自相关过程的质量控制方法_残差控制图
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(暨南大学经济学院统计系 , 广东广州 510632)
摘要 : 当质量过程呈现自相关现象时 , 常规控制图已经不能准确反映生产中质量的波动 。因此本文研究了 基于时间序列理论的残差控制图 , 并通过蒙特卡洛模拟方法表明 , 残差控制图能够较好解决过程自相关条件下 的质量控制问题 。
关键词 : 常规控制图 ; 残差控制图 ; 蒙特卡洛模拟 中图分类号 : F204 文献标识码 : A
有效使用控制图能够在生产过程中科学地保证预防原 则的实现 , 减少质量的异常波动 , 从而提高产品品质 、增 强市场竞争力 。但是 , 人们在生产实践中逐渐认识到在使 用常规控制图对过程进行控制时 , 存在着一些不足之处 , 并陆续提出一些改进方法 。本文仅研究当过程存在自相关 现象从而违背常规控制图独立性假定时 , 对质量特性值控 制的残差图理论 , 希望以此对实际质量管理者提供有益的 参考 。
在实际过程中 , 参数 μ和 < 由过程稳态下的观测值估 计出 。如果两个参数估计准确 , 即 μ^ = μ, ^< = <, 则过程
残差为 :
et = Yt - ^Yt| t - 1 , t - 2 , … =εt
(4)
如果在 T 时刻 , 由于特殊性原因的影响使过程失控 ,
均值由稳态下 μ偏移到μ+δY , 则由 (3) (4) 式可知其残
理论分析表明 : 当过程自相关时 , 用常规控制图方法 估算的 R/ d2 (2) 是过程方差 σY 的有偏估计 , 由此导致控
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
然后 , 我们运用残差控制图重新对过程进行监控 。根 据时间序列理论 , 用前 200 个过程稳态下的观测值估计出 时间 序 列 模 型 , 由 于 估 计 误 差 拟 合 出 的 模 型 为 : Yt = 010078 + 016737 ( Yt - 1 + 010078) , 方差 σY = 1125 。根据式 (4) 计算出残差序列的 250 个值 , 并由式 (5) 得到的控制 限 XUCL = 3 , XCL = 0 , XLCL = - 3 , 作出残差控制图对残差 序列进行控制 。如图 2 所示 , 在前 200 个点中未有出界点且 呈随机排列 , 在第 211 个点出界显示过程均值增大 , 有异 常情况发生 。
3 过程模型与残差控制图
时间序列分析通常用于研究某过程的动态结构 , 分析
相邻观测值之间的依赖性 。所以当质量特性过程呈现自相
关现象时 , 我们用时间序列模型 ARMA (p , q) 表征过程仅
存在一般性原因的系统相关状况是适宜的 , 然后通过对拟
合观测值后的残差来监控过程波动 。本节将通过 ARMA 模
从以上模拟结果表明用残差控制图对自相关过程进行 控制是适宜的 , 有效避免了在受控状况下虚发报警现象的 出现 , 而且控制效果较好 。因此 , 在实际质量管理中如果 过程自相关时 , 建议考虑使用残差控制图 。
图 1 休哈特图
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
干扰对过程的改变 , 多起因于某一单个的重要质量特性变
量的显著性变化 , 这种情况相对较易诊断和纠正 。这种对
波动原因的区分是必要 , 因为特殊性原因属于质量控制的
范畴 , 而一般性原因则属于质量改进的范畴 。但是两种变
异的划分又是主观的 、相对的 , 随着质量改进的不断完成
和科学技术的进步 , 今天的一般性原因可能成为明天的特
下控制限 CLR :
CLR = ±LRσε
(5)
其中 LR 是控制限系数 , 一般取 LR = 3 。当观测值表现
为个别极端值出界或非随机的点序列 , 则说明生产的稳态
过程被破坏 , 有异常情况发生 , 应采取措施查出原因并加
以消除 。
4 案例分析
我们通过运用蒙特卡洛模拟方法进一步研究质量过程 自相关条件下的残差控制图理论 , 说明残差图的制作方法 , 并与常规控制图进行比较 。假设质量过程稳态时为 AR (1) 过程如式 (3) 所示 , 令参数 φ = 016 , μ = 0 , εt ～ N ( 0 , 1) 。通过计算机程序随机模拟过程变化 , 并产生 250 个仿 真数据 。其中前 200 个受控数据由模型 Yt = 016 Yt - 1 +εt 随 机产生 ; 若在第 200 点与 201 点之间时过程失控 , 均值偏移 1σY , 则失控状况下的第 201 个数据由模型 Yt =σY + 016 Yt - 1 +εt 随机产生 , 其余 49 个数据由模型 Yt = (1 - 016) σY + 016 Yt - 1 +εt 随机产生 。
140
王斌会等 : 自相关过程的质量控制方法 ———残差控制图
制限设置错误从而对质量的波动不能作出正确判断 。而且 即使过程方差 σY 估计量无偏 , 若不考虑系统相关结构仅简 单按常规控制图方法设置控制限 , 虽然可以避免在受控状 态下使用常规控制图造成的漏发或虚发报警 , 但是当过程 失控时 , 控制图对特殊原因不能及时发出报警信号 , 其检 测的灵敏度又大大降低 。因此为了提高控制图对特殊性原 因的检测能力 , 当过程相关时设计控制图 , 必须考虑质量 过程的自相关结构 。
差序列 { et} 也随着发生变化并满足模型 :
εt
t< T
et = εt +δσY
t= T
εt + (1 - <) δσY t = T + 1 , T + 2 , … 根据时间序列模型理论 , 残差序列 { et} 满足常规控制
图独立同分布的基本假设 。所以对残差序列可用常规的休
哈特图进行控制 , 建立残差控制图 , 其中心限 CL = 0 , 上
σ2Y = Var ( Yt)
σε2
= 1-
<2
假设在受控状态下质量特性观测值呈现自相关的系统
机理可用式 (3) 表达 , 则过程残差 et 为 : et ≡Yt - ^Yt| t - 1 , t - 2 , …
其中 ^Yt| t - 1 , t - 2 , …是 Yt 的估计值 , 令 Yt 的最小均方误 差线性估计值为 E ( Yt | Yt - 1 , Yt - 2 , …) 。在 t 时刻的估计值 是: ^Yt| t - 1 , t - 2 , … = E ( Yt| Yt - 1 , Yt - 2 , …) =μ^ + ^< ( Yt - 1 - μ^ )
哈特理论基础上将产生质量波动的原因分成两类 : 一般性
原因和特殊性原因 。一般性原因指存在于过程中的属于系
统本质的原因 , 通常是慢性的 , 多起因于多个相对次要的
质量特性变量的交互作用 , 由于技术原因而难于诊断和纠
正或从经济角度考虑是不经济的而暂时不考虑采取质量改
进措施 。与其相对应 , 特殊性原因反映的是偶发性的局部
为了解决过程自相关情况下的质量控制问题 , 统计学 家们陆续提出了一些改进方法 , 其中主要方法之一就是引 入时间序列分析法 。Alwan 和 Roberts (1988) 提出[2] , 利用 过程稳态下自相关的观测值估计时间序列模型 , 如果模型 估计准确则利用模型拟合观测值 , 其拟合后的残差序列相 互独立 , 满足常规控制图的基本假设前提 。因此 , 可以用 常规作图法对残差序列建立残差控制图进行过程监控 。此 后 , 许多同类问题的研究也都是基于这一基本思想展开的 。
的修正系数 , 离差均值 R 定义 :
n
n
6 6 R
=
1 n-
1
i =2
Ri
=
1 n-
1 i =2
|
Yi -
Yi - 1 |
(2)
如点子逐点上升或下降 。我们通过控制图观察数据的
变化发现失控现象 , 并希望解释产生失控的原因 ———即特
殊原因或可归因原因 。通过纠正措施消除特殊原因 , 使过
程重新处于统计控制状态 。
2005
年第
6
期
Science
and
科技管理研究 Technology Management
Research
2005
No16
文章编号 : 1000 - 7695 (2005) 06 - 0139 - 02
自相关过程的质量控制方法 ———残差控制图
王斌会 , 张志雷
首先 , 我们研究在忽视过程自相关而认为观测值相互 独立条件下 , 用常规控制图方法对过程进行控制时的问题 。 根据式 (1) (2) 用前 200 个过程稳态下的观测值估计出方 差σY = 017160 , 均值 μ= - 0104 , 由此设定的控制限 XUCL = 21108 , XCL = - 0104 , XLCL = - 21188 。如图 1 所示 , 虽然在 第 202 个点即出界表明过程异常 , 但在过程处于稳态下的 前 200 个点中 , 有 12 个点出界 。说明当过程正相关时 ,由于 σY 被低估 ,导致控制限间距过紧 ,虚假报警增多 。因此 ,在自 相关条件下使用常规控制图会带来大量的误判信息 ,给实际 质量控制工作带来误导 ,控制图的监控效果大大降低 。
2 残差控制图理论的提出
基于以上理论基础绘制的常规控制图虽然使用简便且 易于理解 , 但对于受控状态下一般性原因的认知过于简化 。 实际质量管理中的问题要比理论假设情况复杂得多 , 由于 生产中的惰性因素 、过程加工工艺的缺陷 、检测仪器的灵 敏度以及其它暂时未知的原因 , 都可能导致产品质量特性 值间呈现出相关关系 , 不满足独立性的假定 。例如 , Alwan 分析 235 个使用常规控制图的实际案例[1] , 研究结果表明 : 在全部案例中有超过 45 %的案例存在自相关现象 , 违背独 立性这一基本假设 。因此 , 在质量过程控制理论中 , 过程 一般性原因不应再简单理解为质量特性值服从独立同分布 关系 , 而应该是一种更复杂的 、系统性非随机的相关关系 。 此时 , 用常规控制图方法判断过程是否处于统计控制状态 不再可行 , 原有理论方法将难于区分一般性原因和特殊性 原因 , 导致误判和漏判的大量产生 。其后果不仅增加了质 量控制成本或不合格品增多 , 更主要的是严重影响管理者 对控制图检测有效性的信心 , 从而导致怀疑 、甚至放弃使 用这一科学的管理方法 。
型的特例 AR (1) 模型具体说明残差控制图理论 。
一阶自回归 AR (1) 过程模型 :
Yt = μ+ < ( Yt - 1 - μ) +εt t ∈Z
(3)
式中 { et}Байду номын сангаас是独立同分布的干扰序列 , εt～ N (0 , σε2 ) ,
t ∈Z 。则 AR (1) 观测序列 { Yt} 的方差 :
式中 , yt 为在 t 时刻的观测值 , μ为过程均值常数 , εt ～ iid (0 , σε2 ) 。常规控制图的控制限一般设定是 μ ±3σε。
在生产实践中 , 参数由过程稳态下的观测值估计 , 其中 1/ n ∑Yi 为中心控制线μ的无偏估计 , 过程标准差 σε 的无偏
估计值一般用 R/ d2 (2) , 其中 d2 (2) = 2/ π是无偏估计
殊原因 。
在统计过程控制中 , 如果过程仅存在一般性原因时 , 过
程被认为处于统计控制状态 。通常在常规控制图理论中 , 统
计控制状态被假定成一个随机过程 ———过程是由独立同分
布的随机变量产生的 。即产品质量特性值{ yt} 可表示为 :
yt = μ+εt
(1)
收稿日期 : 2004 - 11 - 12 基金项目 : 广东省科技计划攻关项目 , (编号 : 2004B10101010)
1 常规控制图理论
质量管理的观点认为 : 质量具有变异性其特性值是波
动的 , 具有规律性 , 但它不是通常的确定性现象的确定性
规律 , 而是随机现象的统计规律 , 用数学语言来讲 , 就是
服从某种分布 。如果出现异常情况 , 就必然使波动偏离原
来的分布 , 利用统计技术就可以发现这种波动 。戴明在休
摘要 : 当质量过程呈现自相关现象时 , 常规控制图已经不能准确反映生产中质量的波动 。因此本文研究了 基于时间序列理论的残差控制图 , 并通过蒙特卡洛模拟方法表明 , 残差控制图能够较好解决过程自相关条件下 的质量控制问题 。
关键词 : 常规控制图 ; 残差控制图 ; 蒙特卡洛模拟 中图分类号 : F204 文献标识码 : A
有效使用控制图能够在生产过程中科学地保证预防原 则的实现 , 减少质量的异常波动 , 从而提高产品品质 、增 强市场竞争力 。但是 , 人们在生产实践中逐渐认识到在使 用常规控制图对过程进行控制时 , 存在着一些不足之处 , 并陆续提出一些改进方法 。本文仅研究当过程存在自相关 现象从而违背常规控制图独立性假定时 , 对质量特性值控 制的残差图理论 , 希望以此对实际质量管理者提供有益的 参考 。
在实际过程中 , 参数 μ和 < 由过程稳态下的观测值估 计出 。如果两个参数估计准确 , 即 μ^ = μ, ^< = <, 则过程
残差为 :
et = Yt - ^Yt| t - 1 , t - 2 , … =εt
(4)
如果在 T 时刻 , 由于特殊性原因的影响使过程失控 ,
均值由稳态下 μ偏移到μ+δY , 则由 (3) (4) 式可知其残
理论分析表明 : 当过程自相关时 , 用常规控制图方法 估算的 R/ d2 (2) 是过程方差 σY 的有偏估计 , 由此导致控
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
然后 , 我们运用残差控制图重新对过程进行监控 。根 据时间序列理论 , 用前 200 个过程稳态下的观测值估计出 时间 序 列 模 型 , 由 于 估 计 误 差 拟 合 出 的 模 型 为 : Yt = 010078 + 016737 ( Yt - 1 + 010078) , 方差 σY = 1125 。根据式 (4) 计算出残差序列的 250 个值 , 并由式 (5) 得到的控制 限 XUCL = 3 , XCL = 0 , XLCL = - 3 , 作出残差控制图对残差 序列进行控制 。如图 2 所示 , 在前 200 个点中未有出界点且 呈随机排列 , 在第 211 个点出界显示过程均值增大 , 有异 常情况发生 。
3 过程模型与残差控制图
时间序列分析通常用于研究某过程的动态结构 , 分析
相邻观测值之间的依赖性 。所以当质量特性过程呈现自相
关现象时 , 我们用时间序列模型 ARMA (p , q) 表征过程仅
存在一般性原因的系统相关状况是适宜的 , 然后通过对拟
合观测值后的残差来监控过程波动 。本节将通过 ARMA 模
从以上模拟结果表明用残差控制图对自相关过程进行 控制是适宜的 , 有效避免了在受控状况下虚发报警现象的 出现 , 而且控制效果较好 。因此 , 在实际质量管理中如果 过程自相关时 , 建议考虑使用残差控制图 。
图 1 休哈特图
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
干扰对过程的改变 , 多起因于某一单个的重要质量特性变
量的显著性变化 , 这种情况相对较易诊断和纠正 。这种对
波动原因的区分是必要 , 因为特殊性原因属于质量控制的
范畴 , 而一般性原因则属于质量改进的范畴 。但是两种变
异的划分又是主观的 、相对的 , 随着质量改进的不断完成
和科学技术的进步 , 今天的一般性原因可能成为明天的特
下控制限 CLR :
CLR = ±LRσε
(5)
其中 LR 是控制限系数 , 一般取 LR = 3 。当观测值表现
为个别极端值出界或非随机的点序列 , 则说明生产的稳态
过程被破坏 , 有异常情况发生 , 应采取措施查出原因并加
以消除 。
4 案例分析
我们通过运用蒙特卡洛模拟方法进一步研究质量过程 自相关条件下的残差控制图理论 , 说明残差图的制作方法 , 并与常规控制图进行比较 。假设质量过程稳态时为 AR (1) 过程如式 (3) 所示 , 令参数 φ = 016 , μ = 0 , εt ～ N ( 0 , 1) 。通过计算机程序随机模拟过程变化 , 并产生 250 个仿 真数据 。其中前 200 个受控数据由模型 Yt = 016 Yt - 1 +εt 随 机产生 ; 若在第 200 点与 201 点之间时过程失控 , 均值偏移 1σY , 则失控状况下的第 201 个数据由模型 Yt =σY + 016 Yt - 1 +εt 随机产生 , 其余 49 个数据由模型 Yt = (1 - 016) σY + 016 Yt - 1 +εt 随机产生 。
140
王斌会等 : 自相关过程的质量控制方法 ———残差控制图
制限设置错误从而对质量的波动不能作出正确判断 。而且 即使过程方差 σY 估计量无偏 , 若不考虑系统相关结构仅简 单按常规控制图方法设置控制限 , 虽然可以避免在受控状 态下使用常规控制图造成的漏发或虚发报警 , 但是当过程 失控时 , 控制图对特殊原因不能及时发出报警信号 , 其检 测的灵敏度又大大降低 。因此为了提高控制图对特殊性原 因的检测能力 , 当过程相关时设计控制图 , 必须考虑质量 过程的自相关结构 。
差序列 { et} 也随着发生变化并满足模型 :
εt
t< T
et = εt +δσY
t= T
εt + (1 - <) δσY t = T + 1 , T + 2 , … 根据时间序列模型理论 , 残差序列 { et} 满足常规控制
图独立同分布的基本假设 。所以对残差序列可用常规的休
哈特图进行控制 , 建立残差控制图 , 其中心限 CL = 0 , 上
σ2Y = Var ( Yt)
σε2
= 1-
<2
假设在受控状态下质量特性观测值呈现自相关的系统
机理可用式 (3) 表达 , 则过程残差 et 为 : et ≡Yt - ^Yt| t - 1 , t - 2 , …
其中 ^Yt| t - 1 , t - 2 , …是 Yt 的估计值 , 令 Yt 的最小均方误 差线性估计值为 E ( Yt | Yt - 1 , Yt - 2 , …) 。在 t 时刻的估计值 是: ^Yt| t - 1 , t - 2 , … = E ( Yt| Yt - 1 , Yt - 2 , …) =μ^ + ^< ( Yt - 1 - μ^ )
哈特理论基础上将产生质量波动的原因分成两类 : 一般性
原因和特殊性原因 。一般性原因指存在于过程中的属于系
统本质的原因 , 通常是慢性的 , 多起因于多个相对次要的
质量特性变量的交互作用 , 由于技术原因而难于诊断和纠
正或从经济角度考虑是不经济的而暂时不考虑采取质量改
进措施 。与其相对应 , 特殊性原因反映的是偶发性的局部
为了解决过程自相关情况下的质量控制问题 , 统计学 家们陆续提出了一些改进方法 , 其中主要方法之一就是引 入时间序列分析法 。Alwan 和 Roberts (1988) 提出[2] , 利用 过程稳态下自相关的观测值估计时间序列模型 , 如果模型 估计准确则利用模型拟合观测值 , 其拟合后的残差序列相 互独立 , 满足常规控制图的基本假设前提 。因此 , 可以用 常规作图法对残差序列建立残差控制图进行过程监控 。此 后 , 许多同类问题的研究也都是基于这一基本思想展开的 。
的修正系数 , 离差均值 R 定义 :
n
n
6 6 R
=
1 n-
1
i =2
Ri
=
1 n-
1 i =2
|
Yi -
Yi - 1 |
(2)
如点子逐点上升或下降 。我们通过控制图观察数据的
变化发现失控现象 , 并希望解释产生失控的原因 ———即特
殊原因或可归因原因 。通过纠正措施消除特殊原因 , 使过
程重新处于统计控制状态 。
2005
年第
6
期
Science
and
科技管理研究 Technology Management
Research
2005
No16
文章编号 : 1000 - 7695 (2005) 06 - 0139 - 02
自相关过程的质量控制方法 ———残差控制图
王斌会 , 张志雷
首先 , 我们研究在忽视过程自相关而认为观测值相互 独立条件下 , 用常规控制图方法对过程进行控制时的问题 。 根据式 (1) (2) 用前 200 个过程稳态下的观测值估计出方 差σY = 017160 , 均值 μ= - 0104 , 由此设定的控制限 XUCL = 21108 , XCL = - 0104 , XLCL = - 21188 。如图 1 所示 , 虽然在 第 202 个点即出界表明过程异常 , 但在过程处于稳态下的 前 200 个点中 , 有 12 个点出界 。说明当过程正相关时 ,由于 σY 被低估 ,导致控制限间距过紧 ,虚假报警增多 。因此 ,在自 相关条件下使用常规控制图会带来大量的误判信息 ,给实际 质量控制工作带来误导 ,控制图的监控效果大大降低 。
2 残差控制图理论的提出
基于以上理论基础绘制的常规控制图虽然使用简便且 易于理解 , 但对于受控状态下一般性原因的认知过于简化 。 实际质量管理中的问题要比理论假设情况复杂得多 , 由于 生产中的惰性因素 、过程加工工艺的缺陷 、检测仪器的灵 敏度以及其它暂时未知的原因 , 都可能导致产品质量特性 值间呈现出相关关系 , 不满足独立性的假定 。例如 , Alwan 分析 235 个使用常规控制图的实际案例[1] , 研究结果表明 : 在全部案例中有超过 45 %的案例存在自相关现象 , 违背独 立性这一基本假设 。因此 , 在质量过程控制理论中 , 过程 一般性原因不应再简单理解为质量特性值服从独立同分布 关系 , 而应该是一种更复杂的 、系统性非随机的相关关系 。 此时 , 用常规控制图方法判断过程是否处于统计控制状态 不再可行 , 原有理论方法将难于区分一般性原因和特殊性 原因 , 导致误判和漏判的大量产生 。其后果不仅增加了质 量控制成本或不合格品增多 , 更主要的是严重影响管理者 对控制图检测有效性的信心 , 从而导致怀疑 、甚至放弃使 用这一科学的管理方法 。
型的特例 AR (1) 模型具体说明残差控制图理论 。
一阶自回归 AR (1) 过程模型 :
Yt = μ+ < ( Yt - 1 - μ) +εt t ∈Z
(3)
式中 { et}Байду номын сангаас是独立同分布的干扰序列 , εt～ N (0 , σε2 ) ,
t ∈Z 。则 AR (1) 观测序列 { Yt} 的方差 :
式中 , yt 为在 t 时刻的观测值 , μ为过程均值常数 , εt ～ iid (0 , σε2 ) 。常规控制图的控制限一般设定是 μ ±3σε。
在生产实践中 , 参数由过程稳态下的观测值估计 , 其中 1/ n ∑Yi 为中心控制线μ的无偏估计 , 过程标准差 σε 的无偏
估计值一般用 R/ d2 (2) , 其中 d2 (2) = 2/ π是无偏估计
殊原因 。
在统计过程控制中 , 如果过程仅存在一般性原因时 , 过
程被认为处于统计控制状态 。通常在常规控制图理论中 , 统
计控制状态被假定成一个随机过程 ———过程是由独立同分
布的随机变量产生的 。即产品质量特性值{ yt} 可表示为 :
yt = μ+εt
(1)
收稿日期 : 2004 - 11 - 12 基金项目 : 广东省科技计划攻关项目 , (编号 : 2004B10101010)
1 常规控制图理论
质量管理的观点认为 : 质量具有变异性其特性值是波
动的 , 具有规律性 , 但它不是通常的确定性现象的确定性
规律 , 而是随机现象的统计规律 , 用数学语言来讲 , 就是
服从某种分布 。如果出现异常情况 , 就必然使波动偏离原
来的分布 , 利用统计技术就可以发现这种波动 。戴明在休