第五章电偶极辐射

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电偶极辐射角分布： sin2表示电偶极辐射的 角分布，即辐射的方向 性
电偶极矩横断面 90
电偶极矩轴线方向 0,
辐射最强 没有辐射
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总辐射功率P
Ρ S R 2 d 1
2 p 2 p
32 2 0 c 3
2 sin d
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由于在空间中E=0，电场线必 须是闭合的。这样电场不可能完 全横向。只有略去1/R高次幂， 电场才近似为横向。
电偶极辐射是空间中的TM波。
在辐射区电磁场1/R,能流 1/R2，对球 面积分后总功率与球半径无关，这就保 证电磁能量可以传播到任意远处。
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4. 辐射能流 角分布 辐射功率
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电磁能量不断向外辐射，电源 需要供给一定的功率来维持辐 射。辐射功率正比于I02 ，因此 辐射功率相当于一个等效电阻 上的损耗功率。这个等效电阻 称为辐射电阻Rr。令
1 2 Ρ Rr I 0 2
Rr

6
0 l 0
2
( l )
30
利用
0 / 0 376.7
ikn
i t
20
因此
k /c
i0 k ikR 1 ikR Β Α e n p e p n 2 4R 40c
ikR ic e Ε Β cΒ n ( p n) n 2 k 40c R
l Rr 197
2
得
天线的辐射电阻越 大，表示在一定输 入电流下，辐射功 率愈大。
因此，辐射电阻 通常是用来表征 天线辐射能力的 一个量。
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由于短天线的辐射 电阻正比于(l<<)2， 因此，短天线的辐 射能力是不强的。
要提高辐射能力， 必须使天线长度增 大到最小与波长同 级。
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电偶极矩变化率 短天线的辐射功率
ip p
p
1 l / 2 I ( z )dz 2 I 0 l
l/2
2 2 2 2
0 I 0 l 0 2 l Ρ I0 48c 12 0
这个式子适用于l<<情形。若保持天线 电流 I0 不变,则短天线的辐射功率正比于 (l/)2 。
与一般公式相符
' ' J ( x ) dV p
可见，振荡电偶极矩产生的辐射为
0e ikR ' ' A( x ) J ( x ) dV 4R
ikR 0e A( x ) p 4R
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在计算电磁场时, 需要对A作 用算符。由于我们只保留 1/R的最低次项，因而算符 不需要作用到分母的R上， 而仅需作用到相因子上，作 用结果相当于代换
' ' J ( x ) dV p
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简单的电偶极子系统
Qபைடு நூலகம்
l
两导体球，细导线相连
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当导线上有交变电 流I时，两导体上的 电荷交替地变化， 形成一个振荡电偶 极子。
p Ql
当导线上有电流I 时，Q的变化率为
dQ I dt
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因而体系的电偶极矩变化率为
' d ' p Ql Il J ( x )dV dt
在辐射问题的实际应用中，最主要的问 题是计算辐射功率和辐射的方向性。这些 都可以由平均能流密度S求出。电偶极辐射 的平均能流密度
1 c S Re (Ε Η ) Re [(Β n) Β] 2 2 μ0 2 p c 2 2 Β n sin θ n 2 3 2 2 μ0 32π ε0c R
i J
标势也随 之确定
只要电流密 度给定，则 电荷密度也 自然确定。
( x, t )
r ' ( x , t ) c dV ' 4 0 r
6
因此，在这种情形下，由矢势 公式就可以完全确定电磁场。 磁场
Β Α
ic Ε Β k
l , l r
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对于r和的关系，可以区 别三种情况
r
近区
感应区 远区(辐射区)
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r~
r
三个区域场的特点是不同的
近区：
kr 1
e
ikr
~1
场保持恒定场 电场具有静电场的纵向形式 磁场也和恒定场相似
感应区： 过渡区域 远区：电磁场变为横向的辐射场
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通常，是在离发射系 统远处接收电磁波的， 对这类问题需要计算 远场,由远场可定出 辐射功率和角分布 (方向性) 。
k /c
波数
4
令 有
i t Α( x, t ) Α( x)e
' ikr 0 J ( x )e ' ( x ) dV 4 r
e
ikr
推迟作用因子,表示 电磁波传至场点时有 相位滞后kr。
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由电荷守恒 定律，在一 定频率的交 变电流情形 中有
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若取坐标原点在电荷分布取内， 并以电偶极矩方向为极轴，则 由上式，磁场沿纬线上振荡, 电场沿经线上振荡
Β
Ε
1 ikR p e sinθ eφ 2 4πε0c R
1 ikR p e sinθ eθ 2 4πε0c R
磁感线总是绕极轴的圆周，磁场总是横向 的。电场线是经面上的闭合曲线。
但是，如果要研究 场对电荷系统的反 作用(辐射阻抗)以 及几个靠近的发射 系统之间的相互影 响时，必须计算近 场和感应场。
这里主要讨论远区的场
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选坐标原点在电 荷分布区域内
' x ~l
R x
r x x'
x r x’
' r R n x
n 为 R 方向的单位矢量
4 0 3c 3
对球面积分
若保持电偶极矩振幅不变，则辐射 正比于频率的四次方。频率变高时， 辐射功率迅速增大。
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5. 短天线的辐射
辐射电阻
中心馈电天线
天线两半段 电流方向相同
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馈电点处电流有最大值I0， 在天线两段电流为零。 若天线长度l<<，则沿 天线上的电流分布近似 为线性形式
2 I ( z ) I 0 (1 z ) z l / 2 l
§5.3 电偶极辐射
1
电磁波是从交变运动的 电荷系统辐射出来的 宏观情形：电磁波 由载有交变电流的 天线辐射出来 微观情形：变速运 动的带电粒子导致 电磁波的辐射
先研究宏观电荷系统在 其线度远小于波长情形 下的辐射问题
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1.计算辐射场的一般计算公式
给定交变电流分布, 计算辐射场 的基础是推迟势公式
在远区
' x /R
只保留1/R的最低次项 展开则保留各级项
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' x /
' ik ( R n ' x ) 0 J ( x )e ' Α( x ) ' dV 4 Rnx
只保留1/R的最低 次项，所以在分 母中可略去 但是相因子中的不 应略去，因为数相 因子对较小的量也 比较敏感
' r J(x ,t ) 0 ' c ( x , t ) dV 4 r
3
若电流是一定频率的交变电流
' ' i t J ( x , t ) J ( x )e
代入得
' i(k r t ) 0 J ( x )e ' ( x , t ) dV 4 r
Ε iω Β μ0 ε0 2 Ε 电场（在电荷分布 t c
区域外面）
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2. 矢势的展开式
在矢势公式中，存在三个线度: 电荷分布区域的线度l ： 波长 ：
' x
2 / k
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电荷到场点的距离r
本节研究分布于一个小区 域内的电流所产生的辐射。小 区域是指它的线度远小于波长 以及观察距离r，即
' n x
e
' ikn x
e
' i 2 n x /
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把相因子对 kn x ' 展开
0e ikR ' ' ' A( x ) J ( x )(1 ikn x )dV 4R
展开式中各项对应于各 级电磁多极辐射
这种情况下天线的辐射已 不能用电偶极辐射表示。 在后面我们将进一步讨论 常用的半波天线的辐射。
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15
3. 偶极辐射 第一项
0e ikR ' ' A( x ) J ( x ) dV 4R
' ' J ( x )dV e
J ni ei i
i
d dp ev dt ex dt p
电荷系统的 电偶极矩