华师大版初中数学九年级下册总复习《图形的平移与旋转》学案
《平移与旋转》教案（通用5篇）
《平移与旋转》教案（通用5篇）作为一位兢兢业业的人民教师，就有可能用到教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
教案应该怎么写才好呢？下面是小编收集整理的《平移与旋转》教案（通用5篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
《平移与旋转》教案1一、能够把数学知识与生活现象密切联系起来。
数学源于生活，又用于生活。
这节课中一个突出的特色就是以学生已有的生活经验为背景，将数学知识与生动形象的现实生活密切联系起来，使学生在一种很真实，自然的状态下感受、体验、理解数学知识形成的过程。
姚老师收集一些图片，比如银行的自动门、电梯、汽车行驶、风扇、风车等许多真实的生活事例，让学生从这些活生生的现象中感受平移和旋转，体会到原来数学是这么地贴近我们的日常生活，它就在我们的身边。
二、能够充分发挥学生主题作用，让学生积极主动地参与。
在课堂上，姚老师始终将学生放在主体地位，创设情境与活动，给予足够的时间，使他们在自主观察、思考、操作中逐步感知，理解平移和旋转。
比如在数学移图时，姚老师先让学生整个图平移，接着引导学生找出对应点的方法，让学生一步步的掌握移图的方法。
而且整个环节都重视学生的真实感受，重视知识的形成过程，使学生在获得知识的同时，思维能力得到进一步的锻炼与提高。
三、通过实践操作，丰富学生对空间图形的认识和感受，发展空间观念。
整堂课中，姚老师十分重视实践活动，比如在上课一开始，就让学生用手势比划出自动门、电梯、风扇、风车是怎样运动的，在画移图时，让学生通过动手画一画的实践中，感受平移和旋转的奇妙，在动手、动脑、动口的过程中“做数学”。
培养学生的空间观念，发展学生的数学思维。
《平移与旋转》教案2一、引导学生从身边的事物出发，感受生活中的数学现象。
在教学中姚老师提供大量感性材料，通过让学生用眼观察、动手操作、自身体验，化抽象的概念为看得到摸得着的现象，因而学生都能举出生活中有关平移、旋转的现象。
老师出示汽车、电风扇、风车、时针等。
华东师大版初中数学九年级下册综合测试与复习 “平移与旋转”之学案
第28课时 全等变换（一）---平移与旋转之学案一、情境引入：生活中常见平移、旋转的事例（如商城电梯运动、拉窗户、打气筒活塞运动和摩天轮的转动、钟摆的摆动等），问：哪些运动是平移？哪些是旋转？平移的定义是什么？旋转的定义是什么？二、探究学习：（一）. 尝试：1.把图中的△ABC 向右平移6格，画 出 所得到的△A ′B ′C ′；度量△ABC 与△A ′B ′C ′的边、角的大小，你发现了什么？2. 如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45AOB ∠=，则AOD ∠等于（ ）Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 Ｄ．35（二）．概括：1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移.2.旋转的概念：把一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转， 这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角．（三）.典型例题：例1.将图中所示“箭头”向右平移6格，并向下平移5格，在方格中画出平移后的图形。
并请说说你是怎么移的.例2.下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是( )（四）.延伸：1．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角 三角形沿BC 方向平移得到DEF △．如果8cm AB =，4cm BE =，3cm DH =，则图中阴影部分面积为 2cm ．2.如图，将三角尺ABC （其中∠ABC ＝60°，∠C ＝90°）绕 B 点按顺时针方向转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A , B 、C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°（五）.巩固练习：1.修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分 作为耕地，若要使耕地的面积为540米2，则道路 的宽应是 米？2.如图两个全等的正六边形ABCDEF ，PQRSTU ， 其中点P 位于正六边形ABCDEF 的中心，如果它们的 面积均为3，那么阴影部分的面积是（ ）三、归纳总结：1．平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小；；（2）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；（3）图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一条直线上）并且相等．2．旋转的性质：（1）旋转前、后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等．3．注：在平面直角坐标系中，将点： ①向右或向左平移a 个单位点或 ②向上或向下平移b 个单位点或【课后作业】：完成“平移与旋转”复习练习；《导与练》P45-47(第9题）C 1A 1ACABC DH EF32m20m图1“平移与旋转”复习练习1．将线段AB向右平移1cm，得到线段DE，则对应点A与D 的距离为 cm ．2．已知：在△ABC中，AB=5cm，∠B= 72°，若将△ABC向下平移7cm得到△A′B′C′，则A′B′=_______cm ，AA′=_______cm，∠B′=________°．3．如图在△AOB中，AO=AB.在直角坐标系中，点A的坐标是(2,2)，点O的坐标是(0,0)，将△AOB平移得到△A′O′B′，使得点A′在y轴上.点O′、B′在x轴上.则点B′的坐标是____.4．下列图形中，是由(1)仅通过平移得到的是( )5．如图O是正六边形ABCDE的中心，下列图形可由△OBC平移得到的是（）A、△OCDB、△OABC、△OAFD、△OEF6．先将方格纸中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格．7．在下图（B）（C）中，画出由（A）所示的图形绕点P顺时针方向旋转90°、180°所生成的图形。
九年级中考一轮复习导学案：25课时图形的变换⑵平移、旋转、翻折(含答案)
九年级中考一轮复习导学案：25 课时图形的变换⑵平移、旋转、翻折(含 答案)
【基础知识梳理】 1.平移 在平面内，将一个图形沿着某个移动一定的，这样的图形运动称作平移；平移 不改变图形的和. 2.平移的特征 平移前后的两个图形对应点连线且，对应线段且，对应角. 3.旋转 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向一定的角度，这样的图形运动称 为图形的旋转.这个定点称为，转动的角称为. 4.旋转的基本性质 ⑴旋转不改变图形的和． ⑵图形上的每一点都绕沿转动了相同的角度. (3)任意一对对应点与的连线所成的角度都是旋转角. (4)对应点到旋转中心的距离. 【基础诊断】 1、 （3 分） （2014•呼和浩特）已知线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A（﹣1，4） 的对应点为 C（4，7） ，则点 B（﹣4，﹣1）的对应点 D 的坐标为（
考点： 翻折变换（折叠问题）
例 3、 （2014•山东潍坊，第 22 题 12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、 CD 的中点，连接 AE、BF，交点为 G． (1)求证：AE⊥BF； (2)将△BCF 沿 BF 对折， 得到△BPF （如图 2） ， 延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q， 求 sin∠BQP
A．（1，2） B．（2，9） C．（5，3）
）
D．（﹣9，﹣4）
邴原少孤 ，数岁 时，过 书舍而 泣。师 曰：“ 童子何 泣？” 原曰： “孤者 易伤， 贫者易 感。夫 书者， 凡得学 者，有 亲也。 一则愿 其不孤 ，二则 羡其得 学，中 心伤感 ，故泣 耳。” 师恻然 曰：“ 欲书可 耳!” 原曰： “无钱 资。” 师曰： “童子 苟有志, 吾徒相 教,不 求资也 。
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凡读书...... 须要读得字字响 亮，不 可误一 字，不 可少一 字，不 可多一 字，不 可倒一 字，不 可牵强 暗记， 只是要 多诵数 遍，自 然上 口，久 远不忘 。古人 云， “ 读书百 遍，其 义自见” 。 谓读得 熟，则 不待解 说，自 晓其义 也。余 尝谓， 读书有 三到， 谓心到 ，眼到 ，口到 。
【学案】利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案
利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案学习目标：1.利用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.（重点）2.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.3.灵活运用平移与旋转组合的方式进行一些图案设计.（难点）学习重点：利用旋转、轴对称或平移进行图案设计理.学习难点：运用平移与旋转组合的方式进行图案设计.自主学习知识链接观察下列图片中的图案，想想它们是如何设计出来的.二、新知预习2.如图，请将这个图形沿着箭头所示的方向和距离平移三次（保留作图痕迹）.3.如图，将这个三角形绕两条虚线的交点，先旋转90°，再将整个图形旋转180°，画出旋转后的图形（保留作图痕迹）.4.观察下图中的图案，请你分别说出图案的变化过程.图案设计与日常生活息息相关，它通常是利用基本图形的变换来进行图案设计，图形之间的基本关系有_______、_______、_______这三种基本形式，但较多的形式都是经过组合变化而成的.自学自测旦前，市园林部门准备在文化广场摆设直径均为4米的八个圆形花坛，在坛内放置面积相同的两种颜色的盆栽花草，要求各个花坛内两种花草的摆设不能相同，如图所示的（1）（2），请你再设计出至少四种方案.四、我的疑惑_________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ________ _合作探究要点探究探究点：利用平移、旋转和轴对称设计图案问题1：分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案．【归纳总结】形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案，希望同学们认真分析，精心设计一定也能设计出漂亮的图案来．【针对训练】如图，若要将图①变成图②，经过的变换过程可能是（）A.旋转、平移B.轴对称、旋转C.平移、旋转D.轴对称、平移问题2：用四块如图(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．【归纳总结】求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定要留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就．【针对训练】如图是某地板厂生产的一种地面砖，有一下四种样式：请你选其中的几种用来铺设地面，并组成一个优美的图案，要求构成这个图案的基本图形既是轴对称图形又是中心对称图形.二、课堂小结内容分析图形之间的基本变换根据平移、旋转、轴对称的特点，不断把复杂图形细分至一个简单图形；在倒过来用简洁的文字语言描述这个行程过程.利用平移、旋转和轴对称设计图案图案的组合一般有以下几种形式：①先平移后旋转；②先旋转后平移；③先平移后轴对称；④先作轴对称后平移；⑤先旋转后作轴对称；⑥先作轴对称后旋转.1.如图所示，该图案可以看做是一个菱形通过_______次旋转得到的，每次旋转______度.2.如图，把边长为3的正方形，按下图①~④的方式进行变换后拼成图⑤，则图⑤的面积等于______.当堂检测3.用直尺,圆规,三角尺再设计一个新颖的(课堂上未见过的)美丽图案.当堂检测参考答案：1.6 602.363.图略小升初专项卷2．图形与几何一、认真审题，填一填。
第三章-图形的平移与旋转复习学案
第三章《图形的平移与旋转》复习学案学习目标：1．能判断实例中的平移和旋转。
2．能根据平移、旋转的基本性质解决实际问题。
3．能作出简单的平面图形平移、旋转后的图形。
4．能够运用平移、旋转、轴对称及其组合进行图案设计。
【知识整理】1. 平移的定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移．平移变换的两个要素：________________、________________.2. 平移变换的性质：(1)平移前、后的图形_____，即：平移只改变图形的_____，不改变图形的_____________；(2)对应线段平行(或共线)且相等；(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等.3. 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点叫做_________，转动的角称为_________.旋转变换的三个要素：_________，_________，_________.4. 旋转变换的性质：(1)旋转前、后的图形_____；(2)对应点到旋转中心的距离_____，即：旋转中心在对应点所连线段的_____________上；(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_________.例题解析例1如图，在平面直角坐标系内有一个△ABC.(1) 在平面直角坐标系内画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；(2) 在平面直角坐标系内画出△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3) 分别写出△A1B1C1与△A2B2C2各顶点的坐标.例2 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；例3 如图，两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1，固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：(1) 如图(a)，△DEF沿AB向右平移，连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，问：四边形CDBF的面积是否发生变化，若有变化，请举例说明；若不变化，请求出它的面积.(注：D点在AB内，不包括A、B两点)(2) 如图(b)当D点移动到AB得中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.(3) 如图(c)△DEF的D点固定在AB的中点时然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求AE的值.测试题1．将线段AB=2cm向右平移1cm，得到线段DE，则对应点A与D的距离为_____cm. 2. 将正六边形绕其对称中心旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是______.3.如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为______cm2.4. 如图，阴影部分为2m宽的道路，则余下的部分面积为______m2.第3题第4题第5题5. 如图，△ACE，△ABF均为等腰直角三角形，∠BAF=∠EAC=90°，那么△AFC以点A为旋转中心逆时针旋转90°之后与________重合，其中点F与点____对应，点C与点____对应．6. 如图，在直角坐标系中，AO=AB，点A的坐标是(2，2)，点O的坐标是(0，0)，将△AOB平移得到△A′O′B′，使得点A′在y轴上，点O′、B′在x轴上. 则点B′的坐标是_______.第6题第7题第8题7. 如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为___cm.8. 如图，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转90°，使得AB与CB重合，若BP=4,则点P所走过的路径长为_____.9. 下列图案中，不能由一个图形通过旋转而构成的是( )A． B. C. D.10. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是( )A． B. C. D.11. 在下列现象中，是平移现象的是( )①方向盘的转动②电梯的上下移动③保持一定姿势滑行④钟摆的运动A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④12. 在5×5方格纸中，将图1中的图形N平移后的位置如图2中所示，那么正确的平移方法是( )A. 先向下移动1格，再向左移动1格B. 先向下移动1格，再向左移动2格C. 先向下移动2格，再向左移动1格D. 先向下移动2格，再向左移动2格13.如图，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕B点按顺时针方向转动一个角度α到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，那么这个角度α等于( )A．120° B．90° C．60° D．30°14.在13题中，若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为( )A. 10πcmB. 103πcmC. 303cmD. 20πcm15.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1) 将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2) 将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，请画出△A2B2C，并写出点A2的坐标.16.把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙)，这时AB 与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F.(1) 求∠OFE1的度数；(2) 求线段AD1的长；(3) 若把三角板D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由.。
图形的平移和旋转(教案和习题)
图形的平移和旋转教学目标：1. 理解平移和旋转的概念。
2. 学会用平移和旋转的方法来变换图形。
3. 能够判断图形是否发生了平移或旋转。
教学重点：1. 平移和旋转的定义。
2. 平移和旋转的方法。
3. 平移和旋转的性质。
教学难点：1. 理解平移和旋转的本质区别。
2. 学会用平移和旋转的方法来变换复杂图形。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 图形卡片。
3. 练习题。
教学过程：第一章：平移的概念和性质1.1 引入平移的概念教师展示一些平移的实例，如滑滑梯、电梯等，引导学生感受平移的特点。
1.2 学习平移的性质学生通过观察和操作，发现平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
1.3 练习平移学生分组合作，用图形卡片进行平移操作，体会平移的方法。
第二章：旋转的概念和性质2.1 引入旋转的概念教师展示一些旋转的实例，如旋转门、风车等，引导学生感受旋转的特点。
2.2 学习旋转的性质学生通过观察和操作，发现旋转不改变图形的大小，只改变图形的位置和方向。
2.3 练习旋转学生分组合作，用图形卡片进行旋转操作，体会旋转的方法。
第三章：平移和旋转的判定3.1 学习平移的判定方法学生通过观察和操作，学会判断图形是否发生了平移。
3.2 学习旋转的判定方法学生通过观察和操作，学会判断图形是否发生了旋转。
3.3 练习判断学生独立完成判断题目，巩固平移和旋转的判定方法。
第四章：平移和旋转的应用4.1 学习用平移和旋转的方法来变换图形学生通过观察和操作，学会用平移和旋转的方法来变换图形。
4.2 练习变换学生独立完成变换题目，巩固平移和旋转的变换方法。
第五章：总结与拓展5.1 总结平移和旋转的概念、性质和判定方法学生通过回顾本节课的内容，总结平移和旋转的概念、性质和判定方法。
5.2 拓展平移和旋转的应用学生分组合作，用平移和旋转的方法来创作有趣的图形图案。
教学评价：1. 通过课堂观察，评价学生对平移和旋转概念的理解程度。
2. 通过练习题，评价学生对平移和旋转性质的掌握程度。
“图形的轴对称、平移和旋转”中考专题复习教学设计
收稿日期：2021-01-16作者简介：曹自由（1979—），男，高级教师，主要从事中学数学教育研究.“图形的轴对称、平移和旋转”中考专题复习教学设计曹自由摘要：图形的变化是发展空间观念的内容抓手，也是研究图形的基本方法，是发现和构造不变量和不变关系的重要途径.学生在新授课阶段分别学习了轴对称、平移和旋转，在中考第二轮复习中需要建立它们之间的关联，进行整体复习.通过四个课时的复习教学，分别引导学生感受运动变化、理解运动变化、运用运动变化、整合运动变化，有效发展学生的空间观念、几何直观和推理能力.文章将第1课时设计整理成文，以供研讨.关键词：图形的变化；中考复习；教学设计一、内容和内容解析1.内容图形的变化（轴对称、平移、旋转）．2.内容解析初中阶段学习的几何图形的变化包括轴对称、平移、旋转和相似（位似）的概念、性质和应用.本节课复习的内容是图形的全等变换——轴对称、平移和旋转.图形的全等变换可以看作是图形的刚体运动，用全等变换的思想研究图形的性质和关系是“图形与几何”领域重要的学习内容.在义务教育阶段，图形之间最重要的关系就是全等，全等可以用图形重合的方式直观获得，而“图形重合”需要通过图形的运动来实现，这种运动就是图形的轴对称、平移和旋转.图形的变化是理解图形空间结构的基本方法，也是空间观念的核心要素.抽象轴对称、平移和旋转的基本性质，用逻辑的方法理解图形的全等变换是从定性到定量研究图形的变化的桥梁.从小学直观认识图形的轴对称、平移和旋转到初中的逻辑研究、坐标表示再到后续的矩阵表示，是图形的全等变换的定性到定量发展的三个重要阶段.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：建立三种图形的变化相关知识的逻辑体系，并用图形变化的观点认识几何图形.二、目标和目标解析1.目标（1）理解轴对称、平移、旋转之间的联系，加深对运动变化的认识，落实画图和识图的能力，渗透几何直观能力.（2）在问题探究的过程中，逐步形成用图形的变化思考、解决问题的意识，渗透图形变化思想.2.目标解析达成目标（1）的标志：能够从运动变化的角度描述两个已知图形之间的关系，能够根据图形变化（轴对称、平移、旋转）的概念和性质画出运动变化后的图形，通过梳理建立三种变化相关知识的逻辑体系.达成目标（2）的标志：能够以运动的视角观察图形，用变化的思想分析图形特征．三、教学问题诊断分析近几年北京中考试卷中的几何综合题都考查了图形的变化的相关内容，并且不是单一的，而是从一种变化到另一种变化的综合考查.但是学生学习时，知识是零散的、分割开的，先学习了平移，然后是轴对称和旋转，没有形成三种变化相关知识的逻辑体系.同时，图形的变化是一种观察图形的视角，培养这种“视角”与培养“知识与技能”同样重要.基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：三种图形的变化之间的转化．四、教学过程设计1.课前学习题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，△AOB 可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB 的过程：．图1思考问题：什么是轴对称、平移、旋转？它们各有什么性质？它们之间有什么联系？【设计意图】此题为2017年中考北京卷第15题，学生在课前复习轴对称、平移、旋转的相关知识，关注知识的形成过程及知识之间的内在联系，在应用中不断深化认识.通过解决中考试题回顾思考涉及的知识和思想方法，进一步提升能力.2.交流梳理环节1：交流课前学习成果.（1）平移：如图2，平移前后的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；对应线段平行且相等，两对应点连线互相平行（共线）且相等（从图形位置变化来看）.图2CC′BAA′B′（2）轴对称：如图3，关于某直线对称的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；对应线段相等，两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线（从图形位置变化来看）.图3B′A′ABCNMC′（3）旋转：如图4，旋转前后的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；每两对对应点连线所形成的角都等于旋转角（从图形位置变化来看）；对应点到旋转中心的距离相等（从图形位置变化来看）.BCAA′C′（1）OB′ABCC′A′（2）图4（4）轴对称、平移、旋转三者的关系：如图5，两条对称轴平行的轴对称复合⇔一次平移；两条对称轴相交的轴对称复合⇔一次旋转.2（3）2（1）2（2）图5轴对称在三种变化中起到桥梁作用，轴对称与另外两种全等变换在地位上是有区别的，它是更加基础的一种变化，所有平移、旋转都可以用轴对称变化来解释.【设计意图】学生先回答思考问题，借此梳理三种变化的性质，明确各自的画图方法及依据，明确三种变化之间的关系.环节2：问题引导深入思考.思考：只用一种变化可不可以操作？如何操作？用两种变化如何操作？哪种方法容易快速想到？为什么？【设计意图】课上让学生先交流自己的结果.而学生在交流结果时一定是无序的，这时教师可以引导学生进行有序思考.问题1：对于题目，只用两种变化有哪些方法？学生活动：交流使用两种变化的情况.（1）旋转+平移.思路1：将△COD绕点C顺时针旋转90°后，再向左平移两个单位得到△AOB.思路2：将△COD绕点O顺时针旋转90°后，再向上平移两个单位得到△AOB.思路3：将△COD向左平移两个单位后，再绕点C 顺时针旋转90°得到△AOB.思路4：将△COD向上平移两个单位后，再绕点A 顺时针旋转90°得到△AOB.（2）旋转+轴对称.思路5：将△COD先关于x轴对称，再以点C为旋转中心顺时针旋转90°，再作关于直线x=1的对称得到△AOB.追问：采用“平移+轴对称”的方式可以吗？归纳：对应顶点排列的顺序一致——旋转；与目标图形的方向一致——平移.问题2：用一种变化有哪些方法？追问：两个全等的三角形通过某种运动方式一定能重合吗？若能重合，如何运动？归纳：对应顶点排列顺序一致，经过一次旋转能重合．学生活动：对于题目，展示只通过旋转或只通过轴对称完成任务的方法，并说明自己的画图方法和画图依据.方法1：（旋转）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向和旋转角.思路6：将△COD绕点()1，1顺时针旋转90°得到△AOB.思路7：将△COD先绕点()1，-1逆时针旋转90°后，再绕点O旋转180°得到△AOB.方法2：（轴对称）两条对称轴相交的轴对称复合⇔一次旋转.思路8：先将△COD沿直线x=1对称后，再沿直线y=x对称得到△AOB.思路9：先将△COD沿直线y=1对称后，再沿直线y=-x+2对称得到△AOB.【设计意图】题目难度不大，且学生具备直接识别运动变化的能力，但是学生自己描述运动变化的经验还是比较少的，而且运动的方式是不唯一的，给出运动前后的图形，描述运动变化要素，这对学生的要求实际上是提高了很多的.因此，要关注这三种运动变化之间的联系，通过这个过程深化学生对于运动变化的认识.3.变式练习变式1：如图6，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，试类比上一个问题的探究过程，说出△ABE经过怎样的图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△BCF？图6B E CFDA图7B E CDA变式2：如图7，在等边三角形ABC中，AD=BE，试类比上一个问题的探究过程，说出△ABE经过怎样的图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到△CAD？学生活动：展示所画图形的变化过程，并用语言描述这个过程.学生可能想到如下情况.（1）旋转+平移（如图8和图9）.D图8图9（2）两次轴对称（如图10）.图10（3）一次旋转（如图11）.图11【设计意图】将任务探究的思维过程结构化，形成解决问题的方法思路.同时渗透用运动变化的眼光观察图形的思想方法.满足特定条件下的图形的变化可能有多种情况，培养思维的有序性、多样性.4.归纳与提升总结、归纳本节课的教学流程如图12所示.运动的眼光，变换的思想ìíîïï图形的平移图形的轴对称图形的旋转图12【设计意图】归纳方法、提升能力，形成用运动的眼光、变换的思想看待两个图形之间的关系的能力，渗透运动变换思想.5.布置作业（1）如图13，在平面直角坐标系xOy中，△O′A′B′可以看作是△OAB经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△OAB得到△O′A′B′的过程：.图13（2）如图14，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A()-4，1，B()-1，3，经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A″，B″的坐标分别为A″()1，0，B″()3，-3，则由线段AB得到线段A′B′的过程是：，由线段A′B′得到线段A″B″的过程是：．图14（3）如图15，在正方形网格中，线段A′B′可以看作是线段AB经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由线段AB得到线段A′B′的过程：．图16图15ABA′B′（4）如图16，在平面直角坐标系xOy中，△ABC可以看作△DEF是经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△DEF得到△ABC的过程：．五、教学反思本节课是“图形的轴对称、平移和旋转”中考第二轮专题复习课，内容属于“图形的变化”.希望通过一系列数学活动，帮助学生在已有知识基础上对图形变换思想进行相应的概括和应用.同时，在落实“四基”、培养“四能”的过程中，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.1.感受运动变化，建立逻辑体系学生通过亲身经历课前的数学操作活动后，体验的水平停留在“感觉”阶段，还没有对活动过程进行深入的思考，没有深刻认识到三种全等变换之间内在的逻辑关系.在此基础上，学生在课堂上通过交流及反思性观察将获得的体验进行抽象，梳理三种全等变换各自的性质及它们之间的联系，形成解决该类问题的一般思维模式.图形的变化是一种观察图形的视角，培养这种“视角”与培养“知识与技能”同样重要.在关注联系的基础上，通过问题引导，使学生能够进行知识的归纳梳理，并能够主动利用经验的迁移去研究其他问题.通过本节课的教学，进一步帮助学生感受运动变化，学会以运动变化的视角分析图形，也为后续进一步主动运用图形变化视角认识几何图形，运用图形变换思想解决综合性问题奠定基础. 2.培养思维的有序性、多样性满足特定条件下的图形的变化可能有多种情况，开放性问题有助于学生体验解决问题方法的多样性.与此同时，通过增加限定条件，从两种图形变化的组合，到只用一种图形变化，将任务探究的思维过程结构化，形成解决问题的方法思路.同时，渗透用运动变化的眼光观察图形的思想方法.本节课的教学目标定位在落实画图和识图能力，渗透几何直观能力，理解轴对称、平移、旋转之间的联系，加深对运动变化的认识；在问题探究的过程中，逐步形成用图形的变化视角思考解决问题的意识，渗透图形变化思想.在实际授课过程中，知识与技能落实得比较到位，而思想性体现不够充分，还需要深入研究，在思想性上多做文章.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.［4］任华中，傅海伦，邵亚娜.初中数学基本活动经验的教学目标层次划分［J］.中国数学教育（初中版），2018（6）：30-32.。
(完整版)图形的平移与旋转复习课教学设计与学案
《图形的平移与旋转复习课》教课方案一、教课目的（一）知识与技术1.知道旋转和平移都不过改变图形的地点，而不改变图形的形状和大小，并能举例说明。
2.掌握平移、旋转的基天性质，并能举例说明。
3.掌握在平面直角坐标系中，平移后的图形与原图形对应点之间的关系，并能举例说明。
4.掌握两个成中心对称图形的特征。
5.梳理本章内容，用适合的方式体现全章知识构造，并与伙伴沟通。
（二）过程与方法经历建立本章知识的网络图，培育梳理知识的能力，核心知识的理解是要点。
（三）感情、态度与价值观1．经历对生活中的典型图案进行察看、剖析、赏识等过程，进一步发展空间观点、加强审盛情识 .2．经过学生之间的沟通、议论、培育学生的合作精神.教课要点：理解平移、旋转与中心对称的观点和性质 . 掌握坐标系中平移、对称的坐标特点。
教课难点：灵巧运用平移、旋转与中心对称的观点和性质解决有关图形问题。
二、教课过程教课过程分为以下几个环节：回首知识、建立网络图、稳固练习、总结概括。
（一）回首知识依据以下问题，回首本章知识。
1．平移能否改变图形的地点、形状和大小？旋转呢？请举例说明．2．平移、旋转各有哪些基天性质？请举例说明．3．在平面直角坐标系中，平移后的图形与原图形对应点的坐标之间有如何的关系？请举例说明．4．两个成中心对称的图形有哪些特征？中心对称图形有哪些特征？知识点概括：（ 1）平移平移的观点：在平面内，将一个图形沿着某个方向挪动必定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；图形经过平移，连结各组对应点所得的线段相互平行且相等。
（2）旋转旋转的观点：把一个图形绕一个定点转动必定的角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。
旋转的性质：旋转前、后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角相互相等。
（3）轴对称：假如一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分可以重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
中考一轮复习教案：图形的轴对称、平移与旋转
图形的轴对称、平移与旋转辅导教案 课前热身1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2．如图，∠AOB 内一点P ，，分别是P 关于OA 、OB 的对称点，交OA 于点M ，交OB 于点N ．若△PMN 的周长是5cm ，则的长为（ ）.A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 1P 2P 1P 2P 1P 2P3．如图，在△ABC 中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△ABC′的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′=( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°4．在平面直角坐标系中，已知直线y=－x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C(0，n)是y 轴上一点，把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C 的坐标是( )A.(0，)B.(0，)C.(0，3)D.(0,4) 5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，E 为边AB 的中点，点D是BC 边上的动点，把△ACD 沿AD 翻折，点C 落在C′处，若△AC′E 是直角三角形，则CD 的长为 ．6．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．遗漏分析知识精讲343443【基础知识重温】一．平移1.定义：在平面内，将一个图形沿某个___ ____移动一定的__ __，这样的图形移动称为平移.2.平移的性质：(1)对应线段平行(或共线)且___，对应点所连的线段________，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离；(2)对应角分别________，且对应角的两边分别平行、方向一致；(3)平移变换后的图形与原图形_______二. 轴对称与轴对称图形1.轴对称（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形_ ___，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫对称点.（2）性质：①对应点的连线被对称轴____；②对应线段_______；③成轴对称的两个图形_________2.轴对称图形：定义：如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做___ __，这条直线叫做它的对称轴．这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.3.轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称是指_______全等图形之间的相互位置关系；轴对称图形是指具有特殊形状的____图形.（2）联系：①如果把成轴对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是轴对称图形；②如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称.4. 平移与轴对称的坐标特征(1)平移的坐标特征：①点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度后，对应点的坐标为_________；②点(x，y)向上(或向下)平移a个单位长度后，对应点的坐标为_ ________．(2)轴对称的坐标特征：①关于x轴对称的两个图形中，点(x，y)的对称点的坐标为________；②关于y轴对称的两个图形中，点(x，y)的对称点的坐标为_ _____．三.旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做____，转动的角叫做_____2. 图形的旋转有三个基本条件：(1)；(2)；(3).3.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离__；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；(3)旋转前后的图形___4. 中心对称与中心对称图形（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转_____后，如果它能与另一个图形_______，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做_____ （2）中心对称的性质：①成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心_______；②成中心对称的两个图形______③中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转____，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么我们把这个图形叫中心对称图形，这个点叫做___ 四、例题分析题型一、平移 【例1】如图，△ABC 中，BC=5cm ，将△ABC 沿BC 方向平移至△A’B’C’的位置时，A’B’恰好经过AC 的中点O ，则△ABC 平移的距离为 cm.【趁热打铁】如图，如果把△ABC 的顶点A 先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B ，则线段A′B 与线段AC 的关系是（ ）A ．垂直B ．相等C ．平分D ．平分且垂直题型二、旋转【例2】（2016吉林长春）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，将Rt △ABC绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A′B′C′，点A 在边B′C 上，则∠B′的大小为（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°【趁热打铁】如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为（ ）OB A A'B'C C'A ．B ．C ．D ．1 题型三、轴对称图形与中心对称图形【例3】（2016四川眉山）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【趁热打铁】 下列对称图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个题型四、图形的折叠与轴对称【例4】（2016浙江金华）如图，Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D,AB′与边BC 交于点E ．若△DEB′为直角三角形，则BD 的长是_______．【趁热打铁】已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂22-3231-直，那么∠A的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°题型五平移、旋转的作图【例5】（2016贵州黔南州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）：①把△ABC沿BA方向平移，请在网格中画出当点A移动到点A1时的△A1B1C1；②把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，如果网格中小正方形的边长为1，求点B1旋转到B2的路径长．【趁热打铁】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C 的图形．（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．五、牛刀小试1、下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A ．6B ．6C ．3D ．3+34.如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A′BC′关于直线l 对称，D 为线段BC′上一动点，则AD+CD 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．2+5.如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AC =2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得△A 1B 1C ，当A 1落在AB 边上时，连接B 1B ，取BB 1的中点D ，连接A 1D ，则A 1D 的长度是（ ）A ．B ．C ．3D ．6.在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （2，﹣1），B （3，﹣3），C （0，﹣4）（1）画出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2．222233722237.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．巩固练习1．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．（1，7）C．（1，1）D．（2，1）2．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A′的坐标为（ ）A ．（，﹣1）B ．（1，﹣）C ．（，﹣）D ．（﹣，）5．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt △AOB 绕点O顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．C ．3+πD ．8﹣π 332222546．在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（1，2）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）7．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）8．如图，在△A BC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）102225 A．B．C．3 D．9．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60°B．90°C．120°D．150°10．如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°课堂小结强化提升1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为．2．如图，已知正方形A BCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM 的长为．3．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=度．4．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B 3的坐标分别为（，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为．5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD= ．6．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为．课后作业1．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．2．在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF=DF；③请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；（2）若∠DAF=∠DBA，①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．。
平移与旋转总复习--华师大版
A
Bห้องสมุดไป่ตู้D
C
E
F D
G
（1）图形的_平__行__移_动__,
简称为平移。
A
它是图形的又一变换。
B’
A’ C’
B
C
（2）平移是由_平__移_方__向__和__平_移__距_离__决定的。
（1）平移后的图形与原来的图形的对应线段平行 且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有 发生变化
（2）平移后对应点所连的线段平行且相等 A’
A C’
B’
B
C
旋转：将一图形绕着一个定
O
点沿某个方 向转动一个角度，
这样的图形的运动称为旋转现
象，这个定点叫旋转中心，转
动的角度叫旋转角。
P
P’
旋转的决定因素： 1、旋转中心
2、旋转角度(旋转方向)。
旋转中心在旋转过程中保持不动
旋转后图形的大小和形状不变
石形态的七根脊椎骨中，萧洒地涌出九组摇舞着『紫风蚌精病床矛』的仙翅枕头耙状的珍珠，随着女大师坦嫫娜芙太太的晃动，仙翅枕头耙状的珍珠像球拍一样萦绕起 来。一道银橙色的闪光，地面变成了土黄色、景物变成了葱绿色、天空变成了浅橙色、四周发出了变态般的巨响……。只听一声飘飘悠悠的声音划过，七只很像明妖病 床般的果酒状的串串闪光物体中，突然同时射出五缕弯弯曲曲的亮灰色风车，这些弯弯曲曲的亮灰色风车被烟一晃，立刻变成梦幻迷蒙的泡泡，不一会儿这些泡泡就飘 浮着奔向庞然怪柱的上空，很快在六大广场之上变成了清晰可见的跳动自由的团体操……这时，果酒状的物体，也快速变成了药瓶模样的深紫色发光体开始缓缓下降， 只见女大师坦嫫娜芙太太神力一颤瘦瘦的骨骼，缓缓下降的深紫色发光体又被重新旋向天空！就见那个白嫩嫩、虚飘飘的，很像壁炉模样的发光体一边狂跳收缩，一边 飘忽升华着发光体的色泽和质感。“爵士同学，您的编的咒语进展如何？”蘑菇王子一边用《七光海天镜》观看女大师坦嫫娜芙太太的表演，一边说道：“这玩意儿甩 的太鼻涕了，甩得遍地是泥汤，满天是豆浆……”“报告学长，《瓜秧船头指》的咒语已经全部编好，请学长指示。”知知爵士道。：蘑菇王子：“很好！那你给我念 一遍！”“扣肉，椰壳，扣肉椰壳“！”啭噢嘤……”知知爵士一板一眼地念道。“哇噻！这个咒语好像不是很爽哦！只能将就着用哦……”蘑菇王子说道。“请学长 指示，是否给您复制一份？”蘑菇王子：“先复制一份吧。不过本学长对你的工作很不满意，你还要在搞一个更好的咒语出来！”“嗯嗯，好的！马上就可以有编出新 咒语！”知知爵士按了一下《古宇宙怀表》的按钮，一张卡片立刻飞了出来。……这时，女大师坦嫫娜芙太太超然古老的卷发整个狂跳蜕变起来……修长的活似椰壳形 态的屁股跃出暗黄色的缕缕地云……丰盈的活似粉条形态的手臂跃出深灰色的丝丝怪热！接着转动深蓝色脸盆耳朵一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动暗绿色金钵形 态的鼻子，像褐黄色的玉蹄森林燕般的一转，影怪的活似牙签形态的肩膀猛然伸长了五十倍，短小的根脊椎骨也顿时膨胀了五十倍！紧接着绿宝石色水母般的九块宝石 突然飞出嫩金野锦色的飘飞天霆味……怪异的褐黄色馅饼一样的竹节万花大氅跃出透明柳叫乳动声和呜呜声……跳动的青古磁色牛屎似的气味变幻莫测射出树怪怪飞般 的跳跃……最后颤起活似粉条形态的手臂一旋，猛然从里面流出一道粼光，她抓住粼光潇洒地一扭，一套黄澄澄、绿莹莹的兵器『紫风蚌精病床矛』便显露出来，只见 这个这件东
【教案】数学-《旋转复习——半角模型的应用》336教学设计
复习旧知检测反馈1．复习旋转概念与性质；2．讲评课前导学情况；3．检测反馈（1）如图，△ABC和△ADE均为正三角形，则图中可看作是旋转关系的三角形是（）．A．△ABC和△ADEB．△ABC和△ABDC．△ABD和△ACED．△ACE和△ADE（2）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠DAE= ∠BAC，若∠DBA=25°，则∠ECA=（）．A．30°B．25°C．20°D．5°（3）如图，△ADN是直角三角形，将△ADN绕点A顺时针旋转90°后，能与△ABE重合，如果AN=4，那么EN=______．教师将第3题图中的EB，DN延长，相交于点C，则得到正方形ABCD，引出“半角模型”。
1．根据图形，复习旋转的概念和性质。
2．让学生进行自我纠正。
3．（1）使用互动课堂的随机挑人功能，检测基本知识点的掌握情况；（2）HiTeachTBL2的IRS即时反馈，检测学生的知识运用情况；（3）使用抢答功能，进一步巩固旧知。
1．电子白板标注。
2．让学生对导学单里的题目进行自我纠正，进一步加深学生对旋转概念、性质的理解。
3．（1）互动课堂的随机挑人功能，可以保证所有学生都有机会被抽到，能较客观地反映学生对基础知识的掌握情况；（2）IRS即时反馈，能及时检测学生的知识运用情况，便于教师及时调整教学策略；（3）使用抢答功能，进一步巩固旧知的同时，也能激发学生的学习兴趣。
第1题图第3题图EB CAD第2题图AM AM '=组织交流 释疑拓展1．如图，在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，当∠MAN 绕点A 顺时针旋转到如图的位置时，它的两边分别交CB ，DC 于点M ，N ．线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并给予证明．几何画板演示旋转动画，并提示学生是否有其他做法？2．将第二种证法设置成选择题，及时 检测学生对“半角模型”解题方法的 理解程度。
九年级数学旋转复习教案
九年级数学旋转复习教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握旋转的定义、性质及运用，能够运用旋转解决一些实际问题。
2. 过程与方法：通过复习，让学生进一步理解旋转在现实生活中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：旋转的定义、性质及运用。
2. 教学难点：如何运用旋转解决实际问题。
三、教学过程：1. 复习导入：回顾旋转的定义和性质，引导学生思考旋转在现实生活中的应用。
2. 实例分析：出示一些实际问题，让学生运用旋转的知识解决，如图形变换、物体运动等。
四、教学策略：1. 情境创设：通过生活实例，激发学生学习兴趣，引导学生主动参与。
2. 问题驱动：提出实际问题，激发学生思考，培养学生解决问题的能力。
3. 分组合作：组织学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、课后作业：1. 完成练习题：巩固旋转的基本知识，提高运用旋转解决实际问题的能力。
2. 创新实践：让学生运用旋转的知识解决生活中的问题，培养学生的创新能力。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组合作中的表现，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：通过学生完成的练习题和创新实践作业，评估学生对旋转知识的掌握程度以及运用能力。
3. 学生自评与互评：鼓励学生自我评价，进行同学之间的相互评价，促进学生自我发现不足，互相学习，共同进步。
七、教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，包括学生的学习兴趣、课堂氛围、教学内容的难易程度、学生的参与度等，以便在今后的教学中进行调整和改进。
八、教学拓展：1. 深入了解旋转在几何图形中的应用，如圆的性质、坐标系中的旋转等。
2. 探索旋转在艺术、工程、计算机科学等领域的应用，拓宽学生的知识视野。
九、教学资源：1. 教材：九年级数学教材相关章节。
九年级数学旋转复习教案
九年级数学旋转复习教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握旋转的定义、性质及应用，能够运用旋转解决一些实际问题。
2. 过程与方法：通过复习，提高学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运用能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
二、教学内容：1. 旋转的定义及性质2. 旋转在实际问题中的应用3. 旋转变换与坐标轴的交点4. 旋转变换与图形的大小、形状5. 旋转变换与图形的位置关系三、教学重点与难点：1. 教学重点：旋转变换的性质，旋转变换在实际问题中的应用。
2. 教学难点：旋转变换与坐标轴的交点，旋转变换与图形的大小、形状，旋转变换与图形的位置关系。
四、教学过程：1. 复习导入：回顾旋转的定义及性质，引导学生思考旋转在实际问题中的应用。
2. 自主学习：学生自主探究旋转变换与坐标轴的交点，旋转变换与图形的大小、形状，旋转变换与图形的位置关系。
3. 合作交流：学生分组讨论，分享各自的探究成果，解决存在的疑问。
4. 课堂讲解：教师针对学生的探究成果进行讲解，梳理知识点，解答学生的疑问。
5. 练习巩固：布置相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
五、课后作业：1. 完成练习册上的相关习题。
2. 选择一道与旋转相关的实际问题，进行解答。
3. 总结旋转变换的性质及其在实际问题中的应用，准备课堂交流。
六、教学评估：1. 课堂讲解评估：观察学生在课堂讲解中的参与程度、理解程度和表达能力。
2. 练习巩固评估：检查学生在练习中的正确率，分析其错误原因，及时进行针对性讲解。
3. 课后作业评估：审阅学生的课后作业，了解学生对课堂知识的掌握情况，对存在的问题进行反馈。
七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使每个学生都能在复习过程中得到提高。
2. 利用多媒体课件，直观展示旋转变换的过程，帮助学生更好地理解旋转变换的性质。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作精神和口头表达能力。
华师版平移与旋转期末复习导学案
平移与旋转期末复习平 移一、基本知识与技能1、平移的定义：在平面内，把某一图形沿着 移动一定的 ，这样的图形运动称为平移，平移前后的图形全等，即平移不改变 。
【注意】：决定平移的两个要素：平移的 和 。
例1：在下列现象中， 是平移？（填序号）（1）电梯上下接送乘客； （2）钟摆的摆动； （3）温度计上液柱的上升或下降； （4）传送带上物体的移动； （5）急刹车时汽车在地面上的滑动。
例2 如图，△ABC 平移到△DEF 的位置，（1）点A 的对应点是 ，点F 的对应点是 （2）AB 的对应线段是 ，BC 的对应线段是 ， （3）A ∠的对应角是 ，B ∠的对应角是 （4）平移的方向是 （5）平移的距离是2、平移的三个特征.（1）经过平移，对应点所连的线段 ； （2）对应线段 ； （3）对应角 。
3、按下列要求画出图形（1）在如图的方格纸中，画出将图中的△ABC 向右平移5格后的△A′B′C′，然后再画出将△A′B′C′向上平移2格后的△A′′B′′C′′.（2）画出△ABC 沿着线段MN 的方向平移后的位置,平移的距离是线段MN 的长度；二、能力拓展与提高例3：如图所示，在长方形ABCD中，AD=2AB，E、F分别为AD及BC的中点，扇形BFE、FCD的半径FB与CF的长度均为1cm，求阴影部分的面积.例4：如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，求阴影部分面积(单位：厘米).例5：如图，ABCD是一个长方形，E、F、G、H分别是边AD及BC边上的三等分点，图中矩形内的两条曲线都是图示的四分之一圆周.求阴影部分面积(单位：厘米).C【作业】： 一、选择题1、如图，△DEF 是由△ABC 经过平移后得到的，则平移的距离是（ A 、线段BE 的长度 B 、线段EC 的长度C 、线段BC 的长度D 、线段EF 的长度2、M 点为数轴上表示－3的点，将点M 沿着数轴向右平移4个单位到点N ，则点N 所表示的数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、－73、如图，△ABC 平移之后到了△DEF 的位置，下列说法错误的是( ). (A)点B 的对应点是点E (B)点C 的对应点是点F(C)点A 的对应点是点B (D)平移的距离是线段BE 的长度4、如图，面积为12cm 2的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、无法确定5、平移前后的两个图形，下列说法正确的是( ). ①对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等； ②平移后对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等； ③图形上所有的点都作了相同的平移； ④平移后图形的形状和大小都不变.(A)①③ (B)①②③ (C)②③④ (D)①②③④6、如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地。
华师大中考数学总复习教案集 对称 平移、旋转
第23课时对称一、知识点:1.轴对称,轴对称图形;2.中心对称,中心对称图形.三、中考知识梳理掌握这部分内容,首先弄明白轴对称及轴对称图形之间的区别与联系;以及中心对称与中心对称图形之间的区别与联系.知道哪些图形是轴对称图形,哪些图形是中心对称图形,中考中常以填空、选择形式出现.四、中考题型例析1．轴对称的应用例1如图,牧童在A处放牛,其家在B处,若牧童从A处出发牵牛到河岸CD边饮水后再回家,试问在何处饮水所走路程最短?分析:本题型应考虑轴对称的问题,作点A关于CD的对称点A′,连结A′B交CD 于M,则MA+MB最小.解:作点A关于直线CD的对称点A′,连结A′B交CD于点M,则点M即为所求.点评:轴对称的问题在生活中应用较为广泛,应掌握此种题型.2．中心对称的运用例2如图,作△ABC关于点O的中心对称图形△DEF.分析:作△ABC关于点O的中心对称图形关键是找出对称点.解:如图1-7-3,连结AO并延长到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D;(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.(3)顺次连结DE、EF、FD,则△DEF即为所求的三角形.M' MA'DCBAOCBAFEODCBA基础达标验收卷一、选择题：1.(2004.青海)如图,观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( ).2.下列图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( ).3.下列命题中正确的是( ).D.如果两个三角形的对应点连线都经过一点,那么这两个三角形成中心对称 二、填空题：1.(2004.上海)正六边形是轴对称图形,它有________条对称轴.2.成中心对称的两个图形,对称点的连线都经过_____,并且被________平分.3.线段的对称中心是_____,直线的对称中心是________. 三、解答题：已知,如图△ABC,画出△ABC 关于点B 对称的中心对称图形.CBA能力提高练习一、学科内综合题1.如图,在MN 的同侧有两点A 、B,在MN 上求一点P,使PA+PB 最小.NMBA二、开放探索题2.请你用几个基本图形设计一个图案,并用一句话说明你所设计图案的创意(要求至少用一次轴对称,一次平移和一次旋转).答案：基础达标验收卷二、1.6 2.对称中心 对称中心 3.线段的中点,直线上任意一点。
新华师版初中数学九年级下册第24讲 平移、对称、旋转与位似
例：平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）
（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
2图形的平移
（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
4图形的中心对称
（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．
（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等
3图形的旋转
（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．
（2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等．
（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；
③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．
画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【推选】中考复习图形的变换(对称、平移和旋转)[下学期] 华师大版PPT资料
![【推选】中考复习图形的变换(对称、平移和旋转)[下学期] 华师大版PPT资料](https://img.taocdn.com/s3/m/63aaccdd67ec102de3bd89da.png)
⑦运用三角函数解决与直角三角形有 关的简单实际问题。
3．图形与坐标
(1)认识并能画出平面直角坐标系； 在给定的直角坐标系中，会根据坐标描 出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
(3)图形的旋转
①通过具体实例认识旋转,探索它的基本
性质,理解 常见中心对称图形填表： 对应点到旋转中心的距离相等、 对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的 ②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。 (1)认识并能画出平面直角坐标系；
③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。 ②如对果称 一中个心图平形分沿两一个条对直应线点折所叠连后的，线直段线两. 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
①②了对解 应比线例段的平基行本且性相质等，,对了应解角线相段等的. 比1成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解 分割。 ①中旋点转 分不这改条变线图段形为的两形条状相和等大的小线段(即旋转前后的两个图形全等).
•2. 性质： •①两个图形全等. •②对称轴垂直平分两个对应点所连的线段.
•③两个对应点所连的线段平行(或相交).
•4.常见轴对称图形填表：
图形 角
线段
等腰三角形
对称轴
角平分线所在的直线
线段所在的直线和线 段的垂直平分线
相关性质
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等
线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等
【华师大版】2020中考数学总复习知识点梳理：第七单元 图形与变换 第24讲 平移、对称、旋转与位似
（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．
（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.
2.图形的平移
（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
第七单元图形与变换
第24讲平移、对称、旋转与位似
一、知识清单梳理知识点来自：图形变换关键点拨与对应举例
1.图形的轴对称
（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．
②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
图形关于原点成位似变换
在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
图形关于坐标轴成对称变换
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
图形关于原点成中心对称
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
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华师大版初中数学
重点知识精选
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图形的平移与旋转
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.图形的平移
(1)平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运
动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．
②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这
两个要素是图形平移的依据．
③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只
改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质
的依据．
（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列
性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应
角相等．
注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．
②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间
的性质，又可作为平移作图的依据．
（3）简单的平移作图
平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平
移的方向；③平移的距离．
2.图形的旋转
（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。
理解旋转这一概念应注意以下两点：①旋转和平移一样是图形的
一种基本变换；②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．（2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都
不发生变化．
（3）简单图形的旋转作图
两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．
作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；
②顺次连接各点得到旋转后的图形．
（4）图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的
变换而得到的。
其中中心对称是旋转变换的一种特例。
（二）：【课前练习】
1.如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH，
填空（1）CD=______，（2）∠ F＝______
（3）HE= ，（4）∠D=_____，
（5）DH=_________
2.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，
则线段CD、AB关系是__________.
3.将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
4.关于平移的说法，下列正确的是（）
A．经过平移对应线段相等； B．经过平移对应角可能会改变
C．经过平移对应点所连的线段不相等； D．经过平移图形会改变
5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是_______
在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____
二：【经典考题剖析】
1.下列说法正确的是（）
A.由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等
B.我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方
向的平移”
C.小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在
比大楼还高呢，我长高了！”
D.在图形平移过程中，图形上可能会有不动点
2.如图，已知△ABC，画出△ABC沿 PQ方向平移2cm后的△A′B′C′．
3.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0○～90o
的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（）
（图1）（图2）
4.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平
移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．
5.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OCA＝
90○，∠CAO= 25○，
（1）画出在空中划过的线；
（2）上下最多可以转动多少角度？
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性地看待人生。