正定矩阵的判定
正定矩阵660题目汇总
正定矩阵660题目汇总摘要：一、正定矩阵的概念及性质1.正定矩阵的定义2.正定矩阵的性质二、正定矩阵的判定方法1.实对称矩阵的性质2.二次型对应的矩阵为正定矩阵的条件3.谱聚类算法中的正定矩阵应用三、正定矩阵在实际问题中的应用1.机器学习中的正定矩阵2.信号处理中的正定矩阵3.图像处理中的正定矩阵四、正定矩阵的求解方法1.求解正定矩阵的特征值和特征向量2.求解正定矩阵的平方根五、正定矩阵的扩展概念1.半正定矩阵2.负定矩阵3.行列式为正的矩阵六、正定矩阵与其他矩阵之间的关系1.单位矩阵与正定矩阵的关系2.正规矩阵与正定矩阵的关系正文：一、正定矩阵的概念及性质1.正定矩阵的定义：一个n阶实对称矩阵A满足对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，那么这个矩阵A被称为正定矩阵。
2.正定矩阵的性质：正定矩阵具有以下几个性质：(1) 对称性：正定矩阵是实对称矩阵，即满足A = A^T。
(2) 行列式大于0：正定矩阵的行列式始终大于0。
(3) 特征值大于0：正定矩阵的各个特征值都大于0。
(4) 二次型大于0：正定矩阵对应的二次型（即Ax^2）始终大于0。
二、正定矩阵的判定方法1.实对称矩阵的性质：一个实对称矩阵A是正定的，当且仅当它的所有特征值都大于0。
2.二次型对应的矩阵为正定矩阵的条件：一个n阶矩阵A对应的二次型为正定矩阵，当且仅当A的n个特征值都大于0。
3.谱聚类算法中的正定矩阵应用：在谱聚类算法中，通过计算相似度矩阵的特征值和特征向量，可以得到正定矩阵，从而实现聚类任务。
三、正定矩阵在实际问题中的应用1.机器学习中的正定矩阵：在机器学习中，正定矩阵常用于核函数的计算，如支持向量机（SVM）中的核矩阵。
2.信号处理中的正定矩阵：在信号处理中，正定矩阵可以用于滤波器的设计，如无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应（FIR）滤波器。
3.图像处理中的正定矩阵：在图像处理中，正定矩阵可以用于图像的降噪和增强，如基于正定矩阵的图像滤波方法。
正定矩阵的性质及判定方法
和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａｘꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬｆᶄ(ｘ)＝１/ｘ－ａꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于０的解ꎬ以及小于０的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的ａ的值ꎬ想当然的认为ａ的值大于０.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当ａ小于０时ꎬ当ａ等于０时ꎬ当ａ大于０时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学 圆与方程 时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[１]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[Ｊ].学周刊ꎬ２０１９(２５):４０.[２]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):４２.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀６７４１００)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２４－００１８－０２收稿日期:２０２０－０５－２５作者简介:何守元(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ正定ꎬ则称矩阵Ａ为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵Ａ必须满足两个条件:首先ꎬＡ必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以Ａ为矩阵的实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ必须是正定二次型ꎬ即Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定Ａ为正定矩阵的依据:性质１㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.㊀㊀(因为Ａ为正定矩阵的充要条件是实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ是正定二次型.)性质２㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:Ａ＝０１２１０１２１０æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且｜Ａ｜＝２>０ꎬＡ可逆８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但Ａ经过合同变换化为ｄｉｇ(１ꎬ－１ꎬ－１)ꎬ其负惯性指数为２ꎬ故Ａ不是正定矩阵.性质３㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为Ａ＝ＰＴＥＰꎬＡ－１＝[(Ｐ－１)Ｔ]ＴＥ(Ｐ－１)ＴꎬＡ－１也与单位方阵Ｅ合同ꎬ必然正定.)性质４㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质５㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(１)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(２)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(３)与同阶单位方阵合同ꎻ(４)特征根全为正实数ꎻ(５)与同阶对角形方阵ｄｉｇ(ｔ１ꎬｔ２ꎬ ꎬｔｎ)相似且合同(其中ｔｉ为它的特征根).(６)行列式等于ｔ１ｔ２ ｔｎ(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法１㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则Ａ非正定.例１㊀Ａ＝１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式Ｄ２＝１－１－１１æèçöø÷＝０ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例２㊀当ｔ为何值时ꎬＡ＝ｔ１－１１ｔ－１－１－１ｔæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式Ｄ１＝ｔ>０ꎬＤ２＝ｔ１１ｔæèçöø÷＝ｔ２－１>０ꎬＤ３＝｜Ａ｜＝(ｔ＋２)(ｔ－１)２>０ꎬ由此可得:ｔ>１时Ａ为正定矩阵.判法２㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程ｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝０ꎬ计算出Ａ的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则Ａ非正定.例３㊀Ａ＝１－２２－２－２４２４－２æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝(ｔ－２)２(ｔ＋７)＝０ꎬ得特征根为２㊁２㊁－７ꎬ有一个根不是正数ꎬ故Ａ不是正定矩阵.判法３㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵Ｅ(或:主对角元全为正数)ꎬ则Ａ为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例１中ꎬ对Ａ施行合同变换:１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ң１００００４０４６æèççöø÷÷ң１０００６４０４０æèççöø÷÷ңＡ＝１０００６０００－１６６æèçççöø÷÷÷ңＡ＝１０００１０００－１æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故Ａ不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法４㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算Ａ的行列式｜Ａ｜ꎬ若｜Ａ｜ɤ０ꎬ则Ａ不正定.这是根据性质２的等价命题来判定的.如:上述例１中ꎬ｜Ａ｜＝－１６<０ꎬ说明Ａ不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看ｎ阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于ｎ?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例４㊀若Ａ是正定矩阵ꎬＥ是与Ａ同价的单位方阵ꎬ则ｋ为足够大的实数时ꎬ可以判定ｋＥ＋Ａ也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ的特征根为ｔｉ>０ꎬ则ｋＥ＋Ａ的特征根为ｔｉ＋ｋꎬ从而当ｋ足够大时ꎬ就可保证ｋＥ＋Ａ的特征根全为正数ꎬ使ｋＥ＋Ａ为正定矩阵.例５㊀若Ａ＝(ａｉｊ)是正定矩阵ꎬｂｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)是任意ｎ个非零实数ꎬ则Ｂ＝(ａｉｊｂｉｂｊ)也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ正定ꎬ则其顺序主子式｜Ａｋ｜>０ꎬ而Ｂ的顺序主子式｜Ｂｋ｜＝ｂ２１ ｂ２ｋ｜Ａｋ｜>０ꎬ从而Ｂ也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[１]何守元.高等代数[Ｍ].北京:现代教育出版社ꎬ２０１５:１５.[２]刘振宇.高等代数的思想和方法[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００９.[３]扬子胥.高等代数精选题解[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
证明度量矩阵是正定的
证明度量矩阵是正定的一、引言度量矩阵是指在数学中用于度量两个向量之间的相似度或距离的矩阵。
在机器学习、模式识别、数据挖掘等领域中，度量矩阵是非常重要的概念。
其中，正定是一个非常重要的性质，本文将从多个角度来证明度量矩阵是正定的。
二、什么是正定矩阵？在了解如何证明度量矩阵是正定之前，我们需要先了解什么是正定矩阵。
对于一个$n\times n$实数矩阵$A$，如果对于任意一个非零列向量$x\in R^n$都有$x^TAx>0$，那么我们称该矩阵为正定矩阵。
三、证明过程1. 证明对称性首先，我们需要证明该矩阵是对称的。
设$A=(a_{ij})$为一个$n\times n$的度量矩阵，则有$a_{ij}=a_{ji}$。
因此，对于任意两个向量$x,y\in R^n$，我们有：$$d(x,y)^2=\sum\limits_{i=1}^n(a_{ii}(x_i-y_i)^2+2\sum\limits_{i<j}a_{ij}(x_i-y_i)(x_j-y_j))$$$$=\sum\limits_{i=1}^n(a_{ii}(y_i-x_i)^2+2\sum\limits_{i<j}a_{ij}(y_i-x_i)(y_j-x_j))$$$$=d(y,x)^2$$因此，该矩阵是对称的。
2. 证明正定性接下来，我们需要证明该矩阵是正定的。
对于任意一个非零向量$x\in R^n$，我们有：$$x^TAx=\sum\limits_{i=1}^n(a_{ii}x_i^2+2\sum\limits_{i<j}a_{ij }x_ix_j)$$由于$a_{ii}>0$，所以第一项为正数。
又因为$a_{ij}$是度量矩阵，所以有$a_{ij}\geq 0$。
那么第二项可以表示为：$$2\sum\limits_{i<j}a_{ij}x_ix_j=\sum\limits_{i,j=1,i<j}^n(a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i)$$由于$a_{ij}=a_{ji}$，所以上式可以进一步化简为：$$=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1,i<j}(a_{ij}+a{ji})(x_ix_j+x_jx_i)$$由于度量矩阵是半正定的（即$a{ii}\geq 0$），所以有$a{ii}\geq0$和$a{ij}\geq 0$，所以$a_{ij}+a_{ji}\geq 0$。
正定矩阵的判定
泰山学院毕业论文材料汇编正定矩阵的判定所在学院专业名称申请学士学位所属学科年级学生姓名、学号指导教师姓名、职称装订日期 2015 年 6 月 30 日.材料汇编目录一、开题报告二、任务书三、论文1. 封面2. 中文摘要3. 英文摘要4. 目录5. 正文6. 参考文献7. 致谢四、成绩评定书泰山学院毕业论文开题报告.题目正定矩阵的判定学院年级专业姓名学号指导教师签字学生签字2014 年 12 月 15 日... 方法二（标准形法）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同。
方法三（顺序主子式法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零。
方法四（特征值法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全大于0。
方法五（矩阵分解法）如果矩阵A 有分解式：C C '=A ,则C 列满秩时，A 正定。
（二）研究方法主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。
三、进度安排1. 调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。
2. 写作初稿务必于2015年4月10日前完成。
3. 修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。
四、主要参考文献[1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996.[2] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989.[3] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993.[4] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[5] 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.[6] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京：国防工业出版社，2012.[7] 杨子胥.高等代数习题集[M].济南：山东科技出版社，2003..泰山学院毕业论文任务书题目正定矩阵的判定学院年级专业姓名学号指导教师签字学生签字2014 年 12 月 20 日你的毕业论文开题报告已通过，现将毕业论文工作任务下达给你,请按照要求认真完成。
实正定矩阵的判定及其重要结论
摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件Decision of Real Positive Definite Matrixand Its Important ConclusionAbstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix .Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition禄 鹏（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000）摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件1 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具.2 实正定矩阵的等价定理定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>.定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定.引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4[]7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的主对角元均为正.定理1 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10⨯∈≠n R X ，使0>AX X T .证明 由定义1和定义2可证.定理2 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子式大于0.证明[]5 必要性, 因为A 是实对称正定矩阵，由定义2知，存在二次型 ()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.对于每个k ,,1n k ≤≤令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.我们来证明k f 是一个k 元的正定二次型. 对于任意一组不全为零的实数,,,1k c c 有()k k c c f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij c c a 11=()0,,0,,,1 k c c f .0>因此()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知，k f 的行列式,01111>kk k ka a a an k ,,1 =. 这就证明了矩阵A 的一切顺序主子式大于0.充分性, 对n 作数学归纳法. 当1=n 时, ().21111x a x f = 由条件011>a ，显然有()1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 ,于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn T a A αα1. 既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假定, 1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 阶矩阵G 使 11-=n T E G A G ,这里1-n E 代表1-n 阶单位矩阵. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C , 于是 =11AC C T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn T T n a G G E αα1. 再令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n G E C , 有 2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101G E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a G G E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n G E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n GG a E 001. 令 21C C C =, ,ααT T nn GG a a -=就有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边取行列式, a A C =2. 由条件,0>A ,因此0>a . 显然⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，所以A 是正定矩阵.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵.证明 由定理2可证.定理4 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的特征值全大于0.证明 必要性,A 为正定矩阵,若A 的全部特征值为n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ.由引理3存在正交矩阵T 使得()1式成立.令 (),,,,21n T ααα = 则i i i A αλα=()n i ,,2,1 =，即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量. 特别的，取单位特征向量01≠β，即111βλβ=A .于是有 11111βλβββT T A =01≤=λ，这与A 为正定矩阵相矛盾，故A 的全部特征值为n λλλ,,,21 都大于0.充分性: 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由引理3知存在正交矩阵T ，使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-. 从而有 ()T n T Tdiag A λλλ,,,21 =.任取0≠X ，则AX X T ()X T Tdiag X T n T λλλ,,,21 =()Y diag Y n T λλλ,,,21 =，其中 T X Y T T =()0,,,21≠n y y y ，于是AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ，即A 为正定矩阵.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 合同与E .证明 必要性, 由引理1和引理2知正定二次型()n x x x f ,,,21 可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形 22221ny y y +++ .其对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =⇒()EY Y Y AT T Y T T T =，故A 合同与E .充分性, 由于A 合同与E ，即存在可逆矩阵C 使得C C EC C A T T ==.任取0≠X ，令()Tn y y y Y CX ,,,21 ==，则0≠Y ，于是Y Y CX C X AX X T T T T ===22221ny y y +++ 0>. 故A 是正定矩阵. 定理6 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切主子式都大于0. 证明 必要性，A 正定,令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.设矩阵A 与k A 的二次型分别为AY Y T 和X A X k T . 对任意(),0,,10≠=Ti i mb b X 存在(),0,,10≠=Tn c c Y 其中⎩⎨⎧==.;,,,0,1other i i k b c k k k 由A 正定,00AY Y T ,0>得00X A X k T是正定的, 故存在实可逆矩阵k T , 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k T k T A T λλ 1， 其中(),,,10k i i =>λ 从而k k k k T k T A T A T λλ 12==0>. 又 02>k T ,故 0>k A ()n k ,,2,1 =.充分性, 实对称矩阵A 的一切主子式都大于0, 所以A 的一切顺序主子式都大于0. 由定理2可证A 为正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.证明 必要性,A 正定,令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.又因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,由定理6知k 个主子式都大于零, 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性, 实对称矩阵A 的一切主子矩阵都是正定矩阵, 则矩阵A 的一切主子式都大于零, 由定理6即证A 是正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 半正定且0≠A .证明 必要性, 因为A 正定，则显然A 一定半正定，且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ,由A 半正定可知，i λ(),,,2,10n i =≥又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ，故(),,,2,10n i i =>λ 由定理4可知A 正定.定理9 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的实列满秩矩阵m n C ⨯, 都有AC C T 为正定矩阵.证明 必要性, 首先()TT ACC AC C T =,对任意的1⨯∈m R X ,0≠X ,由秩C n =, 知,0≠CX 而A 为正定矩阵, 故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即 AC C T 为正定矩阵.充分性, AC C T 正定, 则对任意的1⨯∈m R X ,0≠X , 由秩C n =, 知,0≠CX 并且 ()()CX A CX T=()0>X AC C X T T , 即A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的实可逆矩阵T , 都有AT T T 为正定矩阵.证明 必要性,首先()TT ATT AT T T =, 对任意的1⨯∈n R X ,0≠X ,由秩T n =, 知,0≠TX 而A 为正定矩阵, 故()()(),0>=TX A TX X AT T X TT T即 AT T T 为正定矩阵.充分性,AT T T 正定, 则对任意的1⨯∈n R X , 0≠X , 由秩T n =,知,0≠TX 并且 ()()TX A TX T=()0>X AT T X T T , 即A 为正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在正定矩阵B ,使2B A =. 证明 必要性, 设A 的全部特征值为n λλλ,,,21 全大于0，由引理3得 ()121,,,-=T Tdiag A n λλλ=()],,,[121-T Tdiag n λλλ ()],,,[121-T Tdiag n λλλ =2B ，其中 =B ()],,,[121-TTdiag nλλλ .因为B 为实对称矩阵，且特征值0>i λ(),,,2,1n i = 所以B 为正定矩阵.充分性, 由于B 为正定矩阵, 使2B A =，则B 为实对称可逆矩阵，且有 2B A =B B T =EB B T =，即A 合同与E .再由定理5得A 为正定矩阵.定理12 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.证明 必要性,A 是实对称正定矩阵，则存在实可逆矩阵P 使得 EP P A T =P P T =, 其中E 为n 阶单位矩阵.充分性, 因为存在实可逆矩阵P , 使得P P A T =,并且P P A T =EP P T =, 其中E 为n 阶单位矩阵. 即实对称矩阵A 合同与E ，所以A 为正定矩阵.定理13 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在实列满秩矩阵n m Q ⨯, 使Q Q A T =.证明 必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵P , 使得 P P A T =()()n m n T nn P -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n P 0. 令 =Q ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n P 0, 则 Q Q A T=, 其中Q 为n m ⨯列满秩矩阵.充分性,n m Q ⨯为实列满秩矩阵,则Q Q T 为n 阶可逆矩阵,故对任意的1⨯∈n R X ,0≠X , 由秩Q m =, 知,0≠QX 并且=AX X T QX Q X T T ()()QX QX T=,0>即A 为正定矩阵.定理14 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ，使得R R A T =.证明 必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =. 又由引理4知,存在矩阵Q 和P 使得 QR P =, 其中Q 为n 阶正交矩阵,R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵, 从而P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性, 因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ，使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 由定理12即可证A 是正定矩阵.定理15 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,U U A T =.证明 类似于定理14.定理16 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充要条件是1A 和21123A A A A T --为正定矩阵.证明 当1A 可逆时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T ()2 必要性, 若A 正定，那么1A 也正定，11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E T 0211，则T 可逆，所以AT T T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112310A A A A AT 为正定矩阵，因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T --为正定矩阵.充分性, 由1A 和21123A A A A T--为正定矩阵.且两个正定矩阵的和也是正定矩阵知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112310A A A A AT 为正定矩阵. 再由()2式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TT 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-T ，即A 为正定矩阵.定理17 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的正惯性指数等于A 的维数n .证明 由引理1和定义2显然可证.定理18 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在正交向量组,,,,21n ααα 使.2211Tn n T T A αααααα+++=证明必要性,A 是正定矩阵,则由引理3可知,存在正定矩阵,U 使 ()U diag U A n T λλλ,,,21 =,()Tn U βββ,,,21 =,令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =，为正交向量组, 即得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,T n n T T A αααααα+++= 2211=[]T n TT ααα 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n ααα 21 U U T = （U 为正交矩阵）, 显然A 是正定矩阵.3 实正定矩阵的重要结论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外, 还有一些很重要的结论,下面给出详细内容及其证明. ()1 若A 是n 阶实对称正定矩阵, 则0>A .证明 设A 是一正定矩阵,因为A 与单位矩阵合同,所以有实可逆矩阵C 使 C C EC C A T T ==. 两边取行列式, 就有02>==C C C A T.()2 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明 因为A 是实对称正定矩阵, 则0>A , 所以A 可逆. 又因为 ()(),111---==A A A T T所以1-A 也是实对称矩阵.设A 定特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ, 但1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =, 即1-A 为正定矩阵.()3 若A 是n 阶实对称正定矩阵, 则*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明 已知*A =,1n n R A A ⨯-∈ 且()(),***==A A A T T又A 是正定矩阵, 所以0>A .设A 的特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ,于是*A 的n 个特征值为11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零, 即*A 也是正定矩阵.()4 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则k A （k 是正整数）也是正定矩阵.证明 设A 的全部特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ,则k A 对全部特征值为,,,,21knk k λλλ 也都大于零, 即k A 也是正定矩阵. ()5 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则必有nn a a a ,,,2211 都大于零,即主对角线上的元素都大于零.证明 根据定义1和定义2可知，对任意的1⨯∈n R X ,且0≠X 有0>AX X T ,故依次令,100,,001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= X可得,011>a ,022>a , ,0>nn a 即证主对角线上的元素都大于零.()6 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则存在实数,a 使得A aE -是正定矩阵. 证明 设A 的全部特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ, 则A aE -的特征值为 .,,1n a a λλ--令 {}1,,2,1,max +==n i a i λ, 则有()n i a i ,,2,10 =>-λ从而A aE -是正定矩阵, 即证存在实数a 使得A aE -是正定矩阵.()7 若A 是n 阶实对称矩阵,E 为n 阶单位矩阵, 证明:存在正数ε,是得A E ε+为正定矩阵.证明 可证A E ε+为实对称矩阵, 且存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T AT T λλ 1, 其中n λλλ,,,21 为A 的全部特征值,令 {}n λλλλ,,,max 210 =.不妨设0λ0>（因为,若0λ0=,则01===n λλ ,0=A ,结论已证）. 再令 110+=λε, 那么110<+λλi ()n i ,,2,1 =.所以 ()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=-110011λλλλεn T A T⇒()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=+-11110011λλλλεn T A E T ，其中0110>++λλi ()n i ,,2,1 =, 故A E ε+为正定矩阵.()8 若B A ,都是n 阶实对称矩阵,A 是正定矩阵, 证明: 存在实可逆矩阵T , 使得AT T T 与BT T T 同时为对角形.证明 由于A 是正定矩阵,则A 合同与单位矩阵E ,即存在实可逆矩阵,P 使得 E AP P T =.而且BP P T 仍为实对称矩阵, 从而存在正交矩阵,Q 使得(),1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T Q BP P Q λλ 其中n λλλ,,,21 是BP P T 对特征值.令 PQ T =,则AT T T ()()()E Q AP P Q PQ A PQ T T T===,=BT T T ()()()===Q BP P Q PQ B PQ T T T ,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ其中E 为n 阶单位矩阵.()9 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,证明 .B A B A +>+证明 由于A 是正定矩阵,则A 合同与单位矩阵E ,即存在实可逆矩阵,P 使得 E AP P T =.而且BP P T 仍为实对称正定矩阵, 从而存在正交矩阵,Q 使得(),1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T Q BP P Q λλ 其中n λλλ,,,21 都大于零是BP P T 对特征值.令 PQ T =, 则 AT T T ()()()E Q AP P Q PQ A PQ T T T===,其中E 为n 阶单位矩阵,=BT T T ()()()===Q BP P Q PQ B PQ T T T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ 1, ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+n T T B A T λλ111 , 有 ()()()n T B A λλλ+++=+111212.又知 12=P A ,n P B λλ 12=. 而PQ T =,其中Q 为正交矩阵, 则1±=Q , 且2222P Q P T ==.所以 ()()()n P B A λλλ+++=+111212n λλλ 211+≥,而 []n P B A λλλ 2121+=+, 即证 B A B A +>+.()10 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,则B A +也正定.证明 B A ,都是n 阶实对称正定矩阵, 则()B A B A T +=+, 且对任意的1⨯∈n R X ,0≠X 有()0>+=+BX X AX X X B A X T T T , 所以B A +也正定.()11 若A 是n 阶实对称正定矩阵,证明:nn a a a A 2211≤, 其中()n i a ii ,,2,1 =为A 的主对角元素.证明 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A A αα1, 其中1A 为A 的1-n 阶顺序主子阵, ()n n n n T a a a ,121,,,-= α因为A 正定, 所以1A 正定,11-A 存在,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10111A E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn Ta A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1111αA E n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-αα11100A a A T nn ,两边取行列式得()αα111--=A a A A T nn .因为1A 正定, 所以11-A 正定,011≥-ααA T ,01>A , 则由上式可得 nn a A A 1≤.同理1,121--≤n n a A A , 其中2A 为A 的2-n 阶顺序主子阵, 这样继续下去,可得 nn a A A 1≤nn n n a a A 1,12--≤≤≤ nn a a a 2211.()12 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,证明:AB 的特征值均大于零.证明 由于A 是正定矩阵, 则A 合同与单位矩阵E , 即存在实可逆矩阵,P 使得 E PAP T =.()()()11111-----==P B P BP P PAP PABP TTT .因为B 为正定矩阵, ()()11--P B P T也正定, 从而它的特征值全大于零. 再由上式可知AB 与()()11--P B P T相似, 所以它们有相同的特征值, 因此AB 的特征值均大于零.()13 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵, 且BA AB =, 证明AB 为正定矩阵. 证明 见参考文献[]7第273271-页.参考文献[1] Pullman NP. Matrix Theory and its Applications[M]，Academic Press,1976. [2] COM PA. Principles and Practice of Mathematics[M]，SpringerVerlag,Berlin Heidelberg,1998.[3] Johnson CR. Positive definite matrices[J]，AmerMathMothly ,1970.[4] 胡跃进. 广义正定矩阵的一个不等式[J]，阜阳师范学院学报（自然科学版），2001. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数（第三版）[M]，北京:高等教 育出版社，2003.[6] 张禾瑞,郝镔新. 高等代数（第三版）[M]，北京:高等教育出版社，1983. [7] 钱吉林. 高等代数解题精粹（修订版）[M]，北京:中央民族大学出版社,2002.。
正定矩阵的判定方法
正定矩阵的判定方法
正定矩阵的判定方法有以下几种：
1. 定义判定法：对于一个n阶对称矩阵A，如果对于任意非零的n维向量x，都有x^T * A * x > 0，则称A为正定矩阵。
2. 特征值判定法：对于一个n阶对称矩阵A，如果它的所有特征值都大于零，则称A为正定矩阵。
3. 主子式法：对于一个n阶对称矩阵A，如果它的所有主子式都大于零，则称A为正定矩阵。
主子式是指A的任意一个顺序主子矩阵的行列式，顺序主子矩阵是指选择A的前k行和前k列所得到的矩阵。
这些方法可以单独使用，或者结合使用来判定一个矩阵是否是正定矩阵。
二阶矩阵正定的判别方法
二阶矩阵正定的判别方法矩阵是线性代数中的重要概念，在许多领域都有广泛应用。
其中，二阶矩阵正定是一个很常见的概念，它可以应用于优化、信号处理、机器学习等领域。
那么，如何判断一个二阶矩阵是否正定呢？下面介绍两种方法：方法一：特征值法设矩阵$A=begin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}$，其特征值为$lambda_1$和$lambda_2$。
若$lambda_1>0$，$lambda_2>0$，则矩阵$A$正定。
若$lambda_1<0$，$lambda_2<0$，则矩阵$A$负定。
若$lambda_1lambda_2<0$，则矩阵$A$不定。
若$lambda_1=0$，$lambda_2>0$或$lambda_1>0$，$lambda_2=0$，则矩阵$A$半正定。
若$lambda_1=0$，$lambda_2<0$或$lambda_1<0$，$lambda_2=0$，则矩阵$A$半负定。
方法二：行列式法设矩阵$A=begin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}$，则有$det(A)=ad-bc$。
若$det(A)>0$，且$a>0$，则矩阵$A$正定。
若$det(A)>0$，且$a<0$，则矩阵$A$负定。
若$det(A)<0$，则矩阵$A$不定。
若$det(A)=0$，则需要进一步讨论，可以利用特征值法进行判断。
需要注意的是，以上两种方法只适用于二阶矩阵，对于更高阶的矩阵，需要利用特征值和正定性的定义进行判别。
综上所述，二阶矩阵正定的判别方法有特征值法和行列式法。
这些方法在实际应用中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和利用矩阵的性质。
关于正定矩阵的性质及应用的研究
，得证。
性质3 、 是正定矩阵，则 证明： 、 是正定矩阵，所以
是实对称矩阵。
对任意的 维列向量 ，
，
，其中 ，因 是任意的，所以
也是正定矩阵。
，
，有
学术研讨 135
，
，所以，
也是正定矩阵，得证。
性质4 是正定矩阵，则
、 、 也是正定矩
阵。
证明： 是正定矩阵，故
，，
， 是实对称矩阵。
若 是 的特征值，则 是 的特征值。由
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◇朔州师范高等专科学校 董改芳
关于正定矩阵的性质及应用的研究
2019 年 第 6 期
正定矩阵是高等代数矩阵理论中非常重要的内容，本文给出了正定矩阵的一些性 质和判定方法，并在实例中得到了正定矩阵的一些应用。
二次齐次多项式在数学的其它分支、物理以及力学中常常用到，是一类非常重要的多
项式。二次型是数域上的二次齐次多项式，在讨论二次型时，我们把二次型
采用钛酸四丁酯和四氯化钛为钛源可以将TiO2负载在玄武岩纤维 表面，但结合XRD分析，负载型的TiO2可能呈高度分散状态或 者无定形态存在。
4 结论 本文分别以钛酸四丁酯和四氯化钛为钛源，采用湿法化学 发在玄武岩纤维表面负载一层TiO2，采用X射线衍射仪和金相分 析仪对TiO2的负载情况进行初步的探索。实验结果表明，TiO2在 玄武岩纤维表面负载均匀，并且以无定形或者高分散状态存 在。
【参考文献】 [1] 胡显奇, 申屠年. 连续玄武岩纤维在军工及民用领域的应 用[J]. 高科技纤维与应用, 2005, 30(6): 7-13 [2] 曹海琳, 郎海军, 孟松鹤. 连续玄武岩纤维结构与性能试 验研究[J]. 高科技纤维与应用, 2007, 32(5): 8-13 [3] 姚勇, 徐鹏, 刘静, 等. 国内外玄武岩纤维耐腐蚀性能对比 研究[J]. 合成纤维工业, 2015, 38(5): 9 [4] Sim J, Park C. Characteristics of basalt fiber as a strengthening material for concrete structures[J]. Composites Part B: Engineering, 2005, 36(6): 504-512 [5] 王广健, 尚德库, 胡琳娜, 等. 玄武岩纤维的表面修饰及生 态环境复合过滤材料的制备与性能研究[J]. 复合材料学报, 2004, 21(1): 38-44 [6] 董丽茜, 陈进富, 郭春梅,等. 玄武岩纤维在环保领域的应 用研究现状及展望[J]. 当代化工, 2018(2) [7] 余娟, 周蓉, 邢建民. 耐高温针刺毡脱硝催化剂负载预处 理工艺探讨[J]. 山东纺织科技, 2018, 59(2): 1-5 [8] 耐高温玄武岩覆膜滤料的制备与性能的研究[D]. 浙江理 工大学, 2013 [9] 强降解VOC纳米TiO2光催化剂的制备及机理研究[D]. 华 中科技大学, 2015 基 金 项目：1、国家级大学生创新创业训练计划项目 （201810649050）；2、乐山师范学院引进教师科研启动项目 （Z16024）；3、乐山市科技重点研究项目（17GZD051）。 通讯作者：徐要辉，男，工学博士，乐山师范学院讲师， 主要从事功能材料的研究。
对称正定矩阵判定
对称正定矩阵判定
对称正定矩阵是线性代数中非常重要的概念之一。
它是一个方阵，满足两个条件：首先，它是对称的，也就是说，矩阵的转置和矩阵本身是相等的；其次，它是正定的，也就是说，对于任意非零向量v，v的转置与矩阵相乘后的结果v'Av都大于零。
对称正定矩阵在许多领域都有广泛的应用。
在数值计算中，它们可以用来解决线性方程组和最小二乘问题。
在优化问题中，它们可以用来求解最大值和最小值。
在统计学中，它们可以用来估计参数和计算置信区间。
判断一个矩阵是否为对称正定矩阵有多种方法。
其中一种方法是通过计算矩阵的特征值来判断。
如果矩阵的所有特征值都大于零，那么它就是正定的。
另一种方法是通过计算矩阵的主子式来判断。
如果矩阵的所有主子式都大于零，那么它就是正定的。
除了判断对称正定矩阵外，我们还可以对其进行一些运算。
例如，可以对其进行矩阵乘法、矩阵加法和矩阵的转置等运算。
这些运算可以帮助我们解决各种实际问题。
对称正定矩阵在数学和应用领域都有重要的地位。
它们不仅是理论的基础，也是解决实际问题的工具。
无论是在科学研究还是工程应用中，对称正定矩阵都发挥着重要的作用。
因此，掌握对称正定矩阵的性质和判断方法是非常有必要的。
矩阵正定和半正定判定方法
矩阵正定和半正定判定方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊矩阵正定和半正定的判定方法，这可有意思啦！
你看啊，矩阵就像是一个神秘的大盒子，里面装着各种数字的秘密。
而正定和半正定呢，就像是给这个盒子贴上的特殊标签。
想象一下，正定矩阵就像是一个永远充满正能量的小太阳，闪闪发光，温暖又可靠。
怎么判断它是不是正定矩阵呢？那就得看看它是不是对所有非零向量都能散发出温暖的“能量”，也就是对应的二次型是不是恒大于零。
这就好比，不管你从哪个方向去靠近这个小太阳，都能感受到它的热情和积极。
那半正定矩阵呢，就像是一个有点害羞的小暖炉，虽然没有小太阳那么耀眼，但也能带来温暖呀。
它对应的二次型是大于等于零的哦。
要判断矩阵是不是正定或半正定，咱有好些办法呢。
比如说，看看它的所有主子式是不是都大于零，这就像是检查这个神秘盒子的各个小格子是不是都装满了正能量。
再比如，通过特征值来判断，特征值都大于零那就是正定啦，都大于等于零那就是半正定咯，这就像通过了解小太阳内部的光芒强度来确定它的性质一样。
咱可别小瞧了这些判定方法，它们在好多地方都大有用处呢！就像你要盖一座坚固的房子，就得先搞清楚建筑材料的质量好不好。
在数学和其他领域里，这些判定能帮我们解决好多难题，让我们的思路更加清晰明了。
所以啊，朋友们，一定要好好掌握矩阵正定和半正定的判定方法呀！这可是打开数学神秘大门的一把重要钥匙呢！别觉得它难，只要咱用心去琢磨，就一定能搞明白。
加油吧，让我们一起在数学的海洋里畅游，去探索更多的奇妙之处！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
正定矩阵的判定和应用
正定矩阵的判定和应用太原师范学院张彤【内容摘要】正定矩阵是线性代数中的一种重要理论,自有其独特的地位,同时,正定矩阵在高等数学等领域乃至实际生活中都具有十分重要的应用,因此,针对正定矩阵的研究也是许多学者共同关注的问题。
其中,针对正定矩阵的性质、特征,以及其判定方法,历来收到了诸多讨论,本文在前人的基础上,对正定矩阵的性质等进行了一定的总结和讨论,同时,从不同角度介绍正定矩阵的一些初步应用。
正定矩阵,也可简称为正定阵,其在线性代数中占据十分重要的地位,同时,无论是在矩阵理论的讨论方面,还是在数学的其它分支方面,甚至在实际的应用层面,正定矩阵都具有特殊的作用以及独特的重要性。
【关键词】正定矩阵判定特征值正定二次型引言二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题,正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位,在计算数学,数学物理以及优化控制理论中都得到了广泛的应用。
本文分别在第二部分总结了正定矩阵的判定方法,第三部分从不同角度介绍了正定矩阵一些应用。
一、定义n阶实对称矩阵称A为正定矩阵,如果对于任意n的维实非零列向量X,都有X T AX>0。
正定的实对称矩阵A简称为正定矩阵,记作A>0。
二、判定1.定义判定定义1对于实对称矩阵A=(a y),(其中a y∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X T AX>0,则称A是正定矩阵.定义2对于复对称矩阵A=(a y),(其中a y∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X*AX>0,则称A是正定矩阵.2.定理判定定理1n阶实对称矩阵A正定,当且仅当实二次f(x1,x2,…x n)=X T AX的正惯性指数为n.定理2实对角d1d2d n⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐···矩阵正定的充分必要条件是d1>0,(i=1,2,…,n).定理3实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n.定理4实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…x n,)=X T AX的系数矩阵A的所有特征值都是正数,即大于零.定理5实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A=C T C.定理6实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零.定理7A是正定矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵Q,使A=Q T Q.定理8A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组a1,a2,……a n使A=a1a1T+a2a2T+…a n a n T.推论1正定矩阵的和仍是正定矩阵.推论2实正定矩阵的行列式大于零.推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4正定矩阵A的逆矩阵A-1一定是正定矩阵.推论5正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.推论6设A,B均为n阶正定矩阵,且AB=BA,则AB正定.推论7若A是正定矩阵,则A*也是正定的(其中A*表示A 的伴随矩阵).推论8若A,B都是n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,则存在-n阶实可逆矩阵P使P T AP与P T BP同时为对角形.推论9若A是实对称的正定矩阵,则存在a>0,b>0,c>0,使aE+A,E+bA.cE-A均是正定矩阵.推论10已知A是n阶正定矩阵,则A k(k是正整数)也是正定矩阵.推论11若A是n阶实对称正定矩阵,则必有a11>0,a22>0,…,a nn>0.小结:正定矩阵的判定在矩阵理论中占有重要的地位,因此,对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面,或是实际应用方面都有重要的意义。
正定矩阵性质
正定矩阵性质正定矩阵的性质：正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；若a是正定矩阵，则a的逆矩阵也是正定矩阵等等。
在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
（1）正定矩阵的行列式恒为也已；（2）实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；（3）若a就是正定矩阵，则a的逆矩阵也就是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积就是正定矩阵。
判定的方法：根据正定矩阵的定义及性质，辨别等距矩阵a的也已定性存有两种方法：1、求出a的所有特征值。
若a的特征值均为正数，则a是正定的；若a的特征值均为负数，则a为负定的。
2、排序a的各阶主子式。
若a的各阶主子式均大于零，则a就是正定的；若a的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则a为奇函数的。
对于n阶实对称矩阵a，下列条件是等价的：（1）a就是正定矩阵；（2）a的一切顺序主子式均为正；（3）a的一切主子式均为也已；（4）a的特征值均为正；（5）存有实对称矩阵c，并使a=c′c；（6）存在秩为n的m×n实矩阵b，使a=b′b；（7）存有主对角线元素全为正的实三角矩阵r，并使a=r′r矩阵是数学中一个重要的基本概念是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要是通过特征值单位矩阵。
正定矩阵的充分必要条件(一)
正定矩阵的充分必要条件(一)正定矩阵的充分必要条件1. 引言正定矩阵在数学和工程领域中具有广泛的应用。
了解正定矩阵的充分必要条件对于解决相关问题非常重要。
本文将讨论正定矩阵的定义以及其充分必要条件。
2. 正定矩阵的定义正定矩阵是指对称矩阵中的所有特征值都大于零的矩阵。
换句话说，设A是一个对称矩阵，若对于任意非零向量x，都有x^T A x>0，则称矩阵A为正定矩阵。
3. 充分必要条件正定矩阵的充分必要条件可以从两个方面进行论述。
3.1 正定矩阵的充分条件一个对称矩阵A是正定矩阵的充分条件是它的所有顺序主子式都大于零。
顺序主子式是指选取A的前k行和前k列所得到的子矩阵的行列式，其中k为1到n，n为A的阶数。
3.2 正定矩阵的必要条件一个对称矩阵A是正定矩阵的必要条件是它的所有特征值都大于零。
4. 应用举例正定矩阵在实际应用中有许多重要的应用。
以下是一些典型的应用举例：•优化问题中的约束条件：正定矩阵被广泛应用于线性规划、二次规划等优化问题中的约束条件，保证问题的可行性和收敛性。
•物理系统的稳定性：正定矩阵可以用来描述物理系统的稳定性，例如热传导方程中的稳定性条件。
•信号处理：正定矩阵在信号处理领域中有重要的应用，例如协方差矩阵用于描述信号的相互关系。
5. 结论正定矩阵的充分必要条件主要包括顺序主子式都大于零和所有特征值都大于零。
了解这些条件对于解决相关问题非常重要。
正定矩阵在优化问题、物理系统稳定性和信号处理等领域有广泛的应用。
通过深入研究正定矩阵的性质，我们可以更好地理解和应用它们。
继续:6. 证明下面我们来证明正定矩阵的充分必要条件。
6.1 正定矩阵的充分条件的证明假设一个对称矩阵A的所有顺序主子式都大于零，我们需要证明A是正定矩阵。
首先，对于任意非零向量x，设y=A(-1/2)x。
则有x=y^T A(1/2)A^(1/2)y=y^T A y。
由于A(1/2)是对称正定矩阵的平方根，所以A(1/2)的逆矩阵A^(-1/2)也是对称正定的。
第6.3节_正定矩阵
第6.3节_正定矩阵微积分线性代数一、基本概念定义设A 为实对称矩阵，相应实二次型f ( x) = xT Ax, 为实对称矩阵，对任意非零向量x = ( x1 , x2 ,L, xn )T (≠ O), 若恒有f ( x) 0,正定二次型，称为正定矩阵正定矩阵. 则称f (x) 是正定二次型，A 称为正定矩阵.负定二次型，注：(1)若恒有f ( x ) 0 ,则称f (x) 是负定二次型，(1)若恒有A 称为负定矩阵；称为负定矩阵负定矩阵；半正定二次型，(2)若恒有 f ( x ) ≥ 0 ,则称 f (x) 是半正定二次型，A称为半正定矩阵；称为半正定矩阵；半正定矩阵半负定二次型，(3)若恒有f ( x ) ≤ 0 ,则称f (x) 是半负定二次型，A 称为半负定矩阵. 称为半负定矩阵半负定矩阵.(4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. (4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. 如果二次型的取值有正有负不定二次型2微积分线性代数二、正定矩阵、正定二次型的判别正定矩阵、由定义，可得以下两个结论：由定义，可得以下两个结论：( 1)二次型 f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 + L+ dn yn2 2 2正定的充分必要条件是d i 0 .充分性是显然的；下面用反证法证必要性：充分性是显然的；下面用反证法证必要性：假设某个d k ≤ 0 , yk = 1 ,其余y j = 0 ( j ≠ k ) , 取代入二次型，代入二次型，得 f ( 0, L ,1, L ,0) = d k ≤ 0 ,与二次型f ( y1 , y2 ,L, yn ) 正定矛盾. 正定矛盾.3微积分线性代数(1)二次型f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn 正定2 2 2的充分必要条件是d i 0 .若正定，(2) 二次型x Ax 若正定，经过可逆线性替换x = Cy ,T其正定性保持不变. 化为y ( C AC ) y ,其正定性保持不变.TT是可逆矩阵，这是因为C 是可逆矩阵，只要y ≠ o ,就有x ≠ o ,于是xT Ax 0 , 即y ( C AC ) y 0 .T T由替换的可逆性，正定，由替换的可逆性，若y ( C AC ) y 正定，也可推出正定. x Ax 正定.TTT由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性替将其化为标准形，要通过非退化线性替换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性. 以下定理判别其正定性.4微积分线性代数定理n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是它元实二次型系数全都大于零, 的标准形的n 个系数全都大于零,即 2 2 2 f = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn ,且di 0 . 推论1 元实二次型推论n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于它的正惯性指数等于n..推论2 元实二次型推论n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是 2 2 2 它的规范为它的规范为 f = z1 + z2 + L+ zn . 准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A的特准则实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正全为正. 征值全为正.5微积分线性代数例1 判别二次型2 2 2 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 x 2 2 x 2 x 3是否正定. 是否正定解二次型对应的矩阵为1 1 0 A = 12 1 , 0 1 3λ 1|λE A|= 1 01 0 λ2 1 1 λ 3微积分线性代数λ 1|λE A|= 1 01 0 λ2 1 1 λ 3λ 2 1 0 c1 c2 c3 2 λ λ 2 1 = (λ 2)(λ2 4λ + 1) , 2 λ 1 λ 3求得A 的特征值为2, 2 ± 3 ,全为正，因此二次型正定. 全为正，因此二次型正定.7 微积分线性代数定义设A = (aij ) nn , A的k 阶顺序主子式的是指行列式a11 a 21 | Ak | = L ak 1 a12 a 22 L ak 2 L a1 k L a2k , k = 1,2, L , n. L L L a kk准则2 准则n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的顺序主子式全大于零. 的顺序主子式全大于零.证略. 证略.8微积分线性代数例2 判别二次型2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 5 x 3 + 4 x1 x 2 4 x 1 x 3 2 x 2 x 3是否正定. 是否正定解二次型对应的矩阵为它的顺序主子式为：它的顺序主子式为：2 2 5 A= 2 5 1 , 2 1 5| A1 | = 5 0 ,5 2 | A2 | = = 21 0 , 2 52是正定的，因此A是正定的，是正定的正定. 即二次型 f 正定.92 | A3 | = 2 5 1 = 88 0 , 2 1 5 5微积分线性代数例3 设有实二次型2 2 f = x12 + 4 x 2 + 4 x 3 + tx1 x 2 2 x1 x 3 + 4 x 2 x 3取何值时，该二次型为正定二次型？问t 取何值时，该二次型为正定二次型？t 1 1 2 解t 4 2 , f 的矩阵为A = 2 1 2 4 1 顺序主子式为：顺序主子式为：| A1 | = 1 0 , | A | = 2 t | A3 | = | A | = ( t 2)( t + 4) 0 , 2 解得 4 t 2 .t 2 = 4 1 t2 0 , 4 410微积分线性代数三、正定矩阵的性质正定矩阵矩阵，的行列式为正因而可逆. 为正， 1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.因| A | = λ1λ 2 L λ n 0.都是正定阵, 正定矩阵矩阵, 2.若A 为正定矩阵,则AT , A 1 , A , A k 都是正定阵, 其中k 为正整数. 为正整数. 这是因为：这是因为：有相同的特征值；矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值；1 | A| k k ; λ(A ) = λ(A ) = ; λ ( A ) = [λ ( A)] . λ ( A) λ ( A) 111微积分线性代数正定矩阵矩阵，的主对角元全为正. 3.若A 为正定矩阵，则A 的主对角元全为正.T 因为 f ( x ) = x Ax = 证∑∑ai =1 j = 1nnij正定，x i x j 正定，取x ( i ) = ( 0 ,L ,1 ,L ,0 ) ,则有Tf ( x( i ) ) = aii 0, (i = 0,1,L.n ) .正定矩阵矩阵，也为正定4.若A 和B 为正定矩阵，则A+B ,hA(h0)也为正定也为矩阵. 矩阵. 对任意非零向量x 证对任意非零向量，有T x ( A + B ) x = x T Ax + x T Bx xT ( hA ) x = hx T Ax 0.12微积分线性代数5.实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P, 逆矩阵，使得 A = P T P . 实际上，实际上，正定二次型的规范形为2 2 2 z1 + z 2 + L + z n , 即A正定的充分必要条件是合同于单位矩阵，正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵正定的充分必要条件是合同于单位矩阵E 即存在可逆矩阵P 即存在可逆矩阵，使A = P T EP = P T P .微积分线性代数6.设矩阵，6.设A 为m × n 矩阵，A 的秩r ( A) = n , A A 为且则正定矩阵. 正定矩阵.T证因为( A A) = A A , 故A A 是n 阶对称矩阵. 阶对称矩阵.T TTT仅有零解，又r ( A) = n ,可知齐次线性方程组Ax = o 仅有零解，所以对任意x ≠ o ,必有Ax ≠ o , 于是x T ( AT A ) x = ( Ax )T ( Ax ) 0 ,为正定二次型，即二次型x ( A A ) x 为正定二次型，即矩阵TTAT A 为正定矩阵. 为正定矩阵.14微积分线性代数类似结论有：类似结论有：阶可逆矩阵, 为正定矩阵. 设A 为n 阶可逆矩阵,则 A A, AA 为正定矩阵.T T阶正定矩阵, 设A 为n 阶正定矩阵,P 为n× m 矩阵,且r(P) = mn , × 矩阵, 为正定矩阵. 则P AP为正定矩阵.T显然，是负定是负定( 的当且仅当- 是正显然，A是负定(半负定)的当且仅当-A是正半正定) 由此，容易得出以下结论：定(半正定)的.由此，容易得出以下结论：半正定的充分必要条件是的特征值非(1)A半正定的充分必要条件是的特征值非负；半正定的充分必要条件是A的特征值微积分线性代数显然，是负定是负定( 的当且仅当- 是正定显然，A是负定(半负定)的当且仅当-A是正定半正定) 由此，容易得出以下结论：(半正定)的.由此，容易得出以下结论：半正定的充分必要条件是的特征值非(1)A半正定的充分必要条件是的特征值非负；半正定的充分必要条件是A的特征值负定的充分必要条件是A的特征值全负(2)A负定的充分必要条件是的特征值全负；负定的充分必要条件是的特征值全负；半负定的充分必要条件是A的特征值非正(3)A半负定的充分必要条件是的特征值非正；半负定的充分必要条件是的特征值非正；(4)A负定的充分必要条件是的奇数阶顺序主子负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子负定的充分必要条件是式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；负定，的对角元全为负. (5)若A负定，则A的对角元全为负. 负定的对角元全为负注意: .最后一条只是必要条件. 注意: 1.最后一条只是必要条件. 2.A的顺序主子式全非负,A也未必是半正定的. . 的顺序主子式全非负也未必是半正定的顺序主子式全非也未必是半正定的16微积分线性代数* 例4设矩阵1 1 0 A = 1 1 0 , 0 0 1 显然A的显然的顺序主子式| A1 | = 1 0 , | A2 | =1 11 1= 0 , | A3 | = 1 1 0 = 0 , 1 1 0 0 1但对角元有正有负，显然是不定的是不定的. 但对角元有正有负，显然A是不定的.17微积分线性代数*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 32 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 +3 x 34 x 1 x 2 4 x 2 x 3解(1) f 的矩阵为1 2 1 A= 1 6 0 , 1 0 4 顺序主子式2 1 = 11 0 , | A | = 38 0 , 20, 1 6 是负定的. 所以f 是负定的.18微积分线性代数*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 32 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 +3 x 34 x 1 x 2 4 x 2 x 3解(2) f 的矩阵为1 2 0 A = 2 2 2 , 0 2 3 顺序主子式1 2 1 0, = 2 0 , 2 2 定的. 所以f 是不定的.19。
hessian矩阵正定的判别条件
hessian矩阵正定的判别条件
Hessian矩阵是二阶导数矩阵，用于描述函数在临界点附近的二阶导数行为。
对于一个实二次型函数，其Hessian矩阵的正定性决定了该函数在临界点处的极值性质。
以下是Hessian矩阵正定的判别条件：
1. 顺序主子式：实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是各顺序主子式都大于零。
2. 特征值：矩阵的特征值全大于零，矩阵为正定。
另外，对于实对称矩阵，其必须是正定或半正定，即所有特征值都必须大于等于零。
如果实对称矩阵的所有特征值都大于零，则该矩阵为正定矩阵。
如果实对称矩阵存在零特征值，则该矩阵不为正定矩阵。
在使用海森矩阵判断实对称矩阵是否为正定时，需要注意海森矩阵必须是正定矩阵。
如果海森矩阵不是正定矩阵，则需要使用其他方法判断实对称矩阵是否为正定矩阵。
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正定矩阵的判定
正定矩阵的判定摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。
关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型The Determination Of The Positive Definite MatrixName:Zheng Shasha Student Number:200640501443Abstract : In view of the importance and the wide range of applications of positive definite matrix, this paper gives several equivalent conditions of the of the determintion positive definite matrix, also proves them one by one , and assist some typical examples.Key words : Positive definite matrix; Orthogonal matrix; determinant; Characteristic value; Positive definite quadratic form一、利用定义（一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有T X AX 0>。
正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。
例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则TP AP 也是正定矩阵。
证明：因为A 是实对称阵，故TP AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ，由于PX ≠0(P 是非奇阵),故()T T X P AP X 0>,即TP AP 是正定阵。
1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量X =12x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。
实二次型分类、正定矩阵
定理1 设A为正定矩阵,若A与B合同,则B也是 正定矩阵.
类似可以证明:
与负定矩阵合同的矩阵是负定矩阵.与半正定 (半负定)矩阵合同的矩阵是半正定(半负定)矩阵.
任一对称阵合同于对角阵,而对角阵的有定性
较易判别.
d1
定理2 对角阵D
d2
dn
为正定矩阵的充分必要条件是di 0, (i 1, 2,...,n)
定义2 具有对称阵A的二次型 f(X)=XTAX
x1
若对任何X
x
2
,
都有
XTAX≥0
(或≤0)
xn
且有X 0
x10
x
0 2
0,
使得X
T 0
AX
0
0
xn 0
则称二次型f(x)=xTAx为半正定(半负定)二次型
矩阵A称为半正定(半负定)矩阵.
例2 二次型f (x1, x2, x3) x12 2x1x2 4x1x3 x22 4x2x3 4x32
例3
f
(x1, x2 )
x12
2x
2 2
由 f(1,1)=-1 <0 f(2,1)=2 >0
故它是不定二次型.
若A与B合同,存在可逆阵C,使CTAC=B 若A是正定的,对任意Y≠0, 令X=CY,则X≠0, YTBY=YTCTACY=(CY)TACY=XTAX>0 故B也是正定的.即有合同关系保持正定型.
可写成 f(x1,x2,x3)=-(x1+x2-2x3)2 ≤0
而当 x1+x2-2x3=0时, f(x1,x2,x3)= 故 f(x1,x2,x3)是半负定0二次型.
1 1 2
对应矩阵
1
利用与单位阵合同判定正定矩阵例子
利用与单位阵合同判定正定矩阵例子
1. 你看啊，就说一个简单的例子，把单位阵乘以 2，得到的矩阵和某个矩阵合同，那这个矩阵它如果特征值都是正数，那不就是正定矩阵嘛，就好像一个人充满了正能量一样！
2. 想一想，要是有个矩阵和单位阵经过一些变化后合同了，然后发现它的主对角线上的元素都大于零，哎呀呀，这不就是正定矩阵嘛，就跟找到宝藏一样惊喜呀！
3. 来呀，假设存在一个矩阵，跟单位阵有着特殊的关系合同了，接着一研究，它的行列式值还特别大是正数，哇塞，它肯定就是正定矩阵呀，这不是很明显嘛！
4. 你知道吗，当一个矩阵和单位阵产生奇妙联系合同了，再看它每个元素都好像在闪闪发光，都是正数，那它不就是正定矩阵嘛，这不是一眼就能看出来嘛！
5. 嘿，要是有个矩阵悄悄地和单位阵达成了合同，一检查，它的所有子行列式都是正的，那不用想了呀，它肯定是正定矩阵呀，这多容易判断呀！
6. 看看这个，有个矩阵和单位阵建立了独特的合同关系，并且它的每个元素都好积极向上，都是正数哟，这不是正定矩阵还能是什么呢，这不是显而易见嘛！
7. 哇哦，当发现一个矩阵和单位阵特别合拍合同了，然后研究它发现处处透着正的气息，各项指标都符合正定矩阵的要求，这不是奇迹是什么呀！
8. 听好了哈，一个矩阵跟单位阵友好地合同了，接着发现它无论从哪个角度看都很正，那毫无疑问就是正定矩阵呀，难道还有别的可能吗？
结论就是：利用与单位阵合同来判定正定矩阵真的很有用也很有趣呀，能帮我们快速准确地识别正定矩阵呢！。
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正定矩阵的判定摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。
关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型一、利用定义（一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有T X AX 0>。
正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。
例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则TP AP 也是正定矩阵。
证明：因为A 是实对称阵，故TP AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ，由于PX ≠0(P 是非奇阵),故()T T X P AP X 0>,即TP AP 是正定阵。
1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量X =12x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。
2．实对角矩阵1n d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 是正定矩阵的充分而且必要条件是i d >0(i =1,2,n )。
3．实对称矩阵A 是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型'X AX 的秩与符号差都等于n 。
二、利用主子式（一）n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子式都大于0，则A 为正定矩阵。
证明：对n 作数学归纳法。
当1n =时，()21111f x a x =，由条件11a >0，显然有()1f x 是正定的。
假设该论断论断对1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形。
令111,111,11,1n n n n a a A a a ----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，11,n n n a a α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是矩阵A 可以分块写成1'nn A A a αα⎛⎫=⎪⎝⎭。
既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零。
由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n -级矩阵G 使'11n G AG E -=，这里1n E -代表1n -级矩阵。
令1001G C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是 '11C AC ='001G ⎛⎫⎪⎝⎭1'nn A a αα⎛⎫ ⎪⎝⎭001G ⎛⎫ ⎪⎝⎭='1'n nn E G G a αα-⎛⎫- ⎪⎝⎭再令'1201n E G C α-⎛⎫-=⎪⎝⎭,有 ''2112C C AC C =1'01n E G α-⎛⎫ ⎪-⎝⎭'1'n nn E G G a αα-⎛⎫- ⎪⎝⎭'11n E G α-⎛⎫- ⎪⎝⎭=1''00n E GG αα-⎛⎫⎪-⎝⎭令12C C C =, ''nn a GG a αα-=,有'C AC =11a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 两边取行列式，2CA =a 。
由条件，A >0，因此a >0。
显然11a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之A 是正定矩阵。
例2 判断二次型12111nn ii i i i f XX X -+===+∑∑是否正定。
解：二次型f 的矩阵为三角矩阵112112112112⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭A 的任意的k 阶顺序主子式()1102kk A k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以矩阵A 为正定矩阵，原二次型为正定二次型。
（二）n 阶实对称矩阵A 的一切主子式都大于0，则A 为正定矩阵。
证明：设k i A 是A 的一个k 阶主子矩阵, 由于k i A 的任意一个顺序主子式均为A 的一个主子式,所以它们都大于0。
所以为k i A 正定矩阵。
例3 证明若A 称为正定矩阵，则A 的一切主子式都大于0。
证明：(反证法)设A =()ij n n a ⨯是正定矩阵,若存在k 阶主子矩阵111212122212,0k k k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A A a a a =<则由于k i A 是阶实对称矩阵,由引理知存在k 阶正交矩阵使12(,,,)k Ti k A U diag u u u U = , 其中12,,,k u u u 为k i A 的特征值。
由于k i A <0，且k i A =12k u u u 知k i A 的特征值12,,,k u u u 中至少有一个小于0。
不失一般性,设1u <0，令T Y =()1,0,,0 U ,则Y ≠0且k T i Y A Y =1u <0，再令T X =12(,,,)n x x x ，当{}12,,,k i i i i ∈ 时，i i x y =；当i 为其他时，0i x =。
则X ≠0,且T X AX =k T i Y A Y =1u <0,这与A 为正定矩阵的假设矛盾。
（三）n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵，则A 为正定矩阵。
证明：由于A 的一切主子矩阵都是正定矩阵, A 也是它自身的一个主子矩阵,所以A 也是正定矩阵。
例4 t 取何值时，二次型22211213223322245f x x x x x x tx x x =+-+++是正定二次型。
解：二次型f 对应的矩阵为111122125A t t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，要使二次型f 正定，必须A 的各顺序主子式全大于零，即满足110d =>，21112d =10=>, 3111122125d A t t -==-=()24430t t -+->。
得到3122t -<<，所以当31,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，二次型f 为正定二次型。
三、利用标准型（一）A 合同于n 阶单位矩阵E ，则A 为正定矩阵。
证明：若A 合同于E ,则存在可逆矩阵B ,使得A=T B EB 。
任取X ≠0, BX Y ==()12,,Tn y y y ,则Y ≠0。
于是T T T T X AX X B EBX Y Y ===22212ny y y ++ >0， 故A 为正定矩阵。
例5 设A ,B 是n n ⨯实对称矩阵，A 是正定矩阵，证明：存在实可逆阵T ，使()'T A B T +为对角阵。
证明：由于A 是正定阵，从而合同于E ，即存在实可逆阵P ，使'P AP E =。
而'P BP 仍为是对称阵，从而存在正交阵Q ，使()''Q P BP Q =1n λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中1,,n λλ 是'P BP 的特征值，令T PQ =，则()'T A B T +=111n λλ+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭得证。
（二）若A 存在正定矩阵B ,使得A =2B ，则A 为正定矩阵。
证明：如果B 正定,使得A=2B ,则B 为对称可逆矩阵,且有A =2B =T B B =T B EB ,即A 合同于E ,所以A 正定。
（三）n 阶实对称矩阵A 的所有特征值都大于0，则A 为正定矩阵。
证明：设A 的全部特征值12,,,n λλλ 全大于零，由引理得A =11(,,,)n Tdiag T λλλ-1Tdiag T -⎡⎤⎣⎦1Tdiag T -⎡⎤⎣⎦=2B ,其中B=1Tdiag T -⎡⎤⎣⎦。
因为B>0，()1,2,,i n = ,所以B 为正定矩阵。
例6 试证二次型：()12,,n f x x x =221nii x=∑+12ni j i j nx x ≤<≤∑为正定二次型。
证明：设f 对应的矩阵为A ，则2111121111211112A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算可得E A λ-=()()111n n λλ----。
所以A 的特征值为111,1n n n λλλ-====+由于A 的特征值全为正，所以A 为正定阵，从而f 为正定二次型。
（四）A 半正定,且A ≠0，则A 为正定矩阵。
证明：设A 的特征值为1λ，2λ ，n λ，由A 半正定可知, i λ≥0，()1,2,,i n = ，所以A 正定。
例7 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，求证: A B A B +≥+，当且仅当0B =或n 1=时等号成立。
证明:由A 0>知，存在n 阶可逆矩阵P ，使得TP BP n E =，有()T T n P A B P E P BP +=+，T T n P A B P E P BP +=+又因为T P BP 显然是半正定的，设TP BP C ==()ij C ，则有T n E P BP +=11121212221211nnn n nnc c c c c c c c c ++=12121111n n n n n c c c c ---+++++其中i c 是C 的所有i 阶主子式之和，1,2,,i n = 。
因为0TC P BP =≥,它的主子式都非负，因此T n E P BP +≥1n +n c =n E +T P BP =T P AP +T P BP所以T P A B P +≥()TP A B P +由此得A B A B +≥+当0B =或1n =时显然A B A B +≥+成立；当0B ≠且1n >时易知T P BP C =0n n ⨯≠，于是至少有一个ij c ≠0，此时C 的一阶主子式ii c ，jj c 不能为零，否则00ijijc c =2ij c -0<，这与C 半正定矛盾。
于是1c 0>，进一步有Tn E P BP +1>n c +,从而A B A B +≥+成立。
（五）对任意可逆矩阵P , 都有TP AP 正定，则A 为正定矩阵。
证明：由TP AP 正定, P 为可逆矩阵,可得()()11TT A PP AP P --=,即A 与T P AP 合同，而合同不改变矩阵的正定性,所以A 为正定矩阵。
例8 如果A ,B 都是n 阶正定矩阵，证明：A B +也是正定矩阵。
证明：因为A ,B 为正定矩阵，所以'',X AX X BX 为正定二次型，且'X AX 0>，'X BX 0>,因此()'X A B X +='X AX +'X BX 0>于是()'X A B X +必为正定二次型，从而A B +为正定矩阵。
四、以下几个重要结论也常用来判定矩阵A 是正定的 （一）与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。
（二）正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。