第五章电偶极辐射
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电偶极辐射 -电动力学
R R2
其中 n 为 R方向单位矢量。因为 R x，所以仅
取前两项而舍去高次项得到。
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r
R2 R(
1)R(1源自nx)R
n
x
R n x 1 n x/ R
R
A2因去(．x为。)求但R解4是0要Ax注J((意xx)R)的n，eik相公xn(R因式x，n子所x中)以d的V分n母 中xA(不的x) 能n4轻0x易可J舍(x以r去)e舍ik。r dV
再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁 波（TM波）
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四．辐射能流、角分布和辐射功率
平均能流密度矢量：
S
1 2
Re(E* H )
p0
32 20c3R2
sin2
n
角分布
平均功率： P
S
R2d
p02
12 0c3
4
与电磁波的频率4次方成正比。
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原因： 2 n x 相对 2 不一定是小量。
利用 e x 1 x x2 ... 得到：
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J (x,t) J (x)eit 条件下辐射场的近似公式
(x,t) (x)eit
A( x )
0eikR
J(
x)(1
ikn
x
...)dV
4R
当 l x 时 kn x 2 n x 2
近似公式可以仅取积分中的第一项，有：
A( x )
0eikR
J (x)dV
偶极辐射公式
4R
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3． R与 的关系
在满足 l R ，l 的前提下，按 R与
5-4 磁偶极与电四极辐射-gsy
al
a 1600
2
当 a 1 4 0 时，磁偶极辐射反而占优 对高频，如电视信号，通常也用圆环天线 如50MHz, 波长6m, 则 如200MHz, 波长1.5m,
a 1 5 cm a 1 5 cm
I0
I0
,即满足条件 ,磁偶极大优
电偶极辐射系统
1
2
因为 ( x )
dx dt
，所以上式可写为：
式中 是点电荷系的电四极矩。 该项辐射是电四极矩的辐射。 至此， 的展开式第二项的物理内容为：
即磁偶极辐射和电四极辐射是在 中同一级项中出现。
的展开式
2、磁偶极辐射
为了清楚起见，先计算磁偶极辐射项：
在辐射区域中，
标量 数
而 是一个张量，我们把它分解为对称部分 和反对称部分：
因而
的展开式的第二项为：
第二项：由于
因此第二项积分部分为：
该项辐射是磁偶极辐射。
第一项： 把它看成对所有带电粒子求和，则得
1
2
V
ˆ x ) j ( x ) ( n j ( x )) x d ˆ (n ˆ x ) ( x ) ( n ( x )) x ˆ e (n
例3：求如图所示的电四极子以频率ω振荡时的 辐射功率和角分布。 Solution: 该体系的电四极矩张量为：
+Q l -2Q o l +Q
由此可见，辐射角分布由因子 如图所示。
确定，
辐射功率为：
p
S
s ds
S
| s | ds
电动力学课件 5.3 电偶极辐射
e ikR 0 e ikR 0 B x, t A x, t p t pt 4 R R 4 0 e ikR ike R p t 4 R p t p t i p t 由于 k 0 0 t 1 c p t i p t 2 p t 0 0 e ikR e ikR 1 B x, t p t eR p t sin e 3 3 4 0 c R 4 0c R
§5.3 电偶极辐射
静止的电荷不能发射电磁波，静电场∝ 1/R2，无能流 恒定电流体系：电场∝ 1/R2 ，磁场∝ 1/R2 ，能流密度∝ 1/R4， 远场总功率≈ 0 只有随时间变化的电荷电流系统才能辐射电磁波。 宏观上，载有高频交变电流的天线可产生辐射，微观 上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。
电磁场能流密度正比于1/R2，沿径向辐射
e ikR B x, t p t sin e 4 0c 3 R
1
b) 辐射功率 单位时间内通过半径为 R 的球面向外辐射的平均能量，称为 辐射功率。把能流密度 S 对球面积分即得总辐射功率，即
P
S
S ds
dV
任何小区域电荷电流分布在远处某点产生的矢势可表示为位 于原点的各级电磁多极辐射的叠加 3、电偶极辐射
1 1）展开式的第一项 A x 与电偶极矩 p t 的关系
7
ikR e 由于 A1 x 0 J x dV 4 R V ikR ikR e e 1 A x , t 0 J x e i t dV 0 J x , t dV 4 R V 4 R V
5-3 电偶极辐射解析
dV
从而得到矢势A的展开式为：
0 eikR 1 2 A( x ) J ( x ) 1 ik n x ( ik n x ) 4 R V 2!
展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
三、电偶极辐射
展开式的第一项
ikR e A(1) ( x ) 0 4 R
在近区内， kr <<1 ，推迟因子 eikr~1 ，因而场保持
稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，
磁场也和稳恒场相似。 b) 远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。
1 1 在此区域中场强E和B均可略去 的高次项， R | x |
该区域内的场主要是横向电磁场。
c) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区
根据小区域的意义
l ~| x | ,
l ~| x | r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R r , r | x |，所以分母中可以去掉 n x 项。但分子不能去掉 n x 项，这是因为这项贡献 一个相因子： ikn x i 2n x /
若电流 J ( x, t ) 是一定频率ω的交变电流，有
J ( x, t ) J ( x)e
因此
it
式中 k c 为波数
0 J ( x)ei ( k r t ) Α( x, t ) dV 4 r
如果令 A( x, t ) A( x )e it
( x, t )
40 r
c dV
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。 磁场
ic 电场（在电荷分布区域外面） Ε Β k 二、矢势A的展开式
从而得到矢势A的展开式为：
0 eikR 1 2 A( x ) J ( x ) 1 ik n x ( ik n x ) 4 R V 2!
展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
三、电偶极辐射
展开式的第一项
ikR e A(1) ( x ) 0 4 R
在近区内， kr <<1 ，推迟因子 eikr~1 ，因而场保持
稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，
磁场也和稳恒场相似。 b) 远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。
1 1 在此区域中场强E和B均可略去 的高次项， R | x |
该区域内的场主要是横向电磁场。
c) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区
根据小区域的意义
l ~| x | ,
l ~| x | r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R r , r | x |，所以分母中可以去掉 n x 项。但分子不能去掉 n x 项，这是因为这项贡献 一个相因子： ikn x i 2n x /
若电流 J ( x, t ) 是一定频率ω的交变电流，有
J ( x, t ) J ( x)e
因此
it
式中 k c 为波数
0 J ( x)ei ( k r t ) Α( x, t ) dV 4 r
如果令 A( x, t ) A( x )e it
( x, t )
40 r
c dV
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。 磁场
ic 电场（在电荷分布区域外面） Ε Β k 二、矢势A的展开式
《电动力学第三版》chapter5_3电偶极辐射
短天线的辐射功率
P0I022l2
48πc
1π200I02l 2
(l )
若保持天线电流I0不变, 短天线的辐射功率正比于(l /)2
辐射功率正比于I
2 0
,
辐射功率相当于一个等效电阻上
的损耗功率. 这个等效电阻称为辐射电阻Rr. 令
P
1 2
Rr
I
2 0
Rr 6π 00l 2 0/0 37.76
l
Rr
O
在相因子展开式中我们保留x’/的各级项.
A x 4 0 π eR ikR J x 1ike Rx dV
展开式中各项对应于各级电磁多级辐射.
3. 偶极辐射
展开A 式x 第 一4 项0 π eR ikR JA J x x n1 iq4 0iπveiiR k ike RR Jx x dVd V
x 4 π 1 0Vx r e ikd rV 4 π 1 0Vr x d V
kr<<1, 推迟因子eikr~1, 空间各点相位一致，电 磁场结构与静电、静磁场形式相同.
在近区可忽略电磁作用传递的推迟效应.
在近区的电场具有纵向特征.
对远场，可以对矢势进行展开:
A x 0
Jx eik
r
dV
t
B A 4 π 0eR ik Rp 4 π 0eR ik R p
4 π 0 ikR 1 eR ikR e Rp i4 π 0 R keike R Rp
40 πecikR R eRp 4πe i0 kcR 3Rp eR
p Jx ,tdV
J x ,tJ x e it
p e i t p ip p i p /
r (x |2 |x '2 | 2 x x ') 1 /2
电偶极子的辐射场.
电 磁 波
z θ φ
v
H
r E y
p x
电 偶 极 子 的 辐 射 场
p0 sin r E (r , t ) cos t 2 4v r v 2 p0 sin r H (r , t ) cos t 4vr v
2
偶极子周围的电磁场
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中,平面 电磁波的性质概括如下:
1. 电磁波是横波, E , H , v 构成正交右旋关系. 电磁波是偏振波, E , H 都在各自的平面内 振动,且 E , H 是同位相的. E
v H
平面电磁波 示意图
2. 在同一点的E、H值满足下式:
E H
无线电射频 电力传输
10 0 1m 10 3 1km 10 5
3
z E S a . . a H E x H p H
b . S . E y b
二、平面电磁波
在距离偶极子足够远处(r« l,变化很小), 电磁场的波动方程为:
r E E0 cos t v r H H 0 cos t v
平面电磁波方程
赫兹用下面的实验证实了电偶极子 产生的电磁波
A
振子
C
谐振器
B
发射
接收
D
频率
10 22
电磁波谱
γ 射线
X 射线
波长 10 13 1A 10 9 1nm 10
10
6
0
10
1T HZ 10
15
紫外线 可见光 红外线 微 波
1μ m
1cm
12
2
1G HZ 10
1M HZ 10 1K HZ 10
z θ φ
v
H
r E y
p x
电 偶 极 子 的 辐 射 场
p0 sin r E (r , t ) cos t 2 4v r v 2 p0 sin r H (r , t ) cos t 4vr v
2
偶极子周围的电磁场
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中,平面 电磁波的性质概括如下:
1. 电磁波是横波, E , H , v 构成正交右旋关系. 电磁波是偏振波, E , H 都在各自的平面内 振动,且 E , H 是同位相的. E
v H
平面电磁波 示意图
2. 在同一点的E、H值满足下式:
E H
无线电射频 电力传输
10 0 1m 10 3 1km 10 5
3
z E S a . . a H E x H p H
b . S . E y b
二、平面电磁波
在距离偶极子足够远处(r« l,变化很小), 电磁场的波动方程为:
r E E0 cos t v r H H 0 cos t v
平面电磁波方程
赫兹用下面的实验证实了电偶极子 产生的电磁波
A
振子
C
谐振器
B
发射
接收
D
频率
10 22
电磁波谱
γ 射线
X 射线
波长 10 13 1A 10 9 1nm 10
10
6
0
10
1T HZ 10
15
紫外线 可见光 红外线 微 波
1μ m
1cm
12
2
1G HZ 10
1M HZ 10 1K HZ 10
电动力学第五章
k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
【电动力学课件】5-2-3 推迟势-电偶极辐射
ρ, J
r ≈ R − n ⋅ x′
由此得到
ik ( R − n⋅ x ′ ) ′ µ 0 J ( x )e A( x ) = dV ′ ∫ 4π V R − n ⋅ x ′
20
根据小区域的意义
l ~| x ′ |<< λ ,
l ~| x ′ |<< r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R > r , r >>| x ′ |，所以分母中可以去掉 n ⋅ x ′ 项。但分子不能去掉 n ⋅ x ′ 项，这是因为这项贡献 一个相因子： − ikn⋅ x ′ − i 2πn⋅ x ′ / λ
1
1. 先分析解的形式
设原点处有一假想变化电荷Q(t), 其电荷密度为：
ρ ( x , t ) = Q(t )δ ( x )
这电荷辐射的势满足达朗贝尔方程：
2 1 ∂ ϕ 1 2 ∇ ϕ − 2 2 = − Q(t )δ ( x ) c ∂t ε0
由球对称性, ϕ只依赖于r, t，与方位角无关。用球坐标表示为
4
2. 提出试探解
在静电情形,电荷Q激发的电势 所以我们猜想方程(1)的解为：
ϕ=
Q 4πε0 r
(5)
r Q(t − ) ϕ (r , t ) = 4πε0 r c
(1) 的解。而r=0是式(5)的奇点，所以
1
证： 当r≠0时，式(5)显然是方程(2)的解，因而也是方程
只有在r=0点上才可能不等于零，可能有δ函数形式的 奇异性。
Β = ∇× Α ∂Α 和 Ε = −∇ϕ − ∂t 求出任意一点的电磁场。当然, 电磁场本身反过来也对电荷 电流发生相互作用, 因而激发区内的电荷电流分布是不能任 意规定的。以后在研究天线辐射问题时再作具体讨论。
5-3 电偶极辐射
ip i ( i ) p0 ( x )e it p p0 ( x )e
2 it
从而得到： |2 p 2 4 | p 0
P 1 4
0
p0
2
4
3c
3
五、短天线的辐射 辐射电阻 当天线的长度远小于辐 射波长时，它的辐射就 是电偶极辐射。 馈电点处电流有最大值 I0，在天线两段电流为 零。若天线长度l<<，
2
3
பைடு நூலகம்
sin d
S
2 | | p
32 0 c
2 2 | | p 2
3
2
0
d sin d
3 0
32 0 c
3
2
4 3
1 40
2 | | p
3c
3
如果偶极子作简谐振动，角频率为ω ，且有 it p( x, t ) p0 ( x )e 则 ip ip0 ( x )e it p
2n x 一般是不能忽略的，因此
x 要保留，
所以，
A( x )
0
4
V
)eik ( R n x ) J(x R
dV
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 ikn x
1 2!
) 2 (ikn x
从而得到矢势A的展开式为：
2 x 2n x r R 1 2 R R 1 2
2
z
r
l o x
x
P y
x
, J
由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）： r R n x 由此得到
2 it
从而得到： |2 p 2 4 | p 0
P 1 4
0
p0
2
4
3c
3
五、短天线的辐射 辐射电阻 当天线的长度远小于辐 射波长时，它的辐射就 是电偶极辐射。 馈电点处电流有最大值 I0，在天线两段电流为 零。若天线长度l<<，
2
3
பைடு நூலகம்
sin d
S
2 | | p
32 0 c
2 2 | | p 2
3
2
0
d sin d
3 0
32 0 c
3
2
4 3
1 40
2 | | p
3c
3
如果偶极子作简谐振动，角频率为ω ，且有 it p( x, t ) p0 ( x )e 则 ip ip0 ( x )e it p
2n x 一般是不能忽略的，因此
x 要保留，
所以，
A( x )
0
4
V
)eik ( R n x ) J(x R
dV
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 ikn x
1 2!
) 2 (ikn x
从而得到矢势A的展开式为：
2 x 2n x r R 1 2 R R 1 2
2
z
r
l o x
x
P y
x
, J
由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）： r R n x 由此得到
南京大学物理电动力学chap53电偶极辐射
§3 电偶极辐射¾电磁波是从交变运动的电荷系统辐射出来的；¾本节主要研究宏观的电荷系统在其线度远小于辐射波长情况的辐射问题本节所讲授的主要内容1.计算辐射场的一般公式2.矢势的展开3.偶极辐射4.偶极辐射的能流角分布功率5.短天线的辐射1.计算辐射场的一般公式2、矢势的展开式2）远区的电磁场矢势的展开对于远场区域的辐射场，可以采用近似方法求解•pr• θnrr rBEC1=14πε 0c3•pr•r E≈ick−14πε 0Rc3•pr•i k eikRsinθerθ=14πε 0c2ReikR•pr• sinθerθr B=14πε 0c3eikR R•pr• sinθerφr E=14πε 0c2eikR R•pr• sinθerθ•pr• θnrr rBE① B线沿纬度线上振荡；E线沿经度线上振荡；② 远场区，电场和磁场振幅都具有 1/r 的特点；③ 具有这种特性的场，在运动中伴随有能量的辐 射，因而这样的场称为辐射场。
r B=14πε 0c3eikR R•pr• sinθerφr E=14πε 0c2eikR R•pr• sinθerθ•pr• θnrr rBE思考题：证明总辐射功率与距离无关。
4. 时变电偶极矩在远场区激发的电磁场辐射 ——能流、辐射功率、角分布1）平均能流密度：( ) rS=1Rer E*×r H2r B=14πε 0c3eikR R•pr• sinθ erφr E=14πε 0c2eikR R•pr• sinθerθr S=132μ0π2ε2 0c51 R2•pr• 2 sin 2θnr=132π 2ε 0 c31 R2•pr• 2 sin 2θnrnrr•pr• θrBE01.0330300.80.6300600.40.2r 0.0S 270 0.0900.20.40.62401200.81.0210150180¾在90o的平面上的辐射最强；¾在电偶极矩的轴线方向上没有辐射nrr•pr• θrBE2）总辐射功率总辐射功率为平均能流密度对球面积分P=∫r SR 2dΩ∫ =1•pr• 2 sin 2θdΩ32μ0π 2ε 02c5∫ ∫ =132μ0π2ε2 0c5•pr• 2π sin 3θdθ02π dφ0=14πε 01 3c3•pr• 2P=14πε 01 3c3•pr• 2•pr• = −iω pr• = −ω 2 pre−iωt时变电偶极矩在远场区辐射的特点：① 总的辐射功率与距离无关，因此电磁波可 以传播很远；② 如果保持电偶极矩的振幅不变，频率增高 时，辐射功率迅速增大。
电动力学-几何光学的电磁学基础-5.3 电偶极辐射
i 2 eˆR x/
所以涉及的是参数x 而不是 x R ，相位差
2 eˆR x 一般是不能忽略的，因此 x 要保留，
所以， A( x) 0 J ( x)eik(ReˆRx) dV
4 V
R
3）分子中相因子对 keˆR x展开，得
eikeˆR x
1 ikeˆR
x
1 2!
(ikeˆR
B
A
1
4 0c3 R
ikeˆR
eikRieˆR
A p&4i40Rk10ecik3RReˆReikRpp&&&
eˆR
4
R
E
ic k
B
ic k
ikeˆR
B
cB
eˆR
1
4 0c 2 R
eikR
(p&&
eˆR
)
eˆR
k c 1 00
eˆR xr R
如果取球坐标,原点在电荷电流分布
z
区域内,并以p方向为极轴,则由上式可
( x)dV 真空中给定 电荷分布激
4 r 发的电势 0 考虑边界足够远
的 可否将场点
多 坐标从积分 极 中提出来
场点r远大于区域
展 应用领域,电荷分 布区域相对足够小
开
电荷V的线度,电 势可以展开为l/r 的多项式
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。
磁场
Β Α
B
0 0
E t
i
c2
E
J 0
A( x) 0 4 V
J ( x)eik (ReˆR x) dV R eˆR x
l ~| x | , l ~| x | r.
电偶极子的场及辐射
收稿日期：2003-06-14作者简介：吕宽州（1963-），男，河南扶沟人，郑州经济管理干部学院讲师。
文章编号：1004-3918（2003）05-0512-03电偶极子的场及辐射吕宽州1，姜俊2（1.郑州经济管理干部学院，河南郑州450053；2.河南省科学院，河南郑州450002）摘要：采用了镜像法等方法对电偶极子及其产生的静电场、电磁场及辐射等做了较系统和深入的分析、研究，使分析方便、简化，推出的结论有一定实际指导意义。
关键词：电偶极子；电场；磁场；辐射中图分类号：0442文献标识码：A在很多文献上，缺乏对电偶极子及其产生的静电场、电磁场及辐射等较系统和深入的分析、研究。
本文参考有关文献给出或分析、推出了重要结论，部分内容采用了镜像法，使分析更方便。
!电偶极子及其产生的静电场电偶极子由一对正、负点电荷组成，电量为l ，相距为l ，如图1所示。
其电偶极矩p =l l ，l 的方向由~l 指向+l ，在T 处产生的电场的电势为：#（r ）=l 4L e 0T +_l4L e 0T _当T !l 时，#（r ）=l l cOs 64L e 0T 2=p ·e r 4L e 0T2（1）电场强度为：E =_"@=e r P cOs 62L e 0T 3+e !P si n 64L e 0T3（2）以上结果表明，电偶极子的电势及电场强度的大小分别与距离的平方、三次方成反比，既存在于近区，且与方位角有关，这些特点都与点电荷的电场显著不同。
图2绘出了电偶极子的电力线与等位面。
图1电偶极子F i g .1E lectric d i p O le图2电偶极子的电力线与等位线F i g .2E lectric p Ow er li ne and e C ui p Otential p laneOf e lectric d i p O le第21卷第5期2003年10月河南科学HENAN SC I ENCEV O l.21N O.50ct .2003!电偶极子产生的电磁场及辐射当P =P 0e -j G t 时，为谐振电偶极子，P 0为常矢，则在近区，即l H T 时，主要地一方面将感应如上所述的静电场，另一方面，相当于I =j G C 、长为l 的电流元还将产生一稳恒磁场，其规律可用毕萨定律描述，且电场与磁场的相位相差为90 ，即电场能量与磁场能量相互转换，而平均波印亭矢量为零，故不产生辐射。
电动力学第五章—
第五章 电磁波的辐射
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t
电动力学第五章 电磁辐射
•• 2
P 32π ε 0 c
2 3
∫
2π
0
dϕ ∫
π
0
4 1 2π ⋅ = sin θ dθ = 2 3 32π ε 0 c 3 4πε 0 3c3
3
P
P
例1. P165
ɺ 解：由于P = I ∆l = Re I 0e−iωt ∆lez = I 0 cos ωt ∆lez ɺ = I e−iωt ∆le , P
z
k B
P
E
注意：这里 ∇ ⋅ E = 0 ，磁场必须是闭合的。且由于只 1 ∇ 不需作用到 1 上， 保留 R 的最低次项，因此算符 R i ( kR −ω t ) 仅需作用到相因子 e 上。 四、辐射能流，角分布，辐射功率 辐射能流，角分布， ① 电偶极的平均能流密度为
2 1 c c * * S = Re( E × H ) = [Re( B × n ) × B ] = B n 2 2 µ0 2 µ0
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ ∇ A − 2 2 − ∇ (∇ ⋅ A + 2 ) = − µ0 j c ∂t c ∂t
2
（7） （8）
1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ρ ∇ 2ϕ − 2 2 + (∇ ⋅ A + 2 )=− c ∂t ∂t c ∂t ε0
若取库仑规范，则（7）（8）方程变为
1 ∂2A 1 ∂2∇ϕ ∇2A − 2 2 − 2 = −µ0 j c ∂t c ∂t ρ 2 ∇ ϕ= − ε0
S V
f
为洛伦兹力密度
二、电磁场的动量密度和动量流密度 洛伦兹力密度公式： f
ρ = ε 0∇ ⋅ E
j= 1
= ρE + j × B (1)
5.1电磁场的失势和标势解析
AT （即说明 B 无纵场，有横场） A （2） E E L E T , E t A L A T E L , ET （存在横场） t T
现代物理导论I
例 1、 证明根据洛伦兹条件求出的齐次达朗伯方程的 解满足横场条件。 证明： 纵场（无旋场） ： f 0 , f （例如：静电场）
横场（无源场） ： 感生电场） g 0 , g h （例如：磁场、
（1） A A L AT
B A AL AT
¨ £ 2© £ ô È É ² Ã Ó å Â × Â È ×æ ¹ ¶ ·¬ £ ò Ô
现代物理导论I
2 1 2A A c 2 t 2 0 J （1.9） 2 2 1 2 2 c t 0 其特点是： A 、 分别由两个彼此独立的方程描述，
现代物理导论I
陈尚达
材料与光电物理学院
第五章 电磁波的辐射
1、电磁场的失势和标势
2、推迟势 3、电偶极辐射 4、磁偶极辐射和电四极矩辐射 5、天线辐射 6、电磁波的衍射 7、电磁场的动量
现代物理导论I
5.1
电磁场的失势和标势
现代物理导论I
上一章我们介绍了电磁波在空间的传播。在实践上， 电磁波常常是由运动电荷辐射出来的，例如无线电波就是 发射天线上的高频交流电流辐射出来的。本章研究高频交 流电辐射电磁波的规律。
（1.7）
现代物理导论I
讨论： £ ¨1£ © È ô ² É Ó Ã ¿ â Â × ¹ æ · ¶ £ ¬ Ô ò
2 1 2A 1 A 2 2 2 0 J c t c t 2 0
（1.8）
034-5第5章 电磁波的辐射-3-电偶极辐射-2
电磁波的辐射
第5章
电磁波的辐射
5.3 电偶极辐射
1.计算辐射场的一般公式
2.矢势的展开式
3.电偶极辐射
4.辐射能量、角分布、辐射功率
5.短天线辐射、辐射电阻
₪电磁波的辐射
₪
₪
₪
₪
₪电磁波的辐射
3. 电偶极辐射讨论：
(i)辐射场矢势只保留1/R 的最低次项时：
磁感线是围绕极轴的圆周，B 总是横场；
电场线沿经线，但不闭合，且在极点处，
电场线相交，表示涡旋电场在极点
处有源，这是与有旋场的性质不符
的；而且也违反了电场单值性要求。
此时，电场近似为横场。
极点处
为电场的奇点。
辐射场为近似TEM 波。
3. 电偶极辐射讨论：
(ii)辐射场矢势保留1/R的高次项时：
磁感线是围绕极轴的圆周，B 总是横场；电场线是经面上的闭合曲线，这是与有旋场的性质相符的；也满足电场单值
性要求。
此时，电场不是横场，极
点处也不是电场的奇点。
辐射场为TM
波。
₪电磁波的辐射
₪
₪
₪电磁波的辐射
4. 辐射能流、角分布、辐射功率
在θ=900的平面上，辐射最强；在θ=00和1800的电偶极矩轴线方向上，没有辐射。
电偶极辐射的角分布如右图所示。
辐射功率迅速增大！
₪
₪(21)2
000
124812
c
c
(23)
₪电磁波的辐射
谢谢聆听！。
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这种情况下天线的辐射已 不能用电偶极辐射表示。 在后面我们将进一步讨论 常用的半波天线的辐射。
32
' r J(x ,t ) 0 ' c ( x , t ) dV 4 r
3
若电流是一定频率的交变电流
' ' i t J ( x , t ) J ( x )e
代入得
' i(k r t ) 0 J ( x )e ' ( x , t ) dV 4 r
29
电磁能量不断向外辐射，电源 需要供给一定的功率来维持辐 射。辐射功率正比于I02 ，因此 辐射功率相当于一个等效电阻 上的损耗功率。这个等效电阻 称为辐射电阻Rr。令
1 2 Ρ Rr I 0 2
Rr
6
0 l 0
2
( l )
30
利用
0 / 0 376.7
28
电偶极矩变化率 短天线的辐射功率
ip p
p
1 l / 2 I ( z )dz 2 I 0 l
l/2
2 2 2 2
0 I 0 l 0 2 l Ρ I0 48c 12 0
这个式子适用于l<<情形。若保持天线 电流 I0 不变,则短天线的辐射功率正比于 (l/)2 。
Ε iω Β μ0 ε0 2 Ε 电场（在电荷分布 t c
区域外面）
7
2. 矢势的展开式
在矢势公式中，存在三个线度: 电荷分布区域的线度l ： 波长 ：
' x
2 / k
8
电荷到场点的距离r
本节研究分布于一个小区 域内的电流所产生的辐射。小 区域是指它的线度远小于波长 以及观察距离r，即
ikn
i t
20
因此
k /c
i0 k ikR 1 ikR Β Α e n p e p n 2 4R 40c
ikR ic e Ε Β cΒ n ( p n) n 2 k 40c R
l , l r
9
对于r和的关系，可以区 别三种情况
r
近区
感应区 远区(辐射区)
10
r~
r
三个区域场的特点是不同的
近区：
kr 1
e
ikr
~1
场保持恒定场 电场具有静电场的纵向形式 磁场也和恒定场相似
感应区： 过渡区域 远区：电磁场变为横向的辐射场
11
通常，是在离发射系 统远处接收电磁波的， 对这类问题需要计算 远场,由远场可定出 辐射功率和角分布 (方向性) 。
§5.3 电偶极辐射
1
电磁波是从交变运动的 电荷系统辐射出来的 宏观情形：电磁波 由载有交变电流的 天线辐射出来 微观情形：变速运 动的带电粒子导致 电磁波的辐射
先研究宏观电荷系统在 其线度远小于波长情形 下的辐射问题
2
1.计算辐射场的一般计算公式
给定交变电流分布, 计算辐射场 的基础是推迟势公式
i J
标势也随 之确定
只要电流密 度给定，则 电荷密度也 自然确定。
( x, t ) c dV ' 4 0 r
6
因此，在这种情形下，由矢势 公式就可以完全确定电磁场。 磁场
Β Α
ic Ε Β k
21
若取坐标原点在电荷分布取内， 并以电偶极矩方向为极轴，则 由上式，磁场沿纬线上振荡, 电场沿经线上振荡
Β
Ε
1 ikR p e sinθ eφ 2 4πε0c R
1 ikR p e sinθ eθ 2 4πε0c R
磁感线总是绕极轴的圆周，磁场总是横向 的。电场线是经面上的闭合曲线。
15
3. 偶极辐射 第一项
0e ikR ' ' A( x ) J ( x ) dV 4R
' ' J ( x )dV e
J ni ei i
i
d dp ev dt ex dt p
电荷系统的 电偶极矩
在远区
' x /R
只保留1/R的最低次项 展开则保留各级项
13
' x /
' ik ( R n ' x ) 0 J ( x )e ' Α( x ) ' dV 4 Rnx
只保留1/R的最低 次项，所以在分 母中可略去 但是相因子中的不 应略去，因为数相 因子对较小的量也 比较敏感
24
电偶极辐射角分布： sin2表示电偶极辐射的 角分布，即辐射的方向 性
电偶极矩横断面 90
电偶极矩轴线方向 0,
辐射最强 没有辐射
25
总辐射功率P
Ρ S R 2 d 1
2 p 2 p
32 2 0 c 3
2 sin d
l Rr 197
2
得
天线的辐射电阻越 大，表示在一定输 入电流下，辐射功 率愈大。
因此，辐射电阻 通常是用来表征 天线辐射能力的 一个量。
31
由于短天线的辐射 电阻正比于(l<<)2， 因此，短天线的辐 射能力是不强的。
要提高辐射能力， 必须使天线长度增 大到最小与波长同 级。
' ' J ( x ) dV p
16
简单的电偶极子系统
Q
l
两导体球，细导线相连
17
当导线上有交变电 流I时，两导体上的 电荷交替地变化， 形成一个振荡电偶 极子。
p Ql
当导线上有电流I 时，Q的变化率为
dQ I dt
18
因而体系的电偶极矩变化率为
' d ' p Ql Il J ( x )dV dt
k /c
波数
4
令 有
i t Α( x, t ) Α( x)e
' ikr 0 J ( x )e ' ( x ) dV 4 r
e
ikr
推迟作用因子,表示 电磁波传至场点时有 相位滞后kr。
5
由电荷守恒 定律，在一 定频率的交 变电流情形 中有
但是，如果要研究 场对电荷系统的反 作用(辐射阻抗)以 及几个靠近的发射 系统之间的相互影 响时，必须计算近 场和感应场。
这里主要讨论远区的场
12
选坐标原点在电 荷分布区域内
' x ~l
R x
r x x'
x r x’
' r R n x
n 为 R 方向的单位矢量
4 0 3c 3
对球面积分
若保持电偶极矩振幅不变，则辐射 正比于频率的四次方。频率变高时， 辐射功率迅速增大。
26
5. 短天线的辐射
辐射电阻
中心馈电天线
天线两半段 电流方向相同
27
馈电点处电流有最大值I0， 在天线两段电流为零。 若天线长度l<<，则沿 天线上的电流分布近似 为线性形式
2 I ( z ) I 0 (1 z ) z l / 2 l
与一般公式相符
' ' J ( x ) dV p
可见，振荡电偶极矩产生的辐射为
0e ikR ' ' A( x ) J ( x ) dV 4R
ikR 0e A( x ) p 4R
19
在计算电磁场时, 需要对A作 用算符。由于我们只保留 1/R的最低次项，因而算符 不需要作用到分母的R上， 而仅需作用到相因子上，作 用结果相当于代换
' n x
e
' ikn x
e
' i 2 n x /
14
把相因子对 kn x ' 展开
0e ikR ' ' ' A( x ) J ( x )(1 ikn x )dV 4R
展开式中各项对应于各 级电磁多极辐射
22
由于在空间中E=0，电场线必 须是闭合的。这样电场不可能完 全横向。只有略去1/R高次幂， 电场才近似为横向。
电偶极辐射是空间中的TM波。
在辐射区电磁场1/R,能流 1/R2，对球 面积分后总功率与球半径无关，这就保 证电磁能量可以传播到任意远处。
23
4. 辐射能流 角分布 辐射功率
在辐射问题的实际应用中，最主要的问 题是计算辐射功率和辐射的方向性。这些 都可以由平均能流密度S求出。电偶极辐射 的平均能流密度
1 c S Re (Ε Η ) Re [(Β n) Β] 2 2 μ0 2 p c 2 2 Β n sin θ n 2 3 2 2 μ0 32π ε0c R