有效数字和实验误差分析(精)
数据收集与处理：误差分析与有效数字
数据收集与处理：误差分析与有效数字引言在科学研究和工程领域，数据的收集和处理是至关重要的。
然而，由于各种因素的干扰，数据中往往存在误差，这就需要我们进行误差分析和有效数字的处理，以确保数据的准确性和可靠性。
本文将探讨数据收集和处理中常见的误差类型以及如何进行有效数字处理的方法。
误差分析误差分析是指在数据收集和处理过程中，对误差的产生原因进行分析和识别的过程。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差系统误差是在数据收集过程中由于仪器、环境等因素造成的固有误差，这种误差会导致数据整体偏离真实值。
例如，使用不准确的仪器测量数据就会引入系统误差。
随机误差随机误差是由于实验操作、环境波动等因素导致的随机性误差，这种误差会使每次测量值波动在一定范围内。
通过多次测量取平均值可以减小随机误差的影响。
有效数字有效数字是指数据中具有意义并且可靠的数字位数。
在数据处理过程中，需要我们识别哪些数字是有效的并且将多余的数字舍去，以确保结果的准确性。
有效数字的规则1.非零数字：所有非零数字都是有效数字。
2.零：前导零不是有效数字，而中间和末尾的零都是有效数字。
3.小数点：小数点后的零是有效数字。
4.科学计数法：科学计数法下的所有数字都是有效数字。
5.测量结果：最不确定的数字位决定有效数字的位数。
数据收集与处理的示例为了更好地理解误差分析和有效数字的处理，下面通过一个实际的例子进行说明：假设我们要测量一根铁路轨道的长度，使用误差较小的测量仪器进行测量，多次测量得到结果如下：3.14米、3.15米、3.16米。
这里，系统误差较小，随机误差相对较大。
根据有效数字的规则，我们可以将这些测量结果处理为3.15米，因为末尾数字5是最不确定的位数，决定了有效数字的位数。
结论数据收集与处理中的误差分析和有效数字处理是确保数据准确性的关键步骤。
通过了解误差类型、分析原因，并且正确处理有效数字，我们可以使数据更加可靠，从而为科学研究和工程实践提供可靠的依据。
误差和有效数字
偶然误差
1、产生原因：由于实验者本身及各种偶然因 、产生原因： 素造成的。 素造成的。 2、特点：当多次重复同一测量时，有时偏大， 、特点：当多次重复同一测量时，有时偏大， 有时偏小， 有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同 。 3、减少方法：多次测量求平均值。 、减少方法：多次测量求平均值。
绝对误差和相对误差
误差和有效数字
一、差
1、测量值与真实值的差异叫做误差。 、测量值与真实值的差异叫做误差。 2、误差按产生的原因可分为系统误差和偶 、 然误差两种。 然误差两种。
系统误差
1、产生原因：由于测量仪器结构缺陷、实验 、产生原因：由于测量仪器结构缺陷、 方法不完善造成的。 方法不完善造成的。 2、特点：当多次重复同一实验时，误差总是 、特点：当多次重复同一实验时， 同样地偏大或偏小。 同样地偏大或偏小。 3、减少方法：改进实验仪器，完善实验原理 、减少方法：改进实验仪器，
1、绝对误差：测量值和真实值间的差值。 、绝对误差：测量值和真实值间的差值。 2、相对误差：绝对误差与测量值的比值。 、相对误差：绝对误差与测量值的比值。 3、在相同的条件下，为了提高测量的准确程 、在相同的条件下， 应该考虑尽可能减少相对误差。 度，应该考虑尽可能减少相对误差
有效数字
1、带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有 、带有一位不可靠数字的近似数字， 效数字。 效数字。 2、凡是用测量仪器直接测量的结果，读数一 、凡是用测量仪器直接测量的结果， 般要求在读出仪器最小刻度所在位的数值 可靠数字） 再向下估读一位（ （可靠数字）后，再向下估读一位（不可 靠数字） 靠数字） 。 3、间接测量的有效数字运算不作要求，运算 、间接测量的有效数字运算不作要求， 结果一般可用2~3位有效数字表示。 位有效数字表示。 结果一般可用 位有效数字表示
有效数字和误差1
常见的误差有系统误差和偶然误差
1．系统误差 ． 系统误差是由某些必然的或经常的原因造 成的。 成的。 根据误差的来源可分为：方法误差、 根据误差的来源可分为：方法误差、仪器 误差、试剂误差、操作误差等。 误差、试剂误差、操作误差等。 系统误差常用做空白试验或对照实验的方 法消除。 法消除。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在不加试样的情况下， 在不加试样的情况下，按照样品分析步骤 空白试验， 和条件进行分析试验称为空白试验 和条件进行分析试验称为空白试验，所得结果 称为空白值。 称为空白值。 空白值 从试样测定结果中扣除空白值，便可以消 从试样测定结果中扣除空白值， 除因试剂、 除因试剂、蒸馏水及实验仪器等因素引起的系 统误差。 统误差。
（三）偏差与精密度 精密度指多次重复测定的结果相互接近的程度， 精密度指多次重复测定的结果相互接近的程度， 指多次重复测定的结果相互接近的程度 是保证准确度的前提。 是保证准确度的前提。 偏差是指各次测定的结果和平均值之间的差值。 偏差是指各次测定的结果和平均值之间的差值。 是指各次测定的结果和平均值之间的差值 偏差越小，精密度越高。 偏差越小，精密度越高。
在计算中常会遇到下列两种情况： 在计算中常会遇到下列两种情况： 1、化学计量关系中的分数和倍数，这些数不是 、化学计量关系中的分数和倍数， 测量所得， 测量所得，它们的有效数字位数可视为无限多位 2、关于pH、pK和lgK等对数值，其有效数字的 、关于 、 和 等对数值， 等对数值 位数仅取决于小数部分的位数， 位数仅取决于小数部分的位数，因为整数部分只 与该真数中的10的方次有关 与该真数中的 的方次有关
11.23
cm 11 12
在确定有效数字位数时， 在确定有效数字位数时，特别需要指出的是 数字“ 来表示实际测量结果时 来表示实际测量结果时， 数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效 数字 例如：分析天平称得的物体质量为 例如：分析天平称得的物体质量为7.1560g 滴定时滴定管读数为20.05mL 滴定时滴定管读数为 这两个数值中的“ 都是有效数字 这两个数值中的“0”都是有效数字 中的“ 只起到定位作用 只起到定位作用， 在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是 中的 有效数字
误差和有效数字(精)
误差和有效数字
1.误差：测量值与真实值的差异叫做误差。
误差可分为系统误差和偶然误差两种。
*系统误差：是由于仪器本身不精密、试验方法粗略或试验原理不完善而产生的。
如仪器调零不准。
系统误差的特点是在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小，不会出现几次偏大另外几次偏小的情况。
系统误差不能通过多次测量取平均值的方法来减小。
只能通过校准测量器材、改进试验方法、完善试验原理等方法来达到减小系统误差的目的。
*偶然误差：是由各种偶然因素对试验者及仪器、被测物理量的影响而产生的，偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同它遵从一定的统计规律。
减小偶然误差的方法，可以多进行几次测量，求出几次测量的数值的平均值。
这个平均值比某一次测得的数值更接近于真实值。
2.有效数字：带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。
分光计实验中误差和有效数字的运算问题
分光计实验中误差和有效数字的运算问题
在分光计实验中，误差和有效数字的运算是非常重要的。
误差是指测量结果与真实值之间的差异，而有效数字是指测量结果中能够被认为是准确的数字位数。
以下是误差和有效数字的运算问题的一些例子：
1. 误差的计算
误差可以通过将测量结果减去真实值来计算。
例如，如果测量结果为10.5，而真实值为10，则误差为0.5。
在分光计实验中，误差通常以百分比的形式表示，即误差=（测量值-真实值）/真实值×100%。
2. 有效数字的计算
有效数字是指测量结果中能够被认为是准确的数字位数。
在分光计实验中，有效数字的数量取决于仪器的精度和测量结果的精度。
例如，如果仪器的精度为0.1，而测量结果为10.5，则有效数字为2。
3. 误差和有效数字的运算
在分光计实验中，误差和有效数字的运算可以帮助确定测量结果的准确性。
例如，如果测量结果为10.5，而误差为0.5，则可以得出真实值为10。
同时，如果有
效数字为2，则可以确定测量结果的精度为0.1。
4. 精度和准确性的区别
在分光计实验中，精度和准确性是两个不同的概念。
精度是指测量结果的重复性，即多次测量的结果之间的差异。
准确性是指测量结果与真实值之间的差异。
因此，在分光计实验中，精度和准确性的运算可以帮助确定测量结果的可靠性。
总之，在分光计实验中，误差和有效数字的运算是非常重要的。
通过正确计算误差和有效数字，可以确定测量结果的准确性和精度，从而提高实验的可靠性。
数据的误差与有效数字
数据的误差与有效数字在科学研究、实验、工程设计和生产过程中，数据的准确性是至关重要的。
然而，由于各种因素的干扰，我们很难获得完全准确的测量结果。
因此，了解数据的误差以及有效数字的概念对于正确分析和解释数据至关重要。
一、误差的概念和分类误差是指测量结果和实际值之间的差距。
它可以由多种因素引起，包括仪器精度、操作技巧、环境条件等。
根据误差的来源和性质，可以将误差分为系统误差和随机误差。
1. 系统误差系统误差是由于测量仪器的固有缺陷或操作方法的不准确性而引起的。
它具有固定的方向和大小，使得测量结果偏离了实际值。
系统误差可以通过校正仪器或改进操作方法来减小。
2. 随机误差随机误差是由于各种无法预测的因素引起的。
它的出现是由于实验过程中的不确定性，使得多次测量结果有一定的差异。
随机误差可以通过多次重复测量并取平均值的方法来减小。
二、有效数字的概念和表示方法有效数字是指测量结果中具有实际意义和可靠性的数字。
它可以帮助我们更好地了解数据的精度和准确性。
根据有效数字的规则，我们可以将测量结果进行截断或四舍五入来表示。
1. 规则一：非零数字是有效数字在测量结果中，所有非零数字都是有效数字。
例如，测量结果为12.345，其中的1、2、3、4、5都是有效数字。
2. 规则二：零位于非零数字之间时是有效数字当零位于非零数字之间时，它也是有效数字。
例如，测量结果为1.2034，其中的0也是有效数字。
3. 规则三：首位零不是有效数字当测量结果的首位出现零时，它不是有效数字。
例如，测量结果为0.0456，其中的首位零不是有效数字。
4. 规则四：末尾零位于小数点之后时是有效数字当测量结果的末尾有零，并且小数点在末尾零的右侧时，末尾的零是有效数字。
例如，测量结果为450.0，其中的末尾零是有效数字。
三、误差的表示和有效数字的应用在数据分析和科学计算中，正确地表示误差和应用有效数字是非常重要的。
以下是一些常见的方法和技巧：1. 误差范围表示对于实验测量结果，可以用一个误差范围来表示。
实验数据的误差与结果处理(精)
7
2.2 实验数据处理及结果评价 2.2.1 数理统计的几个基本概念
1. 总体(universe)（或母体）——分析研究的对象 的全体 2. 样本(swatch)（或子样）——从总体中随机抽取 一部分样品进行测定所得到的一组测定值 3. 个体(individual)——样本中的每个测定值xi 4. 样本容量(capacity of sample)（或样本大小）— 样本中所含个体的数目，用n表示
1 x (79.58 79.45 .... 79.38)% 79.50% 6
s
2018年9月28日7时8分
X
i X
2
n 1
0.09%
SX S / 6 0.04%
14
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.3 置信度与置信区间
偶然误差的正态分布曲线：
对于有限次测定,结果的平均 值与总体平均值 关系为 ： s x t sx x t n
5. 样本平均值
1 x xi n
6. 极差: 表示数据的分散程度
2018年9月28日7时8分
R xmax xmin
8
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.2 少量数据的统计处理 1. 平均偏差
平均偏差又称算术平均偏差，用来表示一组数据的精密度 平均偏差： 相对平均偏差：
1 1 d xi x d i n n
s——有限次测定的标准偏差 n——测定次数
t 值表 ( t——某一置信度下的几率系数)
置信度——真值在置信区间出现的几率 置信区间——以平均值为中心，真值出现的范围 讨论： 1. 置信度不变时: n 增加，t 变小，置信区 间变小 2. n不变时：置信度增加， t变大，置信区 间变大 2. n， t不变时：s增加，置信区间变大，准 确度降低 2018年9月28日7时8分
数据分析与处理：误差分析及有效数字规则
数据分析与处理：误差分析及有效数字规则引言在数据处理和分析过程中，误差分析和有效数字规则扮演着至关重要的角色。
正确处理误差和严格遵守有效数字规则能够保证数据分析的准确性和可靠性。
本文将重点探讨误差分析的重要性，介绍有效数字规则的应用，并通过实例说明如何在数据处理过程中正确应用这些规则。
误差分析误差的定义误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在数据分析中，误差分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是由于仪器不准确或实验设计问题导致的误差，而随机误差是由于测量过程中的随机变动引起的误差。
误差分析的重要性正确的误差分析可以帮助我们评估数据的可靠性和准确性。
通过了解误差的来源和特点，我们可以采取适当的措施来减小误差，提高数据的质量和可靠性。
误差分析实例假设我们对某物体的重量进行测量，测量值为50.3克。
通过重复测量，得到的数据为50.1克、50.2克和50.4克。
我们可以计算这些数据的平均值，并计算测量结果的标准偏差，从而评估测量过程中的误差大小。
有效数字规则有效数字的定义有效数字是指数字中能够表达准确性的数字。
有效数字规则是一套用来确定测量值中有效数字个数的规则，旨在确保数据的准确性和可靠性。
有效数字规则的应用•所有非零数字都是有效数字。
•零被夹在非零数字中间时，是有效数字。
•末尾的零，位于小数点右侧时，是有效数字。
•末尾的零，位于小数点左侧时，不是有效数字，为了明确有效数字，应该使用科学计数法。
有效数字规则实例假设我们测量了某液体的体积为25.60毫升。
根据有效数字规则，我们应该报告这个值为25.6毫升，因为末尾的零不是有效数字。
结论数据分析中的误差分析和有效数字规则至关重要，它们能够确保数据的准确性和可靠性。
在数据处理过程中，我们应该时刻注意误差来源，并严格遵守有效数字规则，以提高数据分析的精确度和可信度。
以上是关于数据分析与处理中误差分析及有效数字规则的介绍，希望可以对您有所帮助。
误差和有效数字
分度值：1mm xA=？
有效数字
• 定义：带有一位不可靠数字的近似数 字 • 有效数字的位数：从最前一位非零数 字起，至最后一位（可以是零） • 0的说明：小数中最前一位非零数字前 面的0表示小数点的位置，不是有效数 字；最末一位非零数字后面的0是有意 义的，有效数字值大于10(或者小于1) 的数记为a×10n的形式(其中1≤ ｜ a｜＜10,n为整数),这种记数法叫做 科学记数法。 • 科学记数法的有效数字由a决定。
【例3】判断有效数字位数
一个苹果的质量0.0510kg 一根导线的直径1.020mm 月球到地球的平均距离3.84×105km 钨原子的半径1.37×10-10m
误差和有效数字
误差
• 定义：测量值与真实值的差异 • 任何测量结果都不可能绝对准确，误 差是不可避免的！ • 根据误差来源，可以将误差分为两类： —偶然误差 —系统误差
• 形成原因 • 特点 • 减小途径
1.偶然误差
• 形成原因：偶然因素
•特 点：多次重复同一测量时， 测量结果偏大和偏小的机会接近 • 减小途径：多次测量取平均值
2.系统误差
形成原因：仪器结构缺陷； 实验方法不完善
特 点：多次重复测量的结果总是大 于（或小于）被测量的真实值，呈现 单一倾向 • 减小途径：校准仪器；改进实验方 法
• 讨论：如何用刻度尺测量mic线的 直径？ 方法一：用刻度尺直接测量
方法二：把线密绕在木棒上，共10 圈
从误差分析来看，误差分为两类：
• 1.绝对误差
绝对误差 测量值- 真实值
• 2.相对误差
绝对误差 相对误差 100% 测量值
误差与错误
• 误差与错误是两个不同的概念： • 误差：是测量过程必然存在不可避免的， 只能通过改进仪器和谨慎操作减小误差， 但任何测量都不能完全消灭误差。 • 错误：是在测量过程中，不遵守仪器的操 作规程以及读数时由于粗心大意把数字或 单位弄错了引起的，是可以避免的。
误差分析—有效数字和试验结果的表示(试验设计与数据处理课件)
拟舍弃数字的最左一位数字≥5，且其后跟有非零数字 ，进1位。
例如：10.503（修约到2位有效数字） ，为 11
拟舍弃数字的最左一位数字＝5，其右无数字或皆为0时，“尾留双”：
➢ 若所保留的末位数字为奇数则进1；
➢ 若所保留的末位数字为偶数则舍弃。
有效数字（Significance figure）
➢ 第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后的数字都
是有效数字。
例如： 29㎜ 和29.00㎜，有效数字位数分别是2位和4位。
➢ 第一位数字等于或大于8，则可以多计一位。
例如：9.99 可认为有4位有效数字
有效数字的运算
（1）加、减运算： 运算结果的位数与其中小数点后位数最少的相同。
例如：3.1415 → 3.142
1.366500 → 1.366
3.1445→3.144
3.1425→3.142
（2）乘、除运算：
运算结果的位数以各乘、除数中有效数字位数最少的为准。
（3）乘方、开方运算：
运算结果的位数与其底数的相同。
例如：2.42=5.8
6.8 = .
（4）对数运算：
与其真数的相同。 例如ln6.84＝1.92；lg0.00004＝－4
பைடு நூலகம்
有效数字的运算
（5）在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位。
（6）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始 数据如有
限制，则应服从原始数据。
（7）一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的。
例如，圆周率π、重力加速度g、、1/3等，可根据需要取有效数字
(完整版)高中物理实验误差和有效数字
高中物理实验误差和有效数字一、考试大纲中实验能力的要求能独立的完成知识列表中的实验，能明确实验目的，能理解实验原理和方法，能控制实验条件，会使用仪器，会观察、分析实验现象，会记录、处理实验数据，并得出结论，对结论进行分析和评价；能发现问题、提出问题，并制定解决方案；能运用已学过的物理理论、实验方法和实验仪器去处理问题，包括简单的设计性实验．二、考试大纲对实验的说明1．要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、电火花计时器或电磁打点计时器、弹簧秤、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等．2．要求认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差；知道用多次测量求平均值的方法减少偶然误差；能在某些实验中分析误差的主要来源；不要求计算误差．3．要求知道有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果．间接测量的有效数字运算不做要求．三、有效数字1．带有一位不可靠数字的近似数字叫做有效数字．2．有效数字的位数：从左侧第一个不为零的数字起到最末一位数字止，共有几个数字，就是几位有效数字．例：0.092 3、0.092 30、2.014 0有效数字的位数依次为3位、4位和5位．3．科学记数法：大的数字，如36 500，如果第3位数5已不可靠时，应记作3.65×104；如果是在第4位数不可靠时，应记作3.650×104．四、误差1．系统误差产生的原因及特点(1)来源：一是实验原理不够完善；二是实验仪器不够精确；三是实验方法粗略．例如，在验证力的平行四边形定则实验中，弹簧测力计的零点未校准；在验证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力代替对小车的拉力等．(2)基本特点：实验结果与真实值的偏差总是偏大或偏小．(3)减小方法：改善实验原理；提高实验仪器的测量精确度；设计更精巧的实验方法．2．偶然误差产生的原因及特点(1)来源：偶然误差是由于各种偶然因素对实验者和实验仪器的影响而产生的．例如，用刻度尺多次测量长度时估读值的差异；电源电压的波动引起的测量值微小变化．(2)基本特点：多次重复同一测量时，偶然误差有时偏大，有时偏小，且偏大和偏小的机会比较接近．(3)减小方法：多次测量取平均值可以减小偶然误差．【例1】指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。
误差与有效数字
一个苹果的质量0.0510kg
电路中的电流0.38A
某人的体温37.21oC
一根导线的直径1.020mm 月球到地球的平均距离3.84×105km 钨原子的半径1.37×10-10m
3.实验中应尽量减小相对误差
例：两物体的长度分别是1cm和100m,误 差为0.1cm和1m,哪个测量可靠程度要高 些？
例:用打点计时器测量平均速度时,测
量的位移尽量的长一些;
二、有效数字
带有一位不可靠数字的近似数字
叫有效数字
1.小数第一个非零数字前的零不是有 效数字，只表示小数点位数 2.小数最后的零是有效数字 3.有效数字通常采用四舍五入 4.科学计数法
方法粗略。
特 点：多次实验总是偏大或总是偏
小
减小途径：校准仪器；完善原理；
改进方法
3.从误差分析来看，误差分两类 (1)绝对误差： 测量值-真实值
它反映测量值偏离真值的大小，它表 示一个测量结果的可靠程度，但在比 较不同测量结果的可靠程度时则不适 用。
(2)相对误差：
（测量值—真实值）×100％ 测量值 它反映了实验结果的精确程度。
一、误差
1、概念 物理量在客观上存在着准确的数值 ， 称为真实值。 实际测量得到的结果称为测量值。 测量值与真实值的差异称为误差。
2.从误差来源看，误差分两类
(1).偶然误差
形成原因：偶然因素 特 点：多次实验中有时偏大 有时偏小
减小途径：取平均值
(2).系统误差：
形成原因：仪器不精确；原理不完善；
误差和有效数字
1.有效数字的位数：例：0.092 3、0.092 30、2.014 0有效数字的位数依次为3位、4位和5位．2.系统误差：一是实验原理不够完善；二是实验仪器不够精确；三是实验方法粗略．例如，在验证力的平行四边形定则实验中，弹簧测力计的零点未校准；在验证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力代替对小车的拉力等．3.偶然误差是由于各种偶然因素对实验者和实验仪器的影响而产生的．例如，用刻度尺多次测量长度时估读值的差异；电源电压的波动引起的测量值微小变化．4.绝对误差：绝对误差是测量值与真实值之差，即绝对误差=|测量值-真实值|．它反映了测量值偏离真实值的大小．5.相对误差：相对误差等于绝对误差与真实值之比，常用百分数表示．它反映了实验结果的精确程度．绝对误差大者，其相对误差不一定大．6.不需要估读的仪器(1)游标卡尺：由于游标卡尺是相差读数，游标尺上每一小格与主尺上每一小格的差值即为精确度，所以游标卡尺不需要估读．(2)机械秒表：因为机械秒表采用齿轮转动，指针不会停留在两小格之间，所以不能估读出比0.1s更短的时间，即机械秒表不需要估读．(3)欧姆表：由于欧姆表的刻度不均匀，只作为粗测电阻用，所以欧姆表不需要估读．(4)电阻箱：能直接读出接入电阻大小的变阻器，但它不能连续变化，不能读出比最小分度小的数值，所以电阻箱不需要估读．7.需要估读的仪器在常用的测量仪器中，刻度尺、螺旋测微器、电流表、电压表、天平、弹簧秤等读数时都需要估读．估读的一般原则：(1)最小刻度是1(包括0.1、0.01)的仪器要估读到最小刻度的下一位，即采用1/10估读，如刻度尺、螺旋测微器、安培表0~3A挡、电压表0~3V挡等．(2)最小刻度是2(包括0.2、0.02)的仪器，误差出现在本位上，采用半刻度(1/2刻度)估读，读数时靠近某一刻度读此刻度值，靠近刻度中间读一半，即所谓的指针“靠边读边，靠中间读一半”，如电流表量程0.6A，最小刻度为0.02A，误差出现在0.01A位，不能读到下一位．(3)最小刻度是5(包括0.5、0.05)的仪器，误差出现在本位上，采用1/5估读，如电压表0~15V挡，最小刻度是0.5V，误差出现在0.1V位，不能读到下一位．【例】读出图中电流表的示数【解析】甲图中电流表量程为0.6A，最小分度为0.02A，读数应保留到安培的百分位上即安培为单位时小数点后第2位。
实验误差与有效数字(精)
物体的平衡
基础知识回顾 1．测量 利用计量仪器对被测物理量进行度量的过程叫测 量。 分为两类：直接测量和间接测量。 2．测量值 用测量仪器测定待测物理量所得到的数值。 3．真实值 物理量的客观数值叫真实值，简称真值。 4．误差 测量值与真实值的差异叫做误差。 误差可分为系统误差和偶然误差两种
基础知识回顾 4．系统误差 （1）系统误差 在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变） 多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不变的误差 叫系统误差。当条件发生变化时，系统误差也按一定规 律变化。系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值 的程度。 （2）系统误差的来源 ①仪器误差 这是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而 造成的。如仪器的零点不准，仪器未调整好，外界环境 （光线、温度、湿度、电磁场等）对测量仪器的影响等 所产生的误差。
例题讲解 1、游标尺的读数 2、游标尺的原理 3、变形游标尺
按照有效数字规则读出以下各游标尺的测量值.
读数为_______cm.
读数为________mm.
读数为_________m.
读数为______cm.
读数为________cm.
准确度为0.1mm的游标卡尺,游标尺刻度总长度 为9mm,若游标尺的第六条刻度线与主尺上12.5cm 刻度线对齐,则此时物体长度为多少? 答案:125-0.9×6=119.6mm
基础知识回顾 6．绝对误差和相对误差 （1）绝对误差 测量值与被测量真值之差，与被测量真值具有相同的单 位，反映测量值偏离真值的大小. 在同一测量条件下，绝对误差可以表示一个测量结果的 可靠程度. （2）相对误差 测量值的绝对误差与测量值之比叫做相对误差，通常用 百分比来表示。 相对误差更能反映测量的可信程度。例如用外径千分尺 测量两个物体的长度分别是10.00mm和0.10mm，两次测 量的绝对误差都是0.01mm，从绝对误差来看，对两次测 量的评价是相同的，但是前者的相对误差为0.1%，后者 则为10%，后者的相对误差是前者的一百倍。
有效数字及误差分析
有效数字及误差分析一、有效数字在进行实验时，仪表指针往往停留在两条刻度线之间，这时就需要凭目力和经验来估计读数，估计出来的最后一位数字称为“欠准数字”。
实验数据或实验结果处理用几位数字来表示，是一件很重要的事情，在超过有效位数的数字上花费大量时间是没有必要的。
另外，计算结果中也并非保留的位数愈多准确度就愈高，因为小数点的位置与所用单位的大小有关，准确度的高低取决于实际测量的准确度。
例如：用100mA的电流表测量电流，如果电流表的指针停留在50mA和51mA之间，读数为50.4mA，则最末一位数字“4”是估计读出的，它可能被读为50.3mA，也可能被读为50.5mA，因此该读数的最后一位“4”被称为“欠准数字”，那么它的有效数字应该是三位。
实验时一般可估计到最小刻度的十分位，也就是说实验数据应保留一位欠准数字。
另外，50.4mA与0.0504A的准确度是完全相同的。
二、有效数字的正确表示(1)记录测量结果时，除最后一位数字外，前面的各位数字都必须是准确的。
(2)关于数字“0”要特别注意，它只有在数字之间和数字末尾才算作有效数字。
例如，50.4和0.0504都是三位有效数字。
(3)对于较大或较小的数字，必须用10的幂次前面的数字代表有效数字。
例如15000Ω这种写法，后面三个“0”无法知道是否为有效数字，为了明确表示有效数字的位数起见，写成1.5×l04Ω表示有二位有效数字；1.50×l04Ω就表示有三位有效数字；1.500×l04Ω就表示有四位有效数字。
同理，50.4mA应记为0.0 504A或5.04×l04 A,它表示有三位有效数字。
(4)表示常数的数字可以认为它的有效数字的位数为无限制。
(5)表示误差时，一般情况下只取一位有效数字，最多取二位有效数字。
例如，±2%、±2.5%。
三、有效数字的舍入规则为了保证各数据有相同的有效数字位数，表示测量结果时对多余的位数需要舍入。
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有效数字和实验误差分析
1 有效数字的定义
有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如：用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23 cm。
显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如：分析天平称得的物体质量为7.1560g
滴定时滴定管读数为20.05mL
这两个数值中的“0”都是有效数字
在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字
有效位数及数据中的“0 ”：
1.0005，五位有效数字
0.5000，31.05% 四位有效数字
0.0540， 1.86 三位有效数字
0.0054，0.40% 两位有效数字
0.5，0.002% 一位有效数字
2 有效数字的计算规则
2.1 有效数字的修约规则
在运算时，按一定的规则舍入多余的尾数，称为数字的修约。
2.1.1 四舍六入五六双。
即测量数值中被修订的那个数，若小于等于4，则舍弃；若大于等于6，则进一；若等于5（5后无数或5后为0），5前面为偶数则舍弃，5前面为奇数则进一，当5后面还有不为0的任何数时，无论5前面是偶数还是奇数一律进一。
例如，将下列测量值修约为四位数：
3.142 45 3.142
3.215 60 3.216
5.623 50 5.624
5.624 50 5.624
3.384 51 3.385
3.384 5 3.384
2.1.2 修约数字时，对原测量值要一次修约到所需位数，不能分次修约。
例如，将3.314 9 修约成三位数，不能先修约成3.315，再修约成3.32；只能一次修约为3.31。
2.2 数字的运算规则
2.2.1 在进行加减运算时，有效数字取舍以小数点后位数最少的数值为准。
例如，0.0231、24.57和1.16832三个数相加，24.57的数值小数点后位数最少，故其他数值也应取小数点后两位，其结果是：0.02+24.57+1.17=25.76。
2.2.2在乘除运算中，应以有效数字最少的为准。
例如，0.0231、24.57和1.16832三个数相乘，0.0231的有效数字最少，只有3位，故其他数字也只取3位。
运算的结果也保留3位有效数字：0.0231×24.6×1.17=0.665。
2.2.3在对数运算中，所取对数的位数应与真数的有效数字位数相同。
例如：lg9.6的真数有两位有效数字，则对数应为0.98，不应该是0.982或0.9823。
又如[H+]为3.0×10-2 mol·L-1时，pH应为1.52。
3 误差及其产生的原因和表示法
3.1 系统误差（systematic error ）——可测误差（determinate error）
3.1.1 方法误差：是分析方法本身所造成的；
如：反应不能定量完成；有副反应发生；滴定终点与化学计量点不一致；干扰组分存在等。
3.1.2 仪器误差：主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的；
如：量器（容量瓶、滴定管等）和仪表刻度不准。
3.1.3 试剂误差：由于试剂不纯和蒸馏水中含有微量杂质所引起；
3.1.4 操作误差：主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与控制条件不当所引起的。
如滴定管读数总是偏高或偏低。
特性：重复出现、恒定不变（一定条件下）、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误
差。
可以用对照试验、空白试验、校正仪器等办法加以校正。
3.2 随机误差(random error)——不可测误差（indeterminate error ）
产生原因与系统误差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。
如：测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。
特性：有时正、有时负，有时大、有时小，难控制（方向大小不固定，似无规律） 但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律（统计学正态分布），可用统计学方法来处理。
3.3 误差的表示法
定量分析的目的是准确测定样品中被测组分的含量，并且要求分析达到一定的准确度。
3.3.1准确度是指测定值与真实值接近的程度。
准确度的大小用误差表示，误差越小，表示分析结果的准确度越高。
误差可用绝对误差与相对误差两种方法表示。
绝对误差（E ）指测量值（X ）与真实值（T ）之差，即E ＝ X － T 。
相对误差（RE ）指绝对误差占真实值的百分率，即RE ＝ 100%E T
⨯。
3.3.2精密度 通常被测物质的真实值是未知的，因此无法求得分析结果的准确度。
实际工作中，为了得到可靠的分析结果，在相同的条件下，对样品进行多次反复测定，求出分析结果的算术平均值。
多次测定值之间相吻合的程度称为精密度。
精密度表现了测定结果的再现性，用偏差表示，偏差越小，说明分析结果的精密度越高，所以偏差的大小是衡量精密度高低的尺度。
绝对偏差（d i ）表示测定值（x i ）与平均值（x ）之差：
d i ＝i x －x ，x ＝ 123n x x x x n
++++…。
平均偏差（d ）为各单个偏差的平均值：
d ＝ 123n d d d d n ++++…＝123n x x x x x x x x n
-+-+-++-…。
相对平均偏差为：R
d ＝ 100%d x
⨯。
附：小常识
为什么全球人都用阿拉伯数字？
通常，我们把1、2、3、4……9、0称为“阿拉伯数字”。
其实，这些数字并不是阿拉伯人创造的，它们最早产生于古代的印度。
可是人们为什么又把它们称为“阿拉伯数字”呢？据传早在公元七世纪时，阿拉伯人渐渐地征服了周围的其他民族，建立起一个东起印度，西到非洲北部及西班牙的萨拉森大帝国。
到后来，这个大帝国又分裂成为东、西两个国家。
由于两个国家的历代君主都注重文化艺术，所以两国的都城非常繁荣昌盛，其中东都巴格达更胜一筹。
这样，西来的希腊文化，东来的印度文化，都汇集于此。
阿拉伯人将两种文化理解并消化，形成了新的阿拉伯文化。
大约在公元750年左右，有一位印度的天文学家拜访了巴格达王宫，把他随身带来的印度制作的天文表献给了当时的国王。
印度数字1、2、3、4……以及印度式的计算方法，也就好似在这个时候介绍给了阿拉伯人。
因为印度数字和计算方法简单又方便，所以很快就被阿拉伯人所接受了，并且逐渐地传播到欧洲各个国家。
在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。
到后来，人们虽然弄清了“阿拉伯数字”的来龙去脉，但有大家早已习惯了“阿拉伯数字”这个叫法，所以也就沿用下来了。
这套数字系统最先只有1、2、3、4、5、6、7、8、9，当时还没有“0”。
“0”这个数字，在那时还是一个黑点。
后来，又经过了几百年的演化，“0”才正式出现。
直到那时，这套完整的数字才真正形成。