判断时不变系统举例
数字信号处理-原理实现及应用(高西全-第3版)第1章 时域离散信号和系统
2020/7/5
信息与通信工程系—数字信号处理
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时域离散信号的表示
用图形表示
直观
1
0.5
xaT(n)
0
-0.5
-1
-4
-2
0
2
4
6
n
为了醒目，在每一条竖线的顶端加一个小黑点。
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Matlab 语言中的序列表示
t=-0.025:0.001:0.025; xat=0.9*sin(50*pi*t); subplot(2,1,1); plot(t,xat);axis([-0.025,0.03,-1,1]); xlabel('t'); ylabel('xat(t)');
a nun
1 a 0
1 1 O 1
23
4n
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正弦序列
x(n) Asin(nT ) Asin(n )
T 采样间隔 ； 模拟信号的角频率
数字域的数字频率
T 1
x(n)
0
2 /10
-1
-10 -5
0
5 10
n
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信息与通信工程系—数字信号处理
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样 的物理装置常称为系统。
系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其
转换为所需要的输出信号。
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1.1 引言
信号、系统数学描述的意义
为了把握信号与系统的特征参数
系统输出的预测
判断时不变系统举例
判断时不变系统举例
判断时不变系统即为在时间发展过程中，具有不变性质的系统。
这种系统是指在时域中一段确定时间（如整个系统的运行过程、某个过程、某一个时刻）内，它的表现方式在系统中所有相同时间段内是相同的。
判断时不变系统具有许多应用场景，如控制系统、信号处理、电力电子等。
下面列举一些判断时不变系统的具体例子。
1. 数字滤波器：数字滤波器是以数字信号为输入的滤波器，它将信号传递到系统，通过处理输出一个新的信号。
这种系统中所有相同时间段内的输出结果是一致的，因此数字滤波器是判断时不变系统。
2. 机器人控制系统：机器人控制系统主要是通过控制机器人的动作实现一个特定的任务。
在机器人控制系统中，机器人的动作与时间有关，但当输入的情况相同时，输出结果也是一致的，因此机器人控制系统是判断时不变系统。
4. 数字信号处理：数字信号处理主要是对数字信号进行分析和处理，以提取信号的信息和特征。
在数字信号处理中，输入的信号和处理的方式可能会变化，但在同一时间段内，相同输入条件下输出结果是一致的，因此数字信号处理也是判断时不变系统。
以上就是一些判断时不变系统的具体例子，这些系统具有确定的输入和输出，而且在同一时间段内，相同输入条件下输出结果是一致的。
对于这些系统，我们可以通过研究它们的动态特性和稳定性来优化和改进它们的性能。
判断下列系统的线性时不变性因果性和记忆性解析P
1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。
（解析P7） ①()10()()dy t y t f t dt += ②()()(10)dy t y t f t dt+=+ ③2()()()dy t t y t f t dt+= ④2()(10)()y t f t f t =++2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。
（解析P7） ①20()()sin ()y t y t t at f t =+ ②()()()y t f t f t b =⋅-3.某系统，当输入为()tδτ-时，输出为()()(3)h t u t u t ττ=---，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系统？说明理由。
4.下列信号属于功率信号的是（解析P6） ①cos ()tu t ②()teu t - ③()t te u t - ④te-5. 画出函数波形图：2()(1)f t u t =-（指导P12）6.已知()()2(1)(2)(2),f t tu t u t t u t =--+--画出()f t 波形。
（指导P13） 7.根据1.10图中(32)f t -+的波形，画出()f t 波形。
（指导P18） 8.已知()f t 波形波形如例1.11图所示，试画出1(2)2f t --的波形。
（指导P19） 9.已知(52)f t -的波形如图例1.12图所示，求()f t 波形。
（指导P20） 10.求下列函数值 ①432'(652)(1)t t t t dt δ∞+++-⎰②3'()te d τδττ--∞⎰ ③'2(9)t dt δ+∞-∞-⎰ （指导P24）11.求信号0.20.3()j n j n x n ee ππ-=+的周期。
（指导P36） 12.设()x t 是复指数信号：0()j tx t eΩ=，其角频率为0Ω，基本周期为02T π=Ω。
如果离散时间序列是通过对()x t 以取样间隔s T 进行均匀取样的结果，即00()()s j nT j n s x n x nT e e ωΩ===。
§1.6线性时不变系统
§1.6线性时不变系统•线性系统与非线性系统•时变系统与时不变系统•因果系统与非因果系统•稳定系统与不稳定系统通信与信息工程学院江帆一、系统的定义若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。
电子系统是电子元器件的集合体。
电路侧重于局部，系统侧重于全部。
电路、系统两词通用。
二、系统的分类及性质可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。
下面讨论几种常用的分类法。
1. 连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。
若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。
2. 动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。
含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。
否则称即时系统或无记忆系统。
3. 线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为线性系统。
（1）线性性质系统的激励f (·)所引起的响应y(·) 可简记为y(·)= T[ f (·)]系统f (·)y (·)线性性质包括两方面：齐次性和可加性。
若系统的激励f (·)增大a倍时，其响应y(·)也增大a倍，即T[a f(·)] = a T[ f (·)]则称该系统是齐次的。
若系统对于激励f1(·)与f2(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即T[f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] 则称该系统是可加的。
若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[a f 1(·) + b f 2(·)] = a T[ f 1(·)] + bT[ f 2(·)]()()t e t e 2211αα+H()()t r t r 2211αα+)()()()(22112211t t t t r r e e αααα+→+H()t e 2()t r 2H)(1t e ()t r 1（2）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励{ f(·) }有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。
线性时不变系统的基本特性
x(t) cx1(t) y(t) ax(t) b acx1(t) b cy1(t)
系统也不满足齐次性。
由线性，可以得到系统的一个结果是：在全部时间上系 统输入为零，必然输出为零，即零输入产生零输出。
N
N
x(t) ak xk (t) 0 xk (t) 0
判断一个系统是否满足某种特性，只要能找到一个例 子不满足，就可证明其不满足此特性。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为：
y(t) x(2t)
即如图所示：
x(t) 系统
x(t)
y(t) x(2t) y(t)
1
1
t
1
1 2
1
t
x(t) x(t)
系统
y(t) x(2t) y(t)
1
1
t
x(t 1)
k 1
k 1
N
N
y(t) ak yk (t) 0 yk (t) 0
k 1
k 1
而
y(t) ax(t) b a 0 b b
即在零输入时，系统输出不为零。这部分不为零的输出， 称为系统的零输入响应。
二、时不变性 x(t) 系统
x(t t0 )
y(t) y(t t0 )
例如：设系统的输入输出之间的关系为：
1
t 1 2
1
1 2
1
t
y1 (t )
y(t
1 2
)
1
1 2
1
t
所以系统是一时Biblioteka 系统。综合线性与时不变性，可表示为：
N
x(t) ak xk (t tk ) k 1
N
y(t) ak yk (t tk ) k 1
判断系统的时不变性
第29卷 第1期2007年2月电气电子教学学报J OU RNAL OF EEEVol.29 No.1Feb.2007判断系统的时不变性高 政,周宗潭(国防科技大学 机电工程与自动化学院 自动控制系,湖南长沙410073)①摘 要:在“信号与系统”课程中,时不变性是系统的重要性质。
根据笔者的教学体会,将系统的输入输出解析关系抽象为三类函数,并且分析了这些系统的时不变性,从而使学生能够快速有效地判别系统的时不变性。
关键词:教学研究;教学方法;时不变性;信号与系统中图分类号:TN91117 文献标识码:A 文章编号:1008-0686(2007)01-0030-02The Judgment of Time2Invariance of SystemsG AO Zheng,ZH OU Zong2tan(Depart ment of A utomatic Cont rol,College of Mechat ronics and A utomation,N ational Universit y of Def ense Technology,Changsha410073,China)Abstract:The time2invariance is a crucial p roperty of systems in t he course of Signals and Systems.In t his paper,based on t he aut hor’s experience of lect uring,t he analytical relationship s between outp ut and inp ut of t he systems have been abst racted as t hree f unctions,on which t he time2invariance of t hese systems have been analyzed based.Therefore,based on t hese f unctions,t he st udent s can judge t he time2invariance of systems easily.K eyw ords:teaching st udy;teaching met hod;time2invariance;Signals and Systems0 引言一个系统,如果它的输入信号产生一个时间移位,其输出信号也相应产生一个相同的时间移位,则称该系统为时不变系统(Time2Invariant Systems),否则称该系统为时变系统(Time2Varying Sys2 tems)。
信号与系统稳定性的判断方法
信号与系统稳定性的判断方法信号与系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内是否始终有界。
在信号与系统学科中，稳定性是十分重要的一个概念，它关乎到系统的可控性、可观测性、性能优化等方面。
在工程实践中，对于不稳定的系统，我们需要通过判断及时作出调整和改进。
本文将详细介绍信号与系统稳定性的判断方法。
首先，我们来讨论连续时间系统的稳定性判断方法。
对于线性时不变系统，它的稳定性可以通过系统的传递函数来判断。
连续时间系统的传递函数一般可以表示为H(s)，其中s是复频域变量。
连续时间系统稳定的条件是传递函数H(s)的所有极点都位于s平面的左半实轴（实部小于零）上。
对于离散时间系统，其稳定性判据是类似的。
离散时间系统的传递函数一般可以表示为H(z)，其中z是复平面变量。
离散时间系统稳定的条件是传递函数H(z)的所有极点都位于单位圆内（绝对值小于1）。
除了传递函数法外，还有一些其他方法可以判断系统的稳定性。
以下是几种常见的方法：1.查看系统的单位冲激响应：通过单位冲激响应来观察系统的输出是否有界。
如果单位冲激响应在有限时间内衰减到零，则系统是稳定的。
2.查看系统的单位步响应：步响应是指系统对一个单位阶跃输入的响应。
通过观察单位步响应是否趋于稳定，可以初步判断系统是否稳定。
3.利用系统的状态方程：如果系统的状态方程满足严格李雅普诺夫稳定条件（所有特征根的实部小于零），则系统是稳定的。
该方法适用于线性时不变系统。
4.利用系统的瞬态响应：观察系统的瞬态响应是否为有界信号。
如果系统的瞬态响应在有限时间内衰减到零，则系统是稳定的。
5.利用系统的BIBO稳定性：系统的BIBO稳定性（有界输入有界输出稳定性）可以通过观察系统的单位采样响应是否有界来判断。
如果系统的单位采样响应是有界的，则系统是稳定的。
需要注意的是，以上方法并非普遍适用于所有类型的系统。
对于一些非线性系统、时变系统，以上方法可能不适用或者判断结果不准确。
在实际应用中，还可以结合仿真实验、数值计算等方法来进行稳定性判断。
信号与系统(程耕国)下册课后习题答案
信号与系统（程耕国）下册课后习题答案6.2 精选例题例 1 设一个LTI 离散系统的初始状态不为零，当激励为)()(1n u n f =时全响应为)(121)(1n u n y n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，当激励为)()(2n u n f -=时全响应为)(121)(2n u n y n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=。
（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为)(4)(3n u n f =时，求系统的全响应)(3n y 。
（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为)2(4)(4-=n u n f 时，求系统的全响应)(4n y 。
（3）求该系统的单位序列响应)(n h 。
解：设系统的初始状态保持不变，当激励为)()(1n u n f =时系统的零输入响应和零状态响应分别为)(n y x 、)(n y f 。
依题意，有：)(121)()()(1n u n y n y n y n f x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= ○1根据LTI 系统的性质，当激励为)()(2n u n f -=时全响应为)(121)(()(2n u n y n y n y n f x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=） ○2联立式○1、○2，可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++)(12121)()(2121(1111n u n y n u n y n n f n n x ）同样，根据LTI 系统的基本性质，不难得到：（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为)(4)(3n u n f =时，系统的全响应为：)(4)()(3n y n y n y f x +=)(121214)(21211111n u n u n n n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++)(421321511n u n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为)2(4)(4-=n u n f 时，系统的全响应为：)2(4)(2)(4-+=n y n y n y f x)2(121214)(21211111-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=--++n u n u n n n n（3）由于)1()()(--=n u n u n δ，所以该系统的单位序列响应为：)1()()(--=n y n y n h f f)1(12121)(1212111-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n u n u n n n n 例2 一个LTI 连续系统对激励)(sin )(t tu t f =的零状态响应)(t y f 如例2图所示，求该系统的冲激响应)(t h 。
时变系统与时不变系统的特点与应用
时变系统与时不变系统的特点与应用时变系统（Time-Varying System）是指系统在不同时间下，其特性参数或输入-输出关系发生改变的系统。
与之相对的，时不变系统（Time-Invariant System）是指系统在不同时间下，其特性参数或输入-输出关系保持不变的系统。
本文将重点探讨时变系统与时不变系统的特点以及它们的应用。
一、时变系统的特点时变系统的主要特点可归纳如下：1. 动态性：时变系统的特性参数或输入-输出关系与时间相关，在不同时间段内可能发生显著的变化。
这使得时变系统具有较强的动态响应能力，可以适应不同时间段内的输入变化。
2. 多样性：时变系统的特性参数或输入-输出关系可以在一定范围内随时间变化。
这使得时变系统能够适应不同的工作环境和条件，具备更广泛的应用范围。
3. 随机性：由于时变系统的参数或输入-输出关系与时间相关，因此其响应可能受到外界随机因素的影响。
这给时变系统的建模、分析和控制带来了一定的挑战，需要采用更加复杂的方法和工具进行处理。
二、时变系统的应用时变系统在各个领域中都有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 通信系统：通信系统中的噪声和干扰通常具有时变的特性，时变系统模型可以更好地描述和处理这些现象。
例如，在移动通信中，时变信道的建模和信号传输的自适应调整都涉及到时变系统的应用。
2. 控制系统：时变系统可以应用于控制系统中的自适应控制和模型预测控制等问题。
通过对时变系统的建模和分析，可以提高控制系统的鲁棒性和性能，使其能够适应系统参数变化和外部扰动的影响。
3. 信号处理：时变系统的理论和方法在信号处理领域中具有重要的地位。
例如，时变滤波器可以用于非平稳信号的处理，时变系统的频率响应分析可以用于时频分析等应用。
4. 生物医学工程：生物系统的特性常常具有时变性，时变系统的理论可以用于对生物信号的分析和处理。
例如，心电图信号的变异性可以通过时变系统模型进行表征和分析。
线性时不变系统
t 0
(4)
d
c2r2 dt
(t)
10c2r2
(t)
5
c2e2
(t)
t0
(5)
(4)+(5)显然不等于(3) 所以该系统为非线性系统
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而 变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：
e(t)
r(t)
H
ke(t)
kr(t)
H
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
叠加性：
e1 e2
(t (t
) )
rr12((tt))
e1(t) e2 (t) r1(t) r2 (t)
e1 (t )
H r1(t)
e2 (t)
H r2 (t)
e1 (t) e2 (t)
H
r1 (t) r2 (t)
所以该系统为非因果系统。
未来的激励
信号与系统
教学重点
线性系统 时变系统 系统稳定、 因果性
小结
教学难点
线性时不变 系统的微分特性
信号与系统
1.8 线性时不变系统
1
信号与系统
课程目标
1 线性系统与非线性系统 2 时变系统与时不变系统 3 线性时不变系统的微分特性 4 系统稳定性、因果性
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
1.定义 线性系统：指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：e(t) r(t) ke(t) kr(t)
2.2 线性不变系统
输入一个单 一频率的余 弦信号 系统 输出
只有输入频率的余弦信号，则是线性不变系统； 只有输入频率的余弦信号，则是线性不变系统； 还含有其他的频率，则不是线性不变系统！ 还含有其他的频率，则不是线性不变系统！
g (t ) = K1 A2 sin ω1 (t − t0 ) + K 2 AB cos ω 2 (t − t0 ) = K1 g1 (t ) + K 2 g 2 (t )
从上式看出，此滤波器具有均匀性和叠加性， 从上式看出，此滤波器具有均匀性和叠加性，因此是一个 线性滤波器。 线性滤波器。
即
τ ' f 1 (t ) = A sin ω 1 (t − τ ) = f 1 (t − τ )
即：
{
}
g (x, y ) = f ( x, y ) * h( x, y )
输出函数 = 输入函数 * 单位脉冲响应
说明：系统的输出函数等于输入函数与系统的单位 说明：系统的输出函数等于输入函数与系统的单位 输出函数等于输入函数与系统的 脉冲响应的卷积 的卷积。 脉冲响应的卷积。
（二）线性不变系统的传递函数
如果例子中的输入有一个时间延迟
则输出响应可以表示成： 则输出响应可以表示成：
g '1 (t ) = A 2 sin ω 1 (t − τ − t 0 ) = g 1 (t − τ )
即输出响应同样有一个延迟 ， 因此这个理想的滤波器是一个线性时间不变滤波器。 线性时间不变滤波器 因此这个理想的滤波器是一个线性时间不变滤波器。
线性时不变系统及其特性
C1
f 2 (t )
H
C2
C2 H f 2 (t )
C1 H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
若
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t ) C1H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
叠加性：
e1 (t ) r1 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) e2 (t ) r2 (t )
e1 (t )
e2 (t )
e1 (t) e2 (t)
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
r1 (t) r2 (t)
信号与系统
e1 (t ) e2 (t )
分别激励系统，
则由所给微分方程式分别有：
当
e1 (t ) e2 (t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有
t 0 (5)
d r1 (t ) 10r1 (t ) 5 e1 (t ) dt d r2 (t ) 10r2 (t ) 5 e2 (t ) dt
例： 判断下列两个系统是否为非时变系统。
系统1：
系统2：
r (t ) cos e(t )
t 0
r (t ) e(t ) cos t
t 0
解： 系统1的作用是对输入信号作余弦运算。
e(t ) e(t t0 ) r11 (t ) cos e(t t0 )
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
f (t )
3线性时不变系统的描述
可见， 是 在离散时刻 的取值 抽样信号 的频谱
的集合。
版权所有 违者必究 第一章第2讲
9
抽样定理与A/D转换器
由频域卷积定理得：
将
和
带入
式中，得:
可见,一个连续时间信号经过理想抽样后,其
频谱为周期性频谱，且以抽样频率
Ωs=2π/T为间隔周期无限延拓。
版权所有 违者必究 第一章第2讲
P(2)n 3 P(2)n 2 P(2)n 2n
2
4
y
p
(n)
1 3
(2)n
解得：P 1
3
版权所有 违者必究 第一章第2讲
4
例 2 经典解法
(3)用初始值求常数：
全响应为： y(n)
yh (n)
yp (n)
C1 (1) n
C2 (2)n
1 3
(2)n
将初始条件代入上式，得：
10
抽样定理与A/D转换器
理想抽样信号的频谱周期延拓图示例
版权所有 违者必究 第一章第2讲
11
抽样定理与A/D转换器
理想抽样信号的频谱周期延拓图示例说明
1、设xa (t)的频谱 X a ( j)为被限制在某一最高频率Ωh
范围内，其频谱如上页图a所示，则称其为带限信号。
对带限信号的抽样，当满足Ωh基≤带Ω谱s/2时,原来频谱和 各次延拓分量的频谱不重叠,如上页图b所示。如果选
即： h M • 如果 h不是的整数倍，可将人为地向频率的
低端或高端进行扩展，使 h 成为扩展后的带宽的整
数倍。 如果将带宽向频率的低端扩展到Ω0 ，扩展后Ωh 是 新的带宽 Ω1 = Ωh -Ω0的整数倍。再按Ωs = 2Ωh/M 选择M进行抽样。如令M=3，则有：
现代控制理论试题(详细答案)-现控题目
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
信号与系统-第2章例题
对系统线性的进一步认识
例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t ) 时，其全响应
为 r1 (t ) 2e
3t
sin(2t ) u (t ) ； 当 激 励 为 2e(t ) 时 ， 其 全 响 应 为
3t r2 (t ) e 2sin(2t ) u (t ) 。求：
例：求微分方程的完全解 d2 d t y(0) y '(0) 0 y ( t ) 6 y ( t ) 5 y ( t ) e dt 2 dt d2 d 解: 齐次方程为 y (t ) 6 y (t ) 5 y (t ) 0 2 dt dt
特征方程：
2 6 5 0
d2 d r ( t ) 7 r (t ) 10r (t ) 2 (t ) 12 (t ) 8u(t ) 2 dt dt
例： 求系统的零输入响应
d2 d y ( t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt
1 5，2 1
特征根：
该方程的齐次解为：
yh (t ) C1e5t C2et
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
y p (t ) C t et
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
零输入响应
例： 求系统的零输入响应 d2 d y (t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt 解：特征方程
信号与系统-罗斯判据
复杂系统稳定性分析
针对复杂高阶系统，介绍如何 使用罗斯判据进行稳定性分析 和判断。
课程实验与设计
通过实验和设计项目，让学生亲 自动手应用罗斯判据解决实际问 题，提高实践能力和创新能力。
02 信号与系统基础知识
信号的定义与分类
信号的定义
信号是传递信息的函数，它可以是时 间的函数，也可以是其他独立变量的 函数。
记录实验结果，分析滤波器性能 的影响因素，如滤波器参数变化 对性能的影响等。
实验三：控制系统设计实验
实验目的
通过控制系统设计实验，掌握控制系 统设计的基本方法和步骤。
构建被控对象模型
根据实验要求，构建被控对象的数学 模型，如传递函数等。
设计控制器
根据被控对象模型和控制要求，设计 合适的控制器，如PID控制器等。
线性时不变系统的性质
线性性质
时不变性质
线性系统满足叠加原理和齐次性原理，即 系统对输入信号的响应可以表示为各个输 入信号单独作用时响应的线性组合。
时不变系统对输入信号的响应不随时间推 移而改变，即系统参数不随时间变化。
因果性质
稳定性
因果系统对输入信号的响应只与当前和过 去的输入信号有关，与未来的输入信号无 关。
02 03
控制系统设计中的应用
罗斯判据在控制系统设计中具有重要的应用价值。通过判 断系统的稳定性，可以选择合适的控制器参数来确保系统 稳定，并满足性能要求。
与其他稳定性判据的关系
罗斯判据与其他稳定性判据如劳斯-赫尔维茨判据、奈奎 斯特稳定判据等具有一定的联系和区别。它们都可以用来 判断系统的稳定性，但适用的场景和计算复杂度不同。在 实际应用中，可以根据具体需求选择合适的稳定性判据。
稳定系统对有界输入信号的响应也是有界的 ，即系统不会因输入信号的幅度变化而产生 无界的输出。
线性时不变系统及其特性 - 副本
f2 (t) H • H f2 (t) C2 C2H f2 (t)
若 H C1 f1(t) C2 f2 (t) C1H f1(t) C2H f2 (t)
则系统 H • 是线性系统，否则是非线性系统。
注意：系统非零状态单独处理。
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? d r(t) 10r(t) 5 e(t) t 0 dt
信号与系统
五.因果性
定义
因果系统：当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的 系统。即，因果系统输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
判断方法 输出不超前于输入 因果信号
t = 0 接入系统的信号称为因果信号。 e(t) e(t)u(t)
信号与系统
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
e(t)
H
r(t)
de(t) dt
dr(t) dt
H
t
e( )d
t
r( )d
H
利用线性证明，可推广至高阶。
信号与系统
四. 系统稳定性
定义 系统的稳定性是指在有界输入下，所产生的输出也是有 界的，通常称为Bounded Input Bounded Output （BIBO）稳定。一个正常工作的系统都必须是稳定的。
判断方法 先线性组合运算，再经系统＝先经系统，再线性组合运算
解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
假设有两个输入信号 e1(t) , e2 (t) 分别激励系统，
则由所给微分方程式分别有：