数学思维拓展第20讲《位置趣谈》答案-5.9

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二年级数学思维秋季班方法讲义(十二套全)

二年级数学思维秋季班方法讲义：第一讲《比谁眼力好》方法点播：小朋友，如果给你一组图形，其中有一个图形与其他图形的特征不一样，你能很快辨认出来吗？或者先画了几幅图，要你接着画下去你会画吗？这就要比谁的眼力好了。

我们可以从图形的形状、位置、大小、方向等方面观察、比较。

要学会这种本领，小朋友一定要认真观察，根据前后几个图形的排列，找出变化的规律，才能推算出下面该画什么图形。

【典型例题】【例1】下面一组图中，有一个是不同的，你能找出它吗？练习1：（1）下面一组图，其中有一个是不同的，你能找出来吗？（2）你能把与其他不同的找出来吗？【例2】根据规律接着画。

练习2:（1）按顺序仔细观察图，第三幅“？”处该怎么填？（2）按顺序仔细观察，在“？”处填图。

【例3】在方框里填上适当的字母。

练习3：（1）按规律在空格里画上图形。

（2）接着画。

【例4】请你根据前三个图形的变化规律，画出第四个图形来。

练习4：（1）接下去该怎样画？（2）仔细观察图，在第四幅中应画什么图形？第十幅图应画什么图形？【例5】接着应该怎样画？请画在空格里。

练习5:（1）仔细观察，第四幅图应画什么图形？（2）仔细观察，想一想第三幅图应该怎样填？【课后巩固】1、找出与其他图形不同的那组图。

2、接着画。

3、在空格里填上适当的图形。

4、请你根据前三个图形的变化规律，画出第四个图形来。

5、想一想，第四幅图该怎么填？★家长签字：二年级数学思维秋季班方法讲义：第二讲《按规律填数》方法点播：我们经常会看到按一定规律排列起来的一列数，如果要接在一列数后面再写几个数，就要仔细观察这列数中已经出现的几个数之间有什么规律，找准了规律，就能按规律接下去填数了。

按规律填数不是很容易就填对的，要运用数的顺序和加、减、乘、除法的知识，通过仔细观察，根据同组数排列的顺序和前后、上下之间的相互关系，才能找出数与数间的排列规律。

【典型例题】【例1】按规律填数。

(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ), ( ), 15, 17(2) 1, 2, 4, 8，( )练习1：（1）20, 18, 16, 14, ( ), ( ), 8, 6, 4 （2）1, 7, 13, 19, ( ), ( ), 37, 43 (3) 40, 35, 30, 25, ( ), ( ), 10, 5(4) 16, 8, 4, 2, ( )【例2】仔细观察，找规律填数。

二年级举一反三第24讲-位置趣谈

二年级举一反三第24讲-位置趣谈6个5个第24讲位置趣谈【专题简析】同学们排队，以某一个人为标准来数人数，知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第几，这类问题就是排队问题，排队问题的关键是要找出重复部分再解答。

在排队问题中，中间这一个人既不能漏掉，也不能重复，如：小玲从队伍的右边数起是第4个，从左边数起是第8个，这里小玲重复数了两次，所以在计算总人数时一定要把重复的人数去掉。

【例题1】小明排队唱歌，他站的这一排，从左向右数，他是第5个，从右向左数，他是第6个，问这一排共有多少人？思路导航：如图：从左边数起，小明是第5个，他被数了一遍；从右边数起，小明是第6个，他又被数了一次，这样小明共被数了两次，多数了一次，所以算一共有多少人时，应从5+6=11（人）中去掉1人。

解：5+6=11（人） 11-1=10（人）答：这一排共有10人练习11.小朋友排队照相，小力坐在第一排。

从左往右数，他坐第4个，从右往左数，他坐第8个。

第一排一共坐了多少个小朋友?2.有一排不同颜色的彩灯，无论从左往右数，还是从右往左数，第9盏都是同一盏红灯，这一排共有多少盏彩灯？25人20人人5B A 3.一群小动物排一排，从左往右数，第4只是兔子，从右往左数第3只是小鹿，小鹿在兔子前3个，这群小动物共有几只？【例题2】光明小学二（2）班参加课外活动，要求每人至少报1项，最多报2项，有20人报合唱组，有25人报数学兴趣小组，其中有5人报2项，二（2）班一共有多少学生？思路导航：图中A 圈表示参加合唱组的人数，B 圈表示参加数学兴趣组的人数。

两圈重叠的部分（即阴影部分），表示两项都参加的人数，从图中可以看出，两项都参加的5人被算了2次，重复了。

所以要从两组共有的人数中减去重复的5人。

解：20+25-5=40（名）答：二（2）班一共有40名学生。

练习21.二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）班共有多少人？2.张老师出了两道思考题给二（5）班同学做，做对第一题的有38人，做对第二题的有22人，两题都做对的有15人，没有全做错的同学，求二（5）班共有学生多少人？3.有两块木板，一块长24分米，另一块长18分米，把两块木板重叠一部分后钉成一块长36分米的木板，重叠部分长多少分米？【例题3】二（1）班同学排成6列做操，每列人数同样多，小明站在第一列，从前面数，从后面数他都是第5个。

第2讲位置讲义-五年级上册数学讲义(思维导图+知识梳理+ 例题精讲+易错专练)人教版(含答案)

第2讲位置（思维导图+学问梳理+典型精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：用数对表示具体情境中物体的位置。

1、列和行的意义：竖排为列，横排为行；2、确定列和行的方法：确定列数从左往右数，确定行数从前往后数；3、用数对表示物体的位置：先数列数，再数行数，把两个数写在括号里，用逗号隔开，表示为（列数，行数）。

三、典型精讲考点一：用数对表示物体位置【典型一】（2020春•高邑县期中）如图，一个正方形的四个顶点分别是A、B、C、D，假如A点的位置是（1，1），B点的位置是（5，1），C点的位置是（5，5），那么D点的位置是（）A．（5，1）B．（1，5）C．（5，0）D．（0，5）【分析】依据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，其次个数字表示行，A点的位置是（1，1），可得点A在第1列第1行，C点的位置是（5，5），可得点C在第5列第5行，所以点D在第1列第5行，那么D点的位置是（1，5），据此得解．【解答】依据分析可知：D点的位置是（1，5）．故选：B．【典型二】我会确定位置。

（1）民生学校所在位置用数对表示为（8，5），请在图中方格里标出来。

（2）李刚同学家在（2，3），每天上学先向北面走2格，再向东面走6格就到学校了。

【分析】（1）依据数对的表示位置的方法，在图中标出民生学校的位置即可。

（2）依据地图上的方向和格数进行求解。

（答案不唯一）【解答】解：（1）（2）李刚同学家在（2，3），每天上学先向北面走2格，再向东面走6格就到学校了。

故答案为：北，2，东，6。

考点二：在方格纸上用数对确定物体位置【典型一】如图，假如有一个D点，顺次连接A、B、C、D、A能得到一个平行四边形．那么请你画出D点，并用数对表示．再按挨次连出这个平行四边形．【分析】依据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等，因此，点D与点A在同一行，由于点A在点B的左边一列，点D也在点C的左一列，即点D在第7列，第2行，依据依据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，其次个数字表示行数，即可用数对表示点D的位置．【解答】解：假如有一个D点，顺次连接A、B、C、D、A能得到一个平行四边形．那么请你画出D点，并用数对表示．再按挨次连出这个平行四边形（下图）：点D用数对表示是：（7，2）．【典型二】如图是绿苑动物园平面图的一部分．①熊猫馆在大门的正北方向200米处．②假如用（9，1）表示大门的位置，请你用数对表示出其它景点的位置．熊猫馆（9，3）；鸟林（1，8）；虎园（5，5）；孔雀巢（2，4）；猴山（12，7）③请你在图中标出这两个景点的位置．海底世界（4，7）狮子馆在大门东400m处．【分析】（1）依据给出的方向标，明确上北、下南、左西、右东，推断方位，在正北方，1格表示100米，向北2格即200米；（2）依据供应的数对，明确数对的表示方法即：先写列，再写行；进而得出；（3）依据给出的条件，画图即可；【解答】解：①熊猫馆在大门的正北方向200米处．②熊猫馆（9.3）；鸟林（1，8）；虎园（5，5）；孔雀巢（2，4）；猴山（12，7）．③如图，故答案为：正北，200，（9，3），（1，8），（5，5），（2，4），（12，7）．四、易错专练一、选择题（满分16分）1．王刚的座位用数对（3，5）表示，如图，他后面同学的座位用数对表示是（）。

人教版一年级数学上册第二单元《位置》知识点+图文解析+练习(有答案)

1.认识上、下同步练习一一．看图找位置。

（24分）（1）小明骑马，小明在马的（）面，马在小明的（）面。

（2）公路上，小轿车在大客车的（）面，大客车在小轿车的（）面。

（3）小猫在小兔的（）边，小狗在小兔的（）边。

二．填一填。

（24分）四．在描述正确的（）里画“√”，描述错误的（）里画“×”。

（20分）（1）狐狸家在小狗家的下面。

（）（2）小象家在小兔家的上面。

（）（3）小兔家在狐狸家的下面。

（）（4）小狗家在最上面，小象家在最下面。

（）五．画一画。

（7分）六．按要求排队。

（10分）请按顺序给他们排队。

六．点点、可可、敏敏、军军、华华、梅梅、茜茜、明明、亮亮。

一、填一填。

2、看图填上“左”、“右”。

3、（1）、小冬跑在最( )面。

（2）、小利跑在最( )面。

（3）、小冬在小青的( )面。

（4）、小青在小利的( )面。

（5）、小利的前面是( )和( )。

4、小朋友，我家在8号门的左边，请帮我找一找，应是第( )号门。

5、（1）小狗跑在最( )面，小象跑在最( )面。

（2）小象跑在小牛的( )面，小狗跑在小兔的( )面。

（3）小兔跑第( )，它的后面还有( )个，前面还有( )个。

二、看图填上“上”、“下”。

三、想一想，每幅图画的是左手还是右手，把答案填在括号里。

左手的号码是( )，右手的号码是( )四、看一看，说一说。

1、小鸭在小猫的( )面。

猴在小鸡的( )面。

2、羽毛球拍和羽毛球在皮球的( )面。

3、小狗在第二层的最( )面。

4、任选其中一个小动物或一个物品说说它的位置。

【思维拓展】数学一年级思维拓展之方位练习(附答案)

数学一年级思维拓展之方位一、填空题1．完成下面的方位图。

（1）我会填。

（2）利用上面的方位知识，把小朋友送回家。

2、说明各场所的方位（1）．街心公园在________的北面，在________的南面，在________的西面．（2）．百货商店在________的东面，在________的北面，在________的西面．3．在()里填上适当的方位词。

(1)小松鼠住在小兔的（____）面;小猫住在小兔的（____）面。

(2)小熊住在小兔的（____）面;小狗住在小兔的（____）面。

(3)小兔住在小熊的（____）面,住在小松鼠的（____）面。

(4)小鹿住在小猫的（____）面,住在小熊的（____）面。

4．（1）的（____）方向（2）的（____）方向（3）的（____）方向5.西瓜在苹果的（_____）方向，樱桃在桃子的（_____）方向。

苹果在香蕉的（_____）方向，菠萝在苹果的（_____）方向。

葡萄的东面是（_____）和（_____），草莓的东北方向是（_____）。

6．看图填空。

(1)图书馆在小华家的（____）方向，医院在小华家的（____）方向。

(2)学校在小华家的（____）方向，健身中心在小华家的（____）方向。

(3)小华家在健身中心的（____）方向，健身中心在医院的（____）方向。

二、解答题7．根据图，写出方位．（1）红十字医院在人民政协的；（2）太和中学在人民政协的；（3）跨世纪广场在人民政协的；8．你能根据方位提示标出娱乐设施的名称吗？（1）最南面是游艺馆，它的北面是摩天轮，摩天轮的东北面是水果城堡．（2）摩天轮的东南面是娃娃跳，东面是摸鱼池，西面是组合滑梯．参考答案1．【解答】（1）（2）2．【解答】（1）少年宫百货商店小刚家（2）体育馆街心公园学校（此题答案不唯一）图上的方向是上北下南、左西右东；先判断以哪个位置为中心，再根据图上的位置确定方向。

3．【解答】西东北东北南东西南南4．【解答】西南东北东南5．【解答】东北西南西北西北草莓香蕉橘子6．【解答】西南东南东北西北东南西北7．【解答】（1）红十字医院在人民政协的北面；（2）太和中学在人民政协的东面；（3）跨世纪广场在人民政协的东南面；8．【解答】依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及题干中给出的信息，即可在图上标出每个娱乐设施的位置．解：每个娱乐设施的位置如下图所示：．。

【小学二年级奥数讲义】位置趣谈

【小学二年级奥数讲义】位置趣谈【专题简析】同学们排队，以某一个人为标准来数人数，知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第几，这类问题就是排队问题，排队问题的关键是要找出重复部分再解答。

在排队问题中，中间这一个人既不能漏掉，也不能重复，如：小玲从队伍的右边数起是第4 个，从左边数起是第8 个，这里小玲重复数了两次，所以在计算总人数时一定要把重复的人数去掉。

【例题 1】小明排队唱歌，他站的这一排，从左向右数，他是第 5 个，从右向左数，他是第 6 个，问这一排共有多少人？思路导航：5个如图：6个从左边数起，小明是第 5 个，他被数了一遍；从右边数起，小明是第 6 个，他又被数了一次，这样小明共被数了两次，多数了一次，所以算一共有多少人时，应从 5+6=11（人）中去掉 1 人。

解： 5+6=11（人）11-1=10（人）答：这一排共有 10 人练习 11.小朋友排队照相，小力坐在第一排。

从左往右数，他坐第 4 个，从右往左数，他坐第8 个。

第一排一共坐了多少个小朋友?2.有一排不同颜色的彩灯，无论从左往右数，还是从右往左数，第9 盏都是同一盏红灯，这一排共有多少盏彩灯？3.一群小动物排一排，从左往右数，第 4 只是兔子，从右往左数第 3 只是小鹿，小鹿在兔子前 3 个，这群小动物共有几只？【例题 2】光明小学二（ 2）班参加课外活动，要求每人至少报 1 项，最多报 2 项，有 20 人报合唱组，有25 人报数学兴趣小组，其中有 5 人报 2 项，二（ 2）班一共有多少学生？思路导航：图中 A 圈表示参加合唱组的人数， B 圈表示参加数学兴趣组的人数。

两圈重叠的部分（即阴影部分），表示两项都参加的人数，从图中可以看出，两项都参加的 5 人被算了 2 次，重复了。

所以要从两组共有的人数中减去重复的 5 人。

解： 20+25-5=40（名）答：二（ 2）班一共有 40 名学生。

A 5B20人人 25人练习 21.二（ 2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38 人，订《中国儿童报》的有30 人，其中 8 人这两种都订，问二（2）班共有多少人？2.张老师出了两道思考题给二（5）班同学做，做对第一题的有 38 人，做对第二题的有 22 人，两题都做对的有 15 人，没有全做错的同学，求二（ 5）班共有学生多少人？3.有两块木板，一块长24 分米，另一块长18 分米，把两块木板重叠一部分后钉成一块长36分米的木板，重叠部分长多少分米？二（1）班同学排成 6 列做操，每列人数同样多，小明站在第一列，从前面数，从后面数他都是第 5 个。

小学一年级数学思维拓展数学举一反三习题详解(“位置”)1-2【打印练习】

小学一年级数学思维拓展举一反三解答
2. 4； 2； 1。
3. （1）上，下；（2）右，左；（3）左。
8
Байду номын сангаас
小学一年级数学思维拓展举一反三（2）题目
小学一年级数学思维拓展举一反三解答
6. (1) 前；后； (2) 后；前；
(3) 2； 2； 1。
9
9
小学一年级数学思维拓展举一反三（2）题目
3
3
小学一年级数学思维拓展举一反三（2）题目
例 2-3：
练习 2-3
小学一年级数学思维拓展举一反三解答
解体思路：小朋友们知道，在赛跑中谁先跑到终点，谁就是第一名，第一名后面一个
便是第二名，以此类推，第三名、第四名、第五名……从图中可以看出，小兔离终点线最近，所以，它是第一名，小狗是第二名，第三名是小松鼠，第四名是小牛，第五名是大象。从它们的位置来看，小兔跑在小狗的前面，小牛的后面是大象。
2. (1) 右，4，下，2；下，2，右，4。 (2) 上，4，左，1；左，1，上，4。
6
6
小学一年级数学思维拓展举一反三（2）题目
例 2-5
练习 2-5
解题思路：
小学一年级数学思维拓展举一反三解答
7
7
小学一年级数学思维拓展举一反三（2）题目
“位置”综合练习
8
1. (1) 左；右； (2) 右； (3) 右。
小学一年级数学思维拓展举一反三解答
9. 9 个小朋友排成一队，从前往后数，玲玲排在第 6，从后往前数，她排在第几呢?
10
10
1.前;后;前，后;小兔，松鼠。
4
4
小学一年级数学思维拓展举一反三（2）题目

七级数学思维探究多边形的边与角(含答案)

泰勒斯（公元前624-前547），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称．他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳．”25．多边形的边与角解读课标大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n 边形，又称多边形．边、角、对角线是多边形中最基本的概念．多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．多边形的内角和性质反映出一定的规律性：()2180n -⨯︒随n 的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360︒的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧．问题解决例1 如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中．例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题．例3 凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570︒，求n 的值．试一试设除去的角为x ︒，可建立关于x ，n 的不定方程；又0180x ︒<<︒，又可得到关于n 的不等式，故有两种解题途径，注意n 为自然数的隐含条件．例4 如图，四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ．证明：180BAD EAF ∠+∠=︒．试一试从四边形AECF 内角和入手． n 角星例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠度数．（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠度数．（3）如图③，用“一笔画”方法画成的21n +角形()2n ≥，且12221n n B B B B +是凸21n +边形，求123221n n A A A A A +∠+∠+∠++∠+∠度数．DGHABC EFDABCEF分析从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示．解（1）180︒ （2）540︒（3）12221n n A A A A +∠+∠++∠+∠=（21n +个三角形1121n A B B +，221A B B ，332A B B ，…，2221n n n A B B -，21212n n n A B B ++的内角总和减去多边形12221n n B B B B +外角和的2倍）()()21180360223180n n =+⨯︒-︒⨯=-⨯︒．完全多边形把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有6个点，每两点之间都有一条线，称为完全六边形．一个完全n 边形共有()12n n -条连线．例6 证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识．分析与解借助图表示这一抽象的思想．用点1A ，2A ，…，6A 代表6个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．考虑1A 与5条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有3条同色，不妨设12A A ，13A A ，14A A 同为红色；若23A A ，34A A ，42A A 中有红边，则有红色()12,4i j A A A i j △≤≤；若23A A ，34A A ，42A A 无红边，则234A A A △为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．数学冲浪知识技能广场图①DAB CE图②D GHMN A BC EFIJ K LB 2n B 2n +1B 2B 3B 4B 5B 1B 9B 8B 7B 6A 2A 3A 4A 5A 1A 2nA 9A 87A 6A 2n +1图③A 2A 3A 4A 11．如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCDE 的4个外角，若120A ∠=︒，则1234∠+∠+∠+∠=_______．2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的度数为_______．3．如图，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_____________．4．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为___________．5．将五边形纸片ABCDE 按如图所示的方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在'E 、'D '上，已知76AFC ∠=︒，则'CFD ∠等于（）． A ．31︒ B ．28︒ C ．24︒ D ．22︒DABCE 1234A H GA'图①图②1234567图①图②6．如图，已知正五边形ABCDE 中，12∠=∠，34∠=∠，则x =（）． A ．30︒ B ．45︒ C ．40︒ D ．36︒7．一个凸多边形的每一内角都等于140︒，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）． A ．9条 B ．8条 C ．7条 D ．6条8．一个凸n 边形，除一个内角外，其余1n -个内角的和是2400︒，则n 的值是（）． A ．15 B ．16 C ．17 D ．不能确定9．如图，已知DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ∠=︒，求B ∠的度数．10．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，AE 、CF 分别平分BAD ∠和BCD ∠．求证：AE CF ∥．思维方法天地 11．从凸n 边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n 边形的内角和为________．12．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是3060︒，则原多边形是_________边形．13．如图，设120CGE ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．DBCEFE'1234x A BED ABCEDABCE14．如图，A B C D E F G H I K ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________．15．如图，A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数等于（）． A ．360︒ B ．450︒ C ．540︒ D ．720︒16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002︒，则这个多边形的边数为（）． A ．12 B ．12或13 C ．14 D ．14或1517．有一个边长为4m 的正六边形客厅，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）． A ．216块 B ．288块 C ．384块 D ．512块18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转()0180αα︒︒<︒<︒，被称为一次操作，若5次操作后发现赛车回到出发点，则α︒角为（）． A ．720︒ B ．108︒或144︒ C ．144︒ D ．720︒或144︒19．如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知A B C D E F ∠+∠+∠=∠+∠+∠成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．20．已知凸四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图①，若DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明；（2）如图②，若BF 、DE 分别平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明．GBCEFαDGHA BCEFIKGMN ABCEFDABCEF应用探究乐园 21．（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；（2）如图②，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？ 22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图①，若AB CD ∥，点P 在AB ，CD 外部，则有B BOD ∠=∠，又因为BOD ∠是POD △的外角，故BOD BPD D ∠=∠+∠，得BPD B D ∠=∠-∠．将点P 移到AB ，CD 内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD ∠，B ∠，D ∠之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）如图②中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图③，则BPD ∠，B ∠，D ∠，BQD ∠之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论，求图④中A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．微探究平面镶嵌DABCEF 图①F E CBAD图②图①图②图③DOPA BC图①DPABC图②DPQ AB C图③ABCEF图④平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360︒，镶嵌图案有下列多种方式：1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌；2．用同一种正多边形进行镶嵌；3．用几种正多边形组合镶嵌．对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有11种．如图：例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为x、y、z，则111x y z++的值为________．试一试从建立x、y、z的等式入手．例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）．A．2种B．3种C．4种D．5种试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，则6090360m n+=，即2312m n+=，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式．例3 问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y -⨯+⋅=，整理得：238x y +=，我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：_________________________________________ 结论2：_________________________________________ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案．问题拓展请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_____________________________________ 验证3：_____________________________________ 结论3：_____________________________________ 拼图的背后例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？分析要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．解设可以拼成凸n 边形，n 边形的内角只可能是60︒，90︒，120︒，150︒．并设其个数分别为x ，y ，z ，w （x ，y ，z ，w 为大于等于零的整数）．则()60901201502180x y z w n x y z w n +++=⎧⎪⎨+++=-⨯⎪⎩①② 由②得2345612x y z w n +++=- ③ ①6⨯-③得43212x y z w +++= ④43212n x y z w x y z w =++++++=∴≤．由此可见，拼得的多边形最大边数为12．下面我们分情况一一探讨．（1）当2n =时，由1243212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得320x y z ++=，()(),,,0,0,0,12x y z w =∴．这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为150︒，如图①．O（2），当11n =时，由1143212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得321x y z ++=，()(),,,0,0,1,10x y z w =∴．这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为120︒，其余各内角均为150︒，如图②．（3）当10n =时，由1043212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得322x y z ++=，()(),,,0,0,2,8x y z w =∴．这说明可以拼成十边形，且这十边形中有2个内角为120︒，有8个内角为150︒，如图③．（4）当9n =时，由943212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得323x y z ++=，()(),,,0,0,3,6x y z w =∴．这说明可以拼成九边形，且这九边形中有3个内角为120︒，有6个内角为150︒，如图④．同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．练一练1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．图①十二边形()图②十一边形()图③十边形()图④九边形()图⑤八边形()图⑥七边形()图⑦六边形()图⑧五边形()2．花团锦簇有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺10圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺n 圈，则共需砖_______块．3．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）．A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种4．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n 边形地板砖铺满，则n 等于（）． A ．4 B ．6 C ．8 D ．105．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360 ）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格；A…（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．微探究三角形三边关系三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础．例1 不等边三角形ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_________．试一试设ABC △的面积为S 、第三条高的长为h ，则ABC △三边都可用S 的代数式表示，由三边关系建立关于h 的不等式组．例2 已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a b c <≤，如果7b =，则这样的三角形共有（）． A ．21个 B ．8个 C ．9个 D ．4个试一试 a 的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定c 的取值范围，列表枚举出所有的可能性．例3 如图，已知P 为ABC △内任一点．（1）AB BC CA ++与()2PA PB PC ++哪个大？证明你的结论；（2）AB BC CA ++与PA PB PC ++哪个大？证明你的结论．试一试对于（2），解题的关键是先证明：BP PC AB AC +<+， PA PC AB BC +<+，PA PB AC BC +<+．例4 现有长为150cm 的铁丝，要截成()2n n >小段，每段的长为不小于1cm 的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段？试一试因n 段之和为定值150cm ，故欲n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列．整边三角形例5 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记(),,a b c 为三边分别为a ，b ，c 且a b c ≤≤的一个三角形．（1）试尽可能多地写出满足题意的(),,a b c ；（2）你能否提出一些进一步的问题？分析与解（1）由题意可知24a b c ++=，且a b ca b c +>⎧⎨⎩≤≤，由此得811c ≤≤，即8c =，9，10，11，故满足题意的(),,a b c 共有如下12组：():2,11,11A ；():3,10,11B ；():4,9,11C ；():5,8,11D ；():6,7,11E ；():4,10,10F ；():5,9,10G ；():6,8,10H ；():7,7,10I ；():6,9,9J ；():7,8,9K ；():8,8,8L ．（2）以下问题供参考：①将长度为()7n n ≥的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；②将长度为()4n n ≥的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？练一练1．现有3cm 、4cm 、7cm 、9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三PCBA角形的个数是________________．2．若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形是________三角形（按边分类）． 3．如图，加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧，A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，7m AB =，一个行人P 在马路MN 上行走．问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于_______米．4．将长度为25cm 的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a 、b 、c ，且满足a b c ≤≤，则(),,a b c 有________组解，所构成的三角形都是_______三角形．5．三角形的三边长为3，4，1x -，那么x 的取值范围是（）． A ．08x << B ．28x << C ．06x << D ．26x <<6．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（）． A ．55种 B ．45种 C ．40种 D ．30种7．7条长度均为整数的线段1a ，2a ，…，7a 满足177a a a <<<，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若11a =，721a =，则6a =（）． A ．18 B ．13 C ．8 D ．58．已知ABC △的两条高线的长分别为5、20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．89．在平面内，分别用3根，5根，6根，…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图．10．有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（单位：cm ）的细木棒各1根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？ 11．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？P NBA25．多边形的边与角问题解决例1 连BC ，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=四边形EFBC 的内角和360=︒．例2 C 设凸多边形的边数为n ，n 个内角中恰有三个是锐角，则其余3n -个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过3，即33n -≤，解得6n ≤．例3 设除去的角为x ︒，则()21802570n x -⨯=+，得2570360180x n ++=，130x =，17n =．例4 180EAF C ∠+∠=︒，又C BAD ∠=∠，故180BAD EAF ∠+∠=︒．数学冲浪1． 30 2．60︒ 3．540︒4．6 得到的正多边形的一个内角为3602120120︒-⨯︒=︒． 5．B 6．D 7．D 8．B 9．40B ∠=︒10．180DAB DCB ∠+∠=︒，90EAB FCB ∠+∠=︒，又90FCB CFB ∠+∠=︒，得EAB CFB ∠=∠，故AE CF ∥．11． 720︒ 12．十八边形，或十九边形或二十边形 13． 240︒ 14．1080︒ 连KF 15．C 16．D 设这个多边形为n 边形（n 为正整数），由()200221802002360n ︒<-⨯︒<︒+︒，得111113159090n <<，14n =或15． 17．C 18．D 19．可以证明CD AF ∥ 20．（1）DE BF ⊥；（2）DE BF ∥（证明略） 21．（1）12；（2）这个图形的边数是20（如图所示）；（3）得到的图形的边数是30．22．（1）不成立，结论是BPD B D ∠=∠+∠．（2）结论：BPD BQD B D ∠=∠+∠+∠．（3）360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒．平面镶嵌（微探究）例1 依题意有：222180180180360x y z x y z ---⨯+⨯+⨯=，化简得11112x y z ++=．例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共3种．例3 问题再现：3验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60120360a b +=．整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为22a b =⎧⎨=⎩和41a b =⎧⎨=⎩．结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：6090120360m n c ++=，整理得：23412m n c ++=，可以找到唯一一组适合方程的正整数解为121m n c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌．练一练1．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +⨯+⨯++-=+-．当26n =时，()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +->=，故最多能完整地铺满26组，还剩2005195154-=（块）瓷砖．2． 660；600；266n n + 3． B4． C 由()2180135n n-⨯=，得8n =．5．（1）108︒；120︒；()2180n n-⨯︒（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．假定在接合处一共有k 块正n 边形地砖．由于正n 边形的所有内角都相等，则()2180360n k n-⨯⋅=，即24222n k n n ==+--，因k 为整数，故2|4n -，21n -=，2，4，得3n =，4或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形．（3）如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么，m ，n 应是方程90135360m n ⋅︒+⋅︒=︒的整数解，即238m n +=的整数解．∵这个方程的整数解只有12m n =⎧⎨=⎩一组，∴符合条件的图形只有一种．三角形三边关系（微探究）例1 设长度为4和12的高分别是边a 、b 上的，边c 上的高为h ，ABC △的面积为S ，则24S a =，212Sb =，2Sc h=，由22222412412S S S S Sh -<<+，得36h <<，又h 为整数且ABC △为不等边三角形，故5h =．a b c +>，列表如下：例3 （1） +AB PA PB <，BC PB PC <+，AC PC PA <+，相加得：()2AB BC CA PA PB PC ++<++．（2）如图，延长BP 交AC 于D ．在ABD △中，AB AD BD BP PD +>=+①，在PDC △中，PD DC PC +>②，①+②，得AB AD PD DC BP PD PC +++>++即AB AC PB PC +>+，同理AB BC PA PC +>+，AC BC PA PB +>+．相加得:()()22AB AC BC PA PB PC ++>++，故AB AC BC PA PB PC ++>++．例4 这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…但1123455143150+++++=<，112345589232150++++++=>．故n 的最大值为10，共有以下7种方式：()1,1,2,3,5,8,13,21,34,62；()1,1,2,3,5,8,13,21,35,61；()1,1,2,3,5,8,13,21,36,60； ()1,1,2,3,5,8,13,21,37,59；()1,1,2,3,5,8,13,22,35,60； ()1,1,2,3,5,8,13,22,36,59；()1,1,2,3,5,8,14,22,36,58．练一练1．2 2．等腰3．7 PA PB AB -≤，当A 、B 、P 在一条直线上时，等号成立．4．2 等腰最长边介于周长的13和12之间，故最长边可取整数12、11、10、9，又三边长都是质数，则最长边为11，另两边的和为14．其中符合条件的有1111325++=，771125++=． 5．B 6．D7．B 只有当22a =，3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，64513a a a =+=时，7条线段中的任意三条都不能构成三角形．8．B 设第三条高线的长为h ，可得2043h <<．9．（1）不能搭成三角形（2）2，3，3能搭成一个等腰三角形；2，5，5；3，4，5；4，4，4各能搭成一个三角形，并且这个三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，图略．PDCBA11．不妨设a b c <<，则由30a b ca b c +=-⎧⎨+>⎩得1015c <<．因c 为整数，故11c =，12，13，14．当11c =时，10b =，9a =；当12c =时，11b =，7a =或10b =，8a =；当13c =时，12b =，5a =或11b =，6a =或10b =，7a =或9b =，8a =；当14c =时，13b =，3a =或12b =，4a =或11b =，5a =或10b =， 6a =或9b =，7a =．。

2023年5升6思维拓展：圆的综合-数学六年级上册人教版含答案

2023年5升6思维拓展：圆的综合-数学六年级上册一、选择题1有不少数学家都对圆周率做出过研究，中国数学家刘徽在注释《九章算术》(263年)时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。

虽然电子计算机的出现，使π值计算一直到小数点后5万亿位。

即使我们已经知道π是一个( )数，但在工程测量、数学解题过程中，大部分都取前两位数，就是π≈3.14，也产生了圆周率日(3月14日)。

A.无限小数B.有限小数C.循环小数D.较大数2把一张半径为8厘米的圆形纸片剪成两个半圆，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了( )厘米。

A.16B.32C.64D.03用一条长100cm的铁丝围成下面四种图形，面积最大的是( )。

A.圆B.正方形C.长方形D.三角形4在正方形内画一个最大的圆，圆与正方形的面积比为( )。

A.π∶4B.2∶πC.4∶π5一只挂钟的时针长1dm，从上午9时到下午3时，时针尖端所走的路程是( )dm。

A.1.57B.3.14C.6.28D.5.146观察下图的正方形、圆形、正六边形，下面的想法错误的是( )。

A.圆周长是正方形周长与正六边形周长和的一半B.正方形周长是圆直径的4倍C.圆周长比直径的3倍多，比圆的直径4倍少二、填空题7一个扇形的圆心角是90°，这个扇形的面积是它所在圆面积的。

8下面平行四边形是由1个正方形和2个等腰三角形拼成的，正方形的边长是10厘米。

图中圆的面积是()平方厘米，一个三角形的面积是()平方厘米。

9如图，阴影部分的面积可列式为()。

10下图中，线段AD的长度是70厘米，三个圆的直径之比是4∶1∶2，那么，这三个圆的周长之和是( )厘米。

11大圆的半径等于小圆的直径，大圆与小圆的面积之和是80平方厘米，那么大圆的面积是()平方厘米。

12如图，把一个圆平均分成若干份，再拼成一个近似的长方形。

这个长方形的长与宽的比是( )；如果这个长方形的长是9.42厘米，那么这个圆的面积是()平方厘米。

一年级数学上册《位置》+逻辑思维练习题各10道+答案,

1《位置》知识要点1、认识上、下体会上、下的含义：从两个物体的位置理解：上是指在高处的物体，下是指在低处的物体。

2、认识前、后体会前、后的含义：一般指面对的方向就是前，背对的方向就是后。

同一物体，相对于不同的参照物，前后位置关系也会发生变化。

从而得出：确定两个以上物体的前后位置关系时，要找准参照物，选择的参照物不同，相对的前后位置关系也会发生变化。

3、认识左、右以自己的左手、右手所在的位置为标准，确定左边和右边。

右手所在的一边为右边，左手所在的一边为左边。

要点提示：在确定左右时，除特殊要求，一般以观察者的左右为准。

认识位置的时候一定要找好参照物，这样孩子才能够直观体会。

我们要用实物给孩子做示范，让孩子更好理解。

上下：一般来说位置高的就是“上”，位置低的就是“下”。

我们可以告诉孩子天花板的灯是“上”，地板是“下”,这是孩子比较容易理解也好区分的“上下”。

我们还可以把两个物体重叠，引导孩子理解放在第一层的是“上”，放在底层的是“下”。

前后：一般来说我们面对的就是“前”，背对的就是“后”。

我们可以和孩子一起玩“前前后后”的游戏，最好是全家人一起玩。

其中一人喊口令，比如“妈妈站到爸爸前面”“爸爸站到茶几后面”，在游戏中让孩子理解前后的含义。

我们要让孩子知道参照物如果变了，“前后”也会发生变化。

比如爸爸妈妈和孩子站成一竖排，爸爸在妈妈前面，妈妈在爸爸后面，同时妈妈又是在孩子前面。

左右：左右早期的时候主要靠死记来区分。

让孩子牢牢记住自己的右手方向，这就是“右”。

如果孩子不是左撇子，就告诉孩子吃饭时拿筷子的那只手，写字时抓笔的那只手就是“右”，与这只手相反的方向就是“左“。

上下、前后、左右都是相反的位置和方向，一定要让孩子牢牢记住哦！1一年级数学上册《位置》练习题1、（1）小鸟在小狗的（）面。

（2）小狗在小老鼠的（）面。

（3）小老鼠在小狗的（）面。

2、小朋友，我家在8号门的左边，请帮我找一找，应是（）号门。

3、（1）小狗跑在最（）面，小象跑在最（）面。

高斯小学奥数六年级上册含答案第20讲计数综合提高下

第二十讲计数综合提高下一、上楼梯模型找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系二、几何图形分平面——增量分析考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点：1. 交点越多越好；2. 交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形）；3. 有几段则增加几部分（有直线要先画直线）．三、传球法1. 传球法是树形图的简化版本；2. 传球规则决定累加规则；（1）首先从传球者角度考虑传球方法；（2）其次从接球者角度考虑如何累加；3. 可以使用传球法的题型；（1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题；（2）环形染色问题．四、插板法用于求解“把m 个相同．．的球放到n 个不同．．的盒子中”这类问题． a) 注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的．b) 如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为11n m C --（把1n -个板插到1m -个空隙中）．c) 如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为11n m n C -+-（先借n 个球，然后按照每个盒子至少1个去放，最后再从每个盒子中拿出1个还回去）．d) 对其它情况，如：每个盒子至少2个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少2个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果．五、对应法解计数问题关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题．六、对于可以旋转或者可以翻转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形．这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还需要再固定一个．例1．满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如246、367是“红数”，但278就不是“红数”．请问：一共有多少个“红数”？「分析」大家还记得“传球法”吗？练习1、满足以下条件的四位数称为“N数”：它的个位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过2，例如3524是“N数”，但1234不是“N数”．一共有多少个“N数”？例2．（1）在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？（2）在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」本题可以采用递推计数法．练习2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？例3．一个长方形被分成7部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四Array种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？「分析」这道题目是否可以转化为一道环形染色问题呢？练习3、将如图的8部分用3种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻部分可以同色，那么共有多少种着色方法？例4．0、1、6、8、9颠倒过来后分别为0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7颠倒过来后不是一个数字，如果一个自然数颠倒过来看等于它本身，则称其为“混沌数”，如69、101、8118等，那么六位数中有多少个“混沌数”？「分析」大家先判断哪些数字可以出现在“混沌数”中．练习4、如果一个自然数反过来写等于它本身，则称其为“回文数”，如12321、22、232等都是“回文数”，那么六位数中有多少个“回文数”？例5．把一条均匀木棍五等分，然后用5种颜色给这5部分染色，要求相邻的部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法？（旋转或翻转后相同算同一种）「分析」大家可以先不考虑旋转或翻转的情况算出染法数，再减去反转后相同的染色情况．例6．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）「分析」大家可以采用固定一个面开始染色的方法进行分析．解析几何之父——笛卡尔勒内·笛卡尔（Rene Descartes，1596——1650），著名的法国哲学家、科学家和数学家．笛卡尔常作笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省，1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩）．他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张．他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学．物理学方面笛卡尔靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡献．自从1619年读了开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究．他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分．笛卡尔运用他的坐标几何学从事光学研究，在《屈光学》中第一次对折射定律提出了理论上的推证．笛卡尔发现了动量守恒原理．他还发展了宇宙演化论、漩涡说等理论学说，虽然具体理论有许多缺陷，但依然对以后的自然科学家产生了影响．他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、折射和全反射，从而首次在假定平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律．不过他的假定条件是错误的，他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论．他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜．在力学上，笛卡尔发展了伽利略的运动相对性的思想，例如在《哲学原理》一书中，举出在航行中的海船上海员怀表的表轮这一类生动的例子，用以说明运动与静止需要选择参照物的道理．笛卡尔在《哲学原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止．这里他强调了伽利略没有明确表述的惯性运动的直线性．在这一章中，他还第一次明确地提出了动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变．笛卡儿对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究，给后来惠更斯的成功创造了条件．天文学方面笛卡尔把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙发生与构造的学说．他认为，从发展的观点来看而不只是从已有的形态来观察，对事物更易于理解．他创立了漩涡说．他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转．物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元素，土形成行星，火则形成太阳和恒星．他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙物质漩涡对天体的压力，在各种大小不同的漩涡的中心必有某一天体，以这种假说来解释天体间的相互作用．笛卡尔的太阳起源的以太漩涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论．数学方面笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学．在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡尔致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学．他的这一成就为微积分的创立奠定了基础．解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一．此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a、b、c以及未知数x、y、z等，还有指数的表示方法．他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式．还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的．笛卡尔心形线：r=a(1－sinθ)用的就是直角坐标图（注：实际上是极坐标系）当θ=0°时，r=a(1－0)=a……A点当θ=90°时，r=a(1－1)=0 ……B点当θ=180°时，r=a(1－0)=a……C点当θ=270°时，r=a(1+1)=2a……D点把A、B、C、D四点用弧线连接起来，就是有名的心形线！个人名言：读杰出的书籍，有如和过去最杰出的人物促膝交谈．读一切好书，就是和许多高尚的人谈话．仅仅具备出色的智力是不够的，主要的问题是如何出色地使用它．世界之大，而能获得最公平分配的是常识．我思故我在．要以探求真理为毕生的事业．意志、悟性、想象力以及感觉上的一切作用，全由思维而来．越学习，越发现自己的无知．一个为情感所支配，行为便没有自主之权，而受命运的宰割．作业1.8个人围成一圈做游戏，共有多少种不同的方法？2.满足下面性质的三位数称为“黑数”：它的个位比十位小，十位比百位小，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如642、520是“黑数”，但872就不是“黑数”．一共有多少个“黑数”？3.一个五位数只由1、2、3、4组成，它的每相邻两位数字的差都是1，这样的五位数有多少个？4.如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成多少个部分？5.给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有8种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）第二十讲计数综合提高下例7．答案：45详解：按十位数字分类枚举，十位数字取2、8的红数各有3个，取3、7的红数各有6个，取4、5、6的红数各有9个，因而共有45个．方法二、也可用传球法：1+3+6+8+9+9+9=45种．例8．答案：（1）122；（2）68 详解：（1）；（2）先画直线，再画三角形和圆，．例9．答案：360 详解：先不考虑左下角那部分，其余6部分可看作5等分圆环染色问题．例10．答案：100详解：．例11．答案：680详解：在不考虑旋转和翻转的情况下共有种方法，其中包括翻转后和自己相同的，以及翻转后和自己不同的，考虑旋转和翻转时，前者被计1次，后者被计2次．前者共种，所以共有种不同的染法．例12．答案：详解：每次染色只会用到五种颜色中的四种，先选出四种颜色，有种方法．用所选出的四种颜色染正四面体，任何两种染色方式，总能通过适当的旋转使得两种染色方式的底面和某一个侧面颜色对应相同，其他两个面的颜色可能相同，也可能刚好是对换，因而本质上只有两种不同的染色方式．所以共有种不同的染色方式．45210C ⨯= 455C = 45210C ⨯=()454802680⨯+÷= 54480⨯⨯= 454⨯ 455100⨯⨯= 22814202268+++++= 2816243240122+++++=练习：练习1、答案：58简答：传球法：1+4+7+8+8+8+8+8+6=58种．练习2、答案：78简答：22814223078+++++=种．练习3、答案：258简答：假设三种颜色是红黄蓝，如果开始A 涂红色，如下图有86种着色方式，而A 有红黄蓝三种颜色涂色，所以有种．练习4、答案：900 简答：91010900⨯⨯=．863258⨯=作业6. 答案：5040简答：圆排列，共有种方法．7. 答案：54简答：百位是2、3、4、5、6、7、8、9时，分别有1、3、6、8、9、9、9、9，共54个黑数．8. 答案：26简答：传球法：588526+++=种．9. 答案：62简答：每增加一个五边形，可与已有的每一个五边形交出10个点进而把平面多分出10部分．共有部分．10. 答案：140简答：482140C ⨯=种染法．210203062+++=8!85040÷=。

二年级奥数(第23-24讲)《举一反三》位置趣谈

第23讲不会输的游戏【专题简析】小朋友都很喜欢做游戏，数学中也有很多游戏。

通过数学游戏，不仅能培养我们把实际问题数学化的能力，而且还能培养我们学习数学的兴趣。

在这些游戏中，想要使拿到最后一个者获胜，首先要决定谁先拿，如果把物品总数除以每次取物品个数的和，没有余数，就让对方先拿，自己拿的个数必须和对方拿的个数合起来是两人每次的和。

【例题1】桌上有21根火柴，小邱和小红轮流取，每人每次取1根或2根，谁取到最后一根谁就获胜。

小红该怎样取才能保证获胜？思路导航：因为每人每次只能拿1根或2根，所以只要小邱先拿，小红就一定能拿到第三根，即小邱拿1根，小红就拿2根，小邱拿2根，小红就拿1根，如此拿下去小红就能把3、6、9、12、15、18、21这些“制高点”掌握在手，从而获胜。

因此只要把火柴总数除以二人每次取火柴的和，如果没有余数，就让双方先拿。

解：小红让小邱先拿，并且每次自己拿的个数和小邱拿的根数合起来是3，则小红保证能获胜。

练习11.小明和小刚一起做游戏，他们把18粒棋子放在桌上，然后轮流拿，每人每次只能拿1粒或者2粒，谁拿到最后一粒谁就获胜，你能让小明保证获胜吗？2.桌上放着一堆火柴，共56根。

由甲乙两人轮流拿，每人每次拿1至3根，拿到最后一根的人获胜，问该怎样拿才能保证获胜？3.桌上有20颗彩珠，小丽和小兰轮流拿，每人每次只能拿1颗或2颗，谁拿到最后五颗，谁就获胜，小兰该怎样拿才能保证获胜呢？【例题2】甲、乙两名同学从1到30轮流连续报数，谁先报到30这个数，谁就获胜，规定：每人每次最多报三个数，最少一个数。

如甲报1，乙可报2或2，3或报2，3，4；接着甲可报乙报的数后面的1个数或2个数或3个数。

问：有没有必胜的报数策略？思路导航：要想必胜，就要抢到30。

要抢到30，只要捡到26，这时如果对方报27，你就报28，29，30；如果对方报27，28，你就报29，30；对方报27，28，29，你就报30。

同理，要抢到26，只要抢到22。

思维拓展数学一年级思维拓展之认识方位附答案.pdf

4、看图完成后面的问题。
北（1）医院在学校的( )方向；
（2）百货在学校( )方向；
（3）图书馆在学校的(
)方向；
（4）邮局在电影院的( )方向；
（5）体育馆在少年宫的( )方向；
5、根据描述，在中标出各个小动物家的位置。小兔家的东面是大象家；小猴家的南面是小兔家；小熊家在小猴家的东面；小松鼠家在小熊家的东面；小松鼠家的南面是小猫家；北面是山羊；小花狗家在山羊家的西面，小乌龟家在小猴家的北面。
)。

2、看图填一填。
北
猴
西门
水
乐
竹
1
（1）竹林在水池的（）面。（2）猴山的（）面是水池。（3）乐园在竹林的（）面，在水池的（）面。 3、填一填。（1）早上起来，太阳从( )边升起，傍晚，太阳从（）边落下。（2）早上起来，小红吃完早饭迎着太阳去上学，她家在学校的（）方，学校在小红家的（）方。（3）北极星是夜晚的指路灯，他永远高挂在天空的（）方。
5
4.【解答】（1）东南（2）西南（3）东（4）西（5）南 5.【解答】
北
小乌龟
小花狗
山羊
小猴
小熊
小松鼠
小兔
大象
小猫
6【解答】49 人 7.【解答】（1）优优家在超市（北）面，在书店（西）面（2）闹闹加在超市（东）面，在 KFC（东南）面（3）书店在 KFC（东北）面，超市在 KFC（西南）面 8【答案】D 9. 【答案】
一年级数学思维拓展之认识方位
1、看图填空。
体育馆
邮局
北电影院
少年宫
学校
银行
公园
超市
广场
从图中可以看出：

二年级奥数试题第24讲位置趣谈

第 24 讲位置趣谈【专题简析】同学们排队 ,以某一个人为标准来数人数 ,知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第几 , 这类问题就是排队问题 ,排队问题的关键是要找出重复局部再解答。

在排队问题中 ,中间这一个人既不能漏掉 ,也不能重复 ,如：小玲从队伍的右边数起是第 4 个,从左边数起是第 8 个,这里小玲重复数了两次 ,所以在计算总人数时一定要把重复的人数去掉。

【例题1】小明排队唱歌 ,他站的这一排 ,从左向右数 ,他是第 5 个,从右向左数 ,他是第 6 个 ,问这一排共有多少人？思路导航：5个如图：6个从左边数起 ,小明是第 5 个,他被数了一遍；从右边数起 ,小明是第 6 个,他又被数了一次 ,这样小明共被数了两次 ,多数了一次 ,所以算一共有多少人时 ,应从 5+6=11〔人〕中去掉 1 人。

解： 5+6=11〔人〕11-1=10〔人〕答：这一排共有10 人练习 11.小朋友排队照相 ,小力坐在第一排。

从左往右数 ,他坐第 4 个,从右往左数 ,他坐第 8 个。

第一排一共坐了多少个小朋友 ?2.有一排不同颜色的彩灯 ,无论从左往右数 ,还是从右往左数 ,第 9 盏都是同一盏红灯 ,这一排共有多少盏彩灯？3.一群小动物排一排 ,从左往右数 ,第 4 只是兔子 ,从右往左数第 3 只是小鹿 ,小鹿在兔子前 3 个,这群小动物共有几只？【例题 2】光明小学二〔2〕班参加课外活动 ,要求每人至少报 1 项,最多报 2 项,有 20 人报合唱组 ,有 25 人报数学兴趣小组 ,其中有 5 人报 2 项 ,二〔 2〕班一共有多少学生？思路导航：图中 A 圈表示参加合唱组的人数,B 圈表示参加数学兴趣组的人数。

两圈重叠的局部〔即阴影局部〕,表示两项都参加的人数,从图中可以看出 ,两项都参加的 5 人被算了 2 次 ,重复了。

所以要从两组A 5B 20人人 25人共有的人数中减去重复的 5 人。

解： 20+25-5=40〔名〕答：二〔 2〕班一共有 40 名学生。