导数练习题含答案完整版

导数练习题含答案
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
导数练习题
班级
姓名
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量
与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝
2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41 C．0.43
D．
0.44
3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)
上的平均变化率Δy
Δx
等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2
D．
4x
4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在
t＝3时的瞬时速度为( )
A． 6 B．18
C．54
D．
81
5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝
3
2
处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3
C． 2
D．
－2
6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点
(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．
与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交但不垂直
7．曲线y＝－1
x
在点(1，－1)处的切线方
程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝x＋ 2
D．
y＝－x－2
8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A
处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8
D．2
9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点
处的切线倾斜角为π
4
的是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(1
4
，
1
16
)
D．
(
1
2
，
1
4
)
10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的
切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝ 1
B．
a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－ 1
D．
a＝－1，b＝－1
11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )
A．0 B．2x
C． 6
D
．9
12．已知函数f(x)＝
1
x
，则f′(－3)＝
( )
A． 4 B.
1
9
C ．－14
D ．－1
9
13．函数y ＝
x 2x ＋3
的导数是( )
A.x 2＋6x x ＋3?2
B.x 2＋6x x ＋3
C.－2x
x ＋3?2
D.3x 2＋6x x ＋3?2 14．若函数f (x )＝1
2f ′(－1)x 2－2x ＋
3，则f ′(－1)的值为( )
A ．0
B ．－1
C ．
1
D ．
2
15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有
f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必
要不充分条件
C ．充要条件
D ．既
不充分也不必要条件
16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，
17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，
则( )
A ．a ≥1
3
B ．a ＝1
C ．a ＝2
D ．a ≤
18．函数y ＝4x 2
＋1x
的单调递增区间是
( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1)
C ．(1
2
，＋∞)
D ．(1，
19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 20．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )
A ．必有f ′(x 0)＝
B ．f ′(x 0)不存在
C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在
D ．f ′(x 0)存在但可能不为0
22．函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋3x －9，已知
f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，
b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象
如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，
b )内的极小值点有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
24．函数f (x )＝－13x 3＋1
2x 2＋2x 取极小
值时，x 的值是( )
A ．2
B ．2，－ 1
C ．－1
D ．－3
25．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5)
C ．f (2)，f (5)
D ．f (5)，f (3)
26．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．4
27．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－
4,4]上的最大值
为10，则其最小
值为( )
A ．－10
B
．
－
71
C ．－15
D ．－22 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家
的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－1
3
x 3＋81x
－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A ．13万件
B ．11万件
C ．9万件
D ．7万件
29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53
t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )
A ．1秒末
B ．0秒
C ．4秒末
D ．0,1,4秒末
二、填空题
1．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)
＝4，则a ＝________.
2．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相
切，则a ＝________.
3．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b
a
＝________.
4．令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于
________．
5．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率
为2，则x 0＝________. 6．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.
7．一物体的运动方程是s (t )＝1
t
，当t ＝3
时的瞬时速度为________．
8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，
f ′(
π3
)＝1
2，则a ＝________，b ＝
________.
9．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．
10．函数y ＝x e x 的最小值为________．
11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水
箱，它的高为______dm 时最省料．
12．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩
形场地，则矩形场地的最大面积是
________m 2.
三、解答题
1．求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝
x
1＋x
；
(3)y＝lg x－e x.
2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x ＋10，求：
(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．
3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－
ln x；(2)y＝
1
2x .
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．
5．已知函数f(x)＝1
3
x3－4x＋4.
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
导数练习题答案
班级姓名
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
答案：A
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：选 B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22
＝0.41.
3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)
上的平均变化率Δy
Δx
等于( )
A． 4
B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2
D．4x
解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－
(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以Δy
Δx
＝4
＋2Δx，故选B.
4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A． 6
B．18
C．54
D．81
解析：选B.
Δs
Δt
＝
3?3＋Δt2－3×32
Δt
，
s′＝li m
Δt→0
Δs
Δt
＝li m
Δt→0
(18＋3Δt)＝18，故选B.
5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝
3
2处的瞬时变化率是( )
A． 3
B．－3
C． 2
D．－2
解析：选B.
6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交但不垂直
解析：选 B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．
7．曲线y＝－1
x
在点(1，－1)处的切线方
程为( )
A．y＝x－ 2
B．y＝x
C．y＝x＋ 2
D．y＝－x－2
解析：选 A.f′(1)＝li m
Δx→0－
1
1＋Δx
＋
1
1
Δx
＝li m
Δx→0
1
1＋Δx
＝1，则在(1，－1)处的切
线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.
8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A 处的切线斜率为( )A． 4
B．16
C．8
D．2
解析：选C.
9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为
π
4
的是( )
A．(0,0)
B．(2,4)
C．(
1
4
，
1
16
)
D．(
1
2
，
1
4
)
故选D.
10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A ．a ＝1，b ＝ 1
B ．
a ＝－1，
b ＝1
C ．a
＝
1
，
b
＝
－
1
D ．
a ＝－1，
b ＝－1 解析：选A.
11．已知f (x )＝x 2
，则f ′(3)＝( )
A ．0
B ．2x
C ．6
D ．9
解析：选 C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.
12．已知函数f (x )＝1
x
，则f ′(－3)＝
( )
A ．4
B.19
C ．－14
D ．－19
解析：选 D.∵f ′(x )＝－
1
x 2
，∴
f ′(－3)＝－19
.
13．函数y ＝
x 2x ＋3
的导数是( )
A.x 2＋6x x ＋3?2
B.x 2＋6x x ＋3
C.－2x x ＋3?2
D.3x 2＋6x x ＋3?2
解析：选A
14．若函数f (x )＝1
2f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选 B.∵f (x )＝1
2f ′(－1)x 2－2x ＋
3， ∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.
∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.
∴f ′(－1)＝－1.
15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.
16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x
＋(x －3)(e x
)′＝(x －2)e x
，
令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.
17．函数y ＝ax 3
－x 在R 上是减函数，则
( )
A ．a ≥1
3
B ．a ＝1
C ．a ＝2
D ．a ≤0
解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数
y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，
即3ax 2≤1恒成立．
当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；
当x ≠0时，若a ≤1
3x
2恒成立，则
a ≤0.
综上可得a ≤0. 18．函数y ＝4x 2＋1
x
的单调递增区间是
( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，
C ．(1
2
，＋∞)
D ．(1，＋
解析：选 C.∵y′＝8x－1
x2
＝
8x3－1 x2>0，∴x>
1
2
.
即函数的单调递增区间为(1
2
，＋∞)．
19．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
答案：A
22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f(x)在x＝－3处取得极值，
∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5.
23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图
象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．
24．函数f(x)＝－1
3
x3＋
1
2
x2＋2x取极小值
时，x的值是( )
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
解析：选 C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：
∴x＝－1时取极小值．
25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3)
B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3,5]上单调递减，
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2. 27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为
( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x －3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3，－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单
位：万件)的函数关系式为y＝－1
3
x3＋81x
－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B ．11万件C．9万件
D ．7万件
解析：选C
29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝
1
4
t4－
5
3
t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )
A．1秒末
B ．0秒
C．4秒末
D ．0,1,4秒末
解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.
二、填空题
1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.
答案：1
2．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.
答案：3
3．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切
线斜率为2，则b
a
＝________.
答案：2
4．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．
解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)
5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.
解析：2＝li m
Δx→0
x
＋Δx2＋4?x0＋Δx－x20－4x0
Δx
＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－1
6．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
解析：∵y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.
答案：10ln10
7．一物体的运动方程是s(t)＝
1
t
，当t＝3时的瞬时速度为________．
解析：∵s′(t)＝－
1
t2
，∴s′(3)＝－
1
32
＝－
1
9
.
答案：－
1
9
8．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(
π
3
)＝
1
2
，则a＝________，b＝________.
解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，
f′(0)＝－b＝1得b＝－1，
f ′(π3)＝23πa ＋12＝12
，得a ＝0.
答案：0 －1
9．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．
解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，取得极大值a ＋4 2.
答案：a ＋42
10．函数y ＝x e x 的最小值为________．
解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.
当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，
y ′>0.
∴y min ＝f (－1)＝－1
e
.
答案：－1
e
11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．
解析：设底面边长为x ，
则高为h ＝
256
x 2
，
其表面积为S ＝x 2＋4×256
x
2
×x ＝x 2＋
256×4
x
，
S ′＝2x －
256×4
x 2
，令S ′＝0，则x ＝8，
则高h ＝256
64
＝4 (dm)．
答案：4
12．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.
解析：设矩形的长为x m ，
则宽为
16－2x
2
＝(8－x ) m(0<x <8)， ∴S (x )＝x (8－x )＝－x 2＋8x
∴S ′(x )＝－2x ＋8，令S ′(x )＝0，
则x ＝4，
又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，
故S(x)max＝S(4)＝16.
答案：16
三、解答题
1．求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝
x
1＋x
；(3)y＝
lg x－e x.
解：(1)y′＝6x＋cos x－x sin x.
(2)y′＝1＋x－x
1＋x2
＝
1
1＋x2
.
(3)y′＝(lg x)′－(e x)′＝
1
x ln10
－e x.
2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由
⎩
⎨
⎧y＝x2＋4，
y＝x＋10，
得x2＋4＝10＋x，
即x2－x－6＝0，
∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
∴y′＝lim
Δx→0
x＋Δx2＋4－x2＋4?
Δx
＝lim
Δx→0
Δx2＋2x·Δx
Δx
＝lim
Δx→0
(Δx＋2x)＝2x.
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；(2)y＝
1 2x .
解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
其导数为y′＝1－1 x .
令1－1
x
>0，解得x>1；再令1－
1
x
<0，
解得0<x<1.
因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，
函数的单调减区间为(0,1)．
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x ＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．
解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
则有
⎩⎪
⎨
⎪⎧－1＋3＝－23a，
－1×3＝
b
3
，
解得⎩
⎨
⎧a＝－3，
b＝－9，
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.
由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.
∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.
5．已知函数f(x)＝
1
3
x3－4x＋4.
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，
得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
从上表可看出，当x＝－2时，函数有
极大值，且极大值为28
3
；而当x＝2时，函
数有极小值，且极小值为－4 3 .
(2)f(－3)＝1
3
×(－3)3－4×(－3)＋4
＝7，
f(4)＝1
3
×43－4×4＋4＝
28
3
，
与极值比较，得函数在区间[－3,4]上
的最大值是28
3
，最小值是－
4
3
.。