正定矩阵的判定

正定矩阵的判定

摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。

关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型

一、利用定义

（一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有

T X AX 0>。正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。

例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则T

P AP 也是正定矩阵。

证明：因为A 是实对称阵，故T

P AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ，

由于PX ≠0(P 是非奇阵),故()

T T X P AP X 0>,即T

P AP 是正定阵。

1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量

X =12x x ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。

2．实对角矩阵1n d d ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭ 是正定矩阵的充分而且必要条件是i d >0(i =1,2,

n )。

3．实对称矩阵A 是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型'X AX 的秩与符号差都等

于n 。

二、利用主子式

（一）n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子式都大于0，则A 为正定矩阵。

证明：对n 作数学归纳法。当1n =时，()2

1111f x a x =，由条件11a >0，显然有

()1f x 是正定的。假设该论断论断对1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形。

令

111,111,11,1n n n n a a A a a ----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，11,n n n a a α-⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

于是矩阵A 可以分块写成1'

nn A A a αα

⎛⎫

=

⎪⎝⎭

。既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零。由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的

1n -级矩阵G 使'

1

1n G AG E -=，这里1n E -代表1n -级矩阵。令1001G C ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

,于是 '11C AC ='

00

1G ⎛⎫

⎪⎝⎭1'nn A a αα

⎛⎫ ⎪⎝⎭001G ⎛⎫ ⎪⎝⎭='1'

n nn E G G a αα-⎛⎫

- ⎪⎝⎭

再令'1

201n E G C α-⎛⎫

-=

⎪⎝⎭

,有 ''

2112C C AC C =1'01n E G α-⎛⎫ ⎪-⎝⎭'1'

n nn E G G a αα-⎛⎫- ⎪⎝⎭'1

1n E G α-⎛⎫

- ⎪⎝⎭

=1''00n E GG αα-⎛⎫

⎪-⎝⎭

令12C C C =, ''nn a GG a αα-=,有

'C AC =11a ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝

⎭ 两边取行列式，2

C

A =a 。由条件，A >0，因此a >0。显然

11

a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

=1

1⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎝

111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

1

1⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎝

这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之A 是正定矩阵。

例2 判断二次型1

211

1

n

n i

i i i i f X

X X -+===

+∑∑是否正定。

解：二次型f 的矩阵为三角矩阵

112112112112

⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

⎪

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

A 的任意的k 阶顺序主子式()1102k

k A k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭

，所以矩阵A 为正定矩阵，原二次型为正定二次型。

（二）n 阶实对称矩阵A 的一切主子式都大于0，则A 为正定矩阵。

证明：设k i A 是A 的一个k 阶主子矩阵, 由于k i A 的任意一个顺序主子式均为A 的一个主子式,所以它们都大于0。所以为k i A 正定矩阵。

例3 证明若A 称为正定矩阵，则A 的一切主子式都大于0。

证明：(反证法)设A =()ij n n a ⨯是正定矩阵,若存在k 阶主子矩阵

11

121212221

2

,0k k k k k k k k

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A A a a a =

<

则由于k i A 是阶实对称矩阵,由引理知存在k 阶正交矩阵使12(,,,)k T

i k A U diag u u u U = , 其中12,,,k u u u 为k i A 的特征值。由于k i A <0，且k i A =12k u u u 知k i A 的特征值

12,,,k u u u 中至少有一个小于0。不失一般性,设1u <0，令T Y =()1,0,,0 U ,则

Y ≠0且k T i Y A Y =1u <0，

再令

T X =12(,,,)n x x x ，

当{}12,,,k i i i i ∈ 时，i i x y =；当i 为其他时，0i x =。则

X ≠0,且T X AX =k T i Y A Y =1u <0,