回溯法的效率分析
算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）
算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）之前讲过⼀个相似的问题流⽔作业调度问题，那⼀道题最开始⽤动态规划，推到最后得到了⼀个Johnson法则，变成了⼀个排序问题，有兴趣的可以看⼀下本篇博客主要参考⾃⼀、问题描述给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。
每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。
作业Ji需要机器j的处理时间为t ji。
对于⼀个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。
所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。
批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度⽅案，使其完成时间和达到最⼩。
例：设n=3，考虑以下实例：看到这⾥可能会对这些完成时间和是怎么计算出来的会有疑问，这⾥我拿123和312的⽅案来说明⼀下。
对于调度⽅案（1,2,3）作业1在机器1上完成的时间是2，在机器2上完成的时间是3作业2在机器1上完成的时间是5，在机器2上完成的时间是6作业3在机器1上完成的时间是7，在机器2上完成的时间是10所以，作业调度的完成时间和= 3 + 6 + 10这⾥我们可以思考⼀下作业i在机器2上完成的时间应该怎么去求？作业i在机器1上完成的时间是连续的，所以是直接累加就可以。
但对于机器2就会产⽣两种情况，这两种情况其实就是上图的两种情况，对于（1,2,3）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，由于作业2在机器1上还没有完成，这就需要先等待机器1处理完；⽽对于（3,1,2）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，作业2在机器1早已完成，⽆需等待，直接在作业1被机器1处理之后就能接着被处理。
综上，我们可以得到如下表达式if(F2[i-1] > F1[i])F2[i] = F2[i-1] + t[2][i]elseF2[i] = F1[i] + t[2][i]⼆、算法设计类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，M输⼊作业时间，bestf记录当前最⼩完成时间和，数组bestx记录相应的当前最佳作业调度。
回溯法论文-回溯法的分析与应用
沈阳理工大学算法实践与创新论文摘要对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
为了更加的了解算法，本篇论文中，我们先研究一个算法---回溯法。
回溯法是一种常用的重要的基本设计方法。
它的基本做法是在可能的范围之内搜索，适于解一些组合数相当大的问题。
圆排列描述的是在给定n个大小不等的圆 C1,C2,…,Cn,现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。
圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。
图着色问题用数学定义就是给定一个无向图G=（V, E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。
其优化版本是希望获得最小的K值。
符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。
在本篇论文中，我们将运用回溯法来解决着图的着色问题，符号三角形问题，图排列问题，将此三个问题进行深入的探讨。
关键词: 回溯法图的着色问题符号三角形问题图排列问题目录第1章引言 (1)第2章回溯法的背景 (2)第3章图的着色问题 (4)3.1 问题描述 (4)3.2 四色猜想 (4)3.3 算法设计 (5)3.4 源代码 (6)3.5 运行结果图 (10)第4章符号三角形问题 (11)4.1 问题描述 (11)4.2 算法设计 (11)4.3 源代码 (12)4.4 运行结果图 (16)第5章圆的排列问题 (17)5.1 问题描述 (17)5.2 问题分析 (17)5.3 源代码 (18)5.4 运行结果图 (22)结论 (23)参考文献 (24)第1章引言在现实世界中，有相当一类问题试求问题的全部解或求问题的最优解。
最基本的方法是通过枚举法搜索问题的解空间。
但许多问题解空间的大小随问题规模n的增长呈指数规律增长，这就使问题理论上可解而实际不可行。
回溯法的效率分析
回溯法概述与穷举的“笨拙”搜索相较，回溯法那么是一种“伶俐”的求解效益更高的搜索法。
下面介绍回溯设计及其应用，体会回溯法相关于穷举的特点与优势。
回溯的概念有许多问题，当需要找出它的解集或要求回答什么解是知足某些约束条件的最正确解时，往往利用回溯法。
回溯法是一种试探求解的方式：通过对问题的归纳分析，找出求解问题的一个线索，沿着这一线索往前试探，假设试探成功，即取得解；假设试探失败，就慢慢往回退，换其他线路再往前试探。
因此，回溯法能够形象地归纳为“向前走，碰鼻转头”。
回溯法的大体做法是试探搜索，是一种组织得井井有条的、能幸免一些没必要要搜索的穷举式搜索法。
回溯法在问题的解空间树中，从根结点动身搜索解空间树，搜索至解空间树的任意一点，先判定该结点是不是包括问题的解；若是确信不包括，那么跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其父结点回溯；不然，进入该子树，继续搜索。
从解的角度明白得，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行列举和查验。
当发觉当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。
在回溯法中，舍弃当前候选解，寻觅下一个候选解的进程称为回溯。
倘假设当前候选解除不知足问题规模要求外，知足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。
若是当前候选解知足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解确实是问题的一个解。
与穷举法相较，回溯法的“伶俐”的地方在于能适时“转头”，假设再往前走不可能取得解，就回溯，退一步另找线路，如此可省去大量的无效操作。
因此，回溯与穷举相较，回溯更适宜于量比较大，候选解比较多的问题。
5.1.2 回溯描述1．回溯的一样方式下面简要论述回溯的一样方式。
回溯求解的问题P，通常要能表达为：关于已知的由n元组(x1,x2,…,x n)组成的一个状态空间E={(x1,x2,…,x n)|x i∈s i,i=1,2,…,n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中知足D的全数约束条件的所有n元组。
算法设计与分析中的贪心算法与回溯法
算法设计与分析中的贪心算法与回溯法算法设计与分析领域中，贪心算法和回溯法是两种常用的解题方法。
本文将介绍这两种算法，并比较它们在不同场景下的优势和劣势。
一、贪心算法贪心算法是一种在每一步都选择当前最优解的策略，希望通过局部最优解的选择最终达到全局最优解。
贪心算法的实现较为简单，时间复杂度较低，适用于解决一些最优化问题。
贪心算法的基本思想是每次都选择当前状态下的最优解，并将其加入到解集中。
例如，在求解最小生成树的问题中，贪心算法会选择当前具有最小权值的边，并将其添加到最终结果中，直到生成树完成。
然而，贪心算法的局限性在于它只考虑了当前的最优解，无法保证找到全局最优解。
在某些问题中，贪心算法可能会陷入局部最优解而无法跳出。
因此，需要在具体问题中综合考虑问题的性质和约束条件来确定是否适合采用贪心算法。
二、回溯法回溯法是一种通过不断尝试可能的步骤来寻找问题解的方法。
它通常基于递归的思想，在每一步都尝试所有的可能选择，并逐步构建解空间，直到找到解或确定无解。
回溯法的核心思想是深度优先搜索，通过遍历解空间树来寻找解。
在每一步，回溯法都会考虑当前状态下的所有可能选择，并递归地进入下一步。
如果某一步的选择无法达到目标，回溯法会回退到上一步进行其他可能的选择。
回溯法常用于解决一些全排列、子集和组合等问题。
例如，在解决八皇后问题时，回溯法通过逐个放置皇后并进行合法性判断，直到找到所有解或遍历完所有可能的情况为止。
然而，回溯法的缺点在于其时间复杂度较高，其搜索过程包含了大量的重复计算。
因此，在使用回溯法解决问题时，需注意适当剪枝以减少搜索空间，提高算法效率。
三、贪心算法与回溯法的比较贪心算法和回溯法都是常用的算法设计与分析方法，但其适用场景和效果有所差异。
贪心算法在解决问题时能够快速找到局部最优解，并且具有较低的时间复杂度。
它适用于一些满足最优子结构性质的问题，例如最小生成树、单源最短路径等。
然而，贪心算法无法保证一定能找到全局最优解，因此需根据具体问题的特点来判断是否使用。
回溯法详解
回溯法详解回溯法（Backtracking）是一种解决问题的算法，也称为试探法。
它是一种基于深度优先策略的搜索方法，用于在一个大型的搜索空间中找到所有可能的解。
回溯法常用于解决组合问题、优化问题、排列问题、路径问题等等。
回溯法的实现方法是：从一个初始状态开始，不断地向前搜索，直到找到一个合法的解或者所有的搜索空间都被遍历结束。
在搜索的过程中，如果发现当前的搜索路径不可能得到合法的解，就会回溯到上一个状态，继续向其他方向搜索。
回溯法仍然是一种穷举算法，但它通过剪枝操作排除大部分不必要的搜索路径，从而减少了搜索的时间和空间复杂度。
回溯法的实现过程中，我们需要完成以下三个步骤：1. 选择基于当前的状态，选择一个可能的方向，继续向前搜索。
这意味着我们需要对问题进行建模，找到一些限制条件或者选择条件，来指导我们如何选择下一个状态。
2. 约束在选择方向之后，我们需要考虑当前方向是否可行。
这称为约束条件。
如果当前的方向违反了某些约束条件，那么我们需要回溯到上一个状态，重新选择一个合法的方向。
3. 回溯如果当前方向无法得到一个合法解，我们就需要回溯到上一个状态，并尝试其他的方向。
回溯操作的核心是恢复状态，也就是将当前状态的改变撤回。
这意味着我们需要记录每一个状态的改变，从而能够正确地回溯。
回溯法的优点在于它的适用范围比较广泛，在解决复杂问题时能够得到很好的效果。
但同时回溯法也存在一些缺点，例如在搜索效率方面并不是最优的，在搜索空间比较大的情况下，时间和空间复杂度也会非常高。
因此，在实践中，我们需要结合具体问题来选择合适的算法。
五个回路溯源分析
五个回路溯源分析
1. 回溯法的基本概念
用回溯法求解问题时，应明确问题的解空间，问题的解空间至少应包含问题的一个最优解，确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以深度优先方式搜索整个解空间，这个开始结点成为活结点，同时成为当前的扩展结点，在当前扩展结点处，如果在当前扩展结点处不能在向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点，此时应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并让这个活结点成为当前的扩展结点，回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的的解或解空间中已无活结点时为止
2. 回溯法搜索空间树时，通常采用两种策略来避免无效的搜索，提高回溯法的搜索效率
是用约束函数在扩展结点剪去不满足约束的子树
是用限界函数剪去得不到最优解的子树，这两类函数称之为剪枝函数
3. 回溯法的基本算法框架
递归回溯
迭代回溯
子集树算法框架
排列树算法框架
5. 采用回溯法解决的经典问题
转载问题
批处理作业二调度问题
符号三角形问题
n后问题
0-1背包问题
最大团问题
图的m着色问题
旅行售货员问题
圆排列问题
电路板排列问题
连续邮资问题。
回溯法的实验报告
一、实验目的1. 理解回溯法的概念和原理；2. 掌握回溯法的基本算法设计思想；3. 通过实例验证回溯法的正确性和效率；4. 深入了解回溯法在实际问题中的应用。
二、实验内容1. 实验一：八皇后问题2. 实验二：0/1背包问题3. 实验三：数独游戏三、实验原理回溯法是一种在解空间树中搜索问题解的方法。
其基本思想是：从问题的起始状态开始，通过尝试增加约束条件，逐步增加问题的解的候选集，当候选集为空时，表示当前路径无解，则回溯到上一个状态，尝试其他的约束条件。
通过这种方法，可以找到问题的所有解，或者找到最优解。
四、实验步骤与过程1. 实验一：八皇后问题（1）问题描述：在一个8x8的国际象棋棋盘上，放置8个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列和同一斜线上。
（2）算法设计：- 定义一个数组，用于表示棋盘上皇后的位置；- 从第一行开始，尝试将皇后放置在第一行的每一列；- 检查当前放置的皇后是否与之前的皇后冲突；- 如果没有冲突，继续将皇后放置在下一行；- 如果冲突，回溯到上一行，尝试下一列；- 重复上述步骤，直到所有皇后都放置完毕。
（3）代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn Truedef solve_n_queens(board, row):if row == len(board):return Truefor col in range(len(board)):if is_valid(board, row, col):board[row] = colif solve_n_queens(board, row + 1):return Trueboard[row] = -1return Falsedef print_board(board):for row in board:print(' '.join(['Q' if col == row else '.' for col in range(len(board))]))board = [-1] 8if solve_n_queens(board, 0):print_board(board)2. 实验二：0/1背包问题（1）问题描述：给定一个背包容量为W，n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过背包容量的前提下，如何选取物品，使得总价值最大。
回溯法的效率分析
1 2 3 3
5 5 这5条随机路径可以得到的平均值为 1702. ,3,2)=1977
(8,5,3,2,2,1,1,1)=2329
回溯法产生的结点数m是解空间树的结点总
数的1.55%左右。说明回溯法的效率大大高
于穷举法。
重排原理
较好！
12个3元组
(a)
较坏！
8个3元组
(b)
同一问题的两棵不同的解空间树
解空间的结构一经选定，影响回溯法效率的前四个因素 就可以确定，只剩下生成结点的数目是可变的，它将随 问题的具体内容以及结点的不同生成方式而变动。 对于一个问题的具体实例，我们很难预测回溯法的算法 行为。特别是我们很难估计出回溯法在解这一具体实例 时所产生的结点数。这是我们在分析回溯法效率时遇到 的主要困难。 蒙特卡罗方法： 估计回溯法将要产生的结点数目。主要思想是在解空间 树上产生一条随机的路径，然后沿此路径来估算解空间 数中满足约束条件的结点总数。
1 (8 i )) 109601
j 0 i 0
7
j
1
2 3 4 5 3
1
2
1
2 3 4 5 4 5
8后问题的解空间树的结点总数是 6 6
7 j
7
(8,5,4,3,2)=1649
1 2
1 ((8,5,3,1,2,1)=769 109601 (8 i)) (8,6,4,2,1,1,1)=1785
回溯法的效率分析
一个回溯算法的效率在很大程度上依赖于以下几个因素：
(1)产生X[k]的时间 (2)满足显约束的x[k]值的个数 (3)计算约束函数Constraint的时间 (4)计算上界函数Bound的时间 (5)满足约束函数和上界函数约束的所有x[k]的个数
算法分析与设计回溯法
组织解空间（3）
子集和数问题
解空间由根结点到叶结点旳全部途径拟定
状态空间树
– 对于任何一种问题，一旦设想出一种状态空间 树，那么就能够先系统地生成问题状态，接着 拟定这些问题状态中旳哪些是解状态，最终拟 定哪些解状态是答案状态从而将问题解出
– 生成问题状态旳两种措施 便于问题旳描述，给出下列概念：
索过程中用剪枝函数防止无效搜索；
回溯算法旳形式描述
假设回溯算法要找出全部旳答案结点而不是仅 仅只找出一种。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一种 结点(问题状态)旳途径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述全部结点旳xi旳集合， 它使得对于每一种xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi旳途径 ③ 存在某些限界函数Bi(能够表达成某些谓词)， 假如途径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一种答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，不然取真值。
end BACKTRACK
回溯算法旳递归表达
procedure RBACKTRACK(k)
global n, X(1:n) for 满足下式旳每个X(k)
X(k) ∈T(X(1),…X(k-1)) and B(X(1),…X(k))=true do
if(X(1),…,X(k)) 是一条已到达一答案结点旳途 径
m=1+m1+m1m2+m1m2m3+…
Monte Carlo效率估计算法
procedure ESTIMATE m1; r 1; k 1 loop Tk{X(k):X(k)∈ T(X(1),…X(k-1)) and B(X(1),…X(k))} if SIZE(Tk)=0 then exit endif rr*SIZE(Tk) mm+r X(k)CHOOSE(Tk) KK+1 repeat return(m)
回溯法 -数据结构与算法
回溯法-数据结构与算法定义：回溯法(探索与回溯法)是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
1、回溯法适用：有许多问题，当需要找出它的解集（全部解）或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最优解时，往往要使用回溯法。
2、有组织的穷举式搜索：回溯法的基本做法是搜索或者有的组织穷尽搜索。
它能避免搜索所有的可能性。
即避免不必要的搜索。
这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。
3、搜索解空间树：回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。
如果肯定不包含（剪枝过程），则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
为了实现回溯，我们先弄明白以下两个问题：1）首先应该明确问题的解空间。
2）其次是组织解空间以便它能用以被搜索到。
这个空间必须至少包含一个解（可能是最优的）。
一个复杂问题的解决往往由多部分构成，即，一个大的解决方案可以看作是由若干个小的决策组成。
很多时候它们构成一个决策序列。
解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题的解空间。
解空间中满足约束条件的决策序列称为可行解。
一般说来，解任何问题都有一个目标，在约束条件下使目标值达到最大（或最小）的可行解称为该问题的最优解。
在解空间中，前k项决策已经取定的所有决策序列之集称为k定子解空间。
0定子解空间即是该问题的解空间。
问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。
解空间的确定与我们对问题的描述有关。
如何组织解空间的结构会直接影响对问题的求解效率。
这是因为回溯方法的基本思想是通过搜索解空间来找到问题所要求的解。
一般地，可以用一棵树来描述解空间，称为解空间树。
回溯法的效率分析
算法Estimate从解空间树的根结点开始选取一条随机路径, 计算回溯法生成的结点总数m。 Estimate (int n, Type *x) { int m=1,r=1,k=1;
j0 i0
1
1
2
2
3
3
4
4
这5条5 随机路径可以得到5的平均值为1702.
6
7
8
(8,6,4,3,2)=1977
(8,5,3,2,2,1,1,1)=2329
回溯法产生的结点数m是解空间树的结点总 数的1.55%左右。说明回溯法的效率大大高 于穷举法。
• 当用回溯法求解某一具体问题时，可用算法 Estimate估算回溯法生成的结点数。
• 若要估算得更精确些，可选取若干条不同的随 机路径（通常不超过20条），分别对各随机路 径估计结点总数，然后再取这些结点总数的平 均值，得到m的估算值。
• 例：8后问题
• 利用显约束排除那些有2个皇后在同一行或同 一列的方法，也有8！种不同的方法。8后问题 的解空间树的结点总数是：
7j
1 (8 i))
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
8后5 问题的解6 空间树的5 结点总6 数是 5
7j
7
1 ( (8 i)) 109601 (8,5,4,3,2)=1649 (8,5,3,1,2,1)=769 (8,6,4,2,1,1,1)=1785
回溯法的效率分析
一个回溯算法的效率在很大程度上依赖于以下几个因素：
回溯法方法简介
回溯法方法简介回溯法（backtracking）是一种常用于解决组合优化问题和搜索问题的算法。
它通过逐步建立解决方案的过程，并在某一步发现不满足条件时回溯到前一步，尝试其他可能的选择，直至找到满足条件的解决方案或者确定无解。
回溯法的思想类似于穷举搜索，但通过一些剪枝等优化策略，可以提高搜索效率。
回溯法是许多经典算法问题的核心思想，如八皇后问题、0-1背包问题、图的着色问题等。
回溯法的过程通常包括五个步骤：1. 选择解空间；2. 约束条件；3. 判断当前解是否满足约束条件；4. 如果满足条件则记录当前解，否则回溯到前一步；5. 继续遍历其他分支，直至找到最终解或确定无解。
回溯法通常使用递归的方式来实现，其中递归函数包括参数表示当前搜索深度、当前解决方案、约束条件等信息。
在递归函数中，根据约束条件和当前解决方案，判断是否需要继续搜索或者回溯。
通过不断调用递归函数，可以逐步构建解空间，并寻找满足条件的解决方案。
回溯法的优点在于可以找到问题的所有解（或满足条件的解），适用于许多组合优化问题和搜索问题。
回溯法的搜索过程中可以使用剪枝等策略来提高效率，避免不必要的搜索。
回溯法的缺点在于可能需要遍历整个解空间，并且在某些情况下可能会导致比较大的时间复杂度。
回溯法在实际应用中有许多经典问题的解决方案。
八皇后问题是回溯法的典型案例。
八皇后问题是一个经典的棋盘游戏问题，要求在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得彼此之间不能相互攻击。
通过回溯法逐步尝试不同的布局，可以找到所有满足条件的解决方案。
同样，回溯法在解决0-1背包问题、图的着色问题、旅行推销员问题等组合优化问题中也有广泛的应用。
除了组合优化问题，回溯法也常用于搜索问题的解决。
在图的遍历中，可以使用回溯法来寻找从起点到终点的路径。
在人工智能领域，回溯法也常用于解决逻辑推理、规划等问题。
通过对搜索空间进行回溯和剪枝，可以高效地找到问题的解决方案。
回溯法是一种重要的算法思想，适用于解决组合优化问题和搜索问题。
人工智能--N皇后问题回溯法爬山算法的实现及性能分析
N皇后问题爬山法和回溯法的实现及性能分析云南大学信息学院专业：计算机软件与理论目录一、N皇后问题 (3)1.问题描述 (3)2.数据结构 (3)二、爬山算法 (3)1.爬山算法一般介绍 (3)2. 爬山算法的伪代码 (4)3. 算法评价 (4)三、回溯法 (4)1.回溯法一般介绍 (4)2. 回溯法的伪代码 (4)3. 算法评价 (5)四、算法实现及性能比较 (5)五、两种算法性能分析 (6)六、结论 (7)七、参考文献 (7)附录 (8)一、N皇后问题1.问题描述（1）n皇后问题：在n*n格的国际象棋上摆放n个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，（2）分别用回溯法（递归）、爬山法和GA算法求解n皇后问题。
要求：输入n，并用运行时间比较几种算法在相同规模的问题时的求解效率。
列表给出结果。
2.数据结构1、逻辑结构：用到线性结构包括数组等。
2、存储结构（物理结构）：顺序存储结构。
二、爬山算法1.爬山算法一般介绍爬山法是指从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。
如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(既山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点来，替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。
如此循环直到达到最高点。
每次都选择是与目标结点启发函数值最小的那个结点，经过迂回前进,最终达到解决问题的总目标。
如果我们把目标函数的几何图形看成一个山峰,那么点的直接移动就像人在爬山,选择方向,逐步向山顶移动。
爬山法需要建立一个描述数据库变化的单极值函数，且使极值对应目标状态；选取使函数值增长最大的那条规则作用于数据库；重复上步，直到没有规则使函数值继续增长。
爬山法是一种局部搜索算法，也属一种启发式方法。
但它一般只能得到局部最优，并且这种解还依赖于起始点的选取。
它是一种解多变量无约束最优化问题的一类方法，通过点的直接移动产生的目标值有所改善的点,经过这样的移动,逐步到达使目标函数最优的点。
第5章 回溯法
算法设计与分析<<回溯法
小结
回溯法解题的特征
在深度优先搜索过程中动态产生问题的解空间。 几个术语
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的
结点称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。
有限集, 设已有满足约束条件的部分解(x1, x2,… xi)添 加xi+1 si+1,
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加xi+2 ； 若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去掉xi ,
回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
回溯法 分支限界法
◎四川师范大学 计算机科学学院 刘芳 3
算法设计与分析<<回溯法
问题的解空间
问题的解向量：
问题的解可以表示成一个n元式(x1, x2,… xn)的形式。
问题的解空间
E={(x1, x2,… xn)| xi si , si为有限集 }称为问题的解空
间
约束条件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中 如：
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包 当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
骤，而每一个步骤都有若干种可能的分支，为了完成 这一过程，又必须遵守一些规则，
第7讲-回溯法
– 显示约束:Si=(1,2,3,…4),1i4 – 隐示约束：没有两个xi(1i4)可以相同（在不同的
列上），且没有两个皇后在同一斜对角线上。
０
１
５
２
应用举例
a
b
c
f
d
e
应用回溯法求解3着色问题； 应用回溯法求解哈密顿回路问题。
两种形式的问题的解
问题的解是所搜索集合的子集，以达到某种优 化目标
问题的解是所搜索集合中元素的一个排列，以 达到某种约束要求
回溯法可以很方便地遍历一个集合的所有子集 或所有的排列
子集树
当问题是需要求n个元素的子集，以便达到某种优化
目标时，我们可以把这个解空间组织成一棵子集树。
若Si的大小为k，则有kn个子集。当n很大时，解空间 将非常巨大。
x1 第1层
S2 第2层
……
……
S1
S2 ……
……
第n层
Sn ……
子集树的回溯法伪码
Backtrack(i) 递归描述
1 if i > n then update(x)
2 else
７
×××× ×
××
１２３４ １
３４
８
××
１２
问题举例
子集和数问题：已知n+1个正整数： w1,w2,…,wn和M，要求找出wi的和数等于 M的所有子集。
– 解的表示1：用其和数为M的wi的下标来表示解向 量。则可以用k-元组(x1,x2,…,xk)来表示解,1kn。 不同的解可以是大小不同的元组。
3 for each a ∈Si do
回溯(Backtracking)基本原理
回溯算法1回溯(Backtracking)基本原理2007年9月26日张铭认识感性认识——皇后问题八皇后问题八皇后问题的一个解图示四皇后问题及其解空间树解表示成一个4维向量，<x 1,x 2,x 3,x 4>解空间树四皇后问题的解空间树直观分析原理描述原理描述结点分支判定条件：原理描述方式一：递归回溯void backtrack( int递归回溯算法解释constraint()方式二：迭代回溯void iterativeBacktrack() {效率分析提高时间效率的策略效率分析实战训练：背包问题构造解空间树0-1背包问题的一个解可以表示为一个0-1 <0,1,1,1> 对应于可行解：x 0=0, x 1=1, x 2=1, x 3=1. 重量：13，价值：282n搜索过程分析引子：可切割背包问题Constraintbound()回溯算法float btKnapsack(int递归函数：void backtrack(int// W存储各物品重量限界函数时间复杂度分析取决于空间复杂度分析运行数据已知1112n=8, M=11000155.1 257maxValue= 159运行实例分析更大的例子基本回溯小结回溯适应于求解组合搜索问题(组合优化问题)高级回溯讨论估计回溯算法的平均效率算法计算结点数回溯算法例Monte Carlo 方法估计四后问题的效率case1．<1,4,2>：1+4+4×2+4×2 = 21case2解空间的结点数为17必要条件多米诺性质？求不等式的整数解影响算法效率的因素分支限界技术实现方法装载问题用回溯法求解回溯法求解template<class T>void Loading<T>::maxLoading(int i){ // 从第i 层结点搜索n= 4r=19cw=0C分支限界法Queue<Type> Q; //活动结点队列Q.Add(-1);//同层结点尾标志-1AB C -1D E F 优先队列式分支限界法解装载问题搜索顺序不同的搜索空间背包问题背包问题搜索算法搜索顺序搜索空间搜索顺序搜索空间不同搜索顺序的比较代码思考新的搜索顺序搜索空间搜索顺序小结回溯和搜索一、字母的有限重全排列题意分析<a,b,c><a,a,c>for 效率分析回溯算法二、火车进出栈问题判断火车的出栈顺序是否合法回溯算法82解题思路利用合法的重构找冲突找不合法的结构回溯生成所有合法的出站序列第一类算法，有两个小方案第二类算法思想伪码void Train(n);<1,2>提高效率途径回溯算法四、布线问题印刷电路板将布线区域划分成其他线路不允许穿过被封锁的方格。
算法的秒速方式
算法的秒速方式引言：在计算机科学领域中，算法是解决问题的一种方法或步骤。
算法的效率是衡量算法好坏的重要指标之一，而算法的秒速方式就是指算法执行的速度之快。
本文将介绍几种常用的算法秒速方式，包括贪心算法、动态规划、分治法和回溯法，并分析其优缺点及适用场景。
一、贪心算法：贪心算法是一种每一步都选择当前状态下最优解的算法。
它通过选择局部最优解的方式来求得全局最优解。
贪心算法的优点是简单、高效，适用于一些具有贪心选择性质的问题。
然而，贪心算法的缺点是不能保证一定能得到全局最优解，因为它无法回溯已经做出的选择。
二、动态规划：动态规划是一种通过将问题分解成子问题，并先解决子问题的方法。
它使用了一种自底向上的方式来求解问题，通过保存子问题的解来避免重复计算。
动态规划的优点是能够得到全局最优解，并且具有较高的时间和空间效率。
但是，动态规划的缺点是需要额外的空间来保存子问题的解，且子问题之间存在重叠。
三、分治法：分治法是一种将问题划分成多个相同或相似的子问题，并独立地求解每个子问题的方法。
它通过将问题分解成更小的子问题来降低问题的复杂度。
分治法的优点是能够有效地解决一些规模较大的问题，并且具有较高的时间和空间效率。
然而，分治法的缺点是在问题规模较小时效率较低，并且需要额外的空间来保存子问题的解。
四、回溯法：回溯法是一种通过穷举所有可能的解，并逐步地将不满足要求的解排除的方法。
它通过枚举所有可能的解空间来求解问题。
回溯法的优点是能够得到问题的所有解，并且适用于一些没有明确解法的问题。
然而，回溯法的缺点是在问题空间较大时，时间复杂度会很高。
五、总结：在算法设计中，选择合适的算法秒速方式可以大大提高算法的效率。
贪心算法适用于一些具有贪心选择性质的问题，它的优点是简单、高效，但无法保证得到全局最优解。
动态规划适用于一些具有最优子结构的问题，它的优点是能够得到全局最优解，但需要额外的空间来保存子问题的解。
分治法适用于一些规模较大的问题，它的优点是能够有效地降低问题的复杂度，但在问题规模较小时效率较低。
回溯法及其应用
回溯法及其应用福州第一中学汪涛前言在计算机奥赛中，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。
回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。
但是，对于可以得出明显的递推公式迭代求解的问题，还是不要用回溯法，因为它花费的时间比较长。
回溯法的基本思想对于用回溯法求解的问题，首先要将问题进行适当的转化，得出状态空间树。
这棵树的每条完整路径都代表了一种解的可能。
通过深度优先搜索这棵树，枚举每种可能的解的情况；从而得出结果。
但是，回溯法中通过构造约束函数，可以大大提升程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，不断的将每个解（并不一定是完整的，事实上这也就是构造约束函数的意义所在）与约束函数进行对照从而删除一些不可能的解，这样就不必继续把解的剩余部分列出从而节省部分时间。
回溯法中，首先需要明确下面三个概念：（一）约束函数：约束函数是根据题意定出的。
通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。
因此，约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价的。
（二）状态空间树：刚刚已经提到，状态空间树是一个对所有解的图形描述。
树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。
（三）扩展节点、活结点、死结点：所谓扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在DFS中，只允许有一个扩展节点。
活结点就是通过与约束函数的对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点；死结点反之。
由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的（没有意义）。
深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（FIFO）在分支界限法中，一般用的是FIFO或最小耗费搜索；其思想是一次性将一个节点的所有子节点求出并将其放入一个待求子节点的队列。
通过遍历这个队列（队列在遍历过程中不断增长）完成搜索。
而DFS的作法则是将每一条合法路径求出后再转而向上求第二条合法路径。
分支限界法与回溯法
分支限界法和回溯法
分支限界法和回溯法都是求解优化问题的算法策略。
但它们在求解问题的过程和方法上存在明显的不同。
1. 分支限界法：
分支限界法是一种在穷举法的基础上，设法避免其缺点、提高效率的算法。
它的基本思想是将原始问题分解为若干个子问题，然后逐个求解。
在求解过程中，分支限界法会不断地扩展子树的分支，然后在满足限界条件的情况下，剪去不符合限界条件的分支。
分支限界法的核心思想是：在每一步选择中，算法会优先选择约束条件最少的子节点进行扩展，从而在搜索过程中限制了生成的子节点的数量。
2. 回溯法：
回溯法是一种按照深度优先搜索策略的穷举搜索法。
它通过深度优先搜索解空间树，从根节点出发深度搜索解空间树，当搜索到某一节点时，如果该节点可能包含问题的解，则继续向下搜索；反之回溯到其祖先节点，尝试其他路径搜索。
回溯法的核心思想是：通过深度优先搜索，从上到下、从左到右地搜索解空间树。
当搜索到某一节点时，如果该节点可能包含问题的解，则继续向下搜索；否则回溯到其祖先节点，继续尝试其他路径搜索。
总结：
分支限界法和回溯法都是求解优化问题的算法策略。
分支限界法通过分解问题和优先选择约束条件最少的子节点来提高效率；而回溯
法则通过深度优先搜索解空间树和回溯到祖先节点来尝试其他路径搜索。
在实际应用中，应根据具体问题的特点和要求选择合适的算法策略。
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回溯法概述与穷举的“笨拙”搜索相比，回溯法则是一种“聪明”的求解效益更高的搜索法。
下面介绍回溯设计及其应用，体会回溯法相对于穷举的特点与优势。
回溯的概念有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往使用回溯法。
回溯法是一种试探求解的方法：通过对问题的归纳分析，找出求解问题的一个线索，沿着这一线索往前试探，若试探成功，即得到解；若试探失败，就逐步往回退，换其他路线再往前试探。
因此，回溯法可以形象地概括为“向前走，碰壁回头”。
回溯法的基本做法是试探搜索，是一种组织得井井有条的、能避免一些不必要搜索的穷举式搜索法。
回溯法在问题的解空间树中，从根结点出发搜索解空间树，搜索至解空间树的任意一点，先判断该结点是否包含问题的解；如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其父结点回溯；否则，进入该子树，继续搜索。
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。
在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。
倘若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。
如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。
与穷举法相比，回溯法的“聪明”之处在于能适时“回头”，若再往前走不可能得到解，就回溯，退一步另找线路，这样可省去大量的无效操作。
因此，回溯与穷举相比，回溯更适宜于量比较大，候选解比较多的问题。
5.1.2 回溯描述1．回溯的一般方法下面简要阐述回溯的一般方法。
回溯求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组(x1,x2,…,x n)组成的一个状态空间E={(x1,x2,…,x n)|x i∈s i,i=1,2,…,n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。
其中s i是分量x i的定义域，且|s i|有限，i=1,2,…,n。
称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是穷举法，上面已经作了介绍，即对E中的所有n元组逐一地检验其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。
显然，其计算量是相当大的。
对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组(x1,x2,…,x i)满足D中仅涉及到x1,x2,…,x i的所有约束，意味着j(j<i)元组(x1,x2,…,x j)一定也满足D中仅涉及到x1,x2,…,x j的所有约束，i=1,2,…,n。
换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得(x1,x2,…,x j)违反D中仅涉及到x1,x2,…,x j的约束之一，则以(x1,x2,…,x j)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,x j,x j+1,…,x n)也一定违反D中仅涉及到x1,x2,…,x j的一个约束，n≥i＞j。
因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组(x1,x2,…,x j)违反D中仅涉及x1,x2,…,x j的一个约束，就可以肯定，以(x1,x2,…,x j)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,x j,x j+1,…,x n)都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们，即省略了对部分元素(x j+1,…,x n)的操作与测试。
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比穷举法效率更高的算法。
2. 4皇后问题的回溯实施为了具体说明回溯的实施过程，先看一个简单实例。
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击，即任意两个皇后不允许处在同一横排，同一纵列，也不允许处在同一与棋盘边框成45°角的斜线上。
图5-1所示为应用回溯的实施过程，其中方格中的×表示试图在该方格放置一个皇后,但由于受前面已放置的皇后的攻击而放弃的位置。
图5-1 4皇后问题回溯实施求解图（a）为在第1行第1列放置一个皇后的初始状态。
图（b）中，第2个皇后不能放在第1、2列，因而放置在第3列上。
图（c）中，表示第3行的所有各列均不能放置皇后，则返回第2行，第2个皇后需后移。
图（d）中，第2个皇后后移到第4列，第3个皇后放置在第2列。
图（e）中，第4行的所有各列均不能放置皇后，则返回第3行；第3个皇后后移的所有位置均不能放置皇后，则返回第2行；第2个皇后已无位可退，则返回第1行；第1个皇后需后移。
图（f）中，第1个皇后后移至第2格。
图（g）中，第2个皇后不能放在第1，2，3列，因而放置在第4列上。
图（h）中，第3个皇后放在第1列；第4个皇后不能放置1，2列，于是放置在第3列。
这样经以上回溯，得到4皇后问题的一个解：2413。
继续以上的回溯探索，可得4皇后问题的另一个解：3142。
3．回溯算法框架描述(1) 回溯描述对于一般含参量m,n的搜索问题，回溯法框架描述如下：输入正整数n,m,(n≥m)i=1;a[i]=<元素初值>;while (1){for(g=1,k=i-1;k>=1;k--)if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回if(g && <约束条件2>)printf(a[1-m]); // 输出一个解if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;}while(a[i]==<回溯点> && i>1) i--; // 向前回溯if(a[i]==n && i==1) break; // 退出循环，结束else a[i]=a[i]+1;}具体求解问题的试探搜索范围与要求不同，在应用回溯设计时，需根据问题的具体实际确定数组元素的初值、取值点与回溯点，同时需把问题中的约束条件进行必要的分解，以适应上述回溯流程。
其中实施向前回溯的循环while(a[i]==<回溯点> && i>1) i--;是向前回溯一步，还是回溯两步或更多步，完全根据a[i]是否达到回溯点来确定。
例如，回溯点是n，i=6，当a[6]=n时回溯到i=5；若a[5]=n时回溯到i=4；依此类推，到a[i]达到回溯点则停止。
图5-1所示的4皇后问题迭代回溯过程描述为：n=4;i=1;a[i]=1;while (1){g=1;for(k=i-1;k>=1;k--)if(a[i]=a[k] && abs(a[i]-a[k])=i-k)g=0; // 检测约束条件,不满足则返回if(g && i==4)printf(a[1-4]); // 输出一个解if(i<n && g) {i++;a[i]=1;continue;}while(a[i]==n && i>1) i--; // 向前回溯if(a[i]==n && i==1) break; // 退出循环结束else a[i]=a[i]+1;}以上回溯体现在迭代式i=i-1，因而又称为迭代回溯。
此外，递归也能实现回溯。
（2）递归回溯int put(int k){ int i,j,u;if( k<=问题规模 ){ u=0;if( <约束条件> )u=1; // 当k时不可操作if(u==0) // 当k时可操作{ if(k==规模) // 若已满足规模，则打印出一个解printf( <一个解> );else put(k+1); // 调用 put(k+1)}}}在调用put(k)时，当检测约束条件知不可操作（记u=1），即再往前不可能得解，此时当然不可能输出解，也不调用put(k+1)，而是回溯，返回调用put(k)之处。
这就是递归回溯的机理。
如果是主程序调用put(1)，最后返回到主程序调用put(1)的后续语句，完成递归。
图5.1所示的4皇后问题迭代回溯过程描述为：int put(int k){ int i,j,u;if(k<=4){ for(i=1;i<=4;i++) // 探索第k行从第1格开始放皇后{ a[k]=i;for(u=0,j=1;j<=k-1;j++)if(a[k]==a[j] || abs(a[k]-a[j])==k-j )u=1; // 若第k行第i格放不下,则置u=1if(u==0) // 若第k行第i格可放,则检测是否满4行 { if(k==4) // 若已放满到4行时，则打印出一个解{ s++; printf(" ");for (j=1;j<=4;j++)printf("%d",a[j]);}else put(k+1); // 若没放满4行,则放下一行 put(k+1)}}}}4. 回溯法的效益分析应用回溯设计求解实际问题，由于解空间的结构差异，很难精确计算与估计回溯产生的结点数，因此回溯法的复杂度是分析回溯法效率时遇到的主要困难。
回溯法产生的结点数通常只有解空间结点数的一小部分，这也是回溯法的计算效率大大高于穷举法的原因所在。
回溯求解过程实质上是一个遍历一棵“状态树”的过程，只是这棵树不是遍历前预先建立的。
回溯算法在搜索过程中，只要所激活的状态结点满足终结条件，应该把它输出或保存。
由于在回溯法求解问题时，一般要求输出问题的所有解，因此在得到结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到状态树的根且根的所有子结点均已被搜索过为止。
组织解空间便于算法在求解集时更易于搜索，典型的组织方法是图或树。
一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可从开始结点进行搜索。
回溯法的时间通常取决于状态空间树上实际生成的那部分问题状态的数目。
对于元组长度为n 的问题，若其状态空间树中结点总数为n!，则回溯算法的最坏情形的时间复杂度可达O(p(n)n!)；若其状态空间树中结点总数为2n，则回溯算法的最坏情形的时间复杂度可达O(p(n)2n )，其中p(n)为n 的多项式。
对于不同的实例，回溯法的计算时间有很大的差异。
对于很多具有大n 的求解实例，应用回溯法一般可在很短的时间内求得其解，可见回溯法不失为一种快速有效的算法。
对于某一具体实际问题的回溯求解，常通过计算实际生成结点数的方法即蒙特卡罗方法（Monte carlo ）来评估其计算效率。
蒙特卡罗方法的基本思想是在状态空间树上随机选择一条路径(x 0,x 1,…,x n-1)，设X 是这一路径上部分向量(x 0,x 1,…,x k-1)的结点，如果在Ｘ处不受限制的子向量数是m k ，则认为与X 同一层的其他结点不受限制的子向量数也都是m k 。