第1章 数论与应用--整数的唯一分解定理

1.1 归纳公理

例 试证明：对于任意正整数n都有
1 2 3 n n(n 1) / 2. 证 （1）当 n 1时，因为 1 (1 2) / 2 ，所以公式成立。 （2）假设当 n k 时，有 1 2 3 k k (k 1) / 2 成立。

1.2 整除、素数与合数





1 。如果它除了显然约数±1，±p外没 定义1-2 设整数 p 0， 有其它的约数，那么，p就称为是素数（或质数）。若 a 0 ，±1 且a不是素数，则a称为合数。 a 1是合数的充要条件是a de， 1 d a， 1﹤e a； 定理1-8 （1） 若d 1，是素数且 q d | q， 则d q。 （2） 定理1-9 若a是Biblioteka Baidu数，则必有素数 p | a 。 定理1-10 若p是一质数，a是任一整数，则a能被p整除或p与a互 质。 定理1-11 设a是任一大于1的整数，则a的除1以外最小正因数q是 一质数，并且当a是合数时，q a 。 定理1-12 任何大于1的整数a都至少有一个素约数。
f (b) f (c) an (bn cn ) an1 (bn1 cn1 ) a1 (b c) j j 由此及 d | b c ，就推出所要结论。 注：上例常用的形式是：若 b qd c ，那么 d | f b 的充要条件是 d | f (c ) 。
定理1-6 若a，b都是m的倍数，则 a b 也是m的倍数。

1.2 整除、素数与合数


定理1-7 （1）a | b a | b a | b a | b ； （2） a | b且a | c 对任意的x, y Z 有a | bx cy ； （3）设m 0，那么，a | b ma | mb； （4） a | b且b | a b a； （5）设b 0。 那么a | b a b 。 例 设 f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0 是整系数多项式。若 d | b－c， 则 d | f (b) f (c)。 证：易知


定义1 设a，b是任意两个整数，其中 b 0 。如果存在一个整数q 使得等式 a bq （1-1） 成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作 b | a ，此时我们把b叫作 a的约数或因数，把a叫作b的倍数。 如果（1-1）里的整数q不存在，我们就说b不能整除a或a不能被b a。 整除，记作b Œ 定理1-5 若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数，也就是 b | a, c | b c | a.
1.2 整除、素数与合数


定理1-11证明：假设q不是质数，由合数定义，q除1及本身外还有 一正因数 q1，因而1 q1 q 。但q | a ，所以 q1 | a ，这与q是a的除1 外的最小正因数矛盾，故q是质数。 当a是合数时，则 a a1q，且 a1 1，否则a是质数。由于q是a的除 2 1外的最小正因数，所以 q a1 ，q qa1 a，故 q a 。 证毕 定理1-11给出了一个寻找素数的有效算法。例如，为了求出不超 过100（或任给的正整数N）的所有素数，只要把1，及不超过100 （或N）的所有正合数都删去。由定理1-11和定理1-12知，不超过 1/2 1/2 （或 N 2） 。 100（或N）的正合数a必有一个素除数 p a 100 10 因而，只要先求出不超过10（或 N 2 ）的全部素数2,3,5,7（或 p1 , p2 , , ps ) ，然后，依次把不超过100（或N）的正整数中的除了 2,3,5,7（或 p1 , p2 , , ps ）以外的2的倍数、3的倍数、5的倍数、7
1.1 归纳公理

定理1-4（第二种数学归纳法） 设 P(n)是关于自然数n的一个命题。 P(1) 成立； 如果（1）当 n 1时， （2）设 n 1 ，若对所有的自然数 m n， P ( m) 成立，则必可推出 P (n) 成立，那么，P(n) 对所有自然数n成立。 证：用反证法。若定理不成立，设T是使 P (n) 不成立的所有自然 数组成的集合，T非空。由定理1-2知集合T必有最小自然数 t 0。由 于 P(1)成立，所以 t0 1 。由条件（2）（取 n t0）知，必有自然数 m t0 使P ( m) 不成立。由于T的定义知 m T ，但这和 t 0 的最小性 矛盾。 证毕
数论与应用
数论是研究整数性质的一个数学分支，是密码学发展的 关键。随着网络安全越来越重要，数论的作用也越来越受 到重视，因此，这里介绍了数论的一些基本知识和相关应 用，全书共分为12章，希望给相关领域的学者提供一些帮 助。
第1章 整数的唯一分解定理

1.1 归纳定理 1.2 整除、素数与合数 1.3 带余数除法 1.4 最大公因数和最小公倍数 1.5 整数的唯一分解定理 1.6 辗转相除法 1.7 素数定理
1 S
1.1 归纳公理


归纳公理 设S是N的一个子集，满足条件： （1） 1 S ; （2） 如果n S，则n 1 S； 那么，S N。 定理1-1（第一数学归纳法） 设 P (n) 关于自然数n的一个命题。 如果 P(1) 成立； （1）当 n 1 时， （2）由 P (n) 成立必可推出 P(n 1) 成立。
1.1 归纳公理



定理1-2（最小自然数原理） 设T是N的一个非空子集。 那么，必有 t0 T 使对任意的 t T 有 t0 t ，即 t 0是T中 的最小自然数。 定理1-3（最大自然数原理） 设M是N的非空子集。若 M有上界，即存在 a N ，使对任意的 m M 有 m a ， 那么，必有m0 M ，使对任意的 m M有m m0 ，即m0 是M 中的最大自然数。 这两个定理给出了N的一个子集中一定存在最小自然数， 以及存在最大自然数的条件。其中，最小自然数原理 是我们常用的第二种数学归纳法的基础。
（3）当 n k 1 时，有
1 2 3 k (k 1) k (k 1) / 2 (k 1) (k 1)(k 2) / 2
n n(n 1) / 2 。
公式也成立。 1 2 3 所以对于任意正整数n都有
1.2 整除、素数与合数