2018年12月上海市崇明区高三数学一模卷

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上海高三各区一模数学试卷及答案-word文档资料

2018上海高三各区一模数学试卷及答案
随着2018高三期末考试的开始，2018高考一模考试来开帷幕，数学网高考频道在第一时间为考生整理全国各地2018高考一模考试试题及答案，想获悉更多高考资讯，请关注数学网高考频道专题。

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上海市崇明区2018届高三第一次模拟考试数学试题含答案

2018年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．不等式＜0的解是．4．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．5．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a= ．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项 a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若?=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“Ｓ4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．。

上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题

【题干序号】1已知集合{}{}1,2,52,A B a ==，若{}1,2,3,5A B ⋃=，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】3【解析】因为集合{}{}1,2,52,A B a ==，，且{}1,2,3,5A B ⋃=，所以3a =，故答案为3.【题干序号】2抛物线24y x =的焦点坐标是______．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.【题干序号】3 不等式01xx <+的解是_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】()1,0- 【解析】由01x x <+可得，()10x x +<解得10x -<< ，所以不等式01x x <+的解是()1,0-. 故答案为：()1,0-.【题干序号】4若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z =__________．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】1i -【解析】由1iz i =+，得()1111i ii z i i ++===--.故答案为：1i -.【题干序号】5在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.【题干序号】6 若函数()2103y sin x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】2【解析】因为函数()203y sin x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，所以2ππω=，解得2ω=，故答案为2.【题干序号】7若函数()af x x =的反函数的图象经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】12【解析】函数()af x x =的反函数的图象经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，所以，函数()a f x x =的图象经过点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，1142a =（），12a =，故答案为12.【题干序号】8将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327πcm ，则该圆柱的侧面积为______2cm ．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】18π【解析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327cm π，设正方体的边长为cm a ，则227V a a ππ=⋅=，解得3cm,a =∴该圆柱的侧面积为223318cm S ππ=⨯⨯=，故答案为18π.【题干序号】9已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2xf x ax =-，且()22f =，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】98-【解析】()y f x =Q 是奇函数，且当0x <时，()2xf x ax =-，()()()222222f f a -∴=--=-+=，解得98a =-，故答案为98-.【题干序号】10若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a = ，公比为32a -，且lim n x S a →∞= ，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】2【解析】Q 无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为11a =，公比32a -，且()lim n n S a n N*→∞=∈，21,2520312a a a a ∴=∴-+=-+，2a ∴=或12a =，3122a ∴-=或312a -=-，31,22a a -<∴=Q ，故答案为2.【题干序号】11从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】780【解析】第一类，先选1女3男，有315330C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有3012360⨯= 种；第二类，先选2女2男，有225330C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有3012360⨯=种；第三类，先选3女1男，有13535C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有51260⨯=种，根据分类计数原理共有360360+60780+=种，故答案为780.【题干序号】12在ABC ∆中,BC 边上的中垂线分别交,BC AC 于点,D E 若6,2AE BC AB ⋅==u u u v u u u v u u u v,则AC =_______【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】4【解析】设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则()()1,,02AD a b BC b a DE BC =+=-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v v v v v ， ()AE BC AD DE BC ⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()12AD BC DE BC AD BC a b b a =⋅+⋅=⋅=+⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v v v v()222216,122b a b a =-=-=v v v v ，又2,||4a b =∴=v Q v，即4AC =，故答案为4.【题干序号】13展开式为ad bc -的行列式是（） A ．a b d cB ．a cb dC ．a db cD ．b a d c【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】B 【解析】a b ac bd d c=-,错误；a c ad bcb d=-，正确;a d ac bdb c=-，错误；b a bc ad d c=-，错误，故选B.【题干序号】14设,a b ∈R ，若a b >，则（） A ．11a b< B ．lg lg a b > C ．sin sin a b >D ．22a b >【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】D【解析】,,a b R a b ∈>，当0,0a b ><时，A 不成立，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故B 不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故C 不成立，根据指数函数的单调性可知，D 正确，故选D.【题干序号】15已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【题干序号】16直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若(,,0OP aOA bOB a b R =+∈u u u v u u u v u u u v为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A ．221a b +≥B ．1ab ≥C ．1a b +≥D ．2a b -≥【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】C【解析】由题意，双曲线渐近线方程为2xy =±，联立直线2x =，解得1,y =±∴不妨设()()()2,1,2,1,,A B P x y -，OP aOA bOB =+u u u v u u u v Q u u u v，22,x a b y a b ∴=+=-，P Q 为双曲线C 上的任意一点，()()222214a b a b +∴--=，141,4ab ab ∴==，()222241a b a b ab ab ∴+=++≥=a b （= 时等号成立），可得1a b +≥，故选C.【题干序号】17如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,AB BC AC ==与底面ABCD 所成的角为60o .（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A B 与 11B D 所成角的大小．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1)3；（2）cos14arc . 【解析】（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，∴AA 1⊥平面ABCD ，AC==2， ∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∴∠A 1CA=60°，∴AA 1=AC•tan60°=2√2⋅√3=2√6，∵S 正方形ABCD =AB×BC=2×2=4， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积：V =13×AA 1×S 正方形ABCD =13×2√6×4=8√63（2）∵BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）．∵BD =√4+4=2√2，A 1D =A 1B =√22+(2√6)2=2√7∴cos∠A 1BD =A 1B 2+BD 2−A 1D 22×A 1B ×BD =2×2√7×2√2=√1414 ∴∠A 1BD =arccos √1414∴异面直线A 1B 与B 1D 1所成角是arccos √1414．【题干序号】18已知()2cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角 ,,A B C 所对的边，若a b ==，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求边c 的值．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1)6x k ππ=+，2；（2）2.【解析】2()cos 2cos 12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+（1）当2262x k πππ+=+时，即()6x k k Z ππ=+∈，()f x 取得最大值为2；（2）由()2Af =，即2sin()6A π+=可得sin()6A π+=∵0＜A ＜π7666A πππ∴<+<2633A πππ∴+=或62A ππ∴=或当A π=时，222cos 2c b a A bc +-==a b ==Q 解得：c=4 当A π=时，222cos 02c b a A bc +-==a b ==Q 解得：c=2．【题干序号】192016 年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长0050．记 2016 年为第1年，()f n 为第1年至此后第()n n N *∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1)3272nn ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）2023.【解析】（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N ∗）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n +6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为1211131313()()()2222222n -+⨯+⨯+⋯+⨯ 131()322()13212n n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==--（千万元）． 33()()1(26)()27()22n n f n n n ∴=--+=--千万元（2）方法一：13313(1)()()2(1)7()24 27()22 2n n n f n f n n n +⎥⎡⎤+-=-+--⎦⎡⎤--=⎢⎣⎡⎤-⎢⎥⎦⎥⎢⎣⎣⎦Q∴当3n ≤时，(1)()0f n f n +-<，故当4n ≤时，()f n 递减；当4n ≥时，(1)()0f n f n +->，故当4n ≥时，()f n 递增．又71532733(1)0,(7)()2152102288f f =-<=-≈⨯-=-< 83(8)()232523202f =-≈-=>∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；【题干序号】20在平面直角坐标系中，已知椭圆()222:10,1x C y a a a+=>≠的两个焦点分别是12,F F ，直线():,l y kx m k m R =+∈与椭圆交于,A B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值；（2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】或2；（2）()221m a +=22a ；（3）证明见解析. 【解析】（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ，当a ＞11=，解得a =当0＜a ＜1a =，解得2a =，（2）当1k =时，y x m =+，设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2221y k m x y a ⎧⎪=+⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，即222222(1)20a x a mx a m a +++-=， ∴2221212222,11a m a m a x x x x a a-+=-=++，222121212122()()()1m a y y x m x m x x m x x m a -∴=++=+++=+，∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形， 12120,0,OA OB x x y y ∴⋅=∴+=u u u r u u u r2222220,11a m a m a a a--∴+=++ 222222220(1)2a m a m a m a a ∴-+-=∴+=（3）证明：当a =2时，2244x y +=，设11(,)A x y 22(,)B x y ，14koA kOB ⋅=-Q ，121214y y x x ∴⋅=-， 12124x x y y ∴=-，由2244x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得222(14)8440k x kmx m +++-= 2121222844,1414km m x x x x k k --∴+==++，22212212()()()yy kx m kx m k Xx km x x m ∴=++=+++ 222222222224484141414m k k k m m k m k k k ---=++=+++， 2222244441414m m k k k --∴=-⨯++， 22241m k ∴-=，∴||AB ====∵O 到直线y =kx +m的距离d ==222112|| 1.221414OABm S AB d k k ∆∴=====++【题干序号】21若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”．（1）若函数()()14f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1)12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）若函数f(x)=√x （1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1,x 2(x 1,≠)，均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k|x 1−x 2|成立，不妨设x>x ，则12k=211114,,42x x <∴<<Q 剟∴k 的最小值为12．（2）2()log f x x =的定义域为（0，+∞），令1211,24x x ==，则221111()()log log 1(2)12424f f -=-=---=，而12121212||,()()2||,2x x f x f x x x -=∴->- ∴函数2()log f x x =不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f(x)的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内(),()f a M f b m ==，则|12()()()()||f x f x M m f a f b a b -≤-=-≤-．若||1a b -„，显然有12|()()||| 1.f x f x a b --剟．若||1a b ->，不妨设,021a b b a ><+-<，12|()()|()(2)|2| 1.f x f x M m f a f b a b ∴--=-+--<剟综上，12|()()|1f x f x -„．。

2018年上海高三数学一模真题汇编——排列组合和概率统计专题（学生版）.docx

2018年一模汇编——排列组合与概率统计专题一、知识梳理排列组合【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为m n P ，由乘法原理易知)!(!m n n P m n -=.【例1】一只蚂蚁从四面体的某个顶点出发，沿着棱走遍所有顶点，任何顶点只走一次，这样的路径有几条？【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为mn C .由乘法原理可知m n mm m n P P C =⋅，由此知!)!(!m m n n C m n-=.【例1】一个圆上有n 个点，这n 个点互相联接形成若干条线段，这些线段任三线不共点，问在圆内一共有几个交点？【例2】点P 的坐标为),(n m ，m ，n 均为正整数，一只蚂蚁从原点出发，每次只能向上或向右走一格，最终走到P 点，问有多少种可能的路径？【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式：m n n m n C C -=；111+++=+m n m n m nC C C . 【例1】化简：2241302-++++n n C C C C .【知识点4】排列组合基本方法所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式. 【知识点4.1】应用乘法原理【例1】120有多少个正约数？【例2】1,2,3,4,5这五个数排成一列，要求1必须在5前，2在4前，求可能的种数.【例3】现有8个不同的球，放在三个相同的箱子里，要求3+3+2分组，问有多少种分法？【知识点4.2】应用加法原理【例1】有三名男生，四名女生，从中选出四人参加辩论赛，要求至少有一名男生，问有多少种选法. 【例2】ABCDE五人排队，要求A不能站排头，B不能站排尾，问有几种排法？【知识点4.3】捆绑法与插空法、隔板法【例1】（捆绑法）有5人排队，其中甲乙相邻，问有多少种排法？【例2】（插空法）有5人排队，其中甲乙不相邻，问有多少种排法？【例3】（隔板法）有七个相同的球放入三个不同的盒子，要求所有盒子都要有球放入，问几种放法？二项式定理【知识点1】二项式定理公式nn n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N通项公式：k k n k n k b a C T -+=1(0,1,2,,)k n = ;其中：k n C (0,1,2,,)k n = 叫做二项式系数.【例1】求291()2x x-展开式中9x 的系数？【例2】在二项式3241()nx x+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数.【知识点2】二项式系数的性质① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：kn nk n C C -= ； ② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n2，即：n n n n n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：1531422-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C N n ∈.【例1】若35211()nx x +的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项.概率论初步【知识点1】古典概率把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率（1）一次试验所有的基本事件只有有限个例如掷一枚硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.掷一颗骰子试验中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】盒子中装有编号为9,8,7,6,5,4,3,2,1的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率为（结果用最简分数表示）.【例2】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每个人选择其中的两个项目，则有且只有两个人选择一样的项目的概率是．（结果用最简分数表示）【知识点2】事件概率的和一般的，事件B A ，的和的概率等于事件B A ，出现的概率减去事件B A ，同时出现的概率()()()()AB P B P A P B A P -+=⋃公式叫做概率加法公式.不可能同时出现的两个事件叫做不相容或互斥事件，如果B A ，为互不相容事件，那么其和的概率就等于概率和，()()()B P A P B A P +=⋃.【例1】抛掷一枚骰子，记向上的点数为偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于5的事件为B ，事件B A ⋃的概率为()=⋃B A P .【例2】袋中有20个球，其中17个红球，3个黄球，从中任取3个.求至少有一个黄球的概率.【知识点3】独立事件积的概率互相独立事件定义：如果事件A 和事件B 出现之间没有影响，那么事件B A ,互相独立.两个相互独立事件发生的概率，等于积的概率为：()()()B P A P AB P ⋅=.【例1】一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9,、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为.【例2】甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以21A A 、和3A 表示从甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号) ①();52=B P ② 时间B 与事件1A 相互独立； ③321A A A 、、是两两互斥的事件；④()B P 的值不能确定，因为它与321A A A 、、中哪一个事件发生关系. 统计统计的基本思想方法是用样本来估计总体，即用局部推断整体.这就要求样本应具有很好的代表性.而样本的良好客观代表性，则完全依赖抽样方法，主要有：随机抽样、分层抽样、系统抽样.用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）. 基本统计量：若样本容量为n ，其个体数值分别为,,,21n x x x 则样本平均数：nx x x x n+++= 21样本方差：()()()[]()[]22222122221211x n x x x nx x x x x x n S n n -++=-++-+-=样本标准差S 是2S 的算术平方根，它们依次作为总体平均数μ、总体方差2σ、总体标准差σ的估计值总体均值的点估计值：12nx x x x n+++=总体标准差的点估计值：()()()222121n x x xx x x s n -+-++-=- 其中,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的σ区间估计，2,2x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的2σ区间估计. 【例1】某学校高一年级有x 个学生，高二年级有y 个学生，高三年级有z 个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有学生300人，则此学校共有多少人？【例2】若数据,,,21n x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则53,531++n x x 的平均数和方差分别为（）A.2,S xB.2,53S x +C.29,53S x +D.25309,532+++S S x【例3】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）.A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D.该把班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数二、一模真题汇编一、填空题1.在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是.2.某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为.3.若从五个数1-，0，1，2，3中任选一个数m ，则使得函数2()(1)1f x m x =-+在R 上单调递增的概率为（结果用最简分数表示）. 4.在23()nx x+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于. 5.二项式41()2x x-的展开式中的常数项为. 6.已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a=. 7.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为.8.若1(2)nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为.9.91()x x-的二项展开式中的常数项的值为.10.设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为.11.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是.12.在62()x x-的二项展开式中，常数项的值为.13.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是.14.从一副混合的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）.15.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）.16.在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）.17.用1,2,3,4,5共个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有________个.518.的二项展开式中，常数项的值为________. 19.在代数式721()x x +的展开式中，一次项的系数是（用数字作答）. 20.从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）二、选择题1.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）.A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D.8486P P -2.二项式10(3)i x -（i 为虚数单位）的展开式中第8项是（）. A. 7135x - B. 7135x C.73603ix D.73603ix -921()x x+。

崇明区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

崇明区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．双曲线的渐近线方程是（）A ．B ．C ．D ．2．设为虚数单位，则（）A ．B ．C ．D ．3．已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（）A ．4B ．﹣4C ．0D ．24．已知向量，，其中．则“”是“”成立的（）A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（）A ．-2或-1B ．1或2C.1±或2D ．2±或-16．执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（）3x =x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．7．若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（）A．5B．4C．3D．28．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（）A．B．C．D．9．点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）A．B．C．D．10．已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5B．3C．2D．11．“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件12．若a=ln2，b=5，c=xdx，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a二、填空题13．已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f2015（x）的表达式为．14．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．15．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论：①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；②在区间（1，3）内f（x）是减函数；③在x=2时，f（x）取得极大值；④在x=3时，f（x）取得极小值．其中正确的是．16．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为．17．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）18．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是度．三、解答题19．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．20．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．22．（本小题满分12分）一直线被两直线截得线段的中点是12:460,:3560l x y l x y ++=--=P 点, 当点为时, 求此直线方程.P ()0,023．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和．24．（本题满分15分）正项数列满足，．}{n a 121223+++=+n n n n a a a a 11=a （1）证明：对任意的，；*N n ∈12+≤n n a a （2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．}{n a n n S *N n ∈32121<≤--n n S 【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.崇明区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是=0，整理得y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．　2．【答案】C【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：C3．【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（6，2），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．【答案】A【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则成立；反过来，若，则或所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

上海市崇明区2024届高三一模数学试题(教师版)

2023学年第一学期高三第一次模拟考试数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1.不等式21x -<的解集为______．【答案】()1,3【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法求解.【详解】由21x -<得121x -<-<，解得13x <<，故不等式21x -<的解集为()1,3.故答案为：()1,3.2.双曲线2214y x -=的焦距为_______________.【答案】【解析】【分析】根据2a ，2b ，2c 之间的关系即可求出．【详解】由已知2a =1，2b =4，所以2c =5，所以焦距为【点睛】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题．3.若复数24(2)i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】由复数的概念列方程组求解即可.【详解】由于复数24(2)i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，所以24020m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得2m =，故答案为：2.4.已知等比数列{}n a 首项11a =，公比2q =，则5S =__________．【答案】31【解析】【分析】按照等比数列前n 项和公式计算即可.【详解】11211nn n q S a q-==--，故532131S =-=，故答案为：31.5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】10【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．【详解】由522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为5535522C C 2kk k kk k x x x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,,5k = ，令532k -=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为115C 210⨯=．故答案为：10．6.已知圆锥的母线与底面所成角为45︒，高为1，则该圆锥的母线长为__________．【答案】【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线.【详解】已知圆锥的母线与底面所成角为45︒，高为1，因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以底面圆半径为1=..7.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -到xOy 平面的距离为__________．【答案】3【解析】【分析】根据空间直角坐标系的定义和点的坐标得到答案.【详解】在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -到xOy 平面的距离为竖坐标的绝对值，即为3.故答案为：38.如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得_______分．【答案】9【解析】【分析】根据平均数的求法求得平均数.【详解】平均数为3578101112101014910+++++++++=.故答案为：99.已知事件A 与事件B 相互独立，如果()0.4P A =，()0.7P B =，则()P A B = __________．【答案】0.42##2150【解析】【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案【详解】由事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与事件B 相互独立，又()0.4P A =，()0.7P B =，则()()()(()1()()10.40.70.42P A B P A P B P A P B ⋂==-=-⨯=故答案为：0.42．10.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．__________．【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚【解析】【分析】根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，即可求解.【详解】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小，所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”；假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”.故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚.11.已知不平行的两个向量,a b 满足1a = ，a b ⋅=．若对任意的R t ∈，都有2b ta -≥ 成立，则b 的最小值等于__________．【解析】【分析】先由数量积的定义推得m ≥，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解.【详解】依题意，设a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，()0b m m => ，因为1a = ，a b ⋅=，所以cos a b θ= ，即cos m θ⋅=，则[]3cos 1,1mθ==-，所以m ≥，因为对任意的R t ∈，都有2b ta -≥成立，所以()24b ta-≥ ，即22224b ta b t a -⋅+≥ ，即2240t m -+-≥对于R t ∈恒成立，故(()22440m ∆=--≤，又0m >，解得m ≥综上，m ≥b..12.已知正实数a b c d ,,,满足22210,1,a ab c d -+=+=则当()()22a cb d -+-取得最小值时，ab =______【答案】212+【解析】【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可.【详解】设点(,)a b 与点(,)c d 之间的距离为t ，则()()222t a c b d =-+-，易知()()22a cb d -+-的几何意义是点(,)a b 与点(,)cd 之间的距离的平方，点(,)c d 在以(0,0)为圆心，半径为1的圆上，又210a ab -+=，则1b a a=+，设点(,)a b 与点(0,0)之间的距离为m ，则2222222()2112m a a aa a ab +++===++，故22222122m a a ++=+≥=+，当且仅当a =时取等，此时m 取得最小值，由点与圆的位置关系得min min 1m t -=，此时21(1ab a a a a=+=+，代入a =22112ab a =+=+.故答案为：212+【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于a 的取值．再利用点与圆的位置关系确定此时()()22a cb d -+-也取得最小值，然后将a 代入目标式，得到所要求的结果即可．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）13.已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（）A.[]2,3- B.[]0,3 C.()0,∞+ D.[)2,-+∞【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，因此，[)2,A B ⋃=-+∞.故选：D.14.若0x y >>，则下列不等式正确的是（）A.x y <B.22x y< C.11x y< D.2x y+【答案】C 【解析】【分析】ABD 举反例即可判断，C 结合反比例函数即可判断.【详解】对A ，若2,1x y ==，则0x y >>，但x y >，A 错误；对B ，若2,1x y ==，则0x y >>，但22x y >，B 错误对D ，若2,1x y ==，则0x y >>，322x y +=>=D 错误；对C ，结合反比例函数1y x =知其在(0,)+∞单调递减，则0x y >>，有11x y<，C 正确.故选：C15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D -内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q ：过点M 有且只有一个平面与1AA 和11B C 都平行；2q ：过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B C 所在的直线都相交．则以下说法正确的是（）A.命题1q 是真命题，命题2q 是假命题B.命题1q 是假命题，命题2q 是真命题C.命题1q ，2q 都是真命题D.命题1q ，2q 都是假命题【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.【详解】已知点M 为正方体111ABCD A B C D -内（不包含表面）的一点，过点M 的平面为α，如图所示：对于1q ，在平面11AA D D 与平面11BB C C 之间与平面11AA D D 与平面11BB C C 平行的平面均与1AA 和11B C 平行，如平面α，当点M 为正方体111ABCD A B C D -内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题1q 是真命题；对于2q ，点M 在正方体1111ABCD A B C D -内部（不包含表面），假设过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B C 所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得1AA ，11B C ，M 在同一平面内，与1AA 和11B C 异面矛盾，所以假设错误，所以命题2q 是假命题.故选：A.16.若存在实数,a b ，对任意实数[0,1]x ∈，使得不等式33x m ax b x m -++≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.9⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ B.,9⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C.3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D.,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】不等式33x m ax b x m -≤+≤+等价于3x ax b m ++-≤，原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数[0,1]x ∈不等式3x ax b m ++-≤恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式3max x ax b m -++≤成立，分别讨论0a ≤，01a <≤，13a <<，3a ≥的情况，先求出3max x ax b ++-，再求出()3max minxax b++-即可解决问题.【详解】不等式33x m ax b x m -≤+≤+等价于3m x ax b m +-≤-+≤即3x ax b m ++-≤，原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数[0,1]x ∈不等式3x ax b m ++-≤恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式3max x ax b m -++≤成立，记3()x ax b f x -=++，则2()3f x x a '=-+，（1）当0a ≤时，对任意[0,1]x ∈，()0f x '≤恒成立，即()f x 在[0,1]上单调递减1()a b f x b+-≤≤①当10a b b +-+≥，即12ab -≥时，max ()f x b =，②当10a b b +-+<，即12ab -<时，max ()1f x a b =--+，从而当0a ≤时，1,2()11,2ab b g b a b a b -≥⎧=⎨--+-⎩<，则()g b 在1(,2a --∞上单调递减，在1,2a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以min 111()(222a a gb g --==≥；（2）当0<<3a 时，令()0f x '=，解得x =()f x在区间⎡⎢⎣上单调递增，在⎤⎥⎦上单调递减，(0)f b =，f b =，(1)1=+-f a b ，①当01a <≤时1a b b +-≤，此时1()a b f x b +-≤≤，)α当10a b b +-+<即1122b a <-时，max ()1f x a b =--+，)β当10a b b +-+≥即1122b a ≥-时，max )(f b x =，从而当01a <≤时，1128,22()11,22a b b a g b b b a --+⎧<--=≥--，则()g b在区间11,22a ⎛-∞- ⎝上单调递减，在区间1122a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增,所以min 111()2222a g b g a ⎛=--=-⎝令t =0t <≤，23min 13()22g b t t =-+，记2313()22h t t t =-+，则2()33)3(1)h t t t t t '=-=-，当⎛ ⎝时，()0h t '<恒成立，即()h t在区间⎛ ⎝上单调递减，即min 3()9h t h ==，即min 3()9g b ≥；②当13a <<时1a b b +->，此时()b f x b ≤≤，)α当0b b <即b <时，max ()f x b =-，)β当0b b ++≥即b ≥时，max )(f b x +=，从而当13a <<时，,(),bb g b b b -⎧<=≥，则()g b在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，在区间⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，所以min3()9g b g ⎛==> ⎝；（3）当3a ≥时，对任意[0,1]x ∈，()0f x '≥恒成立，即()f x 在[0,1]上单调递增，()1b f x a b ≤≤+-①当10a b b +-+≥，即12ab -≥时，max ()1f x a b =+-，②当10a b b +-+<，即12ab -<时，max ()f x b =-，从而当3a ≥时，1,282()1,2ab a b g b b a b -≥+-⎧=⎨--⎩<，则()g b 在1(,2a --∞上单调递减，在1,2a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以min 112)2(()1g a b g a -==≥-；综上所述，min ()9g b =，所以39m ≥.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()12max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，2PA AB AD ===，1CD =，90ADC ∠=︒，E ，F 分别为,PB AB 的中点．（1）求证：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面PCF 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）设G 是PA 的中点，连接GE ，DG ，证明四边形CDGE 是平行四边形，可得//CE DG ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）先证明CF PF ⊥，再利用等体积法求解即可.【小问1详解】证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，由于E 是PB 的中点，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，112CD AB ==，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，由于CE ⊄PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD .【小问2详解】设点B 到平面PCF 的距离为h ，因为PA ⊥平面ABCD ，CF ⊂平面ABCD ，所以PA CF ⊥，由于//CD AF ，CD AF =，所以四边形ADCF 是平行四边形，由于90ADC ∠=︒，所以CF AB ⊥，由于,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ，所以CF ⊥平面PAB ，又PF ⊂平面PAB ，所以CF PF ⊥，在Rt PAF △中，PF =12PFC S CF PF =⋅=△112△BCF S CF BF =⋅=.由P BCF B PCF V V --=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△，即255BCF PCF S PA h S ⋅=== ，所以5h =，即点B 到平面PCF 的距离为255.18.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，5a =，6b =.（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若三角形的面积4S =△，求c .【答案】（1）6A π=，5R =；（2）4c =或c =.【解析】【分析】（1）由题可得3sin 5B =，利用正弦定理即求；（2）利用三角形面积公式可得7sin 4C =，再利用同角关系式及余弦定理即求.a 【小问1详解】因为4cos 5B =-，则,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5B ==.由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，即1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =；【小问2详解】由1sin 2S ab C =△得1572274sin 564S C ab ⨯===⨯△，于是3cos 4C ==±.当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=.当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =.19.交通拥堵指数（TPI ）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI 表示，TPI 越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI 的公式为：TPI =实际行程时间畅通行程时间，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级：TPI[)1,1.5[)1.5,2[)2,4不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．【答案】（1）27；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用给定的折线图，求出2022年元旦及前后共7天中“拥堵”的天数，再利用古典概率计算即得.（2）利用折线图，求出2023年元旦及前后共7天中，道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数，求出X 的可能值及对应概率即得.【小问1详解】根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”；设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为27P =.【小问2详解】根据统计数据得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，所以X 的所有可能值为0,1,2，()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====；()125237C C 512C 357P X ⋅====.20.已知抛物线21:4y x Γ=，22:2y x Γ=，直线l 交抛物线1Γ于点A 、D ，交抛物线2Γ于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(4,4)，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD = ，求AOD △与BOC 的面积之比．【答案】20.()1,221.125522.107AOD BOC S S =△△【解析】【分析】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点A 的横坐标，代入方程得出纵坐标，根据点所在的象限得出其坐标；（2）设00(,)C x y ，得出线段AC 的中点坐标，根据已知列式04y =-，代入方程得出点C 的坐标，即可由两点式得出直线l 的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案；（3）设直线l 的方程为y kx b =+，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y ，根据已知与方程的联立与韦达定理得出31242()y y y y -=-，12342()y y y y +=+，12342y y y y =，设原点O 到直线l 的距离为d ，由弦长公式与三角形面积公式的出AOD BOC S S = ，即可代入化解得出答案.【小问1详解】抛物线24y x =的准线为=1x -，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2，所以点A 的横坐标为1，代入方程的24y =，解得2y =±，因为点A 位于第一象限，故点A 的坐标为()1,2.【小问2详解】设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++因为线段AC 的中点在x 轴上，所以0402y +=，故04y =-，代入方程得()2042x -=，解得08x =，所以(8,4)C -，所以直线l 的方程为：444484y x --=---，整理得：2120x y +-=所以原点O 到直线l 的距离225521d ==+【小问3详解】由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x yB x yC x y 由2AB CD =，得31242()y y y y -=- ①，由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b -+=，因为直线l 与抛物线1Γ交于点A 、D ，所以10kb ∆=->，即1kb <，且124y y k+=，124b y y k =，同理，342y y k +=，342b y y k =，所以12342()y y y y +=+ ②，12342y y y y = ③，由①，②得：23y y =-，代入③得142y y =-，代入②得2434y y =设原点O 到直线l 的距离为d ，所以4412344442103473AOD BOC y y y y S S y y y y ---===--- .【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的三角形面积问题一般转化为弦长问题与点到直线距离问题，使用弦长公式利用直线与圆锥曲线联立得出的二次方程由韦达定理转化.21.已知()sin (R,0)f x mx x m m =+∈≠．（1）若函数()y f x =是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列{}n a 是等差数列（公差0d ≠），()n n b f a =．是否存在数列{}n a 使得数列{}n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列{}n a ，并证明此时的数列{}n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m =，是否存在直线y kx b =+满足：①对任意的x ∈R 都有()f x kx b ≥+成立，②存在0x ∈R 使得00()f x kx b =+？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1m >（2）存在数列{}n a ，数列{}n a 满足：21sin sin 2sin n n n a a a +++=，证明见解析（3）存在直线满足题意，直线方程为1y x =-【解析】【分析】（1）此题分析题意，根据实数集题意可得'()cos 0f x m x =+>对任意的x ∈R 都成立，故可得出答案.（2）利用等差数列性质，结合题意，首先得出212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立.再经过化简计算得出结果.（3）首先分析题意，按b 三种不同情况进行分析，最后得出直线方程为1y x =-.【小问1详解】（1）因为函数()y f x =是实数集R 上的严格增函数，所以'()cos 0f x m x =+>对任意的x ∈R 都成立因为函数cos y m x =+的最小值为1m -，所以1m >【小问2详解】sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立，即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+，将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=，即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++-++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅-=对一切正整数n 成立，所以cos 1d =，故()2π0,Z d k k k =≠∈；此时()()11sin sin 12π12πn n n b a ma a n k m a n k =+=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112πsin m n k ma a =-++，所以12πn n b b m k +-=为常数，故{}n b 是等差数列【小问3详解】令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b=+-+=-+-则当m ∈Z 时，(2π)2(1)πsin 11b b g m k m k k+=-+--1k >时，存在m ∈Z 使得(2π)01b g m k +<-，即存在x ∈R 使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x ∈R 使得()f x kx b <+，与题意不符1k =时，()sin g x x b=-当1b >-时，显然存在x ∈R 使得()0g x <，即存在x ∈R 使得()f x kx b<+当1b <-时，对任意的x ∈R 都有()0g x >，当1b =时，存在02x π=-，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x ∈R 都有()f x kx b≥+综上，存在直线y kx b =+满足题意，直线方程为1y x =-19。

2018年上海市崇明区高三二模数学卷(含答案)

1 / 9崇明区2018届第二次高考模拟考试试卷数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写、号．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1－6题每题4分，7－12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】1．已知集合{}{}10123102U A =-=-，，，，，，，，则UA =．2．已知一个关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=．3．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为． 4．若2log 1042x -=-，则x =．5．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）．6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．7．若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞++++=．8．已知椭圆2221(0)x y a a+=>的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =．9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是．10．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是．11．已知,x y R ∈，且满足00y y y +-⎪⎩≤≥≥．若存在R θ∈使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为．2 / 912．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．“1x >”是“21x >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,3b c =-=D ．2,1b c =-=-15．将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则 A ．12t =，s 的最小值为6πB．t ，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD．t ，s 的最小值为3π16．在平面直角坐标系中，定义{}1212(,)max ,d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 与l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12(,)(,)2d P F d P F a -=(220)c a >>，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点其中真命题的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分.）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD ∥，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离．A BCDP3 / 918．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．）已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b -=(,0)a b >的左右焦点，126F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b ．（1）若a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，数b 的取值围．4 / 919．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．）如图，某公园有三条观光大道,,AB BC AC 围成直角三角形，其中直角边200BC =m ，斜边400AB =m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在,,AB BC AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点,,D E F ．（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设CEF θ∠=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．）已知函数2(),21x xaf x x R +=∈+．（1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意[(),()]d f c f b ∈，存在唯一的0x R ∈，使得0()f x d =，且0[,]x b c ∈．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分9分．）设数列{}na的前n项和为nS．若*112()2nnan Na+∈≤≤，则称{}na是“紧密数列”．（1）已知数列{}na是“紧密数列”，其前5项依次为39811,,,,2416x，求x的取值围；（2）若数列{}na的前n项和为2*1(3)()4nS n n n N=+∈，判断{}na是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设数列{}na是公比为q的等比数列．若数列{}na与{}nS都是“紧密数列”，求q的取值围．崇明区2018届第二次高考模拟考试数学学科参考答案与评分标准一、填空题1.{1,3}；2. 5；3. 2-；4. 4；5. 169.1；6. 12π；7.13-；；9.2()log(3)f x x=-；10.47；11.6π；12. 10二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D17.解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,1)P,(1,0,0)B,(1,2,0)C,(0,3,0)D所以(1,0,1)PB=-，(1,1,0)CD=-……3分设异面直线PB与CD所成角为θ则||1cos2||||PB CDPB CDθ⋅==⋅……6分所以异面直线PB与CD所成角大小为3π……7分（2）设平面PBC的一个法向量为(,,)n u v w=则PB nBC n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩……2分所以20u wv-=⎧⎨=⎩取1u w==，得(1,0,1)n=……4分所以点D到平面PBC的距离||22||n CDdn⋅==……7分2分4分5 / 96 / 9254d ==……设(,)P x y , 则1(,PB x y =，2(,PB x y =所以22212PB PB x y b ⋅=+-=221y b=，所以2222b x y a=-3分 2222(1)22b x b a +=-，即22c b a-||x a ≥，3,c =22222c b x -=≥在△ABC 中，1cos2BC B AB ==， ∴π3B=， ……2分在△BDE 中，由余弦定理得：2222212cos 3001002300100700002DE BD BE BD BE B =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=，∴DE =. ……5分所以甲乙两人之间的距离为m . ……6分（2）由题意得22EF DE y ==，BDE CEF θ∠=∠=，在直角三角形CEF 中，cos 2cos CE EF CEF y θ=⋅∠=， ……1分在△BDE 中，由正弦定理得sin BE DE BDE DBE =∠，即2002cos sin sin 60y yθθ-=， ∴sin()3y θ=+π02θ<<， ……5分所以当π6θ=时，y 有最小值. ……7分所以甲乙之间的最小距离为m .……8分20. 解：（1）证明：任取12,x x R ∈，设12x x <，则211212(1)(22)()()(21)(21)x x xx a f x f x ---=++ 因为12x x <，所以2122x x>，又1a >所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >……3分所以当1a >时，函数()y f x =是减函数 ……4分7 / 9（2）当1a =时，()1f x =，所以()()f x f x -=，所以函数()y f x =是偶函数 ……1分当1a =-时，()2121x x f x -=+2112()()2121x xx x f x f x -----===-++所以函数()y f x =是奇函数 ……3分当1a ≠且1a ≠-时，2(1)3a f +=，21(1)3a f +-=因为(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-所以函数()y f x =是非奇非偶函数 ……5分（3）证明：由（1）知，当2a =时函数()y f x =是减函数，所以函数()y f x =在[,]b c 上的值域为[(),()]f c f b ，因为[(),()]d f c f b ∈，所以存在0x R ∈，使得0()f x d =. ……2分假设存在110,x R x x ∈≠使得1()f x d =，若10x x >，则10()()f x f x <，若10x x <，则10()()f x f x >，与10()()f x f x d ==矛盾，故0x 是唯一的 ……5分假设0[,]x b c ∉，即0x b <或0x c >，则0()()f x f b >或0()()f x f c < 所以[(),()]d f c f b ∉，与[(),()]d f c f b ∈矛盾，故0[,]x b c ∈……7分21. 解：（1）由题意得：129248111622x x⎧≤≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪≤≤⎪⎩所以8181328x ≤≤……3分（2）由数列{}n a 的前n 项和()()2134n S n n n N *=+∈，得11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1,111,222n n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩()1122n n N *=+∈． ……3分所以，()111121*********n n n a n a n n n ++++===++++……4分8 / 9因为对任意n N *∈，11012n <≤+，即131112n <+≤+，所以，1122n n a a +≤≤，即{}n a 是“紧密数列”．……6分（3）由数列{}n a 是公比为q 的等比数列，得1n na q a +=，因为{}n a 是“紧密数列”，所以122q ≤≤．……1分 ①当1q =时，1111,1n n n S n S na S n n ++===+，因为11122n≤+≤，所以1q =时，数列{}n S 为“紧密数列”，故1q =满足题意． ……2分 ②当1q ≠时，()111n n a q S q-=-，则1111n n nn S q S q++-=-．因为数列{}n S 为“紧密数列”，所以111221n n q q+-≤≤-，对任意n N *∈恒成立．（ⅰ）当112q ≤<时，()()1111212n n n q q q +-≤-≤-，即()()21121nn q q q q ⎧-≤⎪⎨-≥-⎪⎩，对任意n N *∈恒成立．因为01nq q <≤<，0211q ≤-<，3212q -≤-<-，所以()211nqq q -<<，()()133221224nq q q q ⎛⎫-≥-≥⨯-=->- ⎪⎝⎭，所以，当112q ≤<时，()()21121nn q q q q ⎧-≤⎪⎨-≥-⎪⎩，对任意n N *∈恒成立． ……5分（ⅱ）当12q <≤时，()()1111212n n nq q q +-≤-≤-,即()()21121nn q q q q ⎧-≥⎪⎨-≤-⎪⎩，对任意n N *∈恒成立．因为1,211,120nq q q q ≥>->-<-≤．所以()()21121q q q q -≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，解得1q =，又12q <≤，此时q 不存在． ……8分综上所述，q的取值围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．……9分9 / 9。

上海市崇明县2018年中考数学一模试卷(解析版)

2018年上海市崇明县中考数学一模试卷一、选择题1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由勾股定理，得AC=，由正切函数的定义，得tanA=，故选：A．2. 抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（）A. （3，4）B. （3，﹣4）C. （﹣3，4）D. （﹣3，﹣4）【答案】D【解析】∵y=2（x+3）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），故选：D．3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A. 4.5B. 8C. 10.5D. 14【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴．∵AE＝6，∴，∴AC＝14．∴EC＝8．故选B．4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选B．考点：1.平行四边形的性质;2.相似三角形的判定和性质.视频5. 已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，又∵5﹣2=3，∴两圆的位置关系是内切．故选：D．点睛：本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题解析：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∠DAE=∠HAE，AE=AE，∠ADE=∠AHE，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC===10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得：D F=，则EF=DF﹣DE=﹣2=，故选C．二、填空题7. 已知2x=3y（y≠0），那么=_____．【答案】【解析】试题解析：∵2x=3y，∴，∴．故答案为：．8. 计算：=_____．【答案】【解析】==故答案为:.9. 如果一幅地图的比例尺为1：50000，那么实际距离是3km的两地在地图上的图距是_____cm．【答案】6【解析】试题解析：根据题意得，∴图上距离=6cm.故答案是6.10. 如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有最高点，那么a的取值范围是_____．【答案】a＜﹣1【解析】∵抛物线y=（a+1）x2﹣4有最高点，∴a+1＜0，即a＜﹣1．故答案为a＜﹣1点睛：本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质，当a>0时，抛物线开口向上,图像有最低点；当a<0时，抛物线开口向下，图像有最高点.11. 抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．【答案】y=2（x+2）2+4【解析】试题解析：∵二次函数解析式为y=2x2+4，∴顶点坐标（0，4）向左平移2个单位得到的点是（-2，4），可设新函数的解析式为y=2（x-h）2+k，代入顶点坐标得y=2（x+2）2+4，故答案为：y=2（x+2）2+4．点睛：函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．12. 已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1_____y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】∵y=2（x﹣3）2+5，∴a=2＞0，有最小值为5，∴抛物线开口向上，∵抛物线y=2（x﹣3）2+5对称轴为直线x=3，∵x1＞x2＞4，∴y1＞y2．故答案为：＞点睛:本题考察了二次函数的图像和性质，当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．【答案】4.8【解析】∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC==10，∵AD⊥BC，∴6×8=AD×10，解得：AD=4.8．故答案为：4.8．14. 已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为_____．【答案】【解析】延长AG交BC于D，∵G是三角形的重心，∴AD⊥BC，BD=DC=BC=，由勾股定理得，AD==，∴GA=AD=，故答案为：．点睛：本题考查了三角形重心的性质，等边三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解答本题的关键.15. 正八边形的中心角等于_____度．【答案】45【解析】试题分析：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．考点：正多边形和圆．16. 如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为_____．【答案】1：2.4．【解析】试题解析：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，∴AC==120m，∴tan∠BAC=．17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____．【答案】（﹣1，1）..............................18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为_____．【答案】【解析】试题分析：由折叠可得，∠DCE=∠DFE=90°，∴D，C，E，F四点共圆，∴∠CDE=∠CFE=∠B，又∵CE=FE，∴∠CFE=∠FCE，∴∠B=∠FCE，∴CF=BF，同理可得，CF=AF，∴AF=BF，即F是AB的中点，∴Rt△ABC中，CF=AB=5，由D，C，E，F四点共圆，可得∠DFC=∠DEC，由∠CDE=∠B，可得∠DEC=∠A，∴∠DFC=∠A，又∵∠DCF=∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF2=CD×CA，即52=CD×8，∴CD=，故答案为：．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；综合题．三、解答题19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°．【答案】【解析】试题分析：先把锐角三角函数换为它们的三角函数值，再把第一项的分子、分母都乘以分母有理化，然后合并同类二次根式化简.解：﹣3sin60°+2cos45°===．20. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，已知AD=5，BD=4．（1）求BC的长度；（2）如果=，=，那么请用、表示向量．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，，从而可求出结论；（2）由，得.故又与同向，所以，由，得，因此试题解析：（1）∵平分，∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.又∵，，∴，∴，∴.（2）∵，∴.∴又∵与同向∴∵，∴∴21. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【答案】（1）AB=4；（2）⊙O的半径是．【解析】试题分析：（1）由，得，，结合可证.从而AF=CE，故可求得AB的长；（2）由垂径定理得BE=CE，故BE=AB，从而∠A=30°，在直角三角形AFO中即可求出AO的值. 试题解析：（1）∵，∴在中∴∴∵,∴∵是的直径，∴∴.（2）∵是的半径，,∴,∵,∴.∵，∴.又∵∴∴即的半径是.22. 如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】E处距离港口A有35km．【解析】试题分析：如图作于．设在中，可得在中，可得由，推出由AC=CB，推出可得求出即可解决问题．试题解析：如图作于．设在中，在中,，∴E处距离港口A有23. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB=DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先证明△BGC∽△DGF，然后根据相似三角形的性质列比例式整理即可；（2）连接BD、CF，由△BGC∽△DGF，可得,变形得，可证△BGD∽△CGF，从而∠BDG=∠CFG，再根据正方形的性质求出∠BDG即可.证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∴∠BCD=∠GFD，∵∠BGC=∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC=DF•BG，∵AB=BC，∴DG•AB=DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD=∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG=∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG=45°．24. 如图，抛物线y=﹣+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M 与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【答案】（1）直线AB的解析式为y=﹣x+2，抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）N点坐标为（，）；（3）点M的坐标为（，0）或（，0）．【解析】试题分析：（1）运用待定系数法求解即可；（2设N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），那么NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，根据NP=PM列方程求解即可；（3）分△BPN∽△OBA和△BPN∽△ABO两种情况，列方程求解.解：（1）设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）∵M（m，0），MN⊥x轴，∴N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），∴NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，而NP=PM，∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得m1=3（舍去），m2=，∴N点坐标为（，）；（3）∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴AB==，BP==m，而NP=﹣m2+4m，∵MN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，当=时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即m：2=（﹣m2+4m）：，整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此时M点的坐标为（，0）；当=时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即m：=（﹣m2+4m）：2，整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此时M点的坐标为（，0）；综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）．25. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．【答案】（1）EF=5；（2）不变，理由见解析；（3）BF的长为3或或．【解析】试题分析：（1）由cos A=，根据锐角三角函数的定义可求可求AC=8，AE=4，在Rt△EDF中，由勾股定理求出DE=3，在Rt△AED中，由勾股定理求出EF的长；（2）过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，由（1）可得DH=3，DG=4，再证△EDH∽△FDG，得到,然后根据正切定义求解；（3）分QF=QC，FQ=FC，CF=CQ三种情况求解.解：（1）∵∠ACB=90°，∴，∵AC=8，∴AB=10，∵D是AB边的中点，∴，∵DE⊥AC，∴∠DEA=∠DEC=90°，∴，∴AE=4，∴CE=8﹣4=4，∵在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，∴DE=3，∵DF⊥DE，∴∠FDE=90°，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∴DF=EC=4，∵在Rt△EDF中，DF2+DE2=EF2，∴EF=5（2）不变如图2，过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，由（1）可得DH=3，DG=4，∵DH⊥AC，DG⊥BC，∴∠DHC=∠DGC=90°又∵∠ACB=90°，∴四边形DHCG是矩形，∴∠HDG=90°，∵∠FDE=90°，∴∠HDG﹣∠HDF=∠EDF﹣∠HDF，即∠EDH=∠FDG，又∵∠DHE=∠DGF=90°∴△EDH∽△FDG，∴，∵∠FDE=90°，∴，（3）①当QF=QC时，∴∠QFC=∠QCF，∵∠EDF+∠ECF=180°，∴点D，E，C，F四点共圆，∴∠ECQ=∠DFE，∠DFE+∠QFC=∠ECQ+∠QCF=∠ACB=90°，即∠DFC=90°，又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴，∴，②当FQ=FC时，∴∠BCD=∠CQF，∵点D是AB的中点，∴BD=CD=AB=5，∴∠BDC=∠BCD，∴∠BCD=∠FCQ，∠BDC=∠CFQ，∴△FQC∽△DCB，由①知，点D，E，C，F四点共圆，∴∠DEF=∠DCF，∵∠DQE=∠FQC，∴△FQC∽△DEQ，即：△FQC∽△DEQ∽△DCB∵在Rt△EDF中，，∴设DE=3k，则DF=4k，EF=5k，∵∠DEF=∠DCF=∠CQF=∠DQE，∴DE=DQ=3k，∴CQ=5﹣3k，∵△DEQ∽△DCB，∴，∴，∴，∵△FQC∽△DCB，∴，∴，∴，∴，③当CF=CQ时，如图3，∴∠BCD=∠CQF，由②知，CD=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵△EDQ∽△BDK，在BC边上截取BK=BD=5，过点D作DH⊥BC于H，∴DH=AC=4，BH=BC=3，由勾股定理得，同②的方法得，△CFQ∽△EDQ，∴设DE=3m，则EQ=3m，EF=5m，∴FQ=2m，∵△ED Q∽△BDK，∴，∴DQ=m，∴CQ=FC=5﹣m，∵△CQF∽△BDK，∴，∴，∴，∴．即：△CQF是等腰三角形时，BF的长为3或或．。

2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集带答案

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第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ）项和；（2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上

2018届上海市十二校高三1联考理科数学试卷及答案

2018学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U __． 2．函数)12arcsin(-=x y 的定义域为．3．若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）4. 计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．5．集合{}12-<<=x x A ，{}0<-=a x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．6. 设()887872x a x a x -=++…10a x a +，则87a a ++…0a +＝．7. 已知函数)(x f 有反函数)(1x f -，且[),,0,24)(1+∞∈-=+x x f x x 则=-)0(1f ．8. 已知袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4:3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为413．那么袋中的红球有 __个． 9. 已知函数32tansin )(x xx x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是．10. 已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这7个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则xy 1-的最小值为．11．设ω>0，若函数)(x f = sin 2x ω cos 2x ω 在区间[－3π，4π]上单调递增，则ω的范围是_____________．12. 设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________.13．函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为)(2*∈N n n ，则函数1)3sin(+-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为．14．（理）函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数，例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②指数函数)(2)(R x x f x ∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若)(x f 为单函数，则函数)(x f 在定义域上具有单调性。

2018年高三最新崇明中学2018学年第一学期高三数学周周练精品

崇明中学2018学年第一学期高三数学周周练班级__________ 姓名____________ 学号______一．填空题：（本大题共有12小题，每小题4分，满分48分）1．复数(1)(2)13i i i +-+在复平面中所对应的点到原点的距离是________________．2．123212lim()11111n n n n n n n n →∞--+-+-+++++的值为________________． 3．若等差数列{}n a 中，公差2d =，且123100200a a a a ++++=，则51015100a a a a ++++的值是________________．4．有一排标号为,,,,,A B C D E F 的6个座位，请2个家庭共6人入座，要求每个家庭的任何两个人不坐在一起，则不同的入座方法的总数为 ________________．（用数字做答） 5．已知0x >，0y >，2x y +=，则4xy xy+的最小值是________________． 6．在数列{}n a 中，11a =，22a =，且21(1)n n n a a +-=+-（n N *∈），则100S =________________．7．某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价y （元）与行程公里数x （公里）之间的函数关系式是________________． 8．设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f >，23(2)1a f a -=+，则实数a 的取值范围是________________．9．已知命题：“若数列{}n a 为等差数列，且m a a =，n a b =（m n ≠，m 、n N *∈），则m n bn ama n m+-=-”；现已知等比数列{}n b （0n b >，n N *∈），m b a =，n b b =（m n ≠， m 、n N *∈），若类比上述结论，则可得到m n b +=________________．10．若指数函数()x f x a =()x R ∈的部分对应值如下表：则不等式0|)1(|1<--x f 的解集为________________．11．若()f n 为21n +的各位数字之和（n N *∈）；如：2141197+=，19717++=，所以，(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，，1()(())k k f n f f n +=，k N *∈；则2005(8)f =________________．12．抛一枚均匀硬币，正、反面出现的概率都是12，反复这样的抛掷，数列 {}n a 定义如下：11n a ⎧=⎨-⎩n n （第次抛掷出现正面）（第次抛掷出现反面），若12n n S a a a =+++()n N *∈，则事件“82S =”的概率为________________；事件“20S ≠且82S =”的概率为________________．二．选择题：（本大题共有4小题，每小题4分，满分16分） 13．如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数与方差的变化情况为：（）（A ）平均数和方差都不变（B ）平均数不变，方差改变（C ）平均数改变，方差不变（D ）平均数和方差都改变14．若某等差数列{}n a 中，2616a a a ++为一个确定的常数，则其前n 项和n S 中也为确定的常数的是：（）（A ）17S（B ）15S（C ）8S（D ）7S15．函数())sin(3)f x x x θθ---是奇函数，则θ等于：（）（A ）k π（B ）6k ππ+（C ）3k ππ+（D ）3k ππ-16．设偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上递增函数，则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是：（）（A ）)2()1(+=+b f a f（B ）)2()1(+>+b f a f（C ）)2()1(+<+b f a f （D ）不确定三．解答题：（本大题满分86分） 17．（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3)；若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式。

2018年高三第一次高考模拟考试数学(理科)试卷 (2)

上海市崇明县2015年第一次高考模拟考试试卷数学（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（每题4分，共56分） 1、设复数11z i=+，22()zxi x R =+∈，若12zz R⋅∈，则x 的值等于．2、函数2()f x =+的定义域是．3、已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为．4、在二项式252x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的一次项系数为．（用数字作答） 5、已知双曲线2221kx y-=(0)k >的一条渐近线的法向量是(1,2)，那么k =．6、圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为．7、设无穷等比数列{}na (*)n N ∈的公比12q =-,11a =，则2462li m ()nn a a a a→∞++++= ．8、为了估计某鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时间，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为． 9、已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且A K F=，则A F K ∆的面积为．10、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，2-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是． 11、设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，0111()201x x a x f x b x x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为．12、在A B C ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，已知sin cos a c B b C =+．b =，则A B C ∆面积的最大值等于．13、定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线21C :y x a =+到直线:l y x=的距离等于222:(4)2C xy ++=到直线:l y x=的距离，则实数a =.14、若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ： ①{},{},{},{,,}a c a b c τ=∅； ②{},{},{},{,},{,,}b c b c a b c τ=∅；③{},{},{,},{,}a a b a c τ=∅； ④{},{,},{,},{},{,,}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是．（写出所有集合X 上的拓扑的集合τ的序号）二、选择题（每题5分，共20分） 15、若0a <，0b <，则22bap ab=+与q a b=+的大小关系为（）A.p q<B.p q≤C.p q> D.p q≥ 16、已知圆221x y+=及以下三个函数：①3()f x x =；②()co s f x x x=；③()tan f x x=．其中图像能等分圆的面积的函数个为（）A ．3B ．2C ．1D ．017、定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x=，则53f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A ．12-B ．12C．2-D218、如图，正A B C ∆的中心位于点G (0,1)，A (0,2)，动点P 从A 点出发沿A B C ∆的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度(02)A G Px x π∠=≤≤，向量O P 在(1,0)a=方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()yf x =的图像是（）三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤） 19、（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）如图，在四棱锥P A B C D-的底面梯形A B C D 中，A D B C ∥，A BB C⊥，1AB=，3A D =，45A D C∠=︒．又已知PA ⊥平面A B C D ，1P A =．求：（1）异面直线P B 与C D 所成角的大小. （2）四棱锥P A B C D-的体积．20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）已知函数21()s sin 22f x x x=+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．A ．B ．C ．D ．PDCA21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：()204(1)f x xx =-≥，220()(4)(1)3g x x x =-≥，2()30lo g 2(1)h x x x =-≥，其中x表示月数，{}na 分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60． 22、（本题16分，第(1)小题6分，第(2)小题10分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线:()l y kx m k =+∈R ，使得22O A O B O A O B+=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.23、（本题18分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题8分）已知等差数列{}na 满足37a=，5726aa +=．（1）求{}na 的通项公式；（2）若222na n m+=，数列{}nb 满足关系式11,1,,2,nn n bb m n -=⎧=⎨+⎩≥，求数列{}nb 的通项公式；（3）设（2）中的数列{}n b 的前n项和nS ，对任意的正整数n，1(1)(2)()22n n n S n n p +-⋅++++<恒成立，求实数p 的取值范围．上海市崇明县2014学年高三一模参考答案及评分标准一、填空题：1、2-；2、[)1,0；3、36x y =⎧⎨=-⎩；4、80-；5、12； 6、π103；7、23-； 8、30000；9、8； 10、71011、10-； 12、212+ ；13、49；14、②④二、选择题：15、B; 16、A ； 17、D ； 18、C 三、解答题：19、解：（1）在梯形ABCD 中，过B 作CDBE //，交AD 于E ，则PBE ∠就是异面直线PB 与CD 所成角。

精品解析：【全国市级联考】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题

A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数A. 5603C.5803D. 2403．若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（） A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()k k k z ππππ-+∈8．sin30cos15cos150sin15︒︒-︒︒=__________．9．已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为______，此时四边形PAOB外接圆的方程为______．10．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质11．已知直线l:y=k(x-2)与抛物线物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线12．方程组26x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿3②若2b ac=，则ABC∆为等边三角形③若2a c=，则ABC∆锐角三角形④若2•••AB AB AC BA BC CA CB=++，则3a c=⑤若tan tan 0A C ++>，则ABC ∆为锐角三角形三、解答题.（1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)。

在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以，(,1)b x =（的夹角为锐角，求32(4,)a b y -=时，求x y +的值本小题满分12x x f cos 2)(+=某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度。

2018年上海市高三一模数学试题完整解析

2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ，利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π．【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3；当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果．【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4，则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为（2 ，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合．【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞）【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形．【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18．（1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积．【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长．（2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ，所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数；【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ），此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）．（1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ，＜，（k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=，＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ，＜，（k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=，＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。

2024届上海市崇明区高三一模数学试题及答案

上海市崇明区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.15一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集是．2.双曲线221y x 的焦距是．3.4.5.x6.7.8.9.10.个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．11.已知不平行的两个向量a 、b 满足1a ，a bt R ，都有2b ta 成立，则b 的最小值等于．12.已知正实数a 、b 、c 、d 满足210a ab ，221c d ，则当 22a cb d 取得最小值时，ab．第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合23A x x ，0B x x ，则A B （）.A 2,3 ；.B 0,3；.C 0, ；.D 2, ．14.若0x y ，则下列不等式正确的是（）.A x y ；.B 22x y ；.C 11x y；.D 2x y．15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D 内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q2q .A .C 16.则实数m 的取值.A ．三、17.1，90ADC ，E 、F （1（2）求点B 到平面PCF 的距离．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，5a ，6b ．（1）若4cos 5B，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若ABC 的面积4S，求c 的值．19.台计算TPI 4个等级：某市（1）年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路2022年同日TPI高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．已知抛物线21:4y x ，22:2y x ，直线l 交抛物线1 于点A 、D ，交抛物线2 于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1 焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为 4,4，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD，求AOD 与BOC 的面积之比．已知 sin f x mx x （m R 且0m ）．（1）若函数 y f x 是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列 n a 是等差数列（公差0d ）， n n b f a ．是否存在数列 n a 使得数列 n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列 n a ，并证明此时的数列 n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m ，是否存在直线y kx b 满足：①对任意的x R 都有 f x kx b 成立，②存在0x R使得 00f x kx b ？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1. （1，3）；2. 3. 2； 4. 31； 5. 10；6.7. 3； 8. 9； 9. 0.42； 10. 假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚； 11.12.12+. 二、选择题13. D ； 14. C ； 15. A ； 16. A. 三、解答题17. 解（1）证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，12CD AB =，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，......................................4分由于CE 不在平面PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD ；.....................................................................................7分（2）设点B 到平面PCF 的距离为h ，由题意，CF AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以CF PF ⊥ 在RT PAF △中，PF =，所以12PFC S CF PF =⋅=△分由P BCF B PCF V V −−=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△所以5h =，即点B 到平面PCF的距离为5.......................................7分 18. 解（1）因为4cos 5B =−，()0,B π∈，所以3sin 5B ==...........2分由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，....................................4分所以1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =..................................................6分（2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+−⨯⨯⨯=.....................6分当3cos 4C =−时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =分（2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====； ()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20. 解（1）抛物线24y x =的准线为1x =−，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2，所以点A 的横坐标为1，故点A 的坐标为(1,2).....................4分（2）设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++ 由题意，402y +=，故04y =−，所以(8,4)C −.....................2分所以直线l 的方程为：2120x y +−=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离d ==.....................6分（3）由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+ 设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y由2AB CD =，得31242()y y y y −=−①，.....................2分由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b −+=，所以124y y k +=，124b y y k =同理，342y y k+=，342b y y k =.....................4分所以12342()y y y y +=+②，12342y y y y =③由①，②得：23y y =−，代入③得142y y =−，代入②得2434y y =所以4412344442103473AODBOCy y S y y S y y y y −−−===−−−△△...............................................................8分 21.解（1）因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数，所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分因为函数cos y m x =+的最小值为1m −，所以1m ≥.....................4分（2）sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立，即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+，将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=，即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++−++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅−=对一切正整数n 成立，所以1sin 0n a +=或cos 1d =，故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ；......................................................3分注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分当()20,d k k k π=≠∈Z 时，()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+−++−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=−++，所以12n n b b m k π+−=为常数，故{}n b 是等差数列......................................................................6分同理，当n a n π=时，亦可证明数列{}n b 为等差数列. （3）令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b =+−+=−+−则当m Z ∈时，(2)2(1)sin11b bg m k m k kππ+=−+−− 1k >时，存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<−，即存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符.......................4分1k =时，()sin g x x b =−当1b >−时，显然存在存在x R ∈使得()0g x <，即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+ 当1b <−时，对任意的x R ∈都有()0g x >，..................................6分当1b =时，存在02x π=−，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x R ∈都有()f x kx b ≥+综上，存在直线1y x =−满足题意..................................8分。

2018届崇明区高考数学一模(附答案)

崇明县2018届第一次高考模拟考试试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,5},{2,}A B a ==，若{1,2,3,5}AB =，则a =____________.2. 抛物线24y x =的焦点坐标是____________.3. 不等式01xx <+的解是____________. 4. 若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z =____________.5. 在代数式721x x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是____________.（用数字作答）6. 若函数2sin 1(0)3y x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=____________. 7. 若函数()af x x =的反函数的图像经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则a =____________. 8. 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为____________cm 39. 已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2xf x ax =-，且(2)2f =，则a =____________. 10. 若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a =，公比为32a -，且lim n n S a →∞=，则a =____________.11. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法____________.（用数字作答）12. 在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交,BC AC 于点,D E ．若6,2AE BC AB ⋅==，则AC =____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13. 展开式为ad bc -的行列式是（）A.a b dcB.a cb dC.a d bcD.b a dc14. 设,R a b ∈，若a b >，则（）A.11a b< B. lg lg a b >C. sin sin a b >D. 22a b>15. 已知等差数列{}a 的公差为d ，前n 项和为S ，则“0d >”是“2S S S +>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+（,R a b ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A. 221a b +≥B. 1ab ≥C. 1a b +≥D. 2a b -≥三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1题满分7分，第2题满分7分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,1AC 与底面ABCD 所成的角为60，（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）已知()2cos 2cos 1f x x x x =+-.（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，若a b ==，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求边c 的值.19.（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的的基础上增长50%．记2016年为第1年，()f n 为第1年至此后第()n n N *∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20.（本题满分16分，第1题满分4分，第2题满分5分, 第3题满分7分）在平面直角坐标系中，已知椭圆()222:10,1x C y a a a+=>≠的两个焦点分别是12,F F ，直线():,l y kx m k m R =+∈与椭圆交于,A B 两点.（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F 是直角三角形，求a 的值；（2）若1k =，且OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-,求证：OAB 的面积为定值.21.（本题满分18分，第1题满分5分，第2题满分5分, 第3题满分8分）若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”.（1）若函数()()14f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ，都有()()121f x f x -≤.参考答案一. 填空题1.32.()1,03.()1,0-4. 1i -5. 216.27.128. 18π 9.98- 10.2 11. 780 12. 4 二. 选择题 13-16.BDCC 三. 解答题17.（1；（2）18.（1）最大值为2，此时()6x k k Z ππ=+∈;（2）2c =或419.（1）()3272nf n n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭千万元；（2）从2023年开始持续赢利20．（1或2；（2）()22212m a a +=；（3）定值为1，证明略. 21.（1）12；（2）不是；（3）证明略。

崇明区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

崇明区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N ==2．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（） A ．一定相离 B ．一定相切C ．相交且一定不过圆心D ．相交且可能过圆心3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A ．B ．C ．D ．4．已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C ．5D ．255．设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x∈R 恒成立，则（） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），fD ．f （2）＜e 2f （0），f6．若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （）=（）A ．2或0B ．0C ．﹣2或0D ．﹣2或2 7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（）A ．3B ．2C ．3D ．48．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.7B.8C. 9D. 10班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 9． ∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是（）A ．不存在x ∈R ，使∃x 2﹣2x+3≥0B ．∃x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3＞010．已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则实数的取值范围是（）111] A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(11．函数y=f ′（x ）是函数y=f （x ）的导函数，且函数y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线为l ：y=g （x ）=f ′（x 0）（x ﹣x 0）+f （x 0），F （x ）=f （x ）﹣g （x ），如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象如图所示，且a ＜x 0＜b ，那么（）A ．F ′（x 0）=0，x=x 0是F （x ）的极大值点B ．F ′（x 0）=0，x=x 0是F （x ）的极小值点C ．F ′（x 0）≠0，x=x 0不是F （x ）极值点D ．F ′（x 0）≠0，x=x 0是F （x ）极值点12．等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=45，则a 8等于（）A ．B ．6C ．D ．3二、填空题13．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 14．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为 cm 3．15．已知[2,2]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.16．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB的距离是．17．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.18．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是．三、解答题19．定圆22:(16,M x y +=动圆N 过点0)F 且与圆M 相切,记圆心N 的轨迹为.E （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点,,A B C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC BC =,当ABC ∆的面积最小时，求直线AB 的方程.20．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．21．若{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）均在函数y=的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n是数列{b n}的前n项和，求：使得对所有n∈N*都成立的最大正整数m．22．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．（1）求x2的系数取最小值时n的值．（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．23．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足S n=（b n﹣1）且a2=b1，a5=b2（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，设T n为{c n}的前n项和，求T n．24．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km的部分2元/km．（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式；（2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？崇明区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A 【解析】试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.考点：两个集合相等、子集．1 2．【答案】C【解析】【分析】将圆C 方程化为标准方程，找出圆心C 坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d ，与r 比较大小即可得到结果．【解答】解：圆C 方程化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=2， ∴圆心C （1，0），半径r=， ∵≥＞1， ∴圆心到直线l 的距离d=＜=r ，且圆心（1，0）不在直线l 上，∴直线l 与圆相交且一定不过圆心．故选C3．【答案】D【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m则由题意知，解得d=．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．4．【答案】C【解析】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5 故选C ．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．5．【答案】B【解析】解：∵F （x ）=，∴函数的导数F ′（x ）==，∵f ′（x ）＜f （x ），∴F ′（x ）＜0，即函数F （x ）是减函数，则F （0）＞F （2），F （0）＞F ＜e 2f （0），f ，故选：B6．【答案】D【解析】解：由题意：函数f （x ）=2sin （ωx+φ），∵f （+x ）=f （﹣x ），可知函数的对称轴为x==，根据三角函数的性质可知，当x=时，函数取得最大值或者最小值．∴f （）=2或﹣2故选D ．7．【答案】A【解析】解：∵l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0是平行直线， ∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M 到原点的距离的最小值∵直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB 的中点M 到原点的距离的最小值为+=3，故选：A【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．8．【答案】A【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n =10，i =1；n =5，i =2；n =16，i =3；n =8，i =4；n =4，i =5；n =2，i =6；n =1，i =7，到此循环终止，故选 A. 9．【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是：∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0．故选：C ．10．【答案】B 【解析】试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()()()111f f f --=，()x f 是定义在R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R 上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x 时，()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨⎧-><<23log 10a a ，解得：330<<a 故选A ．考点：根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.11．【答案】 B【解析】解：∵F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣f ′（x 0）（x ﹣x 0）﹣f （x 0）， ∴F'（x ）=f'（x ）﹣f ′（x 0） ∴F'（x 0）=0，又由a ＜x 0＜b ，得出当a ＜x ＜x 0时，f'（x ）＜f ′（x 0），F'（x ）＜0，当x 0＜x ＜b 时，f'（x ）＜f ′（x 0），F'（x ）＞0， ∴x=x 0是F （x ）的极小值点故选B ．【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．12．【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得：S 15==15a 8=45，则a 8=3．故选：D ．二、填空题13．【答案】2016-14．【答案】 6【解析】解：过A 作AO ⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为V==6．故答案为：6．15．【答案】(,0)(4,)-∞+∞【解析】试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 22+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2a =时，044)42(x )2(y 2>-+-+==x f ，即02x )2(2>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．考点：换主元法解决不等式恒成立问题.【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.16．【答案】．【解析】解：根据点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），可得A 、B 的直角坐标分别是（3，）、（﹣，），故AB 的斜率为﹣，故直线AB 的方程为 y ﹣=﹣（x ﹣3），即x+3y ﹣12=0，所以O 点到直线AB 的距离是=，故答案为：．【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．17．【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()f x 的解析式为()2245f x x x =-+. 考点：函数的解析式. 18．【答案】．【解析】解：由于角A 为锐角，∴且不共线，∴6+3m ＞0且2m ≠9，解得m ＞﹣2且m ．∴实数m的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．三、解答题19．【答案】【解析】（Ⅰ）(3,0)F在圆22:(16M x y +=内，∴圆N 内切于圆.MNM NF +∴轨迹E 的方程为4(11OA OC =2(14)(14k k ++≤当且仅当18>∴∆2,520．【答案】【解析】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．21．【答案】【解析】解：（1）由题意知：S n=n2﹣n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2，当n=1时，a1=1，适合上式，则a n=3n﹣2；（2）根据题意得：b n===﹣，T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，∴{T n}在n∈N*上是增函数，∴（T n）min=T1=，要使T n＞对所有n∈N*都成立，只需＜，即m＜15，则最大的正整数m为14．22．【答案】【解析】【专题】计算题．【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值（2）通过对x分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．【解答】解：（1）由已知C m1+2C n1=11，∴m+2n=11，x2的系数为C m2+22C n2=+2n（n﹣1）=+（11﹣m）（﹣1）=（m﹣）2+．∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22，此时n=3．（2）由（1）知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）5+（1+2x）3．设这时f（x）的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2++a5x5，令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，令x=﹣1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，两式相减得2（a1+a3+a5）=60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵数列{b n}的前n项和S n满足S n=（b n﹣1），∴b1=S1=，解得b1=3．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=，化为b n=3b n﹣1．∴数列{b n}为等比数列，∴．∵a2=b1=3，a5=b2=9．设等差数列{a n}的公差为d．∴，解得d=2，a1=1．∴a n=2n﹣1．综上可得：a n=2n﹣1，．（Ⅱ）c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n．∴T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1．∴﹣2T n=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣（2n﹣1）•3n+1﹣3=（2﹣2n）•3n+1﹣6．∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．【答案】【解析】解：（1）依题意得：当0＜x≤4时，y=10；…（2分）当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分）∴…（9分）（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2018年12月上海市崇明区高三数学一模卷

高三数学共4页第1页崇明区2018学年第一次高考模拟考试试卷数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．计算：20lim31n n n →∞+=+ ▲ ．2．已知集合{}12x x A =-<<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =∩ ▲ ． 3．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z = ▲ ．4．821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含7x 项的系数为 ▲ （用数字作答）．5．角θ的终边经过点(4,)P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ= ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是 ▲ ．7．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 ▲ ． 8．设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 ▲ ． 9．若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(3,7)-，则a = ▲ ． 10．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有 ▲ 种．11．设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ⎧⎨⎩≤≤≤≤的解集为 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足：①10a =，②对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>成立．函数1()sin ()n n f x x a n=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a高三数学共4页第2页二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是(A)11a b> (B)a b ->(C)22a b >(D)33a b <14．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件15．已知向量a b c ,,满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是(A)a b ⋅(B)b c ⋅(C)a c ⋅(D)不能确定的16．函数()f x x =，2()2g x x x =-+．若存在129,,...,0,2n x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ，则n 的最大值是(A) 11 (B) 13 (C) 14 (D) 18三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，设长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4π．（1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数2()cos sin f x x x x =⋅+ （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1()2f A =，3,4a b ==，求ABC △的面积．高三数学共4页第3页19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～1600万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立．）（1）判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()5g x =(1)a ≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点；1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，112B F B △是边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线1PB 的一个方向向量是1,1（）时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；（3）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥．求证：12PB B △与12RB B △的面积之比为定值．高三数学共4页第4页21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知数列{}n a ,{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，11()n n n a b S n *+=+∈N ．（1）若11,2n na b ==，求4a 的值；（2）若{}n a 是公比为q (1)q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =．。

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