点集拓扑练习题

点集拓扑练习题

一、选择题（每题2分，共20分）

1.已知集合{}X a b c d =，，，，下列集族中，（ ）是X 的拓扑. A {{}{b c}}T X a b φ=，，，，， B {{}{b c}{c d}}T X a φ=，，，，，， C {{}{a b c}}T X a b φ=，，，，，， D {{}{b c d}}T X a b φ=，，，，，，

2.已知集合{}X a b c d =，，，，拓扑{{}}T X a c φ=，，，，{}A a c =，，则A =（ ）

A φ

B X

C {c}a ，

D {c d}a ，，

3.已知集合{}X a b c d e =，，，，，拓扑{{}{b},{}}T X a a a b c d φ=，，，，，，，，{}A a b c =，，，则o A =（ ）

A φ

B {}a

C {}a ，b

D {}a b c ，，

4.已知集合{}X a b c d =，，，，拓扑{{}{b }}T X a c d φ=，，，，，，则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）个.

A 1

B 2

C 3

D 4

5.设X 是一个拓扑空间，A B ，是X 的子集，则下列关系中不正确的是（ ） A ()()()d A B d A d B = B A B A B =

C ()()()d A B d A d B =

D A A =

6.已知{}X a b c =，，上的拓扑T {{}}X a b φ=，，，,则点a 的邻域个数（ ）

A 1

B 2

C 3

D 4

7.在实数空间中，有理数集Q 的闭包Q 是（ ）

A φ

B Q

C R Q -

D R

8.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为与它同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称这个性质是一个 ( )

A 拓扑不变性质

B 在连续映射下保持不变的性质

C 可商性质

D 可积性质

9.设12X X ，是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）

A 离散空间

B 不连通空间

C 平庸空间

D 连通空间

10.整数集Z 是实数空间R 的一个 （ ）

A 不连通子集

B 连通子集

C 开集

D 以上均不对

二、填空题（每题4分，共20分）

1.已知集合{}X a b c d =，，，，{{b c}{c}{d}}a B =，，，，，则X 的以B 为基的拓扑为=T _______________________________.

2.已知集合{}X a b c d =，，，,{{}{b c}{c d}}S a =，，，，，则X 的以S 为子基的拓扑为=T ________________________________.

3.已知集合{}X a b c d e =，，，，，拓扑{{}{b }{}T X a a c d e φ=，，，，，，，，{}Y a b c d =，，，，则Y 的相对拓扑|Y T =________________________________.

4.设X Y ，是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的像集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个___________.

5.若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个_____________.

三、解答题（共20分）

设集合{}X a b c d =，，，，拓扑{{}{,}}T X a a b φ=，，，，{}A a b c =，，,求集合A 的内部，边界，闭包.

四、证明题（每小题20分，共40分）

1.设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射，证明：()f X 是Y 的一个连通子集.

2．设X 是一个1T 空间，证明：X 的每一个单点集是闭集.