第六章 流体运动微分方程讲解
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第6章 流体流动微分方程分析
连续性方程反映流动过程遵循质 量守恒这一事实。对于流场中的微元 体，质量守恒原理可以类似于控制体 仿照式（4-9）表述为
输出微元体 输入微元体 微元体内的 的质量流量 的质量流量 质量变化率 0
（6-1）
为了获得（6-1）的数学 表达式—连续性方程，不妨 对图６-１所示的微元体进行
分析。该微元体取自流场中
图6－2
对于以ｒ为径向坐标、θ为周向坐标、ｚ为轴向坐标 的柱坐标体系见图6－2（a），其连续性方程为
t
1 r
r
(
r
r
)
1 r
的任意点Ａ，微元体在x、y、 z方向的边长分别为dx、dy、 dz，其六个面两两相互平行 且分别垂直于x、y、z。流体 在Ａ点的密度为ρ，速度为ν， 其x、y、z方向的分量分别 为 νx、 νy、 ν。z 一般而言， 速度ν和密度ρ均为坐标x、y、 z和时间ｔ的函数。
已知，流体穿越某一表面时的质量流量等于质量通量
与表面积的乘积，而质量通量则为流体密度与流体在该表
面上的法向速度的乘积，因此考察微元体上的输入与输出，
首先要确定微元面上的法向速度。如图６-１所示,对于在
流场中任意点Ａ所取的微元体，因为与Ａ点相邻的三个微
元面上的流体或流动参数反映的是Ａ点的参数，所以在这
三个微元面上，流体密度均为ρ（Ａ点密度），且每一个 面上流体的三个速度分量都为 νx、 ν（y、Ａνz点速度）。 其中，对于dydx微元面，因其与ｘ轴垂直，该微元面上的
由连续性方程(6-6)可知，对于不可压 缩流体沿ｘ方向的一维流动，νy νz 0 ，
其连续性方程就是 νx/x 0 。这正是第
５章中分析不可压缩流体一维流动时曾经用 到的条件。
6.1.2 柱坐标和球坐标系中的连续性方程
输出微元体 输入微元体 微元体内的 的质量流量 的质量流量 质量变化率 0
（6-1）
为了获得（6-1）的数学 表达式—连续性方程，不妨 对图６-１所示的微元体进行
分析。该微元体取自流场中
图6－2
对于以ｒ为径向坐标、θ为周向坐标、ｚ为轴向坐标 的柱坐标体系见图6－2（a），其连续性方程为
t
1 r
r
(
r
r
)
1 r
的任意点Ａ，微元体在x、y、 z方向的边长分别为dx、dy、 dz，其六个面两两相互平行 且分别垂直于x、y、z。流体 在Ａ点的密度为ρ，速度为ν， 其x、y、z方向的分量分别 为 νx、 νy、 ν。z 一般而言， 速度ν和密度ρ均为坐标x、y、 z和时间ｔ的函数。
已知，流体穿越某一表面时的质量流量等于质量通量
与表面积的乘积，而质量通量则为流体密度与流体在该表
面上的法向速度的乘积，因此考察微元体上的输入与输出，
首先要确定微元面上的法向速度。如图６-１所示,对于在
流场中任意点Ａ所取的微元体，因为与Ａ点相邻的三个微
元面上的流体或流动参数反映的是Ａ点的参数，所以在这
三个微元面上，流体密度均为ρ（Ａ点密度），且每一个 面上流体的三个速度分量都为 νx、 ν（y、Ａνz点速度）。 其中，对于dydx微元面，因其与ｘ轴垂直，该微元面上的
由连续性方程(6-6)可知，对于不可压 缩流体沿ｘ方向的一维流动，νy νz 0 ，
其连续性方程就是 νx/x 0 。这正是第
５章中分析不可压缩流体一维流动时曾经用 到的条件。
6.1.2 柱坐标和球坐标系中的连续性方程
第六节 流体流动的微分方程
( ρu z ) ( ρu z ) ρu z + z dz dxdy ρu z dxdy = z dxdydz
控制体内任意时刻的流体质量为 ρdxdydz ,因此累积速 率为: ρ
θ dxdydz
由此可得连续方程如下:
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) ρ + + + =0 x y z θ
向量形式为 :
ρ + ( ρu ) = 0 θ
某些情况下,连续性方程可以得到简化.例如稳态流 动时, ρ θ = 0 有:
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) + + =0 x y z
对于不可压缩流体, ρ =常数,此时无论是稳态流 动还是非稳态流动,连续性方程均简化为
ρ
u x u y u z + + =0 x y z
3.运动方程 . 简化得运动方程的最终形式为:
Du x 2u x 2u x 2u x p u x u y u z )+ ( ) = ρX + ( + + + + ρ 2 2 2 Dθ x 3 u y p u x u y u z ρ = ρY + ( + + )+ ( + + ) 2 2 2 Dθ y 3 y x y z x y z Du y
�
【学习指导】 学习指导】
1.学习目的 . 通过本知识点的学习,应了解分析流体流动问题的 两种方法,随体导数及体积形变速率的基本概念;掌 握连续性方程推导的方法;了解运动方程推导过程中 的一些基本思路和概念. 2.本知识点的重点 . 随体导数的概念和连续性方程的推导. 3.本知识点的难点 . 本知识点无难点. 作业:P133 第20题
控制体内任意时刻的流体质量为 ρdxdydz ,因此累积速 率为: ρ
θ dxdydz
由此可得连续方程如下:
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) ρ + + + =0 x y z θ
向量形式为 :
ρ + ( ρu ) = 0 θ
某些情况下,连续性方程可以得到简化.例如稳态流 动时, ρ θ = 0 有:
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) + + =0 x y z
对于不可压缩流体, ρ =常数,此时无论是稳态流 动还是非稳态流动,连续性方程均简化为
ρ
u x u y u z + + =0 x y z
3.运动方程 . 简化得运动方程的最终形式为:
Du x 2u x 2u x 2u x p u x u y u z )+ ( ) = ρX + ( + + + + ρ 2 2 2 Dθ x 3 u y p u x u y u z ρ = ρY + ( + + )+ ( + + ) 2 2 2 Dθ y 3 y x y z x y z Du y
�
【学习指导】 学习指导】
1.学习目的 . 通过本知识点的学习,应了解分析流体流动问题的 两种方法,随体导数及体积形变速率的基本概念;掌 握连续性方程推导的方法;了解运动方程推导过程中 的一些基本思路和概念. 2.本知识点的重点 . 随体导数的概念和连续性方程的推导. 3.本知识点的难点 . 本知识点无难点. 作业:P133 第20题
流体力学中的三大基本方程ppt课件
2 ：单位重量流体所具有的动能；
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
26
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
27
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
28
3.2 伯努利方程的应用
① 可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
② 以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
理想和实际流体
稳态及非稳态流动
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x y z 0
or div 0
x y z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
9
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
div() 0
⑷二维平面流动： x y 0
在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。
31
列1、2两点的伯努利方程
：
z1
p1 r1
12
2g
z2
p2 r2
22
2g
z1
z
，
2
1
0
2
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
26
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
27
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
28
3.2 伯努利方程的应用
① 可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
② 以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
理想和实际流体
稳态及非稳态流动
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x y z 0
or div 0
x y z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
9
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
div() 0
⑷二维平面流动： x y 0
在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。
31
列1、2两点的伯努利方程
：
z1
p1 r1
12
2g
z2
p2 r2
22
2g
z1
z
，
2
1
0
2
理想流体的运动微分方程
u y y
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
② μ和ρ随温度变化不大时，温度对流场(速度和压力)的影响很小，这
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
第六章 理想流体不可压缩流体的定常流动
厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，
与流线形状无关。
QAB
ABVndS
dx dy
AB x
y
B d
A
B A
§4 理想不可压缩流体的平面势流
三、速度势函数
1、速度势函数 存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
v u x y
w v y z
u v 0 x y
u v （连续性方程） x y
udy vdx 0 （流线方程）
根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件是 udy vdx 0 成
为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数 。
d dx dy vdx udy
x
y
u
y
v
x
§4 理想不可压缩流体的平面势流
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z4 z5 h z3 h
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g(z3
h)
p3
m gh
(e)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
V22 V12 ( m 1)gh
2
由连续性方程
V2
A1 A2
V1
由一维平均流动伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
(a)
移项可得
V22
V12 2
(gz1
p1
)
(
gz
2
p2 )
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
流体流动动微分方程
微元体表面 微元体表面
( vx v z ) ( v y vz ) ( vz 2) z方向动量 - z 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量
22
微元体表面 微元体表面
6-2.2 动量流量及动量变化率
微元体内的动量变化率：
微元内x方向 ( v x ) = dxdydz t 动量的变化率
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
引用随体导数的概念，可表示为另一种形式为：
D v x v y v z ( )0 Dt x y z
v 速度矢量
D / Dt
是密度
v
D ( v ) 0 Dt
7
6-1 连续性方程-直角坐标中的
输出微元体 输入微元体 ( v x ) ( v y ) ( vz ) [ ]dxdydz x y z 的质量流量 的质量流量 微元体内的 = dxdydz 质量变化率 t
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t ( v) 0 t
( vx 2 ) ( v y vx ) ( vz vx ) x方向动量 - x 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量 微元体表面 微元体表面
( vx v y ) ( v y 2 ) ( vz v y ) y方向动量 - y方向动量 =[ + ]dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量
xy
yx
dz dx yz
zx dz z xx xx dx
第六章理想流体不可压缩流体的定常流动
一、流体运动的基本方程回顾 动量方程： 粘性、不可压缩流体 N-S方程
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
A4流体的运动微分方程
（2）遵循的规律
牛顿第二定律
（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力 只有压应力，即动水压强。
p = p ( x，y，z，t )
（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。
基本思路:(1)取微元体 (4)得出结论
(2)受力分析 (3)导出关系
1.取微元体
在某一瞬时在运动无黏性流体中 取出棱边为dx，dy，dz的一微小 平行六面体。
2.受力分析
作用在流体上力：(1) 表面力；(2) 质量力 (1)表面力（以X方向为例） 包括压应力和剪应力 左表面 右表面
(2)质量力 X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的
质量为ρdxdydz ，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：
Xρdxdydz 、Yρdxdydz 、Zρdxdydz
（1）、切应力的特性：
yx
xy
( u y
x
ux ) y
式4-3
yz
zy
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
u x z
)
实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
（2）、压应力的特性和大小：
p ——平均压应力
px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
三、毕托管
测量点流速的仪器
原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。
图：
uA
h
A
h
uA
A
BA Z
V Z
图 4-17 皮托管测速原理
公式：
z
pB
g
u2 2g
流体运动微分方程
du du d 牛顿内摩擦定律 ，且 dy dy dt
d dt
流体为团运动时的角变形速度是纯剪切变形速度的两倍,顾有：
u y u x d 2 xy dt x y
则 xy yx
u y u x d ( ) dt x y
法向应力与线变形速度的关系
u x p xx p 2 x u y p yy p 2 y u z p zz p 2 z
d ux u 1 u x u x p u y u x u X [ ( ) ( ) ( x z )] dt x x x x y x y z z x
, p zz -p pzz
对于不可压缩均值流体，附加法向应力等于流体动力粘度与两倍的线变形速度 的乘积，即
u x p 2 xx 2 x u y , p yy 2 yy 2 y u z , p zz 2 zz 2 z
, xx
pxx pyy pzz
可以用任意一点三个相互垂直方 向上的 法向应力的平均值p的负 值作为黏性流体在该店的压强 黏性流体哥哥方向的法向应力等于 这个平均值加以个附加法向应力
1 p ( p xx p yy p zz ) 3
, p xx -p pxx
p yy -p p,yy
因此，切应力方向分量与角变形速度的关系
xy zy xz
粘性流体运动时存在切应力，所以法向 应力的大小与其作用面的方向有关，三个 相互垂直的法向应力大小一般不相等，即
u x u y yx ( ) 2 xy y x u y u yz ( z ) 2 zy y z u u zx ( x z ) 2 xz z x
第6章-流体流动微分方程-例题
0 0 0
θ:
2 v ∂v v v ∂vθ ∂v ⎡ ∂ ⎛1 ∂ 1 1 ∂p ⎞ 1 ∂ vθ 2 ∂vr ⎤ + ν ⎢ ⎜ （rvθ） + + vr θ + θ θ + r θ = fθ − + ⎟ 2 ρ r ∂θ r r ∂θ r
∂r ⎝ r ∂r ∂t ∂r ∂θ 2 r 2 ∂θ ⎥ ⎠ ⎣ ⎦
工程流体力学——第六章 流体流动微分方程——例题
CH6-5
r:
2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ ∂vr ∂v v ∂v v 2 1 ∂p ⎞ 1 ∂ vr 2 ∂vθ ⎤ + vr r + θ r − θ = f r − + − 2 + ν ⎢ ⎜ （rvr） ⎥ ⎟ 2 2 r r ∂ r ∂θ ⎦ θ r N ρ ∂r ∂t ∂ ∂r ⎝ r ∂r ⎠ r ∂θ ⎣
∂vz dv =μ z ∂r dr
由此可知：(a)不可压缩一维稳态层流每点各方向正应力=-p，因此分析 相应问题时微元体表面正应力可直接以压力标注；(b)管内流体既有沿 z 方向 的切应力，同时也伴随有 r 方向的切应力。 ⑤ 因 ∂p*/ ∂z = ∂p / ∂z =const 且 vz =vz (r ) ，故 z 方向运动方程为常微分方程， 其边界条件为 vz r = R = 0 、 (dvz /dr ) r =0 = 0 ；积分运动方程并以 −Δp /L 替代 ∂p / ∂z 可得 速度分布，进而得到切应力分布，其结果为：
CH6-7
对于内筒转动外筒固定的情况， 由于离心 力与压差力均指向外壁， 两者都促使流体向外 层运动， 故流体沿切向的层流流动难以保持稳 定。该条件下，雷诺数定义及过渡雷诺数分别 为：
第6章-流体流动微分方程-讲义分析
不可压缩流体的连续性方程： const D Dt 0，
v 0 or vx vy vz 0 x y z
物理意义: (v) 是流体体积变形速率，v=0表示不可压缩流体运动过程 中，不管其形状怎样变化，其体积不会改变。因此，只要是不可压缩流 体，无论稳态流动还是非稳态流动，其连续性方程都一样。
(vx ) (vy ) (vz ) 0 or ( v) 0
x
y
z t
t
其展开形式为：
t
vx
x
vy
y
vz
z
vx x
vy y
vz z
0
工 6 流体流动微分方程
程
Sichuan University
流 6.1 连续性方程 —— 6.1.1直角坐标系中的连续性方程(续)
yz y
zz z
dxdydz
工 6 流体流动微分方程
程
Sichuan University
流 6.2 运动微分方程的建立 —— 6.2.2 动量流量及动量变化率
体 力 学
微元体净输出的x、y、z方向的动量流量：
微元面上 x 方向的动量通量：如图
vyvx
(vyvx y
)
dy
其中箭头方向仅表示输入输出方向。
流体流动连续性方程：微元质量守恒分析连续性方程 运动微分方程的建立：微元受力与动量分析应力形式的运动方程 粘性流体的运动方程：流体本构方程及讨论运动微分方程(N-S方程) 流动微分方程的应用：N-S方程应用概述与举例
对流传热N-S方程 (Boussinesq Equation of Motion) 湍流时均化N-S方程(雷诺方程)
v
v
y
x
第六章 粘性流体动力学基础(Y)
x轴方向受到的表面压力： 轴方向受到的表面压力： 轴方向受到的表面压力
∂p dx ∂p dx ∂p p − ⋅ dydz − p + ⋅ dydz = − dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x
流体微团所受到的质量力为： 流体微团所受到的质量力为：
→
f = fx i + f y j+ fz k
（1）通过对欧拉运动微分方程进行积分 通过对欧拉运动微分方程进行积分 ——推导恒定元流的伯努利方程 推导恒定元流的伯努利方程 推导 ①定常流动； 定常流动； ②沿流线积分； 沿流线积分； ③质量力只有重力； 质量力只有重力； ④不可压流体。 不可压流体。
粘性流体的运动微分方程： 粘性流体的运动微分方程：
粘性流体的运动方程 粘性流体的能量方程 流体运动的两种流态及其能量损失 流体运动的两种流态及其能量损失
主要内容
均匀流的沿程水头损失 圆管中的层流运动 明渠中的层流运动 紊流基本理论 圆管紊流运动中沿程阻力系数的确定 局部阻力系数的确定
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力 又有法向压应力。 粘性切应力， 粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。 µ≠0 理想流体：理想流体可忽略粘性 粘性。 无粘性切应力，只有法向压应力。 理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。 µ =0
∂uy ∂uy ∂ux ∂ux ∂ux ∂uz ∂uz 右边 = ux + uy + uz + uy − uy + uz −uz ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂x ∂x
2 2 2 ∂ux ∂uy ∂ ux ∂ uy ∂ uz ∂u ∂u + uz x − z = + + + uy − ∂y ∂x ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂z ∂x
粘性流体流动的微分方程-PPT
ux
dx
d
、u y
dy
d
、uz
dz
d
ux、uy、uz 为流体流速在三个坐标轴得分量。
此时,上述方程即可表明流体密度为位置、
时间及流体速度u得函数。此种随流体运动
得导数称为“随体导数”或“真实导数”,
或称拉格朗日(Lagrangian)导数,记为
D
D
ux
x
uy
y
uz
z
(3－7)
随体导数中得物理量可以为标量如(压力、
(3－16)
－方位角
u、u、ur 为球坐标系方向上得速度分量。
第二节 运动方程
通过微分质量衡算,导出了连续性方程。同 样,微分动量衡算可以导出流体得运动方程。 两者结合便可解决许多流体运动问题。这 两方程就是三传得基础方程。
1 运动方程得推导
流体运动所遵循得牛顿第二定律可表述为: 流体得动量随时间得变化率等于作用在该 流体上得诸外力得向量和。
(1)稳态流动得连续性方程
由于就是稳态流动,密度不随时间而变,即
0
,方程(3－1)可简化为:
(ux) (uy ) (uz ) 0
x
y
z
(3－14)
上式适用于可压缩和不可压缩流体。
(2)不可压缩流体得连续性方程 由于此时ρ为常数,故(3－1)式可简化为:
ux uy uz 0 x y z
体质点得运动,由一点移动到另一点时该量
所发生得变化,称为“对流导数”。
上式表明:当流体质点在dθ时间内,由空间 得一点(x,y,z)移动到另一点(x＋dx,y＋ dy,z＋dz)时,流体密度对时间得变化率。
连续性方程用随体导数形式表达为:
ux uy uz 1 D 0 x y z D
流体运动的基本概念及方程
4 流体运动的基本概念及方程【3－1】已知平面流动的速度分布为，试计算点（0，1）处的加速度。
【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。
将，，代入，得所以有：在点（0，1）处，，算得，【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程：（1），（2），（3），【解】:（1），，（2）（3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。
当然，使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂。
，【3－3】已知平面流场的速度分布为，，试求t＝1时经过坐标原点的流线方程。
【解】对于固定时刻t o，流线的微分方程为积分得这就是时刻t o的流线方程的一般形式。
根据题意，t o＝1时，x＝0，y＝0，因此C＝2【3－4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。
已知油的密度为ρ＝800kg/m3，水银密度为ρ’＝13600 kg/m3，水银压差计的读数Δh＝60mm，求该点的流速u。
【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线1－0。
这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。
流体沿这条流线运动时，速度是发生变化的。
在管口上游远处，流速为u。
当流体靠近管口时，流速逐渐变小，在管口处的点0，速度变为0，压强为p o，流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至u。
综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为u，压强为p，在点0，速度为0，压强为p o，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是由此可见，只要测出压差为p o－p，就可以求出速度u。
不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。
由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式，因此，式中，ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。
将已知数据代入计算，Δh的单位应该是用m表示，Δh＝0.06m，得速度为u＝4.3391m/s。
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ρvy
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
v y v x 0 x y
由已知条件得
vy=y2-y-x
v x 2 y 1 0 x
积分得
vx (1 2 y) x f ( y)
11
根据边界条件x=0时vx=0代入上式得
0 (1 2 y) 0 f ( y)
故有 f ( y ) 0 所以
vx (1 2 y) x x 2 xy
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dvx ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
则有
B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
vx x y z
2 2
3
v y ( xy yz zx )
求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时， vz=2y。
z 答案： v z zx 2y 2
2
15
6.2不可压缩粘性流体运动微分方程
在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平 行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法
向应力和切向应力如图所示。
16
y z
әσyy әyx σyy+ әy dy yx+ әy dy әyz σzz zx әxy yz+ әy dy xy+ әx dx әσxx xz әzy fy zy σxx+ әx dx σxx zy+ әz dz fx әxz f z xy xz+ әx dx әzx dy zx+ әz dz yz dz әσzz σzz+ әz dz yx σ yy x dx
19
——以应力表示的运动方程
将切应力和法向应力的关系式
vx v y xy ( ) y x vz v y yz ( ) y z vx vz zx ( ) z x
vx xx p 2 x v y yy p 2 y vz zz p 2 z
2
流体流动微分方程包括:
连续性方程
运动方程
连续性方程是流动流体质量守恒的数学描
述。运动方程则是流动流体动量守恒的数学 描述。二者都是基于流Байду номын сангаас中的点建立的微分 方程。
3
6.1 连续性方程 连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。 现取微元体如图。
z
( v z ) v z dz z ρv
6 流体流动微分方程
基本内容：
掌握连续性方程及其推导 熟悉Navier-Stokes方程 了解Euler方程
1
控制体分析
最大优点在于对定常流动，当已知控制面 上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和 平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详 细情况，给一些工程问题的求解带来方便。
缺点是不能得到控制体内各处流动的细节， 而这对深入研究流体运动是非常重要的。 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。
18
化简后得
Dvx 1 xx yx zx fx ( ) x y z Dt
同理得
Dvy 1 yy zy xy fy ( ) y z x Dt 1 zz xz yz Dvz fz ( ) z x y Dt
vx v y vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为
vy y y x
2
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
10
解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于 未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。 7
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
v y v x 0 x y
由已知条件得
vy=y2-y-x
v x 2 y 1 0 x
积分得
vx (1 2 y) x f ( y)
11
根据边界条件x=0时vx=0代入上式得
0 (1 2 y) 0 f ( y)
故有 f ( y ) 0 所以
vx (1 2 y) x x 2 xy
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dvx ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
则有
B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
vx x y z
2 2
3
v y ( xy yz zx )
求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时， vz=2y。
z 答案： v z zx 2y 2
2
15
6.2不可压缩粘性流体运动微分方程
在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平 行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法
向应力和切向应力如图所示。
16
y z
әσyy әyx σyy+ әy dy yx+ әy dy әyz σzz zx әxy yz+ әy dy xy+ әx dx әσxx xz әzy fy zy σxx+ әx dx σxx zy+ әz dz fx әxz f z xy xz+ әx dx әzx dy zx+ әz dz yz dz әσzz σzz+ әz dz yx σ yy x dx
19
——以应力表示的运动方程
将切应力和法向应力的关系式
vx v y xy ( ) y x vz v y yz ( ) y z vx vz zx ( ) z x
vx xx p 2 x v y yy p 2 y vz zz p 2 z
2
流体流动微分方程包括:
连续性方程
运动方程
连续性方程是流动流体质量守恒的数学描
述。运动方程则是流动流体动量守恒的数学 描述。二者都是基于流Байду номын сангаас中的点建立的微分 方程。
3
6.1 连续性方程 连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。 现取微元体如图。
z
( v z ) v z dz z ρv
6 流体流动微分方程
基本内容：
掌握连续性方程及其推导 熟悉Navier-Stokes方程 了解Euler方程
1
控制体分析
最大优点在于对定常流动，当已知控制面 上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和 平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详 细情况，给一些工程问题的求解带来方便。
缺点是不能得到控制体内各处流动的细节， 而这对深入研究流体运动是非常重要的。 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。
18
化简后得
Dvx 1 xx yx zx fx ( ) x y z Dt
同理得
Dvy 1 yy zy xy fy ( ) y z x Dt 1 zz xz yz Dvz fz ( ) z x y Dt
vx v y vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为
vy y y x
2
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
10
解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于 未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。 7
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为