 例 [J]． 宁 波 大 学 学 报 ，2007，29(5)：104-107． ［5］张红雷.信息与计算科学专业常微分方程教学改革初探[J]. 徐州教育 学 院 学 报,2008，23(1)：140-141. ［6］钟 秀 蓉 .本 科 自 动 化 专 业 常 微 分 方 程 教 学 之 改 革 与 实 践 [J]. 高 校 论 坛 ，2009，4 (26):1-1.
解法一：当 y≠0 时，分离变量，得
dy y
=2xdx，
两边积分，得 ln y =x2+c1，
即y
2
x
=e
+c1
x2
=ce
，
式中 c=ec1>0，去掉绝对值，得通解为
2
x
y=e
+c1
x2
=ce
，c
为不为零的任意常数。
另外，y=0 也是其解，可令通解中取 c=0 即可。
故方程的解为
x2
y=ce
，c
为任意常数。
问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源。 ”通过引用名
人的话，让学生在思想上引起重视，在介绍起源时，可穿插介绍常微分
方程诞生于运用数学分析方法解决物理与力学问题的过程中，它的发
生发展史就是一部数学建模史。 数学建模思想是常微分方程发展史所
反映出的最重要的数学思想，这一点从以下例子可见一斑。
例 1 传染病模型。
微分方程，采用哪一种方法，要看具体形式，力求采用最简便最容易懂
的方法求解。 如
例 3 解方程 dy = y + x2 。 dx 2x y
解法一：这是 n=-1 的贝努里方程。 令 z=y2，得 dz =2y dy ， dx dx
代入原方程，得 dz = z +2x2 dx x
这是一个线性方程。 由常数变易公式，得通解为
此特解不包含在通解中。
4 在讲授章节内容时，注意各自的特点，突出每一章节的重 点，抓住难点、疑点, 引导学生作深入研究，以培养学生的创新 能力；同时注意章节间的前后联系，及时归纳总结，使知识系 统化，注意问题与问题间的相互转化，一题多解，以培养学生 的综合能力
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程更容易理解。 通过一题多解，既让学生对所学的知识融会贯通，又培
养了他们综合分析的能力。
5 另外，需要一提的是，常微分方程定性理论和稳定性理论
作为相对抽象的一部分内容， 在讲授时要注意结合研究一些 实际问题
要介绍一些需要用定性理论和稳定性理论解决的具有实际背景 的问题。 例如考虑捕鱼业的持续收获问题，在捕捞量稳定的条件下，如 何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量， 渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 考虑种群的相互竞争、相互依 存。 通过研究实际事例，使学生掌握建立稳定性模型的方法和步骤，明 确微分方程定性理论和稳定性理论在解决此类问题中的作用，激发学 生学习微分方程定性理论和稳定性理论的热情，提高学生利用微分方 程定性理论和稳定性理论解决实际问题的能力。
积分后如果方程的左边出现 ln y 时，方程 的 右 边 可 选 取 任 意 常 数 为
ln c ，从而简化运算。 这个例子还说明这个方程的通解包含了方程所
有的解，而有些方程的通解不包含方程所有的解。 如方程 dy dx
= 姨1-y2
的 通 解 为 y=sin(x+c)，c 为 任 意 常 数 ，但 方 程 的 所 有 解 中 还 包 括 y=±1，
个主要方向扩展，随着伯克霍夫(美)提出拓扑动力系统(1927 年)，将一
般定性理论进行了抽象和升华， 逐渐发展成微分动力系统。 塞蒙斯
曾如此评价微分方程在数学中的地位，“三百年来，分析是数学里首要
的分支，而微分方程又是分析的心脏。 这是初等微积分的天然后继课，
又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的
以求解上面提到的几种类型的一阶显式微分方程 y′=f(x，y)，前提 是 先
将给定的一阶显式微分方程写成对称形式：M(x，y)dx+N(x，y)dy=0。 它
的基础是全微分方程。 而之前讨论的齐次方程，一阶线性方程，和贝努
里方程的基础是分离变量方程， 这些方程都有自己的不同的解法，但
是积分因子法是解 y′=f(x，y)的一种通用的方法，对于具体的一阶显 式
作 者 简 介 ：王 言 芹(1976.1—)，女 ，山 东 人 ，硕 士 ，讲 师 ，研 究 方 向 为 应 用 数 学。
※基金项目：常州大学数理基金资助，项目编号 JS200801。
［责任编辑：汤静］
● ●
（上接第 41 页）应该进一步研究坏死的过程以及如何运用它使肿瘤退 化。 科
【参考文献】 ［1］Arico S,Petiot A, Bauvy C, et al..The tumor suppressor PTEN positively regulates macroautophagy by inhibiting the. phosphatidylinositol 3 -kinase/protein kinase B pathway[J].J.Biol. Chem,2001,276：35243-35246. ［2］Downward J.PI 3 -kinase, Akt and cell survival.Semin [J].Cell Dev. Biol, 2004,15：177-182. ［3］Chan S. Targeting the mammalian target of rapamycin (mTOR): a new approach to treating cancer[J].Br.J.Cancer,2004,91：1420-1424. ［4］Rowinsky EK. Targeting the molecular target of rapamycin (mTOR) [J]. Curr. Opin.Oncol,2004,16：564-575. ［5］Warburg O.On respiratory impairment in cancer cells [J].Science ,1956,124： 269-270. ［6］Fesik SW. Promoting apoptosis as a strategy for cancer drug discovery [J].Nat. Rev.Cancer,2005,5：876-885. ［7］Dang CV, Lewis BC, Dolde C, et al.. Oncogenes in tumormetabolism, tumorigenesis, and apoptosis[J].J.Bioenerg. Biomembr,1997,29：345-354. ［8］Elstrom RL, Bauer DE, Buzzai M, et al.. Akt stimulates aerobicglycolysis in cancer cells[J].Cancer Res,2004,64:3892-3899. ［9］Gatenby RA, Gillies RJ. Why do cancers have high aerobic glycolysis [J].Nat. Rev. Cancer,2004,4:891-899. ［10］Semenza GL. Targeting HIF-1 for cancer therapy [J].Nat. Rev. Cancer,2003,3: 721-732. ［11］Vazquez -Martin A, Oliveras -Ferraros C, Lopez -Bonet E, et al.. AMPK:
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不同的章节间都是相互联系的，每一小节又都是相对独立的一部
分内容。 比如新授一阶线性方程 dy =P(x)y+Q(x)的初等解法时，要重点 dx
引导学生掌握常数变易法求解一阶线性微分方程，也要记住常数变易
公式。
可是有些一阶微分方程，如方程 dy dx
=
y3 xy2-1
，原方程不是关于 y