博弈论10 均衡概念比较与PBNE的再精炼

尽管精炼贝叶斯均衡的精炼条件剔除了不可 置信的战略 ( 行动 ) ，促它没有剔除不可置信 的信念(后验概率)。 非均衡战略上后验概率的任意性导致了均衡 战略的任意性；当我们把某个行动从潜在均 衡战略中排除掉时，我们同时就将另一些行 动转化为均衡战略。 出现多重均衡是很自然的。

10.1剔除劣战略
10.4 泽尔腾的颤抖手均衡


泽尔腾将非均衡事件的发生解释为“颤抖”： 当一个参与人突然发现一个不该发生的事件发生时 ( 即博弈偏离均衡路径 ) ，他把这个不该发生的事件 的发生归结为某一个其他参与人的非蓄意错误。 通过引入“颤抖”，博弈树上的每个决策结出现的 概率都为正，从而每一个决策结上的最优反应都有 定义，原博弈的均衡可以理解为被颤抖扰动后的博 弈的均衡的极限。

定义：假定（a1*，a2*；μ）是一个精炼贝叶斯 均衡。令 u1* （ θ1 ）是类型为 θ1 的参与人 1 的均 衡效用水平。那么， a1′ 是参与人 1 相对于均衡 的劣战略（ a1* ， a2* ； μ ），如果对参与人 2 的 所有行动，下列条件成立： u1（a1′, a2,θ1）≤u1*（θ1） （至少有一个严格不等式对某些成立。） 进一步，令 Θ1∈Θ是所有满足上述不等式 θ1的 集合，如果Θ1≠Θ，那么，参与人2的非均衡路 径上的合理的后验概率是： (1 a1 ) 0

To 1,任意的混合策略 p1 (s, u, v) , 都有 U1 (L, L) 3 U1 ( p1, L) 3s u v

To 2,任意的混合策略 p2 (h, k ) ， 都有
U 2 ( L, L) 1 U 2 ( L, p2 ) k
构造序列
设参与人1的一个混合策略为：





克瑞普斯和威尔逊处理非均衡路径上后验概率的 办法是： 首先假定，在每一个信息集上，参与人选择严格 混合战略(即以严格正的概率选择每一个行动)，从 而博弈到达每一个信息集的概率严格为正，贝叶 斯法则在每一个信息集上都有定义； 然后将均衡作为严格混合战略组合和与此相联系 的后验概率的序列的极限。 这样，检查一个战略组合和后验概率是否是一个 均衡就变成：它是否是某个严格混合战略组合和 与此相联系的后验概率的序列的极限。
10.2 直观标准（更适用信号博弈）
在均衡中，至少有一个类型的参与人1想 偏离均衡。“直观标准”剔除所有这些 不合理的精炼贝叶斯均衡。 “直观标准”将劣战略扩展到相对于均 衡战略的劣战略，从而通过剔除更多的 劣战略的办法缩小均衡数量，进一步改 进了精炼贝叶斯均衡概念。

10．2 直观标准


第十章 精炼贝叶斯均衡的再精炼 及其他均衡概念

不完全信息博弈可能存在多重精炼贝叶斯均衡，究 竟哪一个均衡实际上出现，依赖于我们如何规定非 均衡路径上的后验概率。 什么是参与人1的均衡战略，依赖于参与人2认为什 么不是他 ( 参与人 1) 的均衡战略，或者说，参与人 2 认为什么是参与人 l的均衡战略，什么就是参与人 1 的均衡战略，均衡是自动实现的。

u1（a1′,a2′,θ1）≤u1（a1″,a2″,θ1）
（至少有一个严格不等式对于某些（ a2′ ， a2″ ） 成立。）


要求： 在所有的信息集上，对于参与人2的每— 个可能的后验概率和行动，a1′弱劣于a1″。 这样严格要求的原因是，参与人1在选择自 己的行动时，必须考虑自已的行动传递给 参与人2的有关自己(参与人1)类型的信息。

定义(σ，μ)是一个序贯均衡，如果它满足下列 两个条件： （ 1 ） (σ ， μ) 是一个序贯性的：在所有的信息 集 h上，给定后续概率 μ(h) ，没有任何参与人 i 想偏离σi(h)；对于所有可行战略σ′i(h)，
u i ( h ) ( h, (h)) u i ( h ) ( i( h ) , i ( h ) ) h, (h))
p1m (1 m 2 m , 2 m , m ), 0 2 m 1, 0 m 1. lim m 0
m
由Bayes公式得到，参与人2的两个结点的概率为：
m 2m m 1 m q = ， 2m 2m 1 1

表10. 1 参与人2


L
U （1-p ） 参与人1 D（p）
10，0
10，1
R
5，2
2 ，0

在表 10.4.1 中， (D ， L) 是一个纳什均衡 ( 弱劣 战略均衡 ) ；只要参与人 2 不选择 R ， D 就是参 与人1的最优选择；同样，只要参与人1不选择 U，L就是参与人2的最优选择。但是,如果参与 人2有可能错误地选择R，那么，不论这个错误 发生的概率是多么小，参与人 1 的最优选择就 是U而不是D；预测到这一点，参与人2将选择 R。就是说， (D， L) 不是一个颤抖手均衡。对 比之下，(U，R)是—个颤抖手均衡：不论参与 人2犯错误的概率多大，参与人1没有兴趣选样 D；另一方面，只要参与人1犯错误的概率小于 2/3 （ 2×(1-p)+0×p>0×(1-p)+1×p ， 即 p<2/3），参与人2就没有兴趣选择L.
1
L (2,2)
M
R
2 B U
ห้องสมุดไป่ตู้~

U
~ 1
B
(3,1)
(0,0)

(1,0)
(0,1)

~ ~ +0*(1- ~ ) ≤ 0* ~ ~), 1* + 1*(1- ≤1/2,，如果博弈进 入参与人 2 的信息集，他将选择 B 。显然， R 弱劣于 M 。因 此，在博弈开始，参与人2不应该认为参与人1会以任何正 的概率选择R；如果博弈进入参与人 2的信息集，他应该认 ~ 为参与人1选择~ M的概率是1(即 ＝1)。在这个要求下，均 1/2)被剔除，只有(M，U； ＝1)是满足这个 衡(L，B； ≤ 要求的精炼贝叶斯均衡。
这个例子事实上暴露出用战略式博弈定 义颤抖手均衡的一个重要缺陷，即：战 略式博弈允许同一参与人在博弈的不同 阶段的错误(颤抖)具有相关性。 表 2 的战略式表述中，参与人 l 在两个阶 段犯的错误是相关的。假定参与人1打算 选择L，但由于颤抖，错误地选择R；给 定参与人1选择了R．假定参与人2以D反 应，那么，参与人1在下阶段选择L‘就是 错上加错。


可见，RL‘弱劣于RR’；剔除RL‘后，D弱优于U， 因此，重复剔除弱劣战略得到的纳什均衡是 (RR’ ， D)，但是，被剔除掉的 (L， U)是一个颤抖手均衡， 这是因为：如果参与人 2 选择 U 的概率非常大 ( 大 于2/3)，参与人1的最优选择是L； 另一方面，如果参与人1以1-2/m选择L，1/m的概 率选择 RL‘ 或 RR’( 因此， 2/m 是参与人 1 犯错误的 概 率 ) ， 参 与 人 2 选 择 U 的 期 望 效 用 是 (1)(1 － 2/m)+(2)(1/m)+(2 ） (1/m)=1+2/m ，选择 D 的期望 效用是 (1)(1-2/m)+(0)(1/m) 十 (3)(1/m) ＝ 1+1/m ， 所以U优于D；令m趋于无穷，我们得到(L，U)是 一个颤抖手均衡。

m m i i
在定义中，隐含地假定任何一个参与人 犯错误的机会与其他参与人犯错误的机 会无关 (或者说，颤抖在参与人之间是独 立发生的)。 但是，如上定义的颤抖手均衡并不排除 在重复剔除弱战略过程中被剔除的战略。 这一点可以用表1说明。


表1
参与人2
参 与 人 1
P L RL' RR' 1-2/m 1/m 1/m U 0,1 -1,2 -1,2 D 0,1 1,0 2,3
1
10．3 克瑞普斯一威尔逊序贯均衡
粗略地讲，克瑞普斯一威尔逊序贯均衡 的基本思想是，在子博弈精炼纳什均衡 或贝叶斯均衡概念上增加一个新的要求. 这个新的要求是： 在博弈到达的每一个 信息集上(不论该信息集在均衡路径还是 非均衡路径)，参与人的行动必须由某种 有关之前发生的事情(自然选择了什么类 型或先行动者选择了什么行动 ) 的信念 (概率)“合理化”。
构造序列
设参与人2的一个混合策略为：
p2 m (1 m , m ), 0 m 1. lim m 0
m
1 m 2m
1 1 2m
m 2m
A
1

m
2m
B L (1,0)
C
m
(2,2)
m 1 2m
1 m

例、不完全信息动态博弈如下： 1 R (2,2) L M [q] [1-q] R’ R’ L’ L’ (0,0)
(3,1)
(1,0)
(0,1)
求序贯均衡


1 1, q 2 (1,0) 该博弈的PBNE是 (L, L), q 对1来说，最优的混合混合策略是p1=（1,0,0）, 对2来说，最优的混合混合策略是p2=（1,0）, 均衡战略（L,L’）生成的最优混合策略组合 p=(p1,p2)=((1,0,0),(1,0)), (q 1 , q 2 ) (1,(1,0)) 贝叶斯后验推断 q
颤抖手均衡定义 : 在 n 人战略式表述博弈 中，纳什均衡（ σ1 ， …σn ，）是一个颤 抖手均衡，如果对于每一个参与人 i，存 在一个严格混合战略序列 {σm1}，使得下 列条件满足： lim （1）对于每一个i， ； （ 2 ）对于每一个 i 和 m=1,2, …σi 是对战 略组合σm-i =(σmi,…, σmi-1, σmi+1,…, σmn) 的最优反应，即：对任何可选择的混合 战略σiˊ∈Σi， ui(σi, σm-i)≥ui(σiˊ,σm-i)

（ 2 ） (σ ， μ) 是一致的：存在一个严格混合战 略组合序列{σm}和贝叶斯法则决定的概率序列 μm，使得是的(σ，μ)极限；即：
( , ) lim ( m , m )
m

一致性要求是序贯均衡概念最重要的创造。序 列可以理解为均衡的“颤抖”；颤抖使得贝叶 斯法则适用于博弈的所有路径。
图1 不完美信息博弈

剔除劣战略方法正式定义： 令 a 1′ 和 a 1″ 是 参 与 人 1 的 两 个 行 动 ， a 1′ ， a1″∈A1 。 对 于 参 与 人 2 的 所 有 行 动 a2′ ， a2″∈A2 ，如果下列条件成立，我们说对类型 θ1∈θ1的参与人1，a1′弱劣于a1″：
L
RL'
1-2/m
4/m*m
0,1
-1,2
0,1
1,0
RR'
(2/m)*(1-2/m)

剔除劣战略方法的思路是将“不选择劣战略”的要 求扩展到非均衡路径的后验概率上。

它的基本思想是，在一个博弈中，如果对于某些类 型的参与人，存在某些行动劣于另 —些行动，而对 于另一些类型的参与人这一点不成立，那么，当其 他参与人观测到前一类行动时，他不应该以任何正 的概率认为选择该行动的参与人属于前一类参与人。
L
R
(0,0)
R
(0,1)
(3,1)
显然
( p, q) lim( p , q )
m m m
所以，(L, L),

1 1, q q 序贯均衡 2 (1,0)
10.4 泽尔腾的颤抖手均衡

泽尔腾 (1975) 使用战略式博弈引入颤抖手均衡的概 念。颤抖手均衡的基本思想是，任何一个博弈中， 每一个参与人都有一定的可能性犯错误(类似一个人 用手抓东西时，手一颤抖，他就可能抓不住他想抓 的东的)；一个战略组合，只有当它在允许所有参与 人都可能犯错误时仍是每一个参与人的最优战略的 组合时，才是一个均衡。

如果设想不论参与人1在最初选择什么，如果 博弈进入他的第二个信息集，他更可能选择 R’而不是L‘ (因为前者优于后者)。 那么，如果参与人 1 最初选择 R ，参与人 2 应 该选择D. 可见RR’只包含参与人1的一个错误， RL‘包含参与人1的两个错误。



表2
参与人2
参 与 人 1 P U D