(完整版)高中数学椭圆几何性质练习题

2．1.2 椭圆的简单几何性质

第1课时 椭圆的简单几何性质

双基达标 （限时20分钟）

1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )． A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)

D ．(0，±69)

解析 由题意知，椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，

故焦点坐标为(0，±69)． 答案 D

2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )．

A.32

B.34

C.22

D.23

解析 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214

＝1，则a 2＝1，b 2＝1

4，c

＝

a 2－

b 2＝32，故离心率e ＝

c a ＝3

2.

答案 A

3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是6

3，则椭圆C 的方程为( )． A.x 23＋y 2

＝1 B ．x 2

＋y 2

3＝1

C.x 23＋y 2

2＝1

D.x 22＋y 2

3＝1

解析 因为c a ＝6

3，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝

a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的

方程为x 23＋y 2

＝1. 答案 A

4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．

解析 设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4.

所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2

＝1.

答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2

＝1

5．已知椭圆x 2k ＋8

＋y 29＝1的离心率为1

2，则k 的值为________．

解析 当k ＋8>9时，e 2

＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8

＝14，k ＝4；

当k ＋8<9时，e 2

＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－5

4.

答案 4或－5

4

6．求椭圆x 24＋y 2

＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解 已知方程为x 24＋y 2

1＝1，所以，a ＝2，b ＝1，c ＝4－1＝3，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a ＝4，2b ＝2，离心率e ＝c a ＝3

2，两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆的四个顶点是A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)．

综合提高 （限时25分钟）

7．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )． A.14 B.1

2 C ．2 D ．4

解析将椭圆方程化为标准方程为x2＋y2

1

m

＝1，

∵焦点在y轴上，∴1

m>1，∴0

m

，b＝1.∵a＝2b，∴m

＝1

4.

答案 A

8．过椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦

点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()．

A.

5

2 B.

3

3 C.

1

2 D.

1

3

解析记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝2c

3

，|PF2|＝4c

3

，则椭圆的离心

率e＝2c

2a ＝|F1F2|

|PF1|＋|PF2|

＝2c

2c

3

＋4c

3

＝3

3

，故选B.

答案 B

9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

3

2，且G上一点

到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．

解析依题意，设椭圆G的方程为x2

a2

＋y2

b2

＝1(a>b>0)，

∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.

∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为3

2

，

∴e＝c

a ＝

a2－b2

a

＝3

2

，∴

36－b2

6

＝3

2

，

∴b2＝9.∴椭圆G的方程为x2

36＋y2

9

＝1.

答案x2

36＋

y2

9＝1

10．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心

率为3

5的椭圆的标准方程为________．

解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，

c a ＝35，a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧a ＝5

2，b ＝4

2.

但焦点位置不确定．

答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 2

50＝1

11．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程． 解 法一 依题意a ＝2b .

(1)当椭圆焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 24b 2＋y 2

b 2＝1. 代入点A (2，－6)坐标，得44b 2＋36

b 2＝1，解得b 2＝37， ∴a 2＝4b 2＝4×37＝148， ∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 2

37＝1.

(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为y 24b 2＋x 2

b 2＝1. 代入点A (2，－6)坐标得364b 2＋4

b 2＝1， ∴b 2＝13，∴a 2＝52.

∴椭圆的标准方程为y 252＋x 2

13＝1.综上所述， 所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 2

13＝1. 法二 设椭圆方程为x 2m ＋y 2

n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 由已知椭圆过点A (2，－6)，所以有4m ＋36

n ＝1.① 由题设知a ＝2b ，∴m ＝2n ，② 或n ＝2m ，③

由①②可解得n ＝37，∴m ＝148.