第三章节 流体力学理论基础---流体静力学(讲义)
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dF pn pnn dA
流体静压强的两个特性
特性一：流体静压力方向垂 直于作用面，并沿作用面的内 法线方向
流体静压强及其特性
特性二：流体静压强大小与作用面的方向无关，只是该点 坐标的连续可微函数 边长
δx、δy、δz
静压强 Px、Py、Pz和Pn 密度
ρ
单位质量力的分量
p xyz 0 x
fx
1 p 0 x
（1） （2） （3）
1 p fy 0 y
同理得
1 p fz 0 z
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
1 写成矢量： f p 0
静止流体平衡微分方程式 又叫欧拉平衡微分方程式
其中： f f x i f x j f z k
f grad ( p)
适用范围：可压缩、不可压缩流体 静止、相对静止状态流体
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
◆
等压面
上式中(1)×dx +(2)×dy +(3)×dz得
dp p p p dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z
重力场中流体的平衡
第四节 流体相对平衡时的力学分析
1、等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡
质量力包括两部分：
f x a
fy 0
f z g
代入压差公式
dp adx gdz
积分得
p ax gz C
坐标原点选在液面不变化的o点， z轴垂直向上，x轴沿罐车的运动 方向
液体的相对平衡
2、等角速旋转容器中液体的相对平衡
单位质量力分量分别为
f x 2 r cos 2 x
f y 2 r sin 2 y
f z g
代入压强差公式
dp 2 xdx 2 ydy gdz
2 x2 2 y 2 2r 2 p gz C gz C 2 2 2
压强差方程:
等压面：在流体中压强相等的点组成的面
微分形式的等压面方程：
dp 0
f x dx f y dy f z dz 0
性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于 经过该点的等压面 写成矢量形式:
f dl f x dx f y dy f z dz 0
fx 、fy、 fz
流体静压强及其特性
力在x方向的平衡方程为：
由于
1 1 p x yz pn ABCD cos pn ˆ , x f x xyz 0 2 6 1 1 p x p n f x x 0 ABCD cos p n ˆ , x yz 3 2
p p0 gh
上式表明:不可压缩的重力流体处于平衡状态时,流 体内部的静压强由两部分构成
1 自由表面的压强 2 淹深为h 、密度为 的流体柱产生的压强
gh
该式还表明:均质不可压缩的重力流体处于平衡状态时,自由液面上的 压强对内部任意点上的影响是相同的,即施加在自由液面上的压强,将 以同样的大小传递到液体内部任意点上—帕斯卡原理
主要内容：
1、平衡状态下流体中应力特征；
2、流体平衡微分方程式；
3、流体静力学基本方程；
4、压力的描述及测量仪表；
5、流体相对平衡时的力学分析；
6、流体与固体的相互作用。
第一节
平衡状态下流体中应力特征
当流体处于平衡或相对平衡状态时,作用在流体上的应 力只有法向应力而没有切向应力,流体作用面上负的法向应 力就是静压强
中心点压强 p
单位质量力的分量
fx 、fy、 fz
作用在x轴垂直的两个面中心点b、c上的流体静压强，可将a 点的静压强按泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小项求得
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
x方向的平衡方程式 化简得 同除以
f x xyz
m xyz
p x p x f x xyz p y z p yz 0 x 2 x 2
将坐标原点取在抛物面的顶点上， z轴垂直向上，xoy面水平
当z 0 r 0 时
p p0
代入上式得 C p0
2r 2 p p0 g 2g z
2 y2
2
等压面微分方程： 2 xdx 2 ydy gdz 0 积分得
例如图２-１所示，一倒置的Ｕ形管，其工作液体为油，
下部为水，已知 ，求两容器中的压强差。
3 917 kg m 油 解：
h 10cm，a 10cm
重力场中流体的平衡
例2 3如图，一压强测试装置，活塞直径d 35mm，重15 N，油的密度1 920 kg m3 ， 水银的密度2 13600 kg m3 ，若不计活塞的摩擦和泄漏，试计算活塞底面和U形管中 水银液面的高度差h 0.7m时，U 形管中两水银液面的高度差。
流体静压强及其特性
当
δx、δy、δz 趋向于0时，得到：
p x pn
所以：
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
※证明在静止流体内部,压强只是点的坐标的连续函数
静压强可表示为
p px, y, z
第二节 流体平衡微分方程式
◆
平衡微分方程式
在静止流体中取一微 元平行六面体 边长 δx、δy、δz 中心点坐标 a(x,y,z)
自由液面
C1 0
ax gzs 0
得 x zs 代入 p p0 ax gz 得
g a
p p0 g z s z p0 gh
※ 形式上和绝对平衡的流体静压强的分布规律完全相同，但 实质上两者是有区别的。在绝对平衡状态下，淹深仅仅和垂直 坐标有关，而上述的相对平衡状态下，淹深不仅和垂直坐标有 关，还和水平坐标有关。
重力场中流体的平衡
第四节 压力描述及测量仪表
◆
绝对压强 计示压强 真空度
绝对压强：以完全真空为基准计量的压强
p pa gh
计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强 pe p pa gh 真空度：当被测流体的绝对压强低于大气压强时，测得的计示压强
为负值，此时，流体处于真空状态
g
g
※ 适用于不可压缩均质流体的平衡状态
重力场中流体的平衡
◆
流体静力学基本方程
物理意义: z 单位质量流体的位势能
p g
单位质量流体的压力势能
之和为总势能
对图中a点和b点列静力学方程
z
p z hp g
或
hp
p g
※ 当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时,在流 体中的任意点上,单位质量流体的总势能为常数
力在z方向的平衡方程为:
1 1 pz x y pn ABCD cos pn ˆ , z f z x y z 0 2 6 1 1 , z x y pz pn f z z 0 由于 ABCD cos pn ˆ 2 3
倾斜式微压计
p2 p1
h2 l A1 A2
工作液体一般采用 蒸馏水或者酒精
h1 l sin
h h1 h2 l sin A1 A2
p p2 p1 gh g sin A1 A2 l kl
k
重力场中流体的平衡
微压计系数，0.2、0.3、 0.4、0.6、0.8
解：
重力场中流体的平衡
例２-4 如图所示，已知 h2 250mm，h3 200mm，h
h5 =500mm 1 1000 kg m3 ，2 800 kg m3 ，3 13598 kg m3
4
=300mm
h1 =600mm 求A B两点的压强差。
解:
重力场中流体的平衡
例2 5如图所示，两圆筒用管 子连接。第一个圆筒直 径d1 45cm，活塞上受力 F1 3197N，密封 气体的计示压强 pe 9810Pa；第二个圆筒 d 2 30cm，活塞上受力 F2 4945.5 N，上部通大气。若 不计活塞质量，求平衡 状态时两活塞的高度差 h。（已知水银的密度 13600kg m 3 ）
为了减小毛细现象的影响,玻璃管直径一般不小于14mm
测压管 结构最简单的液柱式测压计
分被测压强高于和低于大气压强两种情况：
p p a
p pa gh
pe gh
pv gh
p p a
p pa gh
重力场中流体的平衡
U形管测压计 也要考虑毛细现象的影响,管径的要求和测
压管相同,压强量程比测压管大得多 工作液体一般 采用水或水银
力在y方向的平衡方程为:
1 1 p y x z pn ABCD cos pn ˆ , y f y x y z 0 2 6 1 1 , y x z p y pn f y y 0 由于 ABCD cos pn ˆ 2 3
p v pe p a p
用液柱高度表示
各压强度量 单位之间的 １标准大气压＝ 1.01325105 Pa 换算
pV pa p hV g g １工程大气压＝ 9.80665104 Pa
重力场中流体的平衡
金属式测压计
压电晶体式传感器
重力场中流体的平衡
◆
流体静压强的测量和液柱式测压计
顶盖 中心处 边缘处
z0
pe
2 x2
2 gz C1
2r 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
gz C1
等压面为旋转抛物面 的等压面为自由液面
C1 0
液体的相对平衡
自由液面方程
2r 2
2
gzs 0
zs
2r 2
2g
代入得 p p0 g z s z p0 gh 特例:
流体受惯性力的作用向外甩, 2r 2 顶盖中心开口的旋转容器 由于顶盖的限制,自由液面虽 p p0 g z 2g （离心式铸造机） 然不能形成抛物面,压强分布 仍为
重力场中流体的平衡
几何意义:
z
p g
位置水头
压力水头
之和为静水头
A-A 静水头线
※不可压缩的重力 场中流体处于平衡 状态时,静水头线为 平行于基准面的水 平线
重力场中流体的平衡
◆
帕斯卡原理:
对淹深为h的a点和压强为p0的自 由液面上的点，列静力学基本方程
z p p z h 0 g g
U形管测压计还可用来测量流体的压强差 容器中A,B点的位置高度一样
p A 1 gh1 p B 1 gh2 2 gh
p pA pB 2hg 1gh2 1gh1 2 1 gh
两个容器中流体的密度 1
U形管中工作液体的密度 2
p p a
p 1 gh1 pa 2 gh2
p pa 2 gh2 1 gh1
pe 2 gh2 1 gh1
p p a
p pa 2 gh2 1 gh1
pv 2 gh2 1 gh1
重力场中流体的平衡
被测流体的密度 1
U形管中工作液体的密度 2
液体的相对平衡
当
z0
x0
p p0 时得
C p0
p p0 ax gz
静压强不仅与垂直坐标有关系，同时还和水平坐标有关系 等压面微分方程： adx gdz 0 积分得
ax gz C1
等压面为一簇倾斜平面
等压面和x 轴的夹角 为
液体的相对平衡
a arctg g
由矢量代数可知,这两个矢量必然垂直
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
第三节 流体静力学基本方程
重力场中,取xoy为水平面,z轴垂直向上,在该坐标系中 单位质量力的分量为：
fx fy 0
f z g
dp gdz
对于不可压缩 流体,积分得
z
p c1 g
对1,2两点列方程: z p1 z p 2 1 2
流体静压强的两个特性
特性一：流体静压力方向垂 直于作用面，并沿作用面的内 法线方向
流体静压强及其特性
特性二：流体静压强大小与作用面的方向无关，只是该点 坐标的连续可微函数 边长
δx、δy、δz
静压强 Px、Py、Pz和Pn 密度
ρ
单位质量力的分量
p xyz 0 x
fx
1 p 0 x
（1） （2） （3）
1 p fy 0 y
同理得
1 p fz 0 z
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
1 写成矢量： f p 0
静止流体平衡微分方程式 又叫欧拉平衡微分方程式
其中： f f x i f x j f z k
f grad ( p)
适用范围：可压缩、不可压缩流体 静止、相对静止状态流体
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
◆
等压面
上式中(1)×dx +(2)×dy +(3)×dz得
dp p p p dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z
重力场中流体的平衡
第四节 流体相对平衡时的力学分析
1、等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡
质量力包括两部分：
f x a
fy 0
f z g
代入压差公式
dp adx gdz
积分得
p ax gz C
坐标原点选在液面不变化的o点， z轴垂直向上，x轴沿罐车的运动 方向
液体的相对平衡
2、等角速旋转容器中液体的相对平衡
单位质量力分量分别为
f x 2 r cos 2 x
f y 2 r sin 2 y
f z g
代入压强差公式
dp 2 xdx 2 ydy gdz
2 x2 2 y 2 2r 2 p gz C gz C 2 2 2
压强差方程:
等压面：在流体中压强相等的点组成的面
微分形式的等压面方程：
dp 0
f x dx f y dy f z dz 0
性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于 经过该点的等压面 写成矢量形式:
f dl f x dx f y dy f z dz 0
fx 、fy、 fz
流体静压强及其特性
力在x方向的平衡方程为：
由于
1 1 p x yz pn ABCD cos pn ˆ , x f x xyz 0 2 6 1 1 p x p n f x x 0 ABCD cos p n ˆ , x yz 3 2
p p0 gh
上式表明:不可压缩的重力流体处于平衡状态时,流 体内部的静压强由两部分构成
1 自由表面的压强 2 淹深为h 、密度为 的流体柱产生的压强
gh
该式还表明:均质不可压缩的重力流体处于平衡状态时,自由液面上的 压强对内部任意点上的影响是相同的,即施加在自由液面上的压强,将 以同样的大小传递到液体内部任意点上—帕斯卡原理
主要内容：
1、平衡状态下流体中应力特征；
2、流体平衡微分方程式；
3、流体静力学基本方程；
4、压力的描述及测量仪表；
5、流体相对平衡时的力学分析；
6、流体与固体的相互作用。
第一节
平衡状态下流体中应力特征
当流体处于平衡或相对平衡状态时,作用在流体上的应 力只有法向应力而没有切向应力,流体作用面上负的法向应 力就是静压强
中心点压强 p
单位质量力的分量
fx 、fy、 fz
作用在x轴垂直的两个面中心点b、c上的流体静压强，可将a 点的静压强按泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小项求得
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
x方向的平衡方程式 化简得 同除以
f x xyz
m xyz
p x p x f x xyz p y z p yz 0 x 2 x 2
将坐标原点取在抛物面的顶点上， z轴垂直向上，xoy面水平
当z 0 r 0 时
p p0
代入上式得 C p0
2r 2 p p0 g 2g z
2 y2
2
等压面微分方程： 2 xdx 2 ydy gdz 0 积分得
例如图２-１所示，一倒置的Ｕ形管，其工作液体为油，
下部为水，已知 ，求两容器中的压强差。
3 917 kg m 油 解：
h 10cm，a 10cm
重力场中流体的平衡
例2 3如图，一压强测试装置，活塞直径d 35mm，重15 N，油的密度1 920 kg m3 ， 水银的密度2 13600 kg m3 ，若不计活塞的摩擦和泄漏，试计算活塞底面和U形管中 水银液面的高度差h 0.7m时，U 形管中两水银液面的高度差。
流体静压强及其特性
当
δx、δy、δz 趋向于0时，得到：
p x pn
所以：
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
※证明在静止流体内部,压强只是点的坐标的连续函数
静压强可表示为
p px, y, z
第二节 流体平衡微分方程式
◆
平衡微分方程式
在静止流体中取一微 元平行六面体 边长 δx、δy、δz 中心点坐标 a(x,y,z)
自由液面
C1 0
ax gzs 0
得 x zs 代入 p p0 ax gz 得
g a
p p0 g z s z p0 gh
※ 形式上和绝对平衡的流体静压强的分布规律完全相同，但 实质上两者是有区别的。在绝对平衡状态下，淹深仅仅和垂直 坐标有关，而上述的相对平衡状态下，淹深不仅和垂直坐标有 关，还和水平坐标有关。
重力场中流体的平衡
第四节 压力描述及测量仪表
◆
绝对压强 计示压强 真空度
绝对压强：以完全真空为基准计量的压强
p pa gh
计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强 pe p pa gh 真空度：当被测流体的绝对压强低于大气压强时，测得的计示压强
为负值，此时，流体处于真空状态
g
g
※ 适用于不可压缩均质流体的平衡状态
重力场中流体的平衡
◆
流体静力学基本方程
物理意义: z 单位质量流体的位势能
p g
单位质量流体的压力势能
之和为总势能
对图中a点和b点列静力学方程
z
p z hp g
或
hp
p g
※ 当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时,在流 体中的任意点上,单位质量流体的总势能为常数
力在z方向的平衡方程为:
1 1 pz x y pn ABCD cos pn ˆ , z f z x y z 0 2 6 1 1 , z x y pz pn f z z 0 由于 ABCD cos pn ˆ 2 3
倾斜式微压计
p2 p1
h2 l A1 A2
工作液体一般采用 蒸馏水或者酒精
h1 l sin
h h1 h2 l sin A1 A2
p p2 p1 gh g sin A1 A2 l kl
k
重力场中流体的平衡
微压计系数，0.2、0.3、 0.4、0.6、0.8
解：
重力场中流体的平衡
例２-4 如图所示，已知 h2 250mm，h3 200mm，h
h5 =500mm 1 1000 kg m3 ，2 800 kg m3 ，3 13598 kg m3
4
=300mm
h1 =600mm 求A B两点的压强差。
解:
重力场中流体的平衡
例2 5如图所示，两圆筒用管 子连接。第一个圆筒直 径d1 45cm，活塞上受力 F1 3197N，密封 气体的计示压强 pe 9810Pa；第二个圆筒 d 2 30cm，活塞上受力 F2 4945.5 N，上部通大气。若 不计活塞质量，求平衡 状态时两活塞的高度差 h。（已知水银的密度 13600kg m 3 ）
为了减小毛细现象的影响,玻璃管直径一般不小于14mm
测压管 结构最简单的液柱式测压计
分被测压强高于和低于大气压强两种情况：
p p a
p pa gh
pe gh
pv gh
p p a
p pa gh
重力场中流体的平衡
U形管测压计 也要考虑毛细现象的影响,管径的要求和测
压管相同,压强量程比测压管大得多 工作液体一般 采用水或水银
力在y方向的平衡方程为:
1 1 p y x z pn ABCD cos pn ˆ , y f y x y z 0 2 6 1 1 , y x z p y pn f y y 0 由于 ABCD cos pn ˆ 2 3
p v pe p a p
用液柱高度表示
各压强度量 单位之间的 １标准大气压＝ 1.01325105 Pa 换算
pV pa p hV g g １工程大气压＝ 9.80665104 Pa
重力场中流体的平衡
金属式测压计
压电晶体式传感器
重力场中流体的平衡
◆
流体静压强的测量和液柱式测压计
顶盖 中心处 边缘处
z0
pe
2 x2
2 gz C1
2r 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
gz C1
等压面为旋转抛物面 的等压面为自由液面
C1 0
液体的相对平衡
自由液面方程
2r 2
2
gzs 0
zs
2r 2
2g
代入得 p p0 g z s z p0 gh 特例:
流体受惯性力的作用向外甩, 2r 2 顶盖中心开口的旋转容器 由于顶盖的限制,自由液面虽 p p0 g z 2g （离心式铸造机） 然不能形成抛物面,压强分布 仍为
重力场中流体的平衡
几何意义:
z
p g
位置水头
压力水头
之和为静水头
A-A 静水头线
※不可压缩的重力 场中流体处于平衡 状态时,静水头线为 平行于基准面的水 平线
重力场中流体的平衡
◆
帕斯卡原理:
对淹深为h的a点和压强为p0的自 由液面上的点，列静力学基本方程
z p p z h 0 g g
U形管测压计还可用来测量流体的压强差 容器中A,B点的位置高度一样
p A 1 gh1 p B 1 gh2 2 gh
p pA pB 2hg 1gh2 1gh1 2 1 gh
两个容器中流体的密度 1
U形管中工作液体的密度 2
p p a
p 1 gh1 pa 2 gh2
p pa 2 gh2 1 gh1
pe 2 gh2 1 gh1
p p a
p pa 2 gh2 1 gh1
pv 2 gh2 1 gh1
重力场中流体的平衡
被测流体的密度 1
U形管中工作液体的密度 2
液体的相对平衡
当
z0
x0
p p0 时得
C p0
p p0 ax gz
静压强不仅与垂直坐标有关系，同时还和水平坐标有关系 等压面微分方程： adx gdz 0 积分得
ax gz C1
等压面为一簇倾斜平面
等压面和x 轴的夹角 为
液体的相对平衡
a arctg g
由矢量代数可知,这两个矢量必然垂直
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
第三节 流体静力学基本方程
重力场中,取xoy为水平面,z轴垂直向上,在该坐标系中 单位质量力的分量为：
fx fy 0
f z g
dp gdz
对于不可压缩 流体,积分得
z
p c1 g
对1,2两点列方程: z p1 z p 2 1 2