轴向拉压杆件应力
轴向拉压杆的应力
1
FN1 A1
103.9 103 N 300 106 m2
346MPa(拉）
2
FN 2 A2
120 103 N 1274.8 106 m2
94MPa(压）
30° F
2
(a)
FN1
A
30
FN 2 F
(b)
工程力学
cos
FN A
cos
cos
p cos cos2
p
sin
2
sin 2
2、符号规定
m n p
mt
⑴、α：斜截面外法线与x轴的夹角。
x 轴正向逆时针转到 n 轴“α”规定为正值；
x 轴正向顺时针转到 n 轴“α”规定为负值。 ⑵、σα：同“σ”的符号规定
⑶、τα：在保留段内任取一点，如果“τα”对其点之矩为顺 时针方向规定为正值，反之为负值。
工程力学
轴向拉压杆的应力
一、轴向拉压杆横截面上正应力的确定
推导的思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的
1、实验：
计算公式
变形前
F
F
受力后
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面 沿杆轴线作相对平移
8、公式Байду номын сангаас使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处（范围：不超过杆的横 向尺寸）--圣维南原理
二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
m
m
n
(1) 内力确定：
F
F
O
FNα=FN=F
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析在工程结构设计和力学分析中，经常会涉及到圆杆的轴向拉压情况。
变截面圆杆轴向拉压时，需要进行应力分析来评估其强度和稳定性。
本文将从变截面圆杆的应变分析、应力分析及强度评估三个方面进行详细阐述。
首先，我们来看变截面圆杆的应变分析。
对于一个轴向受拉力F作用下的圆杆，根据拉伸应变的定义，应变ε=△L/L，其中△L为杆件拉伸后的长度增量，L为杆件的初始长度。
对于直径为d1、d2的两个不同截面的圆杆，它们的初始长度相同，即L1=L2=L。
假设两个不同截面的圆杆受到相同的拉伸力F，根据应变的定义，应变ε1=△L1/L,ε2=△L2/L。
由于△L1和△L2相同，所以ε1和ε2的大小仅取决于截面直径的大小。
当杆截面直径越大，即d1>d2时，应变ε1>ε2，即在截面直径较大的地方应变更大，而在截面直径较小的地方应变较小。
这说明在变截面圆杆的拉伸过程中，截面直径较大的地方应变较大，即应力集中。
接下来，我们来探讨变截面圆杆的应力分析。
根据胡克定律，杆件内的应力与应变成正比。
对于同一截面的圆杆，内部各点的应力大小相同，在轴向拉伸的情况下，圆杆通过截面的轴向拉力均等。
然而，在变截面圆杆的轴向拉压过程中，不同截面处的应力是不同的。
如上述应变分析中所述，截面直径较大的地方应变更大，那么根据胡克定律，截面直径较大的地方应力也更大。
因此，在截面直径较大的地方，应力集中，容易产生应力集中现象。
这就要求我们在杆件设计时，要尽量避免或减小应力集中的情况。
最后，我们来评估变截面圆杆的强度。
材料的抗拉强度是指材料能够承受的最大拉伸力。
当变截面圆杆的拉力超过了材料的抗拉强度时，杆件就会发生塑性变形或断裂。
根据材料力学的知识，破坏材料的拉伸强度与截面面积成正比，而与截面形状无关。
因此，在设计变截面圆杆时，要根据材料的抗拉强度选择适当的截面面积，以确保杆件在拉伸过程中不发生塑性变形或断裂。
综上所述，变截面圆杆的应力分析是评估其强度和稳定性的重要步骤。
工程力学公式
公式：1、轴向拉压杆件截面正应力N F Aσ=，强度校核max []σσ≤2、轴向拉压杆件变形N i i iF l l EA ∆=∑3、伸长率：1100%l l lδ-=⨯断面收缩率：1100%A A Aψ-=⨯4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ=5、扭转切应力表达式：T I ρρτρ=，最大切应力：m ax PPT T R I W τ==，44(1)32P d I πα=-，34(1)16P d W πα=-，强度校核：m ax m ax []PT W ττ=≤6、单位扭转角：P d T dxG I ϕθ==，刚度校核：m axm ax []PTG I θθ=≤，长度为l 的一段轴两截面之间的相对扭转角PTl G I ϕ=，扭转外力偶的计算公式：()(/m in)9549K W r p M e n =7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ=8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式：cos 2sin 222x yx yx ασσσσσατα+-=+-，sin 2cos 22x yx ασστατα-=+9、平面应力状态三个主应力：'2x yσσσ+=+''2x yσσσ+=-，'''0σ=最大切应力m ax '''2σστ-=±=最大正应力方位02tan 2xx yτασσ=--10、第三和第四强度理论：3r σ=，4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：ZM y I σ=，截面上下对称时，ZM W σ=矩形的惯性矩表达式：312Z bhI =圆形的惯性矩表达式：44(1)64Z d I πα=-矩形的抗扭截面系数：26Z bh W =，圆形的抗扭截面系数：34(1)32Z d W πα=-13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：maxmax *S z S ZF S F K bI Aτ==14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力m ax []t t σσ≤，m ax []c c σσ≤ （2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法m ax []w w ll≤，m ax []θθ≤16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max max min ()N ZF M AW σσ=±（2）偏心拉伸(偏心压缩)：m ax m in ()N ZF F AW δσσ=±（3）弯扭变形杆件的强度计算：3[]r Z σσ==≤4[]r Zσσ==≤。
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析杆材在轴向受拉压载荷作用下，会产生应力。
这个应力是由于承受载荷而引起的，它的大小和载荷的大小成正比。
变截面圆杆在轴向受拉压下的应力分析可以通过以下步骤来进行：1.杆材受力分析：首先需要了解杆材受力的具体情况。
假设杆材的长度为L，杆材的两个端部受到拉力F1和F2的作用。
这两个拉力可以是大小不等的，也可以是相等的。
在应力分析中，我们假设了杆材的两个端部的面积相等。
2. 悬链线条法：为了进行应力分析，我们可以使用悬链线条法。
该方法通过假设杆材上每个截面的应力呈像状分布，将杆材分为无数个小段。
我们考虑杆材上的一个小段dx，并考虑该小段受到的拉力。
3. 小段的受力分析：我们假设该小段的长度为dx，面积为A，根据杆材受力平衡条件，可以得出该小段受到的拉力为dF。
根据力和面积之间的关系，可以得出该小段受到的应力为σ = dF / A。
4.应力的积分：通过将杆材分为无数个小段，可以得到每个小段的应力。
然后将这些小段的应力积分起来，即可得到整个杆材的应力。
积分过程可以使用定积分来进行。
5.应力的变化情况：通过应力的积分，我们可以了解杆材上应力的变化情况。
通常情况下，杆材的应力在中部最大，在两端逐渐减小。
这是因为在中部受力最大，而在两端受力较小。
以上是变截面圆杆轴向拉压时的应力分析的基本步骤。
需要注意的是，在进行应力分析时，我们假设了杆材是均匀的、材料是线弹性的，并且未考虑杆材的弯曲变形。
在实际工程中，进行应力分析时需要根据具体的情况和材料的特性进行修正。
02.3.应力·拉(压)杆内的应力解析
4
FF
90106 Pa 90MPa
x
s2
FN 2 A2
20103 152 106
FN1 28.38k9N106 PaFN289M20PkaN
第19页
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第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
k
F
F
k
k
F
F
斜截面上的内力： F F
k
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相 互平行。
第二章 轴向拉伸和压缩
平均应力的定义
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
m A
随所取ΔA的大小而不同。
F
M
A
第3页
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第二章 轴向拉伸和压缩
总应力定义：
该截面上M点处分布内力的集度为
p
lim F
A0 A
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第二章 轴向拉伸和压缩
ac
F
a
c
F
b
d
bd
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆 的分布内力集度又与杆件纵向线段的变形相对应，因而杆件
横截面上的正应力s呈均匀分布，亦即横截面上各点处的正 应力s 都相等。由合力概念知：
第15页
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 已知薄壁圆环 d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。
第2讲 轴向拉压杆的内力和应力
解：当载荷W移到A点时，斜杆AB
受到拉力最大，设其值为Fmax。
讨论横梁平衡 Mc 0
W
Fmax Fmax sin AC W AC 0
FmaxA
Fmax
W
sin
W
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
0.8m
B C
Fmax
FRCx C FRCy
d
A
1.9m
拉伸
F
F
压缩
F
F
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 举例说明：
A
计算简图
P1
拉杆
P1
B P2
压杆
P2
C
F
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
1、截面法求内力
F (1)假想沿m-m横截面将
杆切开
(2)留下左半段或右半段
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A
FN1 28.3kN FN 2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN1
yF
FN 2 45° B x
F
Байду номын сангаас1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
FN 2 A2
（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
ac
拉压杆的应力
p
FN Aα
F cos
A
——横截面上的正应力。
cos
p称为斜截面上的全应力，可将它沿截面的法向和切向分解为
两个分量：正应力和切应力(如图)。它们分别为
目录
轴向拉伸和压缩\拉压杆的应力
pαcos cos2
pα
sin
cos
sin
2
sin
2
这就是拉压杆斜截面上应力的计算公式。
由公式可知，在通过拉压杆内任一点的各个截面上，一般都存
MPa
3 4
75 MPa
30
2
cos230
1 0 0MP a 2
3 43.2MPa 2
＝30 斜截面(如图)中的斜截面2－2上的正应力和切应力分别为
30
cos 2 30 100
MPa
3 4
75 MPa
30
2
cos2 30
10
0MP 2
a
3 2
43.2
MP
a
目录
轴向拉伸和压缩\拉压杆的应力 将上面求得的应力分别表示在它们所作用的截面上，如图b、c
目录
轴向拉伸和压缩\拉压杆的应力 【例2.2】图示一悬臂吊车的简图，斜杆BC的横截面面积A＝
500 mm，荷载F＝25 kN。试求当荷载F移至D点时，斜杆横截面上 的正应力。
目录
轴向拉伸和压缩\拉压杆的应力
【解】 悬臂吊车的计算简图如图b所示。 为了求出斜杆BC的轴向外力FBC，取横梁AD为研究对象。
列出平衡方程
∑MA＝0， FBC sin45×1.5m－F×3m＝0
得
F 3m
25 kN 3m
FBC sin45 1.5m 0.707 1.5m 70.7 kN
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
拉压杆斜截面上的应力Ｐ
Ａ为横截面的面积 Ａ为斜截面的面积 横截面上的正应力 斜截面上的应力
N p A P P cos cos A A cos
P A
斜截面上的正应力和剪应力
p cos cos2 p sin cos sin
P
1 1 P A N1 3P C 2 N2
A
∴N2=P－3P= －2P
2
3、内力图
P A l P
3P
B
注意：
1 、一次只能取一个截面， 将原构件分成两部分。
C
l
Ｎ
O
2、内力方向设为正向后建立平 衡方程求解。（说明＋－）
3 、分离体图与原图上下对 齐，截面位置一目了然。 4 、轴力图大小近似按比例， 也要与上图对齐。 练习：
1、变形规律试验及平面假设：
a c
P
b d
变形前
a´ c´
b´ d´
受力后 P
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面. N 3、横截面上的应力：均匀分布 A
例２-４：计算下图中指定截面上的应力。ＡＢ段与ＣＤ段的横截面积均 为２０mm2，ＡＢ段横截面积为 1０ mm2 ，
C
已知：三角架 ABC 的〔σ 〕=120 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，AC 为 2 根 10 号槽钢，AB、AC 两杆的夹角为300 。 求：此结构所能承担的最大外荷载 Fmax
解： 1、F 与 FN 的关系
Y
0
X 0 F Y 0 F
NAC
FNAB cos30 0
§4-3 轴向拉(压)杆的应力
§4-3 轴向拉(压)杆的应力1．应力的概念为了解决杆件的强度问题，不仅要知道当外力达到一定值时杆件可能沿哪个截面破坏，而且还要知道该截面上哪个点首先开始破坏。
因而仅仅知道杆件截面上内力的合力是不够的，还需要进一步研究截面上内力的分布情况，从而引入了应力的概念。
应力就是杆件截面上分布内力的集度。
若考察某受力杆截面m-m 上M 点处的应力，如图4-8所示。
图4-8 一点的应力在M 点周围取一很小的面积A ∆，设A ∆面积上分布内力的合力为F ∆，则面积A ∆上内力F ∆的平均集度为A F p m ∆∆= (4-1) 式中m p 称为面积A ∆上的平均应力。
当微小面积A ∆趋近于零时，就得到截面上M 点处的总应力，即dA dFA Fp A =∆∆==∆lim 0(4-2) 由于F 是矢量，故P 也是矢量，其方向一般不与截面垂直或平行，因此可以分解成与截面垂直的法向分量正应力σ和与截面向切的切向分量切应力(剪应力)τ。
从应力的定义可知，应力是与“截面”和“点”这两个因素分不开的。
一般地说，杆件在外力作用下，任一截面上不同点的应力值是不同的，同一点位于不同截面上的应力值也是不同的。
因此在谈内力时，应明确是哪个截面哪个点处的应力。
应力的量纲为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2长度力，其国际单位为Pa(帕斯卡)，1Pa=1牛顿/米2。
工程中常用MPa ，1MPa=106Pa 。
2．拉(压)杆横截面上的应力对于拉(压)杆，横截面上的内力为轴力F N ，与轴力对应的应力为正应力σ。
观察受拉等直杆(图4-9(a))的变形情况。
首先在等直杆侧面作两条横向线ab 和cd ，代表其横截面，然后在杆的两端施加一对轴向拉力F 使杆发生变形。
可以观察到，横向线ab 和cd 移动到a’b’和c’d’的位置了，如图4-9(b)所示。
对于压杆，同样可以观察到该现象。
根据这一现象，可以假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，即平面假设。
根据这一假设，拉(压)杆变形后两横截面将沿杆轴线方向作相对平移，也就是说，拉(压)杆在其任意两个横截面之间纵向线段的伸长变形是均匀的。
3.2轴向拉压杆横截面上的正应力
受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两 平面相对的位移了一段距离。
正应力
说明：轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分
布。
FN A
正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，
压应力为负。
例题讲解
例6.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为 A1 400mm2 , A2 300mm2 , A3 200mm2
AB
F1 50 103 MPa 125MPa A1 400
BC
F2 30 103 MPa 100MPa A2 300
CD
DE
F3 10 103 MPa 33.3MPa A2 300
F4 20 103 MPa 100MPa A3 200
小结
你学到了什么？
作业：习题3-3
谢谢聆听！
第三章 轴向拉伸和压缩
第二节 轴向拉压杆横截面上的正应力
一、应力
联想：粗绳和细绳
一根筷子和一把筷子 1、概念：单位面积上的内力称为应力 2、表示：σ（读西格玛） 3、单位：Pa（帕斯卡）Mpa（兆帕） 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa=106N/m2=1N/mm2
二、横截面上的正应力
试求各横截面面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,
F2=-30kN, F3=10kN, F4=-20kN。轴力图如下。
2 2 A1 400mm2 , A2 300mm , A3 200mm
求各截面正应力：
AB段:
BC段: CD段: DE段:
第三节轴向拉压杆界面上的应力
一、截面应力：
1、截面应力----轴杆在在外力作用下产生内力，内力除位：Pa或N/m2
2）符号：
受拉为：+
受压为：-
二、例题：
例1、如图，变截面A、B、C、D，
已知P1=20KN,P2=P3=35KN,di=12mm，d2=16mm，d3=24mm, 求杆的应力
2）轴向变形量（应变）---或伸长或缩短
变形量：b b1 b
b b1 b 应变： b b
b
b
b1
b
b1
3）横向变形量（应变）---或伸长或缩短
横向变形量： d d1 d
d d1 d 横向应变： d d
/
b
d
b
b1
d1 d1
b
b1
4）符号：
受拉为正，受压为负
四、胡克定律：
1、胡克定律
在弹性限度内，应变与应力成正比，即：
E
E 弹性模量
2、胡克定律变形：
E
l l
N A
Nl l EA
3、泊松比： 在弹性限度内，轴向应变与横向应变之比是定值，成 为泊松比
/
D
C B A P3 P1 P2
P1
d3
d2
d1
例2、如图，一等直混凝土柱子，横截面边长为200mm的正方形，
如果在截面A和B上受有载荷P1=200KN，P2=100KN，试求在1-1，
2-2截面上的应力
P1
2m
1 P2
1
2m
2
2
三、拉杆变形：
1）拉压变形----一根轴载受到轴向力作用下，伸长或缩短的变形
杆系结构的强度计算—轴向拉压杆的应力
p
FN A
A
A0
cos
α A
A0
p
FN A0
cos
0 cos
斜截面正应力 p cos 0 cos2
斜截面切应力
p
s in
0
2
sin 2
2.4 重要结论
0 cos2
当 0 时，正应力最大。即轴向拉压杆中的最大正应力发生在横
截面上，其值为 max 0 。
0
2
sin 2
2.拉添加压标杆题 斜截面上的应力
2. 拉压杆斜截面上的应力 2.1 斜截面方位角
• 斜截面方位角—斜截面的外法线on与x轴的夹角α。
n
m α
o
m
x 逆为正“+”
m
o α
m n
x
顺为负“－”
2.2 研究方法
平面假设
变形均匀
理论分析
应力沿截面均匀分布 方向与杆轴平行
p
FN A
2.3 公式推导
当 45 时，切应力最大。即轴向拉压杆中的最大切应力发生在与
杆轴成45°的斜截面上，其值为 max
0 2
。
当 90 时（β斜面与α斜面垂直），则有
0
2
sin 2
02Biblioteka sin(1802 )
0
2
sin 2
切应力互等定理：杆件中任一点处的任意两个相互垂直的斜面上，垂直于两截 面交线的切应力数值相等，符号相反，方向均指向或离开该两面交线。
应力的概念
应力的概念
应力—内力在截面上的分布密集程度
F1
ΔF
F3 ΔA
K
平均应力
pav
F A
6-11拉压杆的应力计算
30KN
20KN
B 1
C 2
三、杆件截面上的应力
1. 应力的概念
内力在截面上的分布集度。
如右图。微面△Ａ上的内力之和为△F, 则 △Ａ上的平均应力为：
P1 P2
△F △A
令△A→0，即可得极限值p, 称为截面上某一点的总应力：
应力单位: 1MPa=1N/mm2 或1MPa=106Pa, 1GPa=109Pa
2. 应力的概念
内力在截面上的分布集度。
P1
t
p
通常将总应力p分解为与截面垂直
的法向分量σ和与截面相切的切向
s
应力分量τ。
P2
法向分量称为正应力，切向分量 称为切应力。
问题的提出
一、横截面上的正应力 1.实验观察—平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍 然保持为平面且仍垂直于轴线。
演示
变形规律试验及平面假设：
变形前
a
b
c
d
受载后
F
a´
b´
F
c´
d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
正应力：横截面上应力的方向垂直于横截面，称为“正应
力”并以“s ”表示：
正应力
s FN
A
说明
式中s 为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，A为横截
面面积。
当轴力为正时，s 为拉应力取正号；当轴力为负时，s 为压应
设想拉（压）杆由纵向纤维组成，根据平面假设， 拉（压）杆所有纵向纤维的伸长（缩短）是相同的。 从而推得，拉（压）杆横截面上只有正应力，且各 点的正应力相等，即横截面上正应力均匀分布。
正应力σ和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。 若杆轴力、截面沿轴线缓慢变化，横截面上的正应力 为x的函数。
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
杆件的应力与强度
第3章杆件的应力与强度判断1、“轴向拉压杆件任意斜截面上的内力作用线一定与杆件的轴线重合”2、“拉杆内只存在均匀分布的正应力，不存在剪应力。
”3、“杆件在轴向拉压时最大正应力发生在横截面上”4、“杆件在轴向拉压时最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上”5、“材料的延伸率与试件的尺寸有关。
“6、“没有明显的屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2％应变时的应力作为屈服极限。
“7、“构件失效时的极限应力是材料的强度极限。
”8、“对平衡构件，无论应力是否超过弹性极限，剪应力互等定理均成立。
”9、“直杆扭转变形时，横截面的最大剪应力在距截面形心最远处。
”10、“塑性材料圆轴扭转时的失效形式为沿横截面断裂”11、“对于受扭的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上”12、”圆轴受扭时，横截面的最大剪应力发生在距截面形心最远处。
”13、“圆轴受扭时，轴内各点均处于纯剪切状态“14、”薄壁圆管与空心圆管的扭转剪应力计算公式完全一样。
”15、”圆轴的扭转变形实际上是剪切变形。
”16、”圆轴扭转时，根据剪应力互等定理，其纵截面上也存在剪应力。
”17、“剪应力互等定理只适用于纯剪状态”18、“传动轴的转速越高，则其横截面的直径应越大”19、“受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料、横截面的大小以及横截面的形状无关”20、“普通碳钢扭转屈服极限τs=120MPa，剪变模量G=80GPa，则由剪切虎克定律τ=Gγ得到剪应变为γ=1.5×10-3rad”21、“一等直圆杆，当受到扭转时，杆内沿轴线方向会产生拉应变。
”22、“低碳钢圆柱试件受扭时，沿450螺旋面断裂。
”23、“铸铁圆柱试件受扭时，沿横截面断裂”24、“弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。
”25、“梁的截面如图，其抗弯截面系数为W Z＝BH2/6-bh2/6”26、“控制弯曲强度的主要因素是最大弯矩值”27、“设梁某段承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纤维分别是伸长的和缩短的”28、“中性轴是梁的中性层与横截面的交线。
工程力学_张光伟_第4章-轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
2.轴向拉压时的变形 轴向拉压时的变形 y 由广义胡克定律： 由广义胡克定律： σ σ σ x FN ） εx = = , ε y = ε z = −νε x （11.3） E EA x z 变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化 P l 杆件的纵向伸长量
FN dx ∆l = ∫ d (∆l ) = ∫ ε x dx = ∫ EA l l l
P
AB段变形： AB段变形： 段变形
FN1l1 Pl1 4 ×103 ×102 ∆l1 = = (伸长) = = 0.0024mm EA EA 3 π 210×10 × ×102 4
例题
例 题 1
P
2P
l1
P
A
BC段轴力: BC段轴力: FN 2 = − P 段轴力
B l2
C
d
P
( FN )
P
FN 2l2 − Pl2 BC段变形 段变形： BC段变形：∆l2 = = (实际缩短) = −0.0024mm EA EA
σα = τα = σ
2 + 2
τα
cos 2α = σ cos 2 α
σα
α FN σ=
A
FN 当α=0时， σ α ,max = σ α ,α =0 = σ = 时 A σ FN 当α=45º时， τ α ,max = τ α ,α = 45° = = 时 2 2A
2
sin 2α = σ sin α cos α
4. 铸铁压缩曲线 特点：断口沿 斜面 特点：断口沿45º斜面 特征点：压缩强度极限σ 远高于σ 特征点：压缩强度极限σbc 远高于σbt
低碳钢、铸铁拉伸、 低碳钢、铸铁拉伸、压缩曲线的比较
5. 轴向拉压破坏现象分析 观察拉、压破坏试件的断口方向： 观察、压破坏试件的断口方向： 拉伸 低碳钢 与轴线成45º斜面 与轴线成 斜面 剪断！ 剪断！ 与轴线垂直 与轴线成45º斜面 与轴线成 斜面 压缩
第四章轴向拉压杆的应力及变形
注：用截面法求轴力时，无论保留哪部分，都统一先假定截 面内力为拉力！
Examples
Given:AD element is loaded as Fig. To find: the axial force at any cross section in the AD element. Solution: (1) 求AB段的内力
4.1.2 材料力学的任务
材料力学是研究构件的强度、刚度和稳定性的科学。
1、强度是指构件在荷载作用下，抵抗破坏的能力。 2、刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力，也即变形 或位移不超过工程允许范围的能力。 3、稳定性是指构件保持其原有平衡状态的能力，也即其平 衡形式不发生突然转变的能力。
美 国 纽 约 马 尔 克 大 桥 坍 塌
∑X=0: -20+40-10+FN3=0 FN3 = -10kN (compressive force)
So FNCD=FN3= -10kN (compressive force)
Axial force diagram轴力图
表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线——轴力图
FN/kN
o
20kN A FN/kN 40kN B 10kN C
材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。这样的 材料称为各向同性材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。 若存在两个垂直方向有不同的力学性能的材料称为 正交各向异性材料。
3) 小变形假设Small deformations theory 假设受力构件相对于其原始尺寸非常微小，变形 后尺寸改变的影响可以忽略不计。
So FNBC=FN2= -20kN （compressive force）
20kN A
轴向拉压杆件横截面上的应力
轴向拉压杆件横截面上的应力在工程设计和材料力学中，轴向拉压杆件是一种经常使用的结构元件，其横截面上的应力分布是一个重要的研究内容。
在此，将介绍轴向拉压杆件横截面上的应力分布，并给出相关参考内容。
轴向拉压杆件是指受到拉力或压力作用的杆件，其横截面形状可以是圆形、方形、矩形、椭圆形等。
在讨论轴向拉压杆件横截面上的应力分布时，我们假设该杆件是均匀材料、轴对称且受到等径向拉力或压力作用。
根据这些假设，我们可以得到以下结论。
首先，对于圆形横截面的轴向拉压杆件，应力沿着截面的半径方向是均匀的。
这意味着，在横截面上的任何一点，杆件的应力大小是相同的，只是方向不同。
具体而言，在拉力作用下，横截面上的应力大小为σ = F/A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在压力作用下，横截面上的应力大小为σ = -F/A。
其次，对于矩形或方形横截面的轴向拉压杆件，其应力分布是非均匀的。
在拉力作用下，杆件的边缘处应力最大，中心处应力最小。
具体而言，在矩形或方形横截面的边缘处，应力计算公式为σ = F/2A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在中心处，应力计算公式为σ = F/A。
此外，对于椭圆形横截面的轴向拉压杆件，其应力分布也是非均匀的。
在拉力作用下，杆件的长轴方向应力最大，短轴方向应力最小。
具体而言，在椭圆形横截面的长轴方向，应力计算公式为σ = F/2A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在短轴方向，应力计算公式为σ = F/A。
综上所述，轴向拉压杆件横截面上的应力分布与杆件的形状密切相关。
在实际工程中，根据结构的要求，可以选择合适的截面形状来平衡应力分布，以提高杆件的强度和稳定性。
参考文献：1. 程训文等著. 材料力学. 北京：清华大学出版社，2016年2. 韩良辉等著. 结构力学. 北京：中国建筑工业出版社，2019年3. 林万善等著. 实用结构力学基础. 北京：中国水利水电出版社，2014年4. Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T. Mechanics of Materials. New York: McGraw-Hill Education, 2017.5. Popov, Egor P. Engineering Mechanics of Solids. Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2015.。
(土建施工)轴向拉(压)杆横截面上应力
轴向拉〔压〕杆横截面上应力
一、教学内容
知识目标：横截面上的应力计算、斜截面应力极值
能力目标：利用公式计算指定截面上的应力
二、教学重难点
重点：计算横截面上的应力
难点：计算斜截面上的应力
三、教学方法
采用线上线下混合式教学法、小组讨论法、启发式讲授法等方法。
四、教学实施
课前：通过云课堂APP进行公布课前任务：观看粉笔被拉断的截面形式
课中：
1.创设情境法：粉笔被拉断，引出应力的概念。
2.启发式讲授法讲解轴向拉压变形横截面上应力公式推导。
〔1〕动画观看轴向拉伸变形外表横向线纵向线变革。
〔2〕平面假设、单向受力假设；〔3〕启发式讲授横截面上应力分布规律及正应力公式求解过程。
3.经典例题讲授如何求解任意横截面上任意点的正应力。
课后：完成练习册习题。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务部署。
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建筑工程学院 莫振宝
复习提问
1、截面法的步骤？ ①截开：在需求内力的截面处，沿该截面假 想地把构件切开选取其中一部分为研究对象。
② 显示：将弃去部分对研究对象的作用，以 截面上的未知内力（正方向）来代替。
③平衡：根据研究对象的平衡条件，建立平衡 方程，以确定未知内力的大小和方向。
2、轴力的符号规定？ 相对于截面拉力为正，压力为负。
作业：
1、有一低碳钢杆件受三力如图，
F1=30KN, F2=10KN, F3=20KN,求杆
件各截面处的内力。
F1
A
F2 •B C F3
2、试求图中所示各杆件横截面1-1、2-2、3-3上 的轴力。F1=50KN，F2=40KN，F3=30KN。
A
正应力正负的规定与轴力相同，以拉为正，以压为负。
例1 已知A1=2000mm2，A2=1000mm2，求图示杆各段横截面
上的正应力。
A1 A2 60kN 20kN
AB
CD
解：
A1 A2 60kN 20kN
A B CD
轴力图
20kN ⊕
－○
40kN
AB
FN AB A1
40103 2000
20MPa
Ⅲ 30kN
FN3 30 0
FN3
Ⅲ
FN3 30kN
练习 画图示杆的轴力图。 3kN 2kN 2kN A B CD
3kN ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
一、横截面的正应力
拉压杆的应力及强度条件
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
FN
⑵等轴力杆（FN=常数）：
max
FN Am in
⑶变截面变轴力杆：分别计算各危险截面的应力，取其
最大者进行强度校核。
⒉ 确定截面尺寸
A
FN
⒊ 确定容许荷载
首先确定容许轴力
FN A
再根据轴力与荷载的平衡关系计算容许荷载。
各截面的的轴力的图象称为轴力图。 轴力图的画法步骤如下： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点；
⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力；画受力图 时，截面轴力一定按正的规定来画。
⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧， 并在图上表出数值和正负号。
60kN
轴力图
60kN 60kN
例1 画图示杆的轴力图。
Ⅰ
Ⅱ
80kN
Ⅲ
第一段:
50kN 30kN
Fx 0
FN1 60 0
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
60kN
FN1 60kN
⊕
30kN
⊕
第二段: Fx 0
Ⅰ
○－
20kN
FN2 60 80 0
FN1
FN2 20kN
Ⅰ
Ⅱ
80kN
FN2
第三段: Fx 0
Ⅱ
大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的容许应 Nhomakorabea力。
max
FN A
其中[]为材料的容许应力，其值为
u
n
其中u 为材料破坏时的应力，称为极限应力，由实验测得；
n 为安全系数。
根据强度条件可进行下述三种工程计算。
⒈ 强度校核
max
FN A
⑴等截面杆（A=常数）：
max
FN max A
拉压杆的内力 · 轴力与轴力图
杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。
拉伸 F
F
压缩 F
F
一、拉压杆的内力——轴力
m
F
F
m
F
FN
Fx 0; FN P 0, N P
拉压杆横截面的内力沿杆的轴线，故称为轴力。
轴力以拉为正，以压为负。
二、轴力图 一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压杆
BC
FN BC A2
40103 1000
40MPa
CD
FN CD A2
20 103 1000
20MPa
二、应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面 上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力 大得多，这种现象称为应力集中。
P
P
P
P
P
三、拉压杆的强度条件
拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最