量子力学课件(曾谨言)第一章
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量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
(完整版)中科大量子力学课件1
1 光的波粒二象性的实验事实及其解释
2 原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件
3 德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设
4 德布罗意波的实验验证：戴维孙-革末实验
从戴维孙-革末的电子衍射实验和电子的单缝、双 缝衍射实验认识物质粒子（如电子和分子）在具有粒 子性一面外，还具有波动性的一面，即粒子具有波粒 二象性。
11
§1.1 经典物理学的困难(续1)
二.经典物理学遇到的困难
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
但是这些信念，在进入20世纪以后，受到了 冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到 了严重的困难。
（1）黑体辐射问题
（2）光电效应
（3）原子光谱的线状结构
1.2 光的波粒二象性
The duality of light between wave and particle
1.3 微粒的波粒二象性
The duality of small particles between wave and particle
小结
Review
6
学习提要
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
Ch3. The Dynamical variable in Quantum Mechanism
第四章 态和力学量的表象
Ch4. The representation of the states and operators
第五章 微扰理论
Ch5. Perturbation theory
第六章 散射
Ch6. The general theory of scattering
(完整word版)量子力学-曾谨言-第五版-第1章序言-知识点汇总(良心出品必属精品)
第一章 量子力学的历史渊源§1.1 Planck 的能量子假说 经典物理学的成就到19世纪末，已经建立了完整的经典物理学理论：(1)、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)，(2)、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的波动理论、电磁现象的规律)；(3)、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量微观粒子的热现象等）。
这些理论能令人满意地解释当时所常见的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正。
经典物理学所遇到的问题(1)、黑体辐射现象，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的稳定性；(5)、固体的低温比热。
一、黑体辐射的微粒性 1、黑体辐射的几个物理量黑体：所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。
辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用(,)E T ν表示。
所以在t ∆时间，从面积S ∆上发射出频率在ννν-+∆范围内的能量表示为： (,)E T t S νν∆∆∆因此，(,)E T ν的量纲为：22=1×⨯能量焦耳米秒米秒。
可以证明：（(,)v T ρ的单位为3⋅焦耳秒米）。
吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额， 用(,)A T ν表示。
G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明：对任何一个物体，辐射本领(,)E v T 与吸收率(,)A T ν之比是一个普适的函数，即（f 与组成物体的物质无关）。
对于黑体的吸收率(,)1A v T =， 故其辐射本领(,)(,)E T f T νν=（等于普适函数与物质无关）。
所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。
辐射本领也可以用(,)E T λ描述, 由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：(,)(,)E v T dv E T d λλ∞∞=⎰⎰由于c νλ=知2cd d νλλ=-代入上式得：02(,)(,)cE v T d E T d λλλλ∞∞-=⎰⎰322(,)(,) (,)(,) ( )E v T E T E T E v T ccλνλλ⋅⇒==焦耳米秒或2、黑体的辐射本领黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。
量子力学第一章
学习方法
● ● ●
加强预习和复习 提高听课效率 独立完成作业， 独立完成作业，多做练习
§1.1 经典物理学的困难
• 黑体辐射→普朗克能量子假设 黑体辐射→ • 光电效应 、康普顿效应→光的波粒二象性 康普顿效应→ • 原子光谱→玻尔理论，量子化 原子光谱→玻尔理论， →德布罗意:微观粒子的波粒二象性 德布罗意: →量子力学
量子力学
主讲人：顾运厅 主讲人：
量子力学参考书
1 量子力学 曾谨言 科学出版社 （2套） 套 2 量子力学导论 曾谨言 北京大学出版社 3 量子力学教程 曾谨言 科学出版社 4 量子力学（第三版） 汪德新 科学出版社 量子力学（第三版） 5 量子力学教程 钱伯初 高等教育出版社 6 量子力学 苏汝铿 高等教育出版社 7 量子力学 张永德 科学出版社 8 量子力学 梁绍荣 北京师范大学出版社 9 量子力学教程习题剖析 孙婷雅 （曾谨言） 曾谨言） 10 量子力学习题精解 吴强（ 吴强（张永德 ） 11 量子力学考研辅导教材 史守华 清华大学出版社 12 量子力学习题精选与剖析 钱伯初 曾谨言
§1.2 光的波粒二象性
一、黑体辐射 （一）热辐射（温度辐射） 热辐射（温度辐射）
（1）处于热平衡的具有一定温度的物 ） 体内带电粒子的热运动， 体内带电粒子的热运动，以电磁波形式向 外发射辐射能量。 外发射辐射能量。 （2）给定物体，单位时间内发射辐射 ）给定物体， 能量的多少取决于它的温度 T 。
激光技术的物理基础
• • • • • • • 1860 Maxwell 建立光的电磁理论； 建立光的电磁理论； 1900 Plank提出能量子假设； 提出能量子假设； 提出能量子假设 1917 Einstein 提出受激辐射理论； 提出受激辐射理论； 1953 Towns 建立第一台微波激射器（maser); 建立第一台微波激射器（ 1958 Towns, Shawlow开始研制激光器； 开始研制激光器； 开始研制激光器 1960 Maiman制成第一台红宝石激光器； 制成第一台红宝石激光器； 制成第一台红宝石激光器 1961~1965 激光光谱，用于大气污染分析；半导体激光 激光光谱，用于大气污染分析； 用于激光通讯； 激光器，用于激光熔炼、 器，用于激光通讯；CO2激光器，用于激光熔炼、激光切 激光钻孔； 割、激光钻孔； • 1968~1969 月球上设置激光反射器；地面与卫星联系； 月球上设置激光反射器；地面与卫星联系； • 1982 激光全息术； 激光全息术； • 80~90年代 激光外科手术，通讯、光盘、激光武器。 年代 激光外科手术，通讯、光盘、激光武器。
量子力学第1章 量子力学的诞生.ppt
定态的轨道如何确定？
23
Bohr的角动量量子化条件
为了确定电子的轨道，即分立能量相应的定态，玻尔根据对
应原理，提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的
J n
n 1,2.......
(7)
其中 h / 2 1.0545*1034 J S 。
后来，索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度体系的周
实验发现：热平衡时，空腔辐 射的能量密度，对辐射的波长 的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而 与黑体的形状和材料无关。
10
黑体辐射理论描述：
1. Wein公式
E d c1 3e c2 / T d
低频与实验有明显偏离
2.Rayleigh-Jeans公式
E d
时， 发射或吸收的电磁辐射的频率υ 由下式给出：
h En Em （频率条件）
(6)
简言之，Bohr 量子论的核心思想有两条： 原子的具有分立能量的定态概念， 两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件。
22
Bohr的量子论
原子中的电子具有确定的分立轨道. “确定”:经典； ”分立”:量子。
h nm En Em
电子在镍单晶上的衍射实验 •汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927）
电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理
30
•约恩逊(Jonsson)实验（1961） 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
基本 a 0.3μ m d 1μ m
数据 V 50kV
o
0.05 A
质子、中子、原子、分子…也有波动性
教材： 《量子力学导论》(第二版)，曾谨言 著
参考书： 1 .《量子力学》，苏汝铿 著 2.《量子力学教程》，周世勋 著 3. Quantum Mechanics，L.I.Schiff, 中译本 4.《量子力学习题与解剖》，曾谨言，钱伯初 著
23
Bohr的角动量量子化条件
为了确定电子的轨道，即分立能量相应的定态，玻尔根据对
应原理，提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的
J n
n 1,2.......
(7)
其中 h / 2 1.0545*1034 J S 。
后来，索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度体系的周
实验发现：热平衡时，空腔辐 射的能量密度，对辐射的波长 的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而 与黑体的形状和材料无关。
10
黑体辐射理论描述：
1. Wein公式
E d c1 3e c2 / T d
低频与实验有明显偏离
2.Rayleigh-Jeans公式
E d
时， 发射或吸收的电磁辐射的频率υ 由下式给出：
h En Em （频率条件）
(6)
简言之，Bohr 量子论的核心思想有两条： 原子的具有分立能量的定态概念， 两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件。
22
Bohr的量子论
原子中的电子具有确定的分立轨道. “确定”:经典； ”分立”:量子。
h nm En Em
电子在镍单晶上的衍射实验 •汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927）
电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理
30
•约恩逊(Jonsson)实验（1961） 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
基本 a 0.3μ m d 1μ m
数据 V 50kV
o
0.05 A
质子、中子、原子、分子…也有波动性
教材： 《量子力学导论》(第二版)，曾谨言 著
参考书： 1 .《量子力学》，苏汝铿 著 2.《量子力学教程》，周世勋 著 3. Quantum Mechanics，L.I.Schiff, 中译本 4.《量子力学习题与解剖》，曾谨言，钱伯初 著
南京师范大学量子力学课件-第一章-引言
20sin 22
其中
0
22.41
m0C
010 cm
称为电 C子 om 的 波 pto长 n 。
• 该式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和吴有训用实 验证实，用量子概念完全解释了Compton 效应。
• 因为式右是一个恒大于零的数，所以散射波的波长 λ‘总是比入射波波长长，且随散射角θ增大而增大。
No
（三）ComptonI散m 射-光的a 粒子g 性证实e 。
Compton 效应：
X-射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现 的效应，有如下 2 个特点：
1 散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一 个新的波长为λ'的X光， 且λ' >λ；
2 波长增量
Δλ=λ’
–λ
3 随散射角增大而增大。这
取的整数倍，即
L n
其中
n 1,2,3
3.量子跃迁假设
原子处于定态时不辐射，但是因某种 原因，电子可以从一个能级 En 跃迁 到另一个较低（高）的能级 Em ，同 时将发射（吸收）一个光子。光子的 频率为：
No Image
（二）经典物理学的困难
但是这些信念，在进入20世纪以后， 受到了冲击。经典理论在解释一些新 的试验结果上遇到了严重的困难。
（1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子光谱
黑体辐射问题
黑体：能吸收射到其上的全部辐 射的物体，这种物体就称为绝对 黑体，简称黑体。
能 量 密 度
No
（3）证 明
Image
入射光子打在静止的电子上，根
据能量和动量守恒定律：
k’
k km m v 2cm 代0c2
两边平方
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
[理学]量子力学第1讲
![[理学]量子力学第1讲](https://img.taocdn.com/s3/m/c54e3f4e3d1ec5da50e2524de518964bcf84d20d.png)
Quantum Mechanics
主要参考书
量子力学，科学出版社 曾谨言
量子力学原理，北京大学出版社 王正行
量子力学原理，科学出版社 P.A.M. 狄拉克
高等量子力学， Quantum Theory
P. Roman Quantum Mechanics – Symmetries
矢量空间的元素称为矢量。
如果a是实数，则空间称为实数域上的矢量空间。
如果a是复数，则空间称为复数域上的矢量空间。
二、内积空间
内积：在矢量空间L 中按顺序任意取两个矢量和
，总有一个数c与之对应，记为：
(, ) c
称c为这两个矢量的内积或数积。 内积运算要满足：
(1) (,) (,)*
(2) (, ) (,) (, )
左矢空间和右矢空间合在一起，与原来由矢量
构成的希尔伯特空间L 等价。
基矢的正交归一关系： ei | e j i j
| | ei ei |
i
| | ei ei |
| ei ei | 1
i
i
| | ei ei |
i
七、函数空间
对区间[a,b]上的所有连续的、平方可积的
证：
[
Aˆ (
n1)
,
Bˆ ]
Aˆ ,
[
Aˆ (
n)
,
Bˆ
]
设 Fˆ () e Aˆ Bˆe Aˆ
dFˆ () d
e
Aˆ
(
Aˆ Bˆ
Bˆ Aˆ )e
Aˆ
e Aˆ [Aˆ, Bˆ]e Aˆ
d2Fˆ () d2
d
d
e
Aˆ [
Aˆ,
Bˆ ]e
主要参考书
量子力学，科学出版社 曾谨言
量子力学原理，北京大学出版社 王正行
量子力学原理，科学出版社 P.A.M. 狄拉克
高等量子力学， Quantum Theory
P. Roman Quantum Mechanics – Symmetries
矢量空间的元素称为矢量。
如果a是实数，则空间称为实数域上的矢量空间。
如果a是复数，则空间称为复数域上的矢量空间。
二、内积空间
内积：在矢量空间L 中按顺序任意取两个矢量和
，总有一个数c与之对应，记为：
(, ) c
称c为这两个矢量的内积或数积。 内积运算要满足：
(1) (,) (,)*
(2) (, ) (,) (, )
左矢空间和右矢空间合在一起，与原来由矢量
构成的希尔伯特空间L 等价。
基矢的正交归一关系： ei | e j i j
| | ei ei |
i
| | ei ei |
| ei ei | 1
i
i
| | ei ei |
i
七、函数空间
对区间[a,b]上的所有连续的、平方可积的
证：
[
Aˆ (
n1)
,
Bˆ ]
Aˆ ,
[
Aˆ (
n)
,
Bˆ
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设 Fˆ () e Aˆ Bˆe Aˆ
dFˆ () d
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Aˆ,
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第一章量子力学诞生
作为粒子的能量E 和动量 与波动的频率 和波矢 由 k
Planck-Einstein 方程联系起来。
Planck-Einstein 方程
35
另一方面我们也看到，在新的理论中，Planck常数 起 着关键作用，当 h 的作用可以略去时，经典理论是适用 的，当 h 的作用不可忽略时，经典理论不再适用。因此
，凡是 h 起重要作用的现象都称为量子现象。
Planck常数： h =6.6255910-34 焦耳•秒
—临界频率
注：利用光子的概念很好的解释了光电效应，同时，光电效应体 现了光的粒子性。
1916年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得h =6.5710-34 焦耳•秒。
26
（3）光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，而且 具有动量。根据相对论知，速度为 V 运动
的粒子的能量由右式给出：
2.每一条谱线的波数都可以表示成两光谱项之差，即 ~T(m ，) mT(和n)n是某
些正整数——里兹组合原则。 3.谱线之间有一定的关系。
经典理论无法解释
17
（5）低温下固体的热容
按照经典统计物理学的观点 ，原子在一个自由度上的能量为：
根据能量均分定理，在温度T时，一个原子的平均能量为：
固体的定容热容，量为：
2、 波长增量 Δλ=λ′–λ 随散射角增大而增大。这一 现象称为 Compton 效应。
经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学 认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是如果把 X--射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程 ，则该效应很容易得到理解.
30
（b）定性解释
根据光量子理论，具有能量 E = h ν 的光子与电子碰撞后，光子把 部分能量传递给电子，光子的能量变为 E′= hν′显然有E′< E从而有ν′<ν, 散射后的光子的频率减小，波长变长。根据这一思路，可以证明 ：
Planck-Einstein 方程联系起来。
Planck-Einstein 方程
35
另一方面我们也看到，在新的理论中，Planck常数 起 着关键作用，当 h 的作用可以略去时，经典理论是适用 的，当 h 的作用不可忽略时，经典理论不再适用。因此
，凡是 h 起重要作用的现象都称为量子现象。
Planck常数： h =6.6255910-34 焦耳•秒
—临界频率
注：利用光子的概念很好的解释了光电效应，同时，光电效应体 现了光的粒子性。
1916年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得h =6.5710-34 焦耳•秒。
26
（3）光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，而且 具有动量。根据相对论知，速度为 V 运动
的粒子的能量由右式给出：
2.每一条谱线的波数都可以表示成两光谱项之差，即 ~T(m ，) mT(和n)n是某
些正整数——里兹组合原则。 3.谱线之间有一定的关系。
经典理论无法解释
17
（5）低温下固体的热容
按照经典统计物理学的观点 ，原子在一个自由度上的能量为：
根据能量均分定理，在温度T时，一个原子的平均能量为：
固体的定容热容，量为：
2、 波长增量 Δλ=λ′–λ 随散射角增大而增大。这一 现象称为 Compton 效应。
经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学 认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是如果把 X--射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程 ，则该效应很容易得到理解.
30
（b）定性解释
根据光量子理论，具有能量 E = h ν 的光子与电子碰撞后，光子把 部分能量传递给电子，光子的能量变为 E′= hν′显然有E′< E从而有ν′<ν, 散射后的光子的频率减小，波长变长。根据这一思路，可以证明 ：
量子力学导论(第二版)曾谨言+北京大学出版社+课后答案
nx , ny , nz = 1, 2,3,
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势V (x) = 1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2
∫ 提示：利用 p ⋅ dx = nh, n = 1, 2, , p = 2m[E − V (x)]
V (x)
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,
, pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量）， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh 2
得 a 2 = nh = 2 n mωπ mω
（3）
代入（2），解出 En = n ω,
n = 1, 2,3,
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
−i
∂ψ ∂t
*
=
−
2
2m
∇ 2ψ
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
( ) ( ) i
∂ ψ *ψ ∂t
2
= − ψ *∇ 2ψ −ψ∇2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
曾谨言量子力学第1章
即自由粒子的物质波包必然要扩散。 结论： 物质波包的观点夸大了波动性的一面，而抹杀了粒子性的 一面。
2.波由粒子组成的疏密波
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
O Q
就如水波，声波，由分子数密度疏密变化而形成的一种分布 一样，物质波也是一种疏密波。这种看法是与实验矛盾的， 它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过 小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这 说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有 的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原 子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子 化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性 的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，也具有片面性。
λ h / p,
ν E/h
(1)
这就称为de. Broglie关系。
h ( E, p) (, )
这组de Broglie关系是物质世界的普遍规律。其中将两种图象 联系起来的Planck常数数值很小，是波粒二象性可以显现出来 的标度。假如在所研究问题中能够认为h→0，波和粒子便截然 分开，波粒二象性的现象便可以忽略。比如，由原先粒子的(E,p)， 利用(1)第一式便得到λ→0，与此粒子相联系的波动性便可以忽略。 于是可以说， 经典力学是量子力学当时h→0的极限情况。 当然，这里是相对而言，并非真要(本就是常数的)变小，而是 要求研究对象的动量足够大(从而波长足够短)，以及运动涉及 的空间尺度足够大，使得
全
在空间各点的相对概率分布
2 2 Cψ ( r1 ) ψ ( r1 ) Cψ ( r2 ) ψ ( r2 )
显然，Ψ与CΨ所描述的相对概率分布式相同的，这点与经典波不同。 2 3 )0 波函数的归一化： 全 ψ ( r ) d r A( real num ber
量子力学课件(曾谨言)第一章
(
r
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2
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3r
1
(r) 是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
( p) 是以动量 p 为自变量的波函数，
动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态.
八、不确定度关系
Heisenberg不确定度关系（Uncertainty
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r,t)
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子
由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率.
波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化
p d 3 p ( p) 2 p d 3 p*( p) p( p)
d 3 pd 3r *(r)
1
(2
)3
eipr
2
p( p)
A
归一化的波函数
没有归一化的函数
1 A 为归一化因子
若
(r ) 2d 3
（全）
,
则
A0
,这是没有意义的.
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2
(r 1) ( r2 )
2
C为常数
可见， C ( r ) 和 ( r ) 描述的是同一概率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 除此以外，波函数还有相位不定性，即
ei ( r ) 与 ( r )
描述的是同一个概率波
（2） 平方可积
如果
（全）
(r ) d A
§1.1 波函数的统计诠释
一、德布罗意假设
二、平面波 八、不确定度关系 九、力学量的平均值 与算符的引进
三、波函数及统计诠释
四、量子状态 五、波函数的性质 六、多粒子波函数
七、动量分布概率
一、德布罗意假设
1923年法国物理学家de Broglie提出： 既然光具有粒子性,是否实物粒子如电 子也应当具有波动性？ 实物粒子具有波动性，与粒子相联系 L. de Broglie ( 的波称为物质波（matter wave)或德布 法1892-1987) 罗意波。
(r , t )
2 2
代表电子出现在 r 点附近几率的大小.
2
即 (r , t ) xyz 表示在r点处，体积元 xy z 中 找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例.
粒子波是概率波，反映微观粒子运动的统计规律性.
这是Born给出波函数的统计诠释. -------------它是量子力学的基本原理.
“宏观物体只表现出粒子性”
例2:被电场加速的电子，其波长。
设：加速电压为 U ,电子静止质量 me=9.1× 10-31 kg 当V<<c 时
1 meV 2 e U 2
V
h h meV 2eme U
2e U me
当
U 10 V
4
0.122 A0
U 150V
1A
0
二、平面波
A cos[2 ( t )] r n A cos[2 ( t )] A cos(k r t )
x
k 波矢
或
Asin(k r t )
写成复数形式
Aei ( k r t )
平面波描述自由粒子的运动，其频率与波矢都不随时间 和位置改变，这是因为自由粒子的能量与动量不随时间 和位置改变.
自由粒子波函数
i ( r , t ) Aexp ( p r Et )
属于这种情况，关于自由粒子波函数如何归一化问题， 以后再予以讨论。
六、多粒子波函数
(r 1, r 2)
2
6维空间 表示两个粒子的波函数.
3 3
(r1, r2 ) d rd r2 1
表示测得粒子1在空间体积元 ( r 1, r 1 dr 1 ) 中， 同时，粒子2在空间体积元 ( r2 , r2
2 3
(d dxdydz )
3
A 0 为实常数.即平方可积
由于粒子在整个空间的几率为1，则
2
（全）
1 (r ) A
1 A
1 ( r ) d 3 1 A
与
(r )
描述的是同一个概率波 没有归一化的函数
归一化的波函数
为归一化因子
3 ( r ) d , 则 A 0 ,这是没有意义的. 若 （全） 2
h ( 2 ) h 2 p n k (k )
获得1929年诺贝尔 物理学奖
h 2
De Broglie 关系
双缝实验
Nature 401, 651 (1999)
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
屏上出现的电 子说明了电子 的粒子性！ 7 100
3000
20000
70000
随着电子数目的增多，在屏上逐渐形成了衍射图样
“一个电子”就具有的波动性
例1：m = 0.01kg，v = 300m/s的子弹，求。
h h 6.63 1034 0.01 300 2.2110 (m) p mv
34
讨论：h极其微小,宏观物体的波长小得实验难以量
M.玻恩，(Max Born 1882～1970)德国理论 物理学家，量子力学 的奠基人之一。主要 成就是创立矩阵力学 和对波函数作出统计 解释。1954年因波函 数的统计解释荣获诺 贝尔物理学奖。
M.玻恩
四、量子状态
利用波函数可以得到体系的各种性质. 由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率. 波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化 由于粒子必定在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率总和ydz 1
2
粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数与空间各点 的相对强度，而不决定于强度的绝对大小.如果把波函 数在空间各点振幅同时增大1倍，并不影响粒子在空间 各点的概率.即
C ( r )
和 ( r ) 所描述的相对概率分布是完全相同
因为空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率 之比是：
C ( r 1) C ( r2 )
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上
某点附近衍射花样的强度： 正比于该点附近感光点的数目，
正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 该点附近的几率。
粒子衍射波波幅用 ( r , t ) 描述，与光学相似， 衍射花纹强度则用 ( r , t ) 描述，意义与经典波不同。
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r , t )
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子 在许多次相同实验中的统计结果。
(r 1) ( r2 )
2
C为常数
可见， C ( r ) 和 ( r ) 描述的是同一概率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 除此以外，波函数还有相位不定性，即
ei ( r ) 与 ( r )
描述的是同一个概率波
（2） 平方可积
如果
（全）
(r ) d A
§1.1 波函数的统计诠释
一、德布罗意假设
二、平面波 八、不确定度关系 九、力学量的平均值 与算符的引进
三、波函数及统计诠释
四、量子状态 五、波函数的性质 六、多粒子波函数
七、动量分布概率
一、德布罗意假设
1923年法国物理学家de Broglie提出： 既然光具有粒子性,是否实物粒子如电 子也应当具有波动性？ 实物粒子具有波动性，与粒子相联系 L. de Broglie ( 的波称为物质波（matter wave)或德布 法1892-1987) 罗意波。
(r , t )
2 2
代表电子出现在 r 点附近几率的大小.
2
即 (r , t ) xyz 表示在r点处，体积元 xy z 中 找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例.
粒子波是概率波，反映微观粒子运动的统计规律性.
这是Born给出波函数的统计诠释. -------------它是量子力学的基本原理.
“宏观物体只表现出粒子性”
例2:被电场加速的电子，其波长。
设：加速电压为 U ,电子静止质量 me=9.1× 10-31 kg 当V<<c 时
1 meV 2 e U 2
V
h h meV 2eme U
2e U me
当
U 10 V
4
0.122 A0
U 150V
1A
0
二、平面波
A cos[2 ( t )] r n A cos[2 ( t )] A cos(k r t )
x
k 波矢
或
Asin(k r t )
写成复数形式
Aei ( k r t )
平面波描述自由粒子的运动，其频率与波矢都不随时间 和位置改变，这是因为自由粒子的能量与动量不随时间 和位置改变.
自由粒子波函数
i ( r , t ) Aexp ( p r Et )
属于这种情况，关于自由粒子波函数如何归一化问题， 以后再予以讨论。
六、多粒子波函数
(r 1, r 2)
2
6维空间 表示两个粒子的波函数.
3 3
(r1, r2 ) d rd r2 1
表示测得粒子1在空间体积元 ( r 1, r 1 dr 1 ) 中， 同时，粒子2在空间体积元 ( r2 , r2
2 3
(d dxdydz )
3
A 0 为实常数.即平方可积
由于粒子在整个空间的几率为1，则
2
（全）
1 (r ) A
1 A
1 ( r ) d 3 1 A
与
(r )
描述的是同一个概率波 没有归一化的函数
归一化的波函数
为归一化因子
3 ( r ) d , 则 A 0 ,这是没有意义的. 若 （全） 2
h ( 2 ) h 2 p n k (k )
获得1929年诺贝尔 物理学奖
h 2
De Broglie 关系
双缝实验
Nature 401, 651 (1999)
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
屏上出现的电 子说明了电子 的粒子性！ 7 100
3000
20000
70000
随着电子数目的增多，在屏上逐渐形成了衍射图样
“一个电子”就具有的波动性
例1：m = 0.01kg，v = 300m/s的子弹，求。
h h 6.63 1034 0.01 300 2.2110 (m) p mv
34
讨论：h极其微小,宏观物体的波长小得实验难以量
M.玻恩，(Max Born 1882～1970)德国理论 物理学家，量子力学 的奠基人之一。主要 成就是创立矩阵力学 和对波函数作出统计 解释。1954年因波函 数的统计解释荣获诺 贝尔物理学奖。
M.玻恩
四、量子状态
利用波函数可以得到体系的各种性质. 由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率. 波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化 由于粒子必定在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率总和ydz 1
2
粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数与空间各点 的相对强度，而不决定于强度的绝对大小.如果把波函 数在空间各点振幅同时增大1倍，并不影响粒子在空间 各点的概率.即
C ( r )
和 ( r ) 所描述的相对概率分布是完全相同
因为空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率 之比是：
C ( r 1) C ( r2 )
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上
某点附近衍射花样的强度： 正比于该点附近感光点的数目，
正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 该点附近的几率。
粒子衍射波波幅用 ( r , t ) 描述，与光学相似， 衍射花纹强度则用 ( r , t ) 描述，意义与经典波不同。
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r , t )
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子 在许多次相同实验中的统计结果。