九年级奥数培优 解直角三角形
初中数学《直角三角形》培优、拔高(奥数)专题讲义
初中数学《直角三角形》培优、拔高（奥数）专题讲义阅读与思考直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质： 角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：例题与求解【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________.（2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________.DC（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB的度数.B C（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.BA C（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：222+=BD AB BCBC（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】斯特瓦尔特定理：如图，设D 为△ABC 的边BC 上任意一点，a ，b ，c 为△ABC 三边长，则222b BDc DC AD BD DC a+=-⋅.请证明结论成立.B解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A 级1.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，则BC ＝_____________.第1题2.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE ＝1cm ，则AC ＝_____________cm.第2题3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝90°，则∠DAB ＝_____________.第3题ABC（上海市竞赛试题）4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，边BC 上的中线AD ＝6，则BC 的长为_____________.第4题D B（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D.不能确定（山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）B.C.D. 第6题CB（福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ）A. 15分米B. 9分米C. 8分米D. 5分米第7题8.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，AD ＝5，那么BCCD等于（ ） A.1 B. 2C.D.54第8题A9. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ.DC（北京市竞赛试题）10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC.（1）若P 是BC 边上中点，连结AP ，求证：22BP CP AB AP ⋅=-（2）P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB ，AP ，BP ，CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.BP11.如图，直线OB 是一次函数2y x =图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积.D（山西省中考试题）B 级1.若△ABC 的三边a,b,c 满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为_____________.2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 是△ABC 内的一点，PA ＝1，PB＝3，PC ，则∠CPA ＝_____________.第2题A3. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为_____________.4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ）A. CF ＞GBB. CF ＝GBC. CF ＜GBD. 无法确定第4题AB5. 在△ABC 中，∠B 是钝角，AB ＝6，CB ＝8，则AD 的范围是（ ） A. 8＜AC ＜10 B. 8＜AC ＜14 C. 2＜AC ＜14 D. 10＜AC ＜14（江苏省竞赛试题）6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个（浙江省竞赛试题）7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5，求△DEF 的面积.DBC（四川省联赛试题）8.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222EF BE CF =+B（江苏省竞赛试题）9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）10.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 面积.BC（天津市竞赛试题）11.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间数量关系，并说明理由.A C12.已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠MCN ＝45°. （1）如图1，当M ，N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕点C 旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.图1NAB M图2N BM（天津市中考试题）。
最新人教版九年级全一册数学培优课件第88课时 解直角三角形的应用(3)——坡度
解：（1）如答图28-88-1，过点A作AD⊥HB交HB的延长线于点D. 则∠ADB=90°. 由题意，得i=1∶ AB=40 m，
∴
即BD＝ AD.
又∵AB2=AD2+BD2，∴402＝AD2+( 解得AD=20（m）. 答：山坡的高度为20 m.
AD)2.
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（2）如答图28-88-1，过点A作AE⊥GH于点E. 又∵AD⊥BH，GH⊥BH， ∴四边形ADHE是矩形. 由题意可知∠GAE=30°，BH=60 m， ∵BD＝ AD＝20 (m)，∴AE＝DH＝BH+BD=60+20 在Rt△AGE中，tan∠GAE＝
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解：（1）在Rt△CBD中，sin∠CBD= ∴CD=BC·sin∠CBD≈10×0.21=2.1（m）. 答：坡高CD约为2.1 m.
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（2）在Rt△CBD中，cos∠CBD= ∴BD=BC·cos∠CBD≈10×0.98=9.8(m). 在Rt△CAD中，tan∠CAD=
∴AD=
为（ A ） A. 75 m
B. 50 m
C. 30 m
D. 12 m
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B组 7. 如图1-28-88-9，扶梯AB的坡比为1∶2，滑梯CD的坡比为1∶
若AE=40 m，BC=30 m，某人从扶梯上去，经过顶部BC，再 沿滑梯滑下，共经过多少路径（结果精确到0.1 m)？(参考数据 ：
≈1.41， ≈1.73， ≈2.24)
≈23.33(m).
∴AB=AD－BD≈23.33－9.8≈13.5(m). 答：斜坡新起点A与原起点B的距离约为13.5 m．
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C组 9. 如图1-28-88-11，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部 点H左侧水平距离60 m的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i=1∶ 山坡坡底点B到坡顶A的距离AB=40 m，在坡顶A处测得铁塔顶点G 的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）． （1）求山坡的高度； （2）求铁塔的高度GH（结果保留根号）.
25.6解直角三角形的应用：坡度问题(重难点培优)(原卷版)【沪教版】[001]
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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.6解直角三角形的应用：坡度问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•虹口区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A．10米B．24米C．25米D．26米2．（2020•利辛县模拟）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5 米B．5√3米C．2√5米D．4√5米3．（2020秋•闵行区期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．√10米C．2√10米D．3√10米4．（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x5．（2020秋•浦东新区期中）一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m6．（2017秋•虹口区期末）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（）A．1：2.6B．1：513C．1：2.4D．1：5127．（2021•宜兴市模拟）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3√2米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（）A．√3米B．3米C．3−√2米D．（3−√3）米8．（2021•邯郸三模）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（）（参考数据：sin8°≈425，tan8°≈17，sin10°≈950，tan10°≈528）A．3.5米B．2.5米C．4.5米D．5.5米9．（2021•温州模拟）在台风来临之前，有关部门用两根一样长的钢管加固树木（如图），已知固定点A离地面的高度AC为3米，钢管与地面所成夹角为θ，则两根钢管底部之间的距离BD为（）A．3tanθ米B．32tanθ米C．6tanθ米D．6sinθ米10．（2020秋•仁寿县期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•杨浦区三模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝．12．（2021•青浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为米．13．（2021•浦东新区校级二模）如果人在一斜坡坡面上前行50米时，恰好在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是．14．（2021•黄浦区二模）如图，某水库水坝的坝高为24米，如果迎水坡AB的坡度为1：0.75，那么该水库迎水坡AB的长度为米．15．（2020秋•徐汇区期末）在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是米．16．（2021•奉贤区二模）已知传送带和水平面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果物体在传送带上经过的路程是30米，那么该物体上升的高度是米（结果保留根号）．17．（2021•泗水县一模）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为米．18．（2021•海珠区校级模拟）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•静安区期末）如图，一处地铁出入口无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC、CD 共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到1°，其他近似数取四个有效数字）．20．（2020•松江区二模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．21．（2020秋•黄浦区期末）如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、BC为房屋两侧的墙，线段CD、DE为屋顶的斜坡．已知AB＝6米，AE＝BC＝3.2米，斜坡CD、DE的坡比均为1：2．（1）求屋顶点D到地面AB的距离；（2）已知在墙AE距离地面1.1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角∠MNP＝β＝53°，为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即0°＜∠FET＝α≤90°，长度为1.4米，即EF＝1.4米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√10≈3.16，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°=43）．22．（2020•攀枝花一模）某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．23．（2021•茶陵县模拟）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB 宽度为9m，坡面的坡角为30°．（1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD．（2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（√3≈1.7，精确到0.1米）24．（2021•江西模拟）如实物图所示，一架战斗机模型由机身和底座构成，图1是它的侧面示意图，底座的支撑杆PC长12cm，PC与水平桌面PD的夹角为60°，机身腹部AB平直，且与支撑杆在点C处联结，并可在点C处转动一定的角度，飞机的前轮E的支架EF长1.2cm，点F在AB上，EF与AB垂直，CF ＝PC．（1）如图2，当飞机水平摆放，即AB∥PD时，求前轮E到PD的距离．（2）如图3，当飞机仰身摆放时，AB绕着点C逆时针旋转至与PC的夹角为150°处，此时前轮E到PD的距离约是多少？（参考数据：√3≈1.7，√2=1.4，√5≈2.2）。
初三数学---解直角三角形---培优班
ABE F QP 初三数学 解三角形1.（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为 米.2． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈）3. (2010年兰州市)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈4.（2007台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为 米. （注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）5. （2010楚雄）如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测的∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测的∠CBN ＝70°，求河流的宽度CE （结果保留两个有效数字）． （参考数据：si n 35°≈，co s35°≈，t an 35°≈Si n 70°≈，co s70°≈，t an 70°≈）6. （2010扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：2≈，3≈）7. (2010年绍兴市)如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）. 8．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在DCN︒35︒70A B CDE 45°60°同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． （1）求ADB ∠的度数； （2）求索道AB 的长．（结果保留根号）9.（苏州）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°． (1)求点D 与点C 的高度差DH ；(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC ，结果精确到米)．(参考数据：°≈，°≈，°≈10.（2007山东威海）如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，3 1.732≈．11.（2009年江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）CQ BA P北 40 30 AC DE FB 北东C DBE60°76°O12.（2010株洲市）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．13.（2009年泸州）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少14.(2009年黄冈市)如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭． （1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？DCBA15．（2010义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ °，猜想∠QFC ＝ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．图2ABEQPFC图1ACBEQF。
新课标九年级数学竞赛辅导讲座 第十七讲 解直角三角形
第十七讲解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．【例题求解】【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC 上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(24-)m，则电线杆AB的长62为．思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=24-，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．【例3】 如图，在△ABC 中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l ，D 为BC 边上一点，tan ∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan ∠ADC 的值，解Rt △ABC 求出AC 值，为解Rt △ADC 创造条件．【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨 (1)设甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，则图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A 的影子落在地面上某一点C ，求BC 即可．注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．学历训练1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=31，BC=10，则AB 的长为 ．2．如图，在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若tan ∠AEH =34，四边形EFGH 的周长为40cm ，则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图，旗杆AB ，在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°，向旗杆前北进10m ，达到D ，在D 处测得A 的仰角为45°，则旗杆的高为 ．4．上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根，且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，CD=1，已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根，且tanA —tanB=2，求p 、q 的值．8．如图，某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°，在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米，则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CBD ＝30，则DCAD = ．10．如图，正方形ABCD 中，N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中，AB=26-，BC=2，△ABC 的面积为l ，若∠B 是锐角，则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c ，且c a =，若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1和∠2的大小关系是( )A ．∠1>∠2B ．∠1<∠2C ．∠1＝∠2D ．无法确定14．如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 上一点，AE ⊥AF ，点E 在CB 的延长线上，EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时，△AEF 的面积为10，问当tan ∠DAF=32时，△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．参考答案。
第十讲--- 解直角三角形及其应用培优
仰角俯角α h li 第十讲 解直角三角形及其应用一、解直角三角形定义：定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。
三种基本关系：1、边边关系：222a b c +=2、角角关系：∠A+∠B=90°3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件解法两边两直角边a 、b22c a b =+，tan aA b =，90B A ∠=︒-∠直角边a ，斜边c 22b c a =-，sin aA c=，90B A ∠=︒-∠一边 一锐角直角边b ，锐角A ∠B ＝ ；a ＝b •tanA ； c= ；斜边c ，锐角A90B A ∠=︒-∠，sin a c A =g ； b ＝ ；三、解直角三角形的基本思路：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中（取原始值避免用中间量）。
” 四、解直角三角形中的实际问题有：（1）方位角、象限角.（2）俯角、仰角.（3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 五、有关公式（1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2ac B（2）Rt △面1122S ab ch ==V（3）结论：直角三角形斜边上的高abh c=六、基本图形（组合型）翻折 平移七、解题思路与数学思想方法αtan lh i ==仰角铅垂线水平线视线视线俯角 单个直角三角形 直接求解 实际问题 数学问题 抽象转化 不是直角三角形 直角三角形 求解 八九、经典例题（一）利用直角三角形解决俯角仰角问题 仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角。
例1、天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A 处测得天塔最高点C 的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B 处测得最高点C 的仰角为54°，AB=112m ，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD （tan36°≈0.73，结果保留整数）．小小收获：测底部不可到达物体的高度已知：如图下，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝α ，∠CBD ＝β ，AB ＝a ．用含a 及α 、β 的三角函数的式子表示CD 的长为 ；例2、在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌（如图所示）.已知标语牌的高.在地面的点处，测得标语牌点的仰角为30°，在地面的点处，测得标语牌点的仰角为75°，且点的同一直线上，求点与点之间的距离.（计算结果精确到0.1米，参考数据：）辅助线构造:ih l=hlα巩固 1、如图，两建筑物的水平距离BC 为18m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°．则建筑物CD 的高度为 m （结果不作近似计算）．2、国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A 处的俯角为，B 处的俯角为．如果此时直升机镜头C 处的高度CD为200米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是 米．3、如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 米．（二）利用直角三角形解决坡度坡角问题斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离注意：通常我们将坡度i 写成1:m 的形式，坡度i 与坡角α之间的关系为tan i α=。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 解直角三角形(含答案)
第十一讲 解直角三角形趣题引路】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220kmB 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响，若你是该市气象局的首席气象专家，请你对此次台风对该市的影响情况作出预测。
（1）该市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ABCD E F图11-1解析 （1）作AD BC ⊥于点D ，（如图11-1）， °220,30111.2AD B AD AB km =∠=∴==，由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，就会受台风影响.由于AD=110＜160，所以A 市会受这次台风影响；（2）在BD 及BD 的延长线上分别取E 、F 两点，使AE=AF=160km ，则当台风中心从到达E 点时起，直到离开F 点，该市都会受到这次台风的影响，),2).DE AE km EF DE km ===∴==∴)h =； （3）当台风中心位于D 时，A 市所受这次这次台风的风力最大，其最大风力为()11012 6.520-=级知识延伸】解三角形，除运用锐角三角函数知识，往往还要用到我们已经学过的勾股定理，以及另两个非常重要的定理：正弦定理和余弦定理.C图11-2如图11-2，在△ABC 中，AC=b ,AB=c ,BC=a .过A 作BC 上的高，长为ha ，则有sin ,ha B c =sin ,ha C b =于是有sin sin ,c B b C ⋅=⋅于是，得sin sin b cB C=，同理可得,sin sin a b A B =因此 ,sin sin sin a b cA B C==这就是正弦定理，推而广之可得一个重要的三角形面积计算公式 111sin sin sin .222ABC S ab C ac B bc A ∆===在上图中，222cos cos ,cos ,BD AB B c B CD BC BD a c B AB BD AD =⋅=⋅=-=-⋅-= ()()222222,cos cos ,AC DC c c B b a c B =-∴-⋅=--⋅得2222cos b a c ac B =+-，同理可得2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.这就是余弦定理.运用正弦定理和余弦定理可以将三角形的范围由直角三角形扩充到斜三角形.例1 已知，如图11-3，在四边形ABCD 中AD=CD,AB=7,tan 2,A B D =∠=∠=90°，求BC 的长.ABD CE图11-3解析 延长AB 与DC 交于点E ，∠D=90°，tan 2,DEA AD∴==得DE=2AD,CD AD = .EC DC AD ∴==∠BCE=180°-∠BCD=∠A ,tan 2.BEBCE BC∴∠== 设BC=x ，则BE=2x ，因而,又222,AE AD DE =+()))()222127772,1.33x x x BC ∴+=+==-=解得或舍去，故点评：一般图形化为直角三角形，结合方程或二次函数，往往能够简捷地解决问题.例2 在四边形ABCD 中，AB=4,BC=3,CD=12,∠B=90°，36S =四边形ABCD ,求AD 的长.DC图11-4解析 如图11-4，连接AC ，则△ABC 为Rt △，于是AC=5,1136363430.sin 22ACD ABC S S AC CD ACD ∆∆∴=-=-⨯⨯=∴⋅⋅∠=30°， 即1512sin ACD 2⨯⨯⋅∠=30°，sin 1,ACD ACD ∴∠=∴∠=90°. ∴由勾股定理知13.AD ==点评：运用公式1sin 2ABC S ab C ∆=不但可以求三角形的面积，而且可以由面积求边角的大小好题引路】佳题新题品味.例1 如图11-5，河对岸有A 、B 两目标，但不能到达，在河这边沿着与AB 平行的方向取相距40m 的C 、D 两点（点A 、B 、C 、D 在同一平面内），并测得∠ACB=70°，∠BCD=65°，∠ADC=30°，求A 、B 两目标之间的距离.（结果不取近似值，用含有锐角三角函数的式子表示.）DBAC EF图11-5解析 作AE ⊥CD,BF ⊥CD,垂足分别为点E 、F ，∵AB ∥CD,∴四边形ABFE 为矩形，∴AB=EF. ∵∠ACE=180°-∠ACB -∠BCD=180°-70°-65°=45° ∴∠EAC=45°，AE=EC.设EC=x m ， ∵∠ADE=30°，且DE=AE·cot ∠ADE.又∵DE=x +40，∴x +40=x ·cot30°，解得x =20， ∴AE=EC=BF=20,在Rt △BFC 中，cot ∠BCF=CFBF,即CF=BF·cot ∠65°=（20）cot65°，∴AB=EF=EC+CF=(20)+(20)cot ∠65°（m ）点评：本题体现了两种数学方法的应用，①构建数学几何模型，把一般三角形转化为解直角三角形；②通过设未知数，结合几何图形构建方程，将未知量与已知量联系起来.例2 如图11-6，E 是四边形ABCD 的DC 边上一点，CE=,AB=2,BC=1,∠D=90°, ∠B=60°,ABCE S =四边形（1）求AC 的长；（2）求∠ACD 的度数. ABCDEF图11-6解析 （1）过点A 作AF ⊥BC,垂足为F,则AF=AB·sin ∠B=2·sin60°BF=AB·cos ∠B=2·cos60°=1.∴CF=B C －BF=)11-在R t △ACF 中，由勾股定理，得(2)∵ABCE S 四边形=ABC ACE S S ∆∆+而11=,,22ABC ACE S AF BC S CE AD ∆∆⋅=⋅∴)11122+∴又sin ∠ACD=1,2AD AC == 故∠ACD=30°.点评：本题求AC 也可直接利用余弦定理：2222cos ,AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅直接求得.中考真题欣赏例1（辽宁省中考）如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得.从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形（如果测A 、D 间距离，用m 表示；测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ、、等表示，测倾器高度不计）.(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示）. 解析 (1)如图11-7，测三个数据：DC 间距离n ，∠HDM ()α,∠HCG ()β； (2)设HG=x .在Rt △CHG 中，CG=cot x β⋅,在Rt △DHM 中，DM=()cot x n α-⋅，∴cotxβ⋅=()cotx nα-⋅. ∴cot.cot cotnxααβ⋅=-点评：本题是一道较为开放的题目，方案很多，但要求抓住题目的要求：“尽可能少”四个字，否则影响得分.例2（南京市）如图11-8，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离.ABCDFGO图11-8解析过点A、D分别作AE⊥OP,DF⊥OP,DG⊥OQ,垂足分别为E、F、G.在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°.∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°.在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2·33cm）∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO，∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°.在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2·33cm）在Rt△BOC中，OC=12BC=1（cm）. ∴3∴点A到OP3cm），点D到OP的距离为3点评：本题是一道正方形、矩形与解直角三角形相结合的试题，难度不大，关键是通过作辅助线合理构造直角三角形来解答.竞赛样题展示例1.（1999年全国联赛）如图11-9在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC,求tan ∠ABM.ABCDEFMN图11-9解析 延长BC 、MN 交于点E ，作EF ⊥BM 于F.设AB=a ,AM=()x x a <,则MD=a x -，.由正方形ABCD 及N 为DC 的中点，知∠MDN=∠NCE, ∠DNM=∠CNE,ND=CN,故MDN ECN ∆≅∆，可知CE=MD=a x -，BE=2a x -， 由∠NMB=∠MBC,知EB=EM.由EF ⊥BM 知∠FEB=90°-∠FBE=∠ABM,BF=12BM,且∠A=∠BFE.故△AB M ～△FEB .∴BM AMBE BF=,即22BM AM BE =⋅.∴()2222a x x a x +=-.即22340x ax a -+=∴11,.33x a AM AB ==即∴1tan .3AM ABM AB ∠== 点评：本题的解决充分利用了“∠NMB=∠MBC”这个条件来构建等腰三角形，利用等腰三角形的性质及相似三角形列方程求解，本题的解法很多，还可以过点N 作平行线来解决.例2（2000年全国竞赛）如图11-10，四边形EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹得锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角.已知EG=k ，FH=l ，四边形EFGH 的面积为S ，求证：sin θ=2S kl. ABCDEFGHMNO图11-10证明 过F 、H 分别作EG 的垂线，垂足分别为M 、N ，EG 和FH 的交点为O .∴sin θ=FM HNFO HO=,即FM=FO·sin θ;HN=HO·sin θ. ∴S=EFG EHG S S ∆∆+=()1111sin sin .2222EG FM EG HN EG FO HO GE FH θθ⋅+⋅=+=⋅∴22sin .S S EG FH klθ==⋅点评：准确使用锐角三角函数的定义是解答本题的关键.过关检测】A 级1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且AD=BD=5,CD=3,则sinA=______.2.等腰三角形的面积为2，底角为α，则tan α=_______.3.在△ABC ，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程20x px q ++=的两个根，且tanA-tanB=2.则_____,_______.p q ==4.已知△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，D 是AC 上一点，且AD:DC=1:2,则tan ∠DBC=________,cos ∠DBC=________.5.如图11-11，在△ABC 中，AB=AC,腰上的高BD=2，底边上的高AE=4，求tanC 的值.ABCDE图11-11B 级1.如图11-12，在△ABC 中，AB=AC ,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a ，则点N 到BC 的距离是_______.MNCBAABCD图11-12 图11-132.如图11-13，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°,AD 平分∠CAB ，则_______.AB ACCD CD-=3. △ABC 中，15,17,(a b A θθ==∠=为定值）若满足上述条件的三角形的∠C 唯一存在，则tanC=_______.4.已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是_______.5.设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当点A 运动到使∠BAP =∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？试证明你的结论.。
【浙教版】2022年九年级(上)期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用(方位角问题)(原卷)
【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练解直角三角形的应用（方位角问题）1．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：√3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？2．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18√2km/ℎ的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向．(1)求此时渔船与灯塔B的距离．(2)若渔船继续向东行驶，还要行驶多少千米与B的距离达到最小值．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）3．（2022·浙江宁波·一模）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向．(1)直接写出∠ACB的度数是；(2)测量发现∠BAC=20°，A岛与C岛之间的距离AC=20海里，求A岛与B岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）4．（2021·浙江丽水·一模）如图，某海岸边有B，C两个码头，C码头位于B码头的正东方向，距离B码头60海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距离B码头45海里的E 处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）5．（2022·浙江·一模）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D 点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据√3≈1.732）6．（2022·浙江金华·一模）某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛北偏西30°方向上，距A岛120海里．有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛南偏东75°方向的C处．(1)求∠BCA的度数．(2)求BC的长．7．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70∘方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45∘方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70∘≈0.94,cos70∘≈0.34,tan70∘≈2.75,√2≈1.41）(1)求B处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；(2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25∘继续航行，通过计算说明船是否安全？8．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．如图（1），在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD∠BC于点D，则sinB=ADc ，sinC=ADb，即AD＝c sin B，AD＝b sin C．于是c sin B＝b sin C，即bsinB=csinC．同理有：csinC =asinA，asinA=bsinB，所以asinA=bsinB=csinC．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）9．（2020·浙江衢州·九年级期末）某社会实践活动小组实地测量河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走50m 到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图．（1）求∠CBA的度数；（2）求这段河的宽度．（结果精确到1m）10．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m 到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．(1)求AC的距离：(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C 地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m 区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：√3≈1.73,√2≈1.41,√6≈2.45,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75）．11．（2021·河南·辉县市太行中学九年级期中）如图，一位自行车爱好者沿宿鸭湖湖边正东方向笔直的公路BC骑行，在B地测得湖中小岛上某建筑物A在北偏东45°方向，行驶12min 后到达C地，测得建筑物A在北偏西60°方向，如果此自行车爱好者的速度为60km/h，求建筑物A到公路BC的距离．（结果保留根号）【分母有理化：√3+1=√3−1(√3+1）)(√3-−1)=√3−12】12．（2022·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的B处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往C岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知C岛在基地A的南偏东α的方向，且在B处南偏东β的方向，巡逻快艇从B处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：tanα=158，sinβ=45）13．（2022·山东青岛·九年级期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离．(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再从C 地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：√2≈1.4）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；(2)新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．15．（2022·山东·济南市大学城实验学校九年级阶段练习）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，√3≈1.732．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．17．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC=3千米，灯塔B到航线l的距离为BD=4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：√3≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．18．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）(1)求货船到A的距离（结果精确到1米）；(2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．19．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）20．（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校二模）如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里，√3≈1.732，√2≈1.414，√6≈2.449）21．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）22．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？23．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图，海中有一个小岛A，它周围8n mile 内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60∘方向上，航行12n mile 到达D点，这时测得小岛A在北偏东30∘方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？24．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）为了维护我国海域安全，某巡逻艇从码头A 出发向东航行40海里后到达B处，再从B处沿北偏东30°方向行驶40海里到达C处，然后沿北偏西60°方向航行到D处，发现码头A在正南方向．求此时巡逻艇与码头A的距离．(结果保留根号）25．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100√3米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）26．（2022·重庆市江津中学校八年级阶段练习）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r 为10(3+√3)海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20√5海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．(1)求A、P之间的距离AP；(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．27．（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为60√2海里的D处拦截到该可疑船只．(1)求点A到直线CB的距离；(2)若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：√3≈1.73）28．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB，BC，CA跑步（小路的宽度不计），观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B 在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）29．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)求坡面CB 的坡度；(2)求基站塔AB 的高．30．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A ，B ，C 三个港口，B 港口在C 港口正西方向33.2nmile （nmile 是单位“海里”的符号）处，A 港口在B 港口北偏西50°方向且距离B 港口40nmile 处，在A 港口北偏东53°方向且位于C 港口正北方向的点D 处有一艘货船，求货船与A 港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）。
浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷(解析版)
浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，各边都扩大5倍，则tanA 的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 【答案】A【解析】∵三角函数值与对应边的比值有关， ∴各边都扩大5倍后，tanA 的值不变. 故答案为：A.2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（ ）米．A ．100cos20° B ．100cos20° C ．100sin20° D ．100sin20° 【答案】B【解析】∵△B=90°，△C=20°，∴cos∠C =BCAC，∴BC=AC·cos∠C =100cos20°. 故答案为：B. 3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）米A ．4√3B ．6√5C ．12√5D ．24【答案】B【解析】如图,过B 作BE△AD 于点E ，∵斜面坡度为1：2，AE=12， ∴BE=6，在Rt△ABC 中， AB =√AE 2+BE 2=√122+62=6√5 ． 故答案为：B ．4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】B【解析】如图，设AB 与CD 交于点E ，过点C 作CF△AB ，连接DF ，∵CF△AB ，∴∠C =∠AEC =α ， 设小正方形的边长为1，根据勾股定理得： CD 2=12+32=10 ， DF 2=12+22=5 ， CF 2=12+22=5 ，∴CF 2+DF 2=CD 2 ，DF=CF ， ∴△CDF 为等腰直角三角形， ∴△C=45°，∴sinC =√22，∴夹角α的正弦值为 √22.故答案为：B.5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA 旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°，楼顶点D 的仰角为13°，测得斜坡BC 的坡面距离BC = 510米，斜坡BC 的坡度 i =8：15 .则瞰胜楼的高度CD 是（ ）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A ．30B ．32C ．34D ．36 【答案】D【解析】由斜坡BC 的坡度i =8：15 ，设 CE =8x 、 BE =15x ， 在 Rt △BCE 中，BC =√BE 2+CE 2=√(8x)2+(15x)2=17x ， 由 BC =17x =510 求得 x =30 ， ∴CE =240 米、 BE =450 米，在 Rt △ACE 中，AE =CE tan∠CAE =240tan12°=1200 （米）， 在 Rt △ADE 中，DE =AEtan∠DAE =1200×tan13°=276 （米）， 则 DC =DE −CE =276−240=36 （米）. 故答案为：D.6．若规定 sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ ，则sin15°=（ ） A ．√2−12 B ．√2−√64 C ．√3−12 D ．√6−√24【答案】D【解析】由题意得，sin15°=sin （45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24故答案为：D7．如图，在菱形ABCD 中，DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，则tan△DBE 的值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【答案】B【解析】∵DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，∴AE AD =3AD =35，解得：AD ＝5. ∴DE ＝ √AD 2−AE 2=√52−32＝4， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=5， ∴BE ＝5﹣3＝2，∴tan△DBE ＝ DE BE =42＝2.故答案为：B.8．如图，在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3，DE△AC 于点E ，连接BE ，则tan△CBE 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AB=4a ，∵在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3， ∴BC=2a ，AC=2 √3 a ，AD ：AB=1：4， ∵△C=90°，DE△AC ， ∴△AED=90°， ∴△AED=△C ， ∴DE△BC ，∴△AED△△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴AE AC =14 ，∴AE= 14×2√3a =√32a ，∴EC=AC ﹣AE= 2√3a −√32a =3√32a ，∴tan△CBE= CE CB =3√32a 2a =3√34，故答案为：C ．9．如图，已知扇形OAB 的半径为r ，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM△OA ，垂足为M ，CN△OB ，垂足为N ，连接MN ，若△AOB ＝ α ，则MN 可用 α 表示为（ ）A ．rsinαB ．2rsin α2 C ．rcosα D ．2rcos α2【答案】A【解析】如图，连接OC 交MN ，延长OM 、ON 交于一点D ，∵∵△CMD=△DNO=90°， ∴△D=△D ，∴△CMD△△OND ，∴DM DN =DC DO ，即DM DC =DN DO , ∵△D=△D ，∴△DMN△△DCO ， ∴MN CO =DN OD， ∵sin△AON=DN OD ,∴sin△AON=MN CO, 即sin α=MN r,∴MN= rsinα ， 故答案为：A.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12【答案】C【解析】过A 作AQ△BC 于Q ，过E 作EM△BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD=x ， ∴BD=DE=x ，∵AB=AC ，BC=8，tan△ACB=y ， ∴EM MC =AQCQ =y ，BQ=CQ=4， ∴AQ=4y ，∵AQ△BC ，EM△BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为AC 中点，∴CM=QM=12CQ=2，∴EM=2y ，∴DM=8-2-x=6-x ，在Rt△EDM 中，由勾股定理得：x 2=（2y ）2+（6-x ）2， 即3x -y 2=9. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，正方形网格中，点A ，O ，B ，E 均在格点上．△O 过点A ，E 且与AB 交于点C ，点D 是△O 上一点，则tan∠CDE = ．【答案】12【解析】由题意可得：△CDE ＝△EAC ， 则tan△CDE ＝tan△EAC ＝BE AE =24=12．故答案为：12．12．如图，已知BD 是△ABC 的外接圆直径，且BD =13，tanA =512，则BC = ．【答案】5【解析】如图所示，连接C ，D ，由图可知 ∠A =∠D （同弧所对的圆周角相等）， 且 ∠BCD =90°（直径所对的圆周角等于90°），∵tanA =512，∴sinA =513，∴sinA =sinD =513，∴BC =BD ⋅sinD =13×513=5，故答案为：5．13．如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠B =90° ， AB =2 ， CD =8 ， AC ⊥CD ，若 sin∠ACB =13，则 cos∠ADC = ．【答案】45【解析】∵∠B =90° ， sin∠ACB =13，∴AB AC =13 ，∵AB =2 ，∴AC =6 ，∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90° ，∴AD =√AC 2+CD 2=√62+82=10 ，∴cos∠ADC =DC AD =810=45． 14．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin△CAM ＝ 35，则tan△B ＝ ．【答案】23【解析】Rt△AMC 中，sin△CAM=MC AM =35， 设MC=3x ，AM=5x ，则AC= √AM 2−MC 2 =4x ． ∵M 是BC 的中点，∴BC=2MC=6x ． 在Rt△ABC 中，tan△B= AC BC =4x 6x =23．故答案为 23.15．如图，在5×5的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan△AOC ＝ .【答案】12【解析】如图：将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，∴△AOC ＝△FDC ，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：CF =√22+12=√5，CD =√42+22=2√5， DF =√32+42=5，∵(√5)2+(2√5)2=52， ∴CF 2+CD 2＝DF 2， ∴△FCD ＝90°，∴tan∠AOC =tan∠FDC =CF CD =√52√5=12.故答案为：12.16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 66cm ，中轴轴心 C 到地面的距离 CF 为 33cm ，后轮中心 A 与中轴轴心 C 连线与车架中立管 BC 所成夹角 ∠ACB =72° ，后轮切地面 l 于点 D .为了使得车座 B 到地面的距离 BE 为 90cm ，应当将车架中立管 BC 的长设置为 cm .（参考数据: sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.1)【答案】60【解析】∵车轮的直径为 66cm ∴AD=33cm ∵CF=33cm ∴AC△DF∴EH=AD=33cm ∵BE△ED ∴BE△AC∵BH=BE -EH=90-33=57cm∴△sinACB=sin72°= BH BC =57BC=0.95∴BC=57÷0.95=60cm 故答案为60.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．求下列各式的值（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60° ；（2）cos60°−2sin 245°+23tan60°−sin30° .【答案】（1）解： sin45°cos45°+4tan30°sin60°=√22×√22+4×√33×√32=12+2 =52. （2）解：cos60°−2sin 245°+23tan 260°−sin30° .=12 -2×(√22)2+23×(√3)2-12 =12-1+2-12 =1. 18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度.如图所示，测得斜坡BE 的坡度i ＝1：4（即AB ：AE ＝1：4），坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）【答案】（1）解：作BF△CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，设DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF BF，则BF=DFtan30∘=√3x（米），在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC=DC EC∴EC=√33(x+2)米.∵BF-CE=AE，即√3x−√33(x+2)=8.解得：x=4√3+1，则CD=4√3+1+2=(4√3+3)米.答：CD的高度是（(4√3+3)）米.19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.（1）求BH的长；（2）木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=10°，tan∠ABC=AC BC，则BC=ACtan∠ABC≈1.80.18=10(cm)，∴BH=BC−HC=7(cm)，（2）解：在 Rt △BPH 中， ∠ABC =10° ， tan∠ABC =PHBH， 则 PH =BH ⋅tan∠ABC ≈7×0.18≈1.3(cm) ， 答：木桩上升了大约 1.3 厘米.20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（1）求AB 的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N 点运动到M 点的路径MN ⌢的长度．（结果保留π）【答案】（1）解：过B 作BE△AC 于E ，则AE=AC ﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，△AEB=90°，∴AB =AE sin∠ABE =0.4sin20°≈1.17（米）.（2）解：△MON=90°+20°=110°，∴弧MN 的长度是110π×0.8180=2245π米. 21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 DE 、箱长 BC 、拉杆 AB 的长度都相等，即 DE =BC =AB ，点 B ， F 在线段 AC 上，点 C 在 DE 上，支撑点 F 到箱底 C 的距离 FC =32cm ，CE ： CD =1 ： 5 ， DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求水平滑杆 DE 的长度；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 DE 的距离 ℎ 的值 ( 结果保留到 1cm).( 参考数据：sin50°≈0.77 ， cos50°≈0.64 ， tan50°≈1.19) . 【答案】（1）解： ∵DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，在 Rt △CDF 中， cos50°=CFCD，∴CD =CF cos50∘=320.64≈50(cm) ，∵CE ： CD =1 ： 5 ， ∴DE =60cm ；（2）解：如图，过A 作 AG ⊥ED ，交 ED 的延长线于G ，∵DE =BC =AB ， DE =60cm ， ∴AC =120cm ，在 Rt △ACG 中， sin∠DCF =AGAC，∴ℎ=AG =AC ⋅sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm) .22．如图，在等腰三角形ABC 中，△ABC ＝90°，点D 为AC 边上的中点，过点D 作DE△DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F.（1）求证：DE ＝DF（2）若AE ＝4，FC ＝3，求cos△BEF 的值. 【答案】（1）证明：连接BD ，∵ △ABC=90°，D 为AC 边上的中点，∴AD=BD=CD ，△C=△A=△EBD=△FBD=45°，BD△AC ，∵DE△DF ，∴△EDF=△BDC=90°，∴△EDB=△CDF=90°-△BDF ， ∴△EDB△△FDC （ASA ）， ∴ DE=DF（2）解：∵ △EDB△△FDC ，CF =3， ∴ CF=BE=3，同理AE=BF=4，在Rt△EBF 中，由勾股定理得：EF=√32+42=5，∴ cos△BEF ＝BF EF =35.23．如图，AB 是△O 的直径，弦CD△AB 于点E ，点P 在△O 上，△1=△BCD ．（1）求证：CB△PD ；（2）若BC=3，sin△BPD= 35，求△O 的直径．【答案】（1）证明：∵△D=△1，△1=△BCD，∴△D=△BCD，∴CB△PD；（2）解：连接AC，∵AB是△O的直径，∴△ACB=90°，∵CD△AB，∴BD⌢= BC⌢，∴△BPD=△CAB，∴sin△CAB=sin△BPD= 3 5，即BCAB=35，∵BC=3，∴AB=5，即△O的直径是5．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC△AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作△Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.（1）求线段AE的长；（2）若△ABE＝△FDE，求EF的值.（3）若AB﹣BO＝4，求tan△AFC的值.【答案】（1）解：∵点A（0，8），∴AO=8，∵点D是点C关于点A的对称点，∴AC=AD，∵AC△AB，∴BC=BD，∴∠C=∠ADB，∵以AD为直径作△Q交BD于点E，∴∠AED=90°，∴在△CAO和△DAE中，{∠COA=∠AED=90°∠C=∠ADBAC=AD∴△CAO≌△DAE(AAS)，∴AE=AO=8；（2）解：∵△ABE＝△FDE，∴AB ∥DF ，∴∠CAB =∠CDF ，又∵∠C =∠C ，∴△CAB ∽△CDF ，∴AB DF =AC CD =12， ∵△ABE ＝△FDE ，∠AEB =∠FED ， ∴△ABE ∽△FDE ，∴AE FE =AB DF =12，即8FE =12， 解得△FE =16；（3）解：∵AB ﹣BO ＝4，即AB =BO +4， ∵∠AOB =90°，∴在RtΔABO 中，AO 2+OB 2=AB 2，即82+OB 2=(OB +4)2， 解得△OB =6，AB =10，∵∠BEF =90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6， ∵∠AOB =∠BEF =90°，∠AFO =∠BFE ， ∴△AFO ∽△BFE ，∴AO BE =FO EF =86=43， ∴设EF =3x ，OF =4x ，∴BF =4x −6，∴在RtΔBEF 中，BE 2+EF 2=BF 2，即62+(3x)2=(4x −6)2，解得△x =487， ∴EF =3x =1447， ∴tan∠AFC =tan∠EFB =BE EF =61447=724.。
第一章：解直角三角形培优训练试题
第一章：解直角三角形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5m ，坡面AB 的坡度为1：3，则AB 的长度为（ ） A ．10mB ．103mC ．5mD ．53m2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为045，在点B 处测得树顶C 的仰角为060，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若m AB 16=，则这棵树CD 的高度是（ ） A ．()m 338-B ．()m 338+C ．()m 336-D ．()m 336+3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．13132 B ．13133 C ．32 D ．35 4.如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．cos θ(1+cos θ) B ．cos θ(1+sin θ) C ．sin θ(1+sin θ) D ．sin θ(1+cos θ)5.在中，、均为锐角，且，则是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：，，，）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m7．如图，AB 是半圆的直径，ABC ∠的平分线分别交弦AC 和半圆于E 和D ，若2BE DE =，4AB =，则AE 长为（ ） A ．2B ．21+C ．6D ．4338．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A ．5250600-B ．2503600-C ．3350350+D ．35009.如图，等腰△ABC 的面积为2，AB=AC ，BC=2.作AE ∥BC 且AE=BC.点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点.那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ） A ．3B ．3C ．32D ．410．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝∠EAF ；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③CF ＝14CD ；④AF ＝AB +CF ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，在矩形ABCD 中，22==BC AB ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD 上的点B '处，线段AB 扫过的面积为12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m ，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m 到达B 处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m ．（参考数据：732.13≈，结果按四舍五八保留一位小数）13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行m 30到达斜坡的底部点C 处，然后沿斜坡前行m 20到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为030，已知斜坡的斜面坡度3:1=i ，且点A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．14．如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别在AC 、BC 上，点F 在△ABC 内．若四边形CDFE 是边长为2的正方形，则cos ∠ABF ＝15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=16.如图．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，2BE=3CE ，过点D 作AE 的垂线交AB 于F ，点G 为垂足，若FG=3，则EG 的长为三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17．（本题6分）计算下列各式：（1）000030cos 45cos 60tan 30cos ⋅- （2）0002030sin 30tan 2345sin 260cos -+-18．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．（1）求证：∠1=∠F ．（2）若55sin =B ，52=EF ，求CD 的长．19（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D 在边AC 上，且AD=2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）求ECB ∠tan20.（本题10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝1：3，AB ＝10米，AE ＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈54，cos53°≈53，tan53°≈34） （1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．（结果精确到0.1米）21．（本题10分）如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．（1）求出此时点A 到岛礁C 的距离； （2）若“中海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A ′时，测得点B 在A ′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）22．（本题12分）如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且OC EF //，连接OE ，CF 得四边形OCFE ． （1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC=34时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．23（本题12分）．在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C ，tan ∠PAC =552 ，求C tan 的值； （3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，∠DEB=90°，sin ∠BAC =53，52AC AD ，直接写出tan ∠CEB 的值．。
25.4解直角三角形的应用：仰角俯角问题(重难点培优)(原卷版)【沪教版】
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.4解直角三角形的应用：仰角俯角问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35°，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°2．（2019秋•宝山区期末）直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA ＝67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的（ ）A ．俯角67°方向B ．俯角23°方向C ．仰角67°方向D ．仰角23°方向3．（2019秋•徐汇区期末）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为60°，那么此时小李离着落点A 的距离是（ ）A ．200米B ．400米C ．2003√3米D ．4003√3米4．（2020•谯城区模拟）如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（ ）A ．m cotα−cotβ千米B ．m cotβ−cotα千米C．mtanα−tanβ千米D．mtanβ−tanα千米5．（2021•沐川县模拟）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：√3，则大楼AB的高度为（）（精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）A．30.4B．36.4C．39.4D．45.46．（2021•天桥区二模）小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角45°，已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）A．13.6B．18.1C．17.3D．16.87．（2021•沙坪坝区校级模拟）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米8．（2021•杭州模拟）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60°角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6B．11.6C．1.6+5√33D．1.6+5√39．（2021春•重庆月考）清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分别选择了两条不同的路线登顶，如图，小明从A点出发水平直行到达了B点，然后沿坡度为i＝0.75：1的斜坡BC 走500米到达C点处，再从C点出发水平直行120米到达D点，最后从D点沿着坡度为i＝5：12的斜坡走520米登顶到达E点，而小亮选择了从A点直接沿着斜坡AE登顶E点，已知小亮在山顶E点测得山脚A点的俯角为22°，则AB的长度约为（）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．230米B．240米C．250米D．260米10．（2021•渝中区校级一模）为了纪念巴蜀中学首任校长周助成和首任教务主任孙伯才而修建的助艾亭，见证了巴蜀走过的风雨历程；助艾亭下的石榴花，阶梯边的蓝楹树，也陪伴着一届届巴蜀学子的青春成长．小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对助艾亭的高度进行测量，他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG＝1.8米．从钢板斜坡底的E点向前走16.25米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4．C点到亭中心O点的距离为1米．根据测量结果，助艾亭的高度AO大约为（）米．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A；B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内）A．4.9米B．4.6米C．6.4米D．6.1米二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•嘉定区期末）如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为°．12．（2020秋•徐汇区期末）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．13．（2020秋•普陀区期末）如图，小明在教学楼AB的楼顶A测得：对面实验大楼CD的顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．如果教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为米．14．（2021•上海模拟）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为米．15．（2020•金山区二模）如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于米（保留根号）．16．（2020•太和县模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．（2019•金山区二模）如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是米（保留根号）．18．（2019•徐汇区校级一模）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•宝山区二模）图1是某地摩天轮的图片，图2是示意图．已知线段BC经过圆心D且垂直于地面，垂足为点C，当座舱在点A时，测得摩天轮顶端点B的仰角为15°，同时测得点C的俯角为76°，又知摩天轮的半径为10米，求摩天轮顶端B与地面的距离．（精确到1米）参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．20．（2020秋•金山区期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：√3，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）21．（2021•北仑区一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）22．（2021•海陵区一模）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4．（参考数据：tan53°≈43，tan31°≈35）（1）求点B到地面的高度；（2）求建筑物CD的高度．23．（2021•滨海新区二模）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D，点E的俯角分别为64°和53°．已知椅面宽BE＝46cm，求椅脚高ED的长（结果取整数）．参考数据：tan53°≈1.33，sin53°≈0.80，tan64°≈2.05，sin64°≈0.90．24．（2021•莱芜区三模）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6√5米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）。
九年级数学解直角三角形1 (2)
搬家要送糖糕，新邻居要送，旧邻居也要。我在去杂货店送糕的路上碰到了老板娘，一个脸圆圆红红的阿姨，这么多年她都一直喊我宝贝。这天她看起来要哭了，不等我说啥，她就先说要关店了， 然后才说自己身体不好。收下我居搬走，想过自己搬走，我竟从没想过杂货店关门，尽管这是一件再正常不过的事情。近三十年的杂货店要 关门了，我恍惚觉得一个小区要结束了。
九年级数学解直角三角形1 (2)
二
我岳父的生日是正月二十一日，正月拜年的热度刚降下来不久，我又得从单位上赶回来给岳父祝寿，参加祝寿的晚辈也是一家三四个人，除外来的客人，仅只女儿女婿和外孙，又是满满两席。
岳父母有两个儿子六个女儿，除六姨妹嫁到河北石家庄，三姐嫁在枣阳，路程太远不能随时回家拜年之外，住在跟前不远的五个女儿女婿，都在初一或初二这一天同时给岳父母拜年，用我岳父的话 说，图的就是个热闹。这样一来，至少是两席酒宴，一席坐的是岳父母、五叔、两个妻哥、堂哥，我们“挑担”（连襟的别称）五个，有时五叔的女婿去了，也都坐在一席；另一席是妻子姊妹五人和一 些外甥外甥女们，这顿饭从下午两点开始，一直吃到天黑。当然这里面关于陪酒的路数能落下。俗话说“在席都是客，在朝都是官”， 谁也不能怠慢也不敢怠慢。av女优
专题28.6解直角三角形的应用：坡度坡角大题专项提升训练(重难点培优)-2022-2023学年九年级
2021-2022学年九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题28.6解直角三角形的应用：坡度坡角大题专项提升训练（重难点培优）一．解答题（共24小题）1．（2022秋•长春期中）如图是某地铁站自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角（∠BAC）为30.5°，自动扶梯AB的长为17米．（1）求乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC．（结果精确到0.1米）（2）如果一层楼的高度为2.8米，问这个扶梯升高的高度BC相当于几层楼高？（结果保留整数）【参考数据：sin30.5°＝0.51，cos30.5°＝0.86，tan30.5°＝0.59】2．（2022春•江北区校级月考）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4．3．（2022秋•惠山区校级月考）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米．（1）直接写出∠BAD＝；（2）求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）4．（2021秋•七里河区校级期末）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，求调整后滑滑板底部移动的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）5．（2022秋•乳山市校级月考）如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：（1）坝底AB的长；（2）坡BC的长；（3）迎水坡BC的坡度．6．（2022秋•宁阳县校级月考）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE ⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）7．（2020秋•鲤城区校级期中）我市有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：，）8．（2022•綦江区校级模拟）某小区拟建设地下停车库入口，将原步行楼梯入口AC改造为斜坡AD．已知入口高AB＝3m，坡面AC的坡度i＝1：1，新坡面坡角∠ADB＝30°．（1）求斜坡底部增加的长度CD为多少米？（保留根号）（2）入口处水平线AE＝5m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF＝0.5m．若一辆高度为2米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中是否会碰到广告牌的下端F？请说明理由．（参考数据： 1.4， 1.7）9．（2022•徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．10．（2022•南京模拟）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝4.5米，引桥水平跨度AC＝8米．（参考数据：取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）（1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．11．（2022•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）12．（2022•郯城县二模）如图所示，某人通过定滑轮拉动静止在水平面上的箱子，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角为37°，拉动一段距离后，绳与水平面间的夹角为53°，绳子的自由端竖直向下移动了3米，求箱子移动的距离．（绳子伸缩不计）（参考数据：sin37°＝，sin53°＝，tan37°＝）13．（2022•南京模拟）小华在网上看到一个如图（1）的躺椅，他决定自己动手用木条制作一个简易的躺椅，如图（2）是简易躺椅的侧面，其中∠B＝44°，∠ACB＝17°，∠DEC＝∠DCE＝48°，AE＝AC，若木条AB＝5dm，请你计算木条AC，DE，DC的长．（相关数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97，sin17°＝0.29，cos17°＝0.96，tan17°＝0.31，sin48°＝0.74，cos48°＝0.67，tan48°＝1.11，结果保留一位小数）14．（2022•湖北模拟）周末爬山、郊游是现代市民常见的健康休闲生活方式．小明和小亮两家相约周末一起去天柱山游玩．如图，他们从天柱山西坡的B点出发，沿坡角为30°的山坡走了300m到达山腰E点处休息；然后又沿着坡角为45°的山坡走了150m到达山顶A处．求天柱山的高度．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7）15．（2022春•重庆月考）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）16．（2022•莱西市一模）周末爬山、郊游是现代市民常见的健康休闲生活方式．小丁和小亮两家相约周末一起去“天然氧吧”大青山游玩．如图，他们从大青山西坡的B点出发，沿坡角为37°的山坡走了300米到达山腰E点处休息；然后又沿着坡角为45°的山坡走了150米到达山顶A处．求大青山的海拔高度．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）17．（2022•邯郸模拟）如图，某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．已知山坡AB的坡度为i＝1：2.4，山坡BC的坡度为i＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，且山顶C点到水平面AD的距离为1000m，B点到水平面AD的距离为200m．（1）求山坡AB﹣BC的长：（2）已知登山队上山的速度保持不变，且下山速度是上山速度的2倍，若下山比上山少用26分钟，求下山的速度．18．（2022•南召县四模）2022年5月25日，郑州市城市隧道综合管理养护中心结合隧道情况，从人民至上、生命至上的角度出发，考虑增加多种安全措施，排除安全隐患．其中对京广路隧道，根据各段隧道空间情况，在不影响交通的情况下，加装了大小、形状不一的19条人行逃生爬梯．如图1，起初工程师计划修建一段坡度为4：3（即AF：BF＝4：3），总长为7.5米的爬梯AB．从安全角度考虑，工程师对爬梯的设计进行了修改，如图2，修建了AC、DE两段爬梯，并在中间修建了1米的水平平台DC，其中∠ACD ＝135°，∠E＝40°，爬梯AC长2米，点E、B、F三点共线．求修改后爬梯的底部E与修改前爬梯的底部B之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.41，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）19．（2022•新野县三模）北京冬残奥会期间，为方便中外参赛运动员的生活起居、参赛出行，组委会在无障碍设施方面做了精心的安排，让运动员在细节里感受“中国温度”．如图1是一场馆内的无障碍坡道，其示意图如图2所示，台阶的垂直高度AB的长为1.4m，缓坡BD的坡角∠DBC＝6°，缓坡FD的坡角∠EDF＝8°，平台AF的长为2m，求BC的长．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin6°≈0.10，cos6°≈0.99，tan6°≈0.11，sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14）20．（2022•鄂尔多斯）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）21．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，已知教学楼前面的玻璃幕墙GH垂直于地面，为测量GH的高度，身高1.6米的小凯从教学楼底E点沿直线步行4米到达长度为10米的斜坡DC的底端D点处，在D处用仪器测得∠HDE＝30°，然后再沿着斜坡DC上行到达C点（已知CM⊥DM且CM：DM＝3：4），到达C点后继续沿平行于地面的平台直线行走了6米到达B点，此时他刚好踩着太阳光照射下楼顶G点的影子，这时小凯同学的影长BN＝1.8米，用线段AB表示小凯同学身高，A，B，C，D，E，H，G，M，N在同一个平面内．且B，C，N和M，D，E在各自的同一水平线上，其中GE⊥EM，AB⊥BC，EM∥BC，GB∥AN．（1）求线段HE和EM的长度．（2）求玻璃幕墙GH的高度．（≈1.732，结果保留一位小数）22．（2022春•开州区期末）某商场拟将地下一楼改建为地下停车库，将原步行楼梯入口AC改造为车库斜坡入口AD．已知入口高AB＝4m，且AB⊥BD，点C处测得∠ACB＝45°，新坡面坡角∠ADB＝30°．（1）求斜坡底部增加的长度CD为多少米？（保留根号）（2）入口处水平线AE＝6m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF＝1.3m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出限制高度为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7）23．（2022•景德镇模拟）如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.16，tan80°≈5.67）24．（2022•沙坪坝区校级模拟）如图是某景区登山路线示意图，其中AD是缆车游览路线，折线A﹣B﹣C ﹣D是登山步道，步道AB与水平面AE的夹角α为30°，步道CD与水平面的夹角β为45°，BC是半山观景平台，BC∥AE．现测得AB＝300m，CD＝450m，缆车路线AD＝1000m．其中点A，B，C，D，E在同一平面内，DE⊥AE．（1）求点B到水平面AE的距离；（2）求半山观景平台BC的长度．（结果保留整数）（参考数据：≈1.414，≈1.732．）。
培优专题26 解直角三角形模型-解析版
培优专题26 解直角三角形模型类型一：背靠背型1．（2022·山东聊城·二模）从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角∠PBO＝30°． 1.414 1.732 2.236）(1)若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到0.1m）(2)若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m）2．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：sin sin sin a b c A B C==．（1）如图1，若6,45,75a B C =Ð=Ð=°°，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若,14CD AB AC ^=米，10AB =米，sin ACB Ð=CD 的长度．（2）sin AB ACB ÐQ sin sin AC B AB ´Ð\=3．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD 垂直于地面，在地面上选取,A B 两处分别测得CAD Ð和CBD Ð的度数（,,A D B 在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上,A B 两点的距离为58m,42,58CAD CBD Ð=°Ð=°．问题解决：求宝塔CD 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90°»°=°»，sin 580.85,cos580.53,tan 58 1.60°=°=°=．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．1254176,\=xx»．解得，33.4答：宝塔的高度约为33.4m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键．4．（2021·云南·模拟预测）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东30°方向与包装公司北偏西60°方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：»）1.414» 1.732答：这条公路不会穿越这个住宅小区．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2021·湖北武汉·一模）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB 的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若728,927AH ADAD AC==，请直接写出ADAB的值________．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是能通过作合适的辅助线构造相似三角形并最终求得结果．类型二：子母型6．（2022·辽宁鞍山·二模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的总高度约为389m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．7．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）8．（2021·北京市第十二中学八年级阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．9．（2020·山东青岛·九年级期末）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45°，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31°，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52°≈，cos310.86°≈，tan 310.6)°»10．（2020·四川凉山·九年级阶段练习）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．a 的度数b 的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高测量数据31°42°3米1.65米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分位）．（参考数据：sin 310.52°≈，cos310.86°=，tan 310.60°»，sin 420.67=°，cos420.74=°，tan 420.90=°）【答案】7.1AB =米【分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG−FG ＝DF ＝3列方程求出BG 即可．【详解】如图，延长DF 与AB 交于点G ，类型三：拥抱型11．（2020·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．12．（2020·山西太原·模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．课题成员测量工具测量毛主席塑像的高度组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX测倾器，皮尺等测量示意图说明：线段AB 的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，C 为测点，线段CE ，CD 表示测倾器（点D 在CE 上），点A ，B ，C ，D ，E 都在同一竖直平面内，且AB BC ^，CE BC ^；ADF Ð、AEG Ð表示两次测量的仰角，点G ，F 在AB 上．测量项目第一次第二次平均值ADF Ð的度数35.1°34.9°35.0°AEG Ð的度数33.4°33.6°33.5°测倾器CE 的高 1.68m1.72m1.70m 测量数据测倾器CD 的高1.07m 1.05m1.06m任务：（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：sin 35.00.57°»，cos35.00.82°»，tan 35.00.70°»，sin33.50.55°»，cos33.50.83°»，tan 33.50.66°»）（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器CD 测出仰角ADF Ð，再测出BC 的长来计算塑像高度AB ”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】（1）毛主席塑像的高度为12.26m ；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC ．【分析】（1）根据题意AB ^BC ，CE ^BC ，AB ^EG ，AB ^DF ，可推得四边形BCEG 与四边形DEGF 都是矩形，其中BG=CE=1.70m ，FG=DE=CE-CD=1.70-1.06=0.64m ，EG=DF ，在Rt △AEG 和Rt △ADF 分别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG 的长度，则AB 的长度可求；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC ．【详解】解：（1）由题意，得AB ^BC ，CE ^BC ，AB ^EG ，AB ^DF ，13．（2021·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）14．（2018·北京四中九年级期中）如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在条直线上的三点(A A 为楼底)，,D E ，她在D 处测得广告牌顶端C 的仰角为60°，在E 处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°,5DE =米.已知广告牌的高度 2.35BC =米，求这座商场大楼的高度AB1.41»»，小红的身高不计，结果保留整数)．15．（2018·四川眉山·九年级期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB ）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D 处，用高度为1 m 的测角仪CD ，从点C 测得宣传牌的底部B 的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4 m 到达点F 处，又从点E 测得宣传牌顶部A 的仰角为45°．已知教学楼高19m BM =，且点A 、B 、M 在同一直线上，求宣传牌AB 的高度．（参考数据：1.73»，sin 370.60°»，cos370.81°»，tan 370.75°»）【答案】宣传牌AB 的高度为2米【分析】过点C 作CG AM ^于G ，设AB 为x ，根据45AEG °Ð=可得18EG AG x ==+，然后在Rt CBG V 中解直角三角形即可.类型四：12345型16．（2018·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1-，0），B（0，2），点C在第一象限，∠ABC=135°，AC交y轴于D，CD=3AD，反比例函数kyx=的图象经过点C，则k的值为_______．【答案】9∵∠ABC=135°，17．（2018·江苏无锡·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．【答案】6．【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形的边长相等得：AE=AD，根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则△PAH是等腰直角三角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，根据AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；【详解】过A作AM⊥DF于M，∵四边形ABCD是正方形，∵AH=PH，∴2x﹣1=2+x，x=3，∴PG=3，AM=6，∵△DAM≌△CDF，∴DF=AM=6．故答案为6.【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM=45°是关键，设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题．18．（2018·山东滨州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE∠EAF=45°，则AF的长为_____．19．（2018·山东泰安·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在'A 处，若'EA 的延长线恰好过点C ，则sin ABE Ð的值为__________．20．（2017·浙江丽水·中考真题）（2017丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x 轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是____；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是________．。
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A 卷
一、填空题
1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是1
1， 则这个三角形的另两边之长分别是 和 。
2.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=6，CA 的平分线
AD=则AB = 。
3.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，
BC=
AC=A = ，外接圆的半径是 。
4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30°和60°，则梯形的周长是 厘米。
5.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=2，cosB=
3
5
，则ABC S ∆= 。
6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形的两个锐角度数分别是 度和 度。
7.若0°<α <90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的三角形ABC 的内切圆半径和外接圆半径这和等于 。
8.计算2001
20001(tan 60)(3tan 30)3
= 。
9.已知tan α＝2，α为锐角，4cos 5sin 2cos 3sin αα
αα
-=+ 。
10.如果等腰三角形ABC 中，底角是30
°，面积为3
，那么ABC ∆的周长是 。
二、解答题
11.已知等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，点D 在直线BC 上，且BD = AB ，求∠ADB 的余切值。
12.如图，已知△ABC 中，∠C = 90°，E 、F 在AB 边上，AF=EF=EB ，且CF = sin α，CE ＝cos α，求斜边AB 的长。
B 卷
一、填空题
1.在△ABC 中，有一个角为60
°，S ∆=20，则它的三边之长分别为 、 和 。
2.如图，在Rt △ABC 中，E 、D 分别是边AC 、
BC 的中点，BE
=AB =10，∠C =90°，则AD = 。
3.计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝ 。
4.已知在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，tan 2A ＋cot 2
A = 5，则tan A ＋cot A ＝ 。
5.在直角三角形中，斜边长为C ，面积为S ，那么这个三角形的两直角边长 分别是 和 。
6.在△ABC 中，∠B =30°，∠BAC =135°，BC =10，则AB = 。
8.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有
两点M、N，且∠MCN = 45°．记AM= m，MN=x，
BN= n，则以x、m、n为三边长的三角形是三
角形。
9.如图，在△ABC中AB = AC，∠ABN =∠MBC，BM= NM，
BN= 2a，则点N到边BC的距离是（用含a的代
数式表示）。
10.在△ABC中，∠BAC＝120°，∠ABC＝15°，∠A、∠B、∠C的对边分
别为a、b、c，那么a：b：c=
二、解答题
11.如图，城市规划期间欲拆除一电线杆AB
.已知距电线杆
AB
水平距离
14
米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2：1，坝高CF为2米，在坝顶C
处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间
是宽为2米的人行道，试问在拆除电线杆
AB时，为确保行人安全，是否需要将此人
行道封上？请说明理由（地面上以点B为
圆心、以AB长为半径的圆形区域为危险
=1.732 =1.414）。
12.如图，在△ABC中，∠A=45°，CB=5，BD=3，CD＝7，D在边AB的
延长线上，求∠CBD和AC的大小。
的差为ABC的三边的长。
14.如图，ABCD是正方形，E为BC上一点。
将正方形折叠，使A点、E点
重合，折痕为MN.若tan∠AEN=
1
3
DC＋CE=10，求（1）△ANE的面积；（2）
sin∠ENB的值。
C卷
一、填空题
1. ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，则
CD
AB AC
=
-。
2.等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，且△ABC的内切圆半径是2，则
AB= 。
3. ⊙O 的半径为2， ⊙O 内的点P 到圆心O 的距离为1，过P 点的弦AB 与劣弧AB 组成一个弓形，则此弓形面积的最小值是 。
4.如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 是∠C 的平分线，CA ＝3，CB=4，则CD ＝ 。
5.已知在直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 是∠A 、∠B 的对边，且
220a ab b --=，则tan A ＝ 。
6.如图，∠C=90°，∠BAC = 30°，BC ＝1，D 为BC 边上一点，tan ∠ADC 是方程
22113()5()2x x x x
+
-+=的较大的根，那么CD 的长是 。
7.已知1
sin cos ,01805
x αα-=
<<，则tan α= 。
8.△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，关于x 的方程22
(1)(1)200b x c x x -++-= 的两根相等，则△ABC 是 三角形。
9.在△ABC 中，BC =3
，内切圆半径r =cot cot 22B C += 。
10.若0°<θ＜30°，sin 1
3
km θ=+（k 为常数，0k <），那么m 的取值范围是 。
二、解答题
11.设m 、n 、p 是正数，且2
2
2
m n p +=，求m n
p
+的最大值。
12.如图，△ABC 中，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，BD ＝3，DC ＝2，∠BAC =60°，求.ABC S ∆
13.如图，CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，2
BDC ABC ADC S S S ∆∆∆=， 求sin B 的值。
14.已知P 是矩形ABCD 内任意一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，求证：在 ∠PAB 、∠PBC 、∠PCD 、∠PDA 四个角中，必有一个不小于45°，也必有一个不大于45°．。