曲线和方程二
高二数学双曲线的定义和标准方程2(201911新)
c2 a2 b2；
4、如果x2系数为正，那么焦点在x轴上；如果y2系数为 正，那么焦点在y轴上。
.P
.P
类 比
.
F1
. . F2 椭 圆 双曲 线 F1
.
F2
：
是研究平面上的动点P到两个定点F1,F2的距离问题
定
|PF1|+|PF2|=2a
||PF1|-|PF2||=2a
(a是正常数 且2a>|F1F2|) (a是正常数 且2a<|F1F2|)
若2a=|F1F2|轨迹：一线段 若2a=|F1F2|轨迹：两射线
义
若2a<|F1F2| 无轨迹
若2a>|F1F2| 无轨迹
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比
1、定义
平什面么内样与的两点个的定轨点迹是F1、双F曲2 的线距？离的差的绝对值 等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。
注： 可以利用[学习课件]中的“画双曲线” “ 画双曲线
（定义）” “阅读材料”这三个文件来学习。
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比
双曲线的定义与标准方程
轮船航行在茫茫大海上，到某一位置时，可以从 接收的电台声波，测出轮船与电台的距离。
如果能接收到3个不同地点同时发出的电台声波， 利用现代工具（定位仪）一瞬间就能确定自己的方位了， 你知道这是什是两个按钉，MF是一条拉链， 两边各取一点分别按在按钉上，笔尖随张开处点 M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条 曲线；再将拉链换一面，由于|MF2|-|MF1|是同一 常数，可以画出另一支。
高中数学第2章2.6曲线与方程2.6.3曲线的交点讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．6.3曲线的交点[对应学生用书P43]给出下列两组直线，回答问题． (1)l 1：x ＋2y ＝0，l 2：2x ＋4y －3＝0； (2)l 1：2x －y ＝0，l 2：3x ＋y －7＝0. 问题1：两组直线的位置关系． 提示：(1)平行；(2)相交．问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？ 提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定．第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系．问题3：如何求两曲线的交点坐标．提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标．已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0.(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax 2＋bx ＋c ＝0方程特征 交点个数位置关系 直线与椭圆a ≠0，Δ>0 2 相交 a ≠0，Δ＝0 1 相切 a ≠0，Δ<0 0 相离直线与双曲线a ＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行，两者相交a ≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离直线与抛物线a＝0 1直线与抛物线的对称轴平行，两者相交a≠0，Δ>0 2 相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离[对应学生用书P44]直线与圆锥曲线的位置关系[例1] 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有惟一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．[思路点拨] 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[精解详析] 将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－52或k＞52时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±12时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±52时，方程①只有一解．故当k＝±12或k＝±52时，l与C有惟一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，即－52＜k＜52，且k≠±12时，方程有两解，l与C有两个公共点．[一点通] 直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两个点； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相交于一个点； Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．1．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5<m <5时，Δ>0， 直线与椭圆相交；当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 直线与椭圆相切；当m <－5或m >5时，Δ<0， 直线与椭圆相离．2．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：(1)当k ＝0时，直线l 与x 轴平行，易知与抛物线只有一个交点．(2)当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)＋1，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，Δ＝16－4k ×4(2k ＋1)．①当Δ＝0，即k ＝－1或12时，直线l 与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；③当Δ<0，即k <－1或k >12时，直线l 与抛物线相离，没有公共点．综上：当k ＝－1或12或0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．直线被圆锥曲线截得的弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，求弦AB 的长．[思路点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A 、B 坐标间的联系，进行整体运算．[精解详析] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2.∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.则AB ＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝(0－53)2＋(－2－43)2＝1259＝553. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的公共解．对方程组消去y ，得3x 2－5x ＝0.则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB )＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)[(53)2－4×0]＝553.法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y ，得3x 2－5x ＝0，则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝53.由圆锥曲线的统一定义，得AF 1＝15×(5－x 1)，F 1B ＝15×(5－x 2)，则AB ＝AF 1＋F 1B ＝15×[10－(x 1＋x 2)]＝15×253＝553.[一点通] 弦长的求法：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解． (2)结合根与系数的关系，利用变形公式l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或 l ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解．(3)利用圆锥曲线的统一定义求解．3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________． 解析：由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 答案：164．直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1相交于两点A 、B ，则AB ＝________.解析：设直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 22－y 2＝1，得7x 2－24x ＋20＝0，∴x 1＋x 2＝247，x 1x 2＝207，∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·(247)2－4×207＝457. 答案：4575．如图，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．解：由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 又直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1消去x ，整理得25y 2－187 y －81＝0，∴y 1＋y 2＝18 725，y 1y 2＝－8125.∴|y 1－y 2|＝ (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫187252＋4×8125＝72225， ∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2 7×72 225＝721425.两曲线相交的综合问题[例3] 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．[思路点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y ，得关于x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．[精解详析] 法一：设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上面的方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1， 因为P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1， 解得k ＝－12，所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为P 为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 又因为A ，B 在椭圆上， 所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 所以所求直线的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.[一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时，“点差法”是最常用的方法．6．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1FA ＋1FB为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24也成立．(2)由抛物线的定义知，FA ＝x 1＋p 2，FB ＝x 2＋p2.1FA ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2＋p )＝2p (定值)．7．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA u u u r ＝512PB u u u r，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)．x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0＜a ＜2，且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e ＞62，且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA u u u r ＝512PB u u u r，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a21－a2，512x 22＝－2a21－a2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.由a ＞0，解得a ＝1713. 8．(陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．解： (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意得，O 1A ＝O 1M . 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝ x 2＋42， 又O 1A ＝ (x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝ x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)·x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去x 或y ，得出一个一元二次方程，通过研究判别式Δ的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察Δ的情况即可．若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况．这是特别要注意的问题．同时还要注意直线斜率不存在时的情形．[对应课时跟踪训练(十七)]1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是________． 解析：当y ＝0时，得x 2－3x －4＝0， 解得x 1＝4或x 2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)． 答案：(4,0)，(－1,0)2．曲线x 2＋y 2＝4与曲线x 2＋y 29＝1的交点个数为________． 解析：由数形结合可知两曲线有4个交点． 答案：43．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：由y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－2. 则Q 点坐标为(－2,0)． 设直线y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.若直线l 与y 2＝8x 有公共点， 则Δ＝(4k 2－8)2－16k 4≥0. 解得－1≤k ≤1. 答案：[－1,1]4．曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个不同的公共点，则实数m 的范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＝x 2－x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2－m ＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m )>0， ∴m >1.答案：(1，＋∞)5．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是 ________．解析：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P (4,2)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12. 即直线l 的斜率为－12.∴所求直线方程为x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为42，离心率为64. (1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与该椭圆交于M 、N 两点，MN 的中点为A (2，－1)，求直线l 的方程． 解：(1)由题意2a ＝42， ∴a ＝22，又e ＝c a ＝c 22＝64，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 25＝1.(2)∵点A 在椭圆内部，∴过A 点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －2)，它与椭圆的交点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 28＋y25＝1.消去y 得(8k 2＋5)x 2－16k (2k ＋1)x ＋8[(2k ＋1)2－5]＝0， ∴x 1＋x 2＝16k (2k ＋1)8k 2＋5， 又∵A (2，－1)为弦MN 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，即16k (2k ＋1)8k 2＋5＝4， ∴k ＝54，从而直线方程为5x －4y －14＝0.7．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M ，N 且满足OM u u u u r ⊥ON u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2＝4x .设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，22代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 的斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2. ①所以y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2. ② 由OM u u u u r ⊥ON u u u r ，即OM u u u u r ·ON u u u r＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. ③将①②代入③式得，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2.所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.8．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意得a ＋c ＝3，a －c ＝1， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得，(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， ∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 即3＋4k 2－m 2>0.∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2.y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，化简得 y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，即3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，化简得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾； 当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.。
第二章 2.1 曲线与方程
跟踪训练 4 对任意平面向量A→B＝(x，y)，把A→B绕其起点沿逆时针方向旋转 θ 角
得到向量A→P＝(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)，叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋
转 θ 角得到点 P.设平面内曲线 C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到的
二、曲线与方程的应用
例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在上述方程表示的曲线上；
解 ∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上.
√C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f (x，y)＝0
D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f (x，y)＝0，有些不适合f (x，y)＝0
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系： ①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方 程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两 坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
1.若命题“曲线C上点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”是真命题，则下列命 题为真命题的是 A.方程f (x，y)＝0所表示的曲线是曲线C
√B.方程f (x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C
C.f (x，y)＝0是曲线C的方程 D.以方程f (x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析 “曲线C上点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”，但以方程f (x，y)＝0 的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题.
圆锥曲线与二次曲线的方程与性质分析总结
离心率的计算公式：对于椭圆，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为长轴 半径；对于双曲线，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到双曲线中心的距离，a为实轴半径。
曲线的导数与切线斜率
圆锥曲线的导数表示切线的斜率 二次曲线的导数可以求出切线的斜率 导数的几何意义是曲线在某点的切线的斜率 导数在研究圆锥曲线和二次曲线的性质中具有重要作用
曲线的交点与公共点个数问题
公共点的个数也是解析性质 的一个重要方面
圆锥曲线与二次曲线的交点 个数取决于它们的方程和几 何性质
二次曲线在几何图形中的应用：二次曲线常用于描述平面几何中的一些形状和结构，例 如椭圆、抛物线、双曲线等。
圆锥曲线与二次曲线的组合应用：在一些复杂的几何图形中，可能需要同时利用圆锥曲 线和二次曲线的性质来解决相关问题。
实际应用中的注意事项：在利用圆锥曲线和二次曲线的性质解决实际问题时，需要注意 一些细节和限制条件，以确保结果的准确性和可靠性。
圆锥曲线与二次曲线的解析性 质
曲线的渐近线与水平截距
圆锥曲线的渐近线：根据圆锥曲线的标准方程，求出其渐近线的方程。 二次曲线的水平截距：根据二次曲的标准方程，求出其与x轴交点的横坐标。 曲线的渐近线与水平截距的关系：分析渐近线与水平截距在曲线性质中的作用和相互影响。 解析性质的应用：举例说明解析性质在解决实际问题中的应用。
解析性质决定了曲线在平面 上的位置关系和相互交点的
个数
解析性质对于研究圆锥曲线 与二次曲线的几何性质具有
重要意义
曲线的参数方程与极坐标方程
高二数学双曲线的定义和标准方程2
（ F1、F2 为定点， a 为常数)
两 种 图 形
标准方程
焦点坐标
x2 y 2 2 1a 0，b 0 2 a b
y 2 x2 2 1a 0，b 0 2 a b
F1 c， 0
F2 c， 0
F1 0， c F2 0，c
a, b, c
双曲线的定义与标准方程
轮船航行在茫茫大海上，到某一位置时，可以从 接收的电台声波，测出轮船与电台的距离。 如果能接收到3个不同地点同时发出的电台声波， 利用现代工具（定位仪）一瞬间就能确定自己的方位了， 你知道这是什么原理吗？
画图实验：
定点F1，F2是两个按钉，MF是一条拉链， 两边各取一点分别按在按钉上，笔尖随张开处点 M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条 曲线；再将拉链换一面，由于|MF2|-|MF1|是同一 常数，可以画出另一支。
b2 a 2 c2
标 准 方 程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y2 2 1(a b 0) 2 b a
b2 c 2 a 2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
c 2 a 2 b 2；
4、如果x2系数为正，那么焦点在x轴上；如果y2系数为 正，那么焦点在y轴上。
类 比 ： 定 义
焦 点 在x轴 焦 点 在y轴
.
.
P
F1
F2
.
Байду номын сангаас
椭圆
双曲 线
F1
. .
P
F2
.
是研究平面上的动点P到两个定点F1,F2的距离问题 ||PF1|-|PF2||=2a |PF1|+|PF2|=2a (a是正常数 且2a>|F1F2|) (a是正常数 且2a<|F1F2|) 若2a=|F1F2|轨迹：一线段 若2a=|F1F2|轨迹：两射线 若2a<|F1F2| 无轨迹 若2a>|F1F2| 无轨迹
双曲线及其标准方程课件2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2
1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC
o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解
双曲线定义与标准方程(二)
（2）2a >0 ；
2
问题4:定义中为什么这个常数要小于|F1F2|？ 如果不小于|F1F2 | ，轨迹是什么？
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
②若2a>2c,则轨迹是什么？
此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么？
显示曲线
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 7
思考 3: 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测 点的报告： 正西、 正北两个观测点同时听到了一声巨响， 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各 观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生 的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点 均在同一平面上)
同理,直线BM的斜率是 kBM y ( x 5) x 5 由已知有 y y 4 ( x 5) x 5 x 5 9
变题2：讨论方程 表示的曲线
y 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2 m m 1
Ax 2 By 2 C A, B, C都不为0
2
2
所
4
练习
x2 y2 1.k 3是方程 1表示双曲线的 _____ 条件. 3 k k 1 9 2.已知双曲线过点(3, 4 2)和( ,5), 则双曲线方程为 ____ . 4 2 2 2 2 x y x y 3.椭圆 2 1与双曲线 1有相同焦点, 则a=__. 4 a a 2 4.设动点M到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差为6, 则点P的轨迹方程为__________. 5.双曲线x 2 4 y 2 4的左右焦点分别为F1 , F2 , 过F1的直线交 右支于A,B两点,若 AB 5, 则 AF1 B的周长为 ______ .
2.1.2曲线和方程(二)
化简得:
y2=4(x-1)
这就是所求的轨迹方程.
5. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的
中线AD的长为3，求点A的轨迹方程. 解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线 为y轴，建立直角坐标系. 设A(x，y)，又D(0，0)，所以
2 2
| AD | x y 3
(1) x 2 y 2 4 (2) x 2 8 x 16 (3)( x 6)2 y 2 32
( x 3) 2 y 2 48 x 2 y 2 25
作业(选做题):1. 动点在圆 x 2 y 2 1 上移动时，它与 定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( ) 2 2 2 C2 (A) ( x 3) y 4 (B) ( x 3) y 1 3 2 1 2 2 2 (C) (2 x 3) 4 y 1 (D) ( x ) y 2 2 2.点 M ( x, y ) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8 的距离 1 的比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( ) D 2
x2 y2 (A) 1 4 3
2 2 x y (C) 1 16 12
2 2 x y (B) 1 8 7
(D) 3x 2 4 y 2 8x 60 =0
思考 : 如图 ,已知点 C 的坐标是 (2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点 ,求点 M 的 轨迹方程 . y
2 2 x ( y 2) y 2① 即
1 2 将①式移项平方化简得 y x 8
2.2双曲线及其方程(2)
例2、已知双曲线 x2 y2 1 上一点 P到 9 16
双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另一个焦点 的距离为 3或15 .
思考：
变式一、若把距离9改为3，则现在有几解？
变式二、若把距离9改为7，则现在有几解？
例3 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1， F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲 线的标准方程。
解：（± 2m 3 ，0）
练习
1、已知方程 x2 y2 1 9k k 3
(1)方程表示椭圆，则k的取值范围是3___k____9_且__k___6__
(2)方程表示双曲线，则k的取值范围是_k___3_或__k___9___
3.已知双曲线8kx2 ky2 8的一个焦点为（0,3），
则k的值为 ___________-_1____ ；
例1、如果方程 线，求m的范围
mx-21+2-ym2
=
1
表示双曲
解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
变1、方程表示焦点在x轴上的双曲线时，求m的范围
解： m-1 >0
2-m <0
∴m>2
变2、方程表示焦点在x轴上的椭圆时，求m的范围
解： m-1 > 2-m > 0 ∴1.5<m<2
变3、对1、2条件00 44400
(x 0)
定义 ||MF1|-|MF2||=2a（0<2a ＜ |F1F2|）
图像
y F1 o F2x
F2
o
x
F1
·
方程
x2 a2
-
y2 b2
=1
y2 a2
曲线与方程讲(二)求曲线方程教案
曲线和方程 (二)教学目标：（一）知识要求：根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.(二) 能力训练要求:1． 会由已知条件求一些简单的平面曲线的方程.2． 会判断曲线和方程的关系.（三）德育渗透目的:培养学生的数学修养，提高学生的分析问题、解决问题的能力.教学重点求曲线方程的“五步”思路.教学难点依据题目特点，建立恰当的坐标系，考察曲线的点与方程的坐标的对应关系的纯粹性与完备性.教学方法：导学法.启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线理论，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线视为点的集合或轨迹，用点(x,y)翻译约束条件，用方程f(x,y)=0表示曲线.教学过程知识回顾：方程的曲线和曲线的方程:⑴曲线上的点的坐标都是方程的解⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上;就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条曲线的方程.情境设置：由曲线的方程、方程的直线可知，借助直角坐标，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，那么我们就可通过研究方程的性质，间接地研究曲线的性质.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.在教学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.（二）讲授新课：1.例题分析:【例1】设A 、B 两点的坐标分别为(-1,-1)、(3,7)求线段AB 的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程？法一、运用现成的结论──直线方程的知识来求.法二:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法解：设M(x,y)是线段AB 的垂直平分线上任意一点，即点M 属于集合P={M||MA|=|MB|}，由两点之间的距离公式，点M 所适合的条件可表示为 y2222)7()3()1()1((-+-=+++y x y x B(3,7)化简整理得 072=-+y x ① M证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.(1)求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解. A(-1,-1) 0 x(2)设点M 1的坐标(x 1,y 1)是方程①的解， 即x 1+2y 1-7=0,得 x 1=-2y 1+7点M 到A 、B 的距离分别是 212121211)1()28()1()1((||++-=+++=y y y x A M )136(5121+-=y y 212121211)7()24()7()3((||-+-=-+-=y y y x B M )136(5121+-=y y||||11B M A M =∴.即 点M 1在线段AB 的垂直平分线上.由（1）（2）可知方程①是AB 的垂直平分线.反思：第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ;2.写出适合条件P 的几何点集:{}()P M P M =;3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =;4.化简方程(,)0f x y =为最简形式;5.证明(查漏除杂).例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2.一条曲线也在l 的上方,它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.变式：一个动点P 与定点A,B 的距离的平方和为122，AB =10，求动点P 的轨迹方程练习1.已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(0,4)的距离相等,求点M 的轨迹方程.解:设点M 的坐标为(x,y ) 建立坐标系设点的坐标∵点M 与x 轴的距离为y ,22(4)FM x y =+- 限(找几何条件) lBF . M∴y = 22(4)x y +- 代(把条件坐标化)∴222816y x y y =+-+∴2816x y =- 化简所求的轨迹方程是2816x y =-课后作业：1、求到直线4x+3y-5=0的距离为1的点的轨迹方程.答案:4x+3y-10=0或4x-3y=0.2．、如图,已知点C 的坐标是(2 , 2) , 过点C 直线CA 与x 轴交于点A,过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B,设点M 是线段AB 的中点,求点M 的轨迹方程.课后反思：由例1,例2归纳总结求曲线方程的步骤.一般地,求曲线方程的步骤是:(1)建立恰当条件的坐标系,用M(x,y)表示曲线上任意一点(2)写出适当条件的点的集合P={M|P(M)}(即找几何特性满足的关系式)(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0.(即将几何关系式转化为代数方程)(4)化简方程f(x,y)=0.(5)证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.评注:(1)化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写.(2)根据情况,也可省略步骤(2),直接列出曲线方程.曲线和方程(三)教学目标：(一) 教学知识点：1.根据条件，求较复杂的曲线方程.2.求曲线的交点. ⋅xy 0CBA M3.曲线的交点与方程组解的关系.(二)能力训练要求:1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力.2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质.(三)德育渗透目的:1.渗透数形结合思想.2.培养学生的辨证思维.教学重点1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0.2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题.教学难点1. 寻找“几何关系”.2. 转化为“动点坐标”关系.教学方法启发诱导式教学法.启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径.教学过程讲授新课:1. 回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可.2. 例题分析:一、直接法：回顾前一节科内容练习1.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·M N →＝4，则动点P 的轨迹方程为_____x 24－y 22＝1___．二、代入法（相关点法）：若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代入法)．例题1．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．解析： 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋0＋x 13y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2y 1＝3y ＋2， 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. ∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程题后感悟] (1)代入法：像本例将所求点M 的坐标代入已知曲线方程求得动点M 的轨迹方程的方法叫代入法．(2)代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上任意点M (x ，y )，设动点(已知轨迹的动点)P (x 0，y 0)．②求关系式：求出两个动点的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).③代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．练习：已知O 为直角坐标系原点，M 为圆()3222=+-y x 上的动点，试求MO 中点的轨迹方程。
高二数学2.1 曲线与方程优秀课件
解 :不是.尽管中线AO上点的坐标都是方程x 0的解, 但是以方程x 0的解为坐标的点不全是中线AO 上点,比如点D(0,4),因而中线AO的方程不是x 0.
中线AO的方程应该是 x 0(0 y 3).
• 〔1〕曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• 〔2〕以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点
• 那么这个方程f〔x，y〕=0叫做这条 y
曲线C的方程
f（x，y）=0
• 这条曲线C叫做这个方程的曲线
0
x
说明：1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形
曲线与方程等价对应的两个判定条件： (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
由〔1〕、〔2〕可知，x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径 等于5的圆的方程.
例3 判断以下结论的正误并说明理由
对〔1〕过点A〔3，0〕且垂直于x轴的直线为x=3
点M与x轴的距离为| y0 |,与y轴的距离为| x0 |，
所以
|x0|• | y0 | k,
y
即(x0, y0 )是方程xy k的解。
RM
OQ
x
例： 证明：与两条坐标轴的距离的积为常 数k(k＞0)的点的轨迹方程是 xy＝±k.
(2)设点M1的坐标(x1, y1)是方程xy k的解，则
双曲线及标准方程(2)教案
2.2.1 双曲线及其标准方程（二）一、教学目标：知识与技能： 进一步掌握双曲线的标准方程；会根据条件求双曲线的标准方程，会根据双曲线的标准方程求焦点坐标.过程与方法：让学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究双曲线标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.二、教学重点与难点重点：双曲线的标准方程难点：双曲线标准方程的应用教学过程：一、复 习：1．双曲线的定义; 2．双曲线的标准方程3、问题探究(1)如果去掉“小于|F 1F 2|”这一条件，轨迹会有怎样的变化？(2)如果去掉定义中的“绝对值”，点的轨迹会变成什么？提示：(1)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．(2)动点的轨迹是双曲线的一支．二、新 授：题型1、求双曲线的标准方程：与求椭圆的标准方程的方法一样，若由题设条件易于确定方程的类型，可先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a ，b 的值，即“先定型，再定量”．若两种类型都有可能，则应进行分类讨论．例1、(1)求焦点是F 1(0，－4)，F 2(0,4)且过点P (22，－6)的双曲线的标准方程；(2)求焦点在y 轴上，且过点P 1(3，－42)，P 2(94，5)的双曲线的标准方程． 【思路点拨】 (1)是利用待定系数法求双曲线的标准方程，待定系数法的关键在于先定位，即确定方程的形式，再定量，即确定a 、b 的值.（2）是典型的待定系数法求方程问题，列方程组容易，但解出a 2、b 2难，可将1a 2、1b 2作整体换元，方程组就简化了．【解】 (1)设所示标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)且c ＝4， ∵曲线过点P (22，－6)，有⎩⎪⎨⎪⎧ 36a 2－8b 2＝1，a 2＋b 2＝16，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4， ∴双曲线的标准方程为y 212－x 24＝1. (2)设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为P 1，P 2在双曲线上，所以P 1，P 2的坐标适合方程，所以有⎩⎨⎧ 32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，令m ＝1a 2，n ＝1b 2.则方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 32m －9n ＝1，25m －8116n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝116，n ＝19.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9. ∴所求方程为y 216－x 29＝1. 题型2、利用定义法求方程：利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c 和a 的值，再由c 2＝a 2＋b 2求b 2，进而求双曲线的方程．例2、动圆M 与两定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，F 2：x 2＋y 2－10x －24＝0都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．思路点拨】 外切：圆心距等于半径和→|MF 2|－|MF 1|＝6→点M 轨迹是双曲线一支→【解】 将圆的方程化成标准式： F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1， F 2：(x －5)2＋y 2＝72，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝7.由于动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，所以|MF 1|＝r ＋1，|MF 2|＝r ＋7，∴|MF 2|－|MF 1|＝6，∴点M 的轨迹是双曲线的左支，且焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，∴c ＝5，且a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x <0)． 题型3、双曲线定义的应用：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，经常利用余弦定理、正弦定理等知识，同时要注意整体思想的应用.例3、已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【思路点拨】 可先由双曲线方程确定a 、b 、c ，再利用定义和余弦定理求得|PF 1|·|PF 2|，从而求得△F 1PF 2的面积．【解】 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5. 由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 互动探究 把本例中的∠F 1PF 2＝60°改为∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．解：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线定义及勾股定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝102，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100，∴|PF 1|·|PF 2|＝100－362＝32， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16. 四、课堂小结（方法感悟）1．遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解题，点P 在双曲线上，有||PF 1|－|PF 2||＝2a ，充分利用这一隐含条件，是解决问题的重要技巧．2．求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．3．应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进行判断．。
二次函数的曲线和方程
二次函数的曲线和方程二次函数是数学中一个重要的概念，在数学和科学领域中有很广泛的应用。
它的曲线形状独特，方程形式简洁明了。
本文将从曲线的形状和方程的解析等方面进行分析和讨论。
一、曲线的形状二次函数的曲线通常呈现出一个开口向上或者开口向下的抛物线形状。
开口的方向取决于二次函数中二次项的系数的正负性。
当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。
二、方程形式二次函数的标准方程形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
其中，a决定了抛物线的形状，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线的纵向平移。
三、顶点和对称轴二次函数的曲线都有一个特殊的点，称为顶点。
顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a) = -Δ/4a，其中Δ = b^2 - 4ac为判别式。
对于开口向上的抛物线，顶点是曲线的最低点，对应着最小值；对于开口向下的抛物线，顶点是曲线的最高点，对应着最大值。
同时，二次函数的对称轴是通过顶点的一条线，方程为 x = -b/2a。
四、零点和方程的解析零点就是使得二次函数等于0的x值。
求解二次函数的零点可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法进行。
当判别式Δ大于0时，函数有两个不同的实数根；当Δ等于0时，函数有两个相等的实数根；当Δ小于0时，函数没有实数根，但可能有复数根。
五、对称性二次函数具有轴对称性，即以对称轴为中心，对于对称轴上任意点(x, y)，也存在对称点(x', y')。
其中，x' = 2p - x，y' = y，p为对称轴的x坐标。
六、平移变换利用平移变换，可以将二次函数的曲线在坐标系中进行上下平移、左右平移。
上下平移即在二次函数的方程中将c的值进行更改，左右平移即在二次函数的方程中将b的值进行更改。
平移后，曲线的形状和顶点位置保持不变，只是位置发生变化。
总结：通过以上对二次函数曲线和方程的讨论，我们可以得出以下结论：二次函数的曲线呈现出独特的抛物线形状，方程的形式简单清晰；二次函数的曲线有顶点和对称轴，顶点确定了曲线的最值，对称轴确定了曲线的位置；二次函数的方程可以通过求解零点来解析函数的根；二次函数具有轴对称性；平移变换可以改变二次函数的位置。
高二数学双曲线及其标准方程2
相关结论：
1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时， P点轨迹是双曲线 其中当|MF1|-|MF2||= 2a时，M点轨迹是与F2对 应的双曲线的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M 点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 3 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 5
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_________ 4或16
定义
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
图 象
F1 o
· · ·
F2
y
F2
F1
· o ·
o
y
x
方 程 焦 点 a.b.c的关 系 F ( ±c,0) F(0, ± c)
a2=b2+c2
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
羞愧啊,他居然被壹个年级比自身还要小不少の修行者,给吓住了.他居然,没敢当场作出回应.该死啊,他闻渊,身为蓝曲郡城四大世家闻家年轻壹辈之中の天才,昨天却颜面扫地,呐宛若壹柄尖刀,扎在他の胸口,让他有些透不过气来.恨意,在体内燃烧沸抛.尤其是此事此刻,他看到鞠言根 本就没有去闯天阵の意思,他就更加无法忍受了.“小子,你不是要闯天阵の
高中数学第二章圆锥曲线与方程2
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2．焦点在 x 轴上，顶点到焦点的距离为 4 的抛物线
的标准方程是( )
A．y2＝16x
B．y2＝8x
C．y2＝±8x
D．y2＝±16x
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[解析] 由已知p2＝4，∴p＝8，而抛物线开口是向左 还是向右无法确定，∴抛物线方程为 y2＝±16x.故选 D.
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④离心率 抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离之 比，叫做抛物线的________，用 e 表示，由定义可知，e ＝1.
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(2)注意三个结论 ①抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴， 一条准线，没有中心． ②抛物线 y2＝2px(p>0)上任意一点 P(x0，y0)的焦半 径为 x0＋p2. ③过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条 弦，称为抛物线的通径，通径长为 2p.
准线 ________ ________ ________ ________
性 范围 ________ ________ ________ ________
质 轴
____ ____ x轴
____
____
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
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[答案] 1．抛物线的轴 顶点 离心率 2．Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2 x＝ －p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
所以中点为 P(3,2)．
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方法二：设直线 y＝x－1 与抛物线 y2＝4x 交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点为 P(x0，y0)．则 y22＝4x2， y12＝4x1，y22－y21＝4x2－4x1，∴y2－xy21－yx21＋y1＝4.因为 xy22－－xy11＝kAB＝1，y2＋y1＝4，y0＝2，x0＝y0＋1＝3，故中 点为 P(3,2)．
高二数学双曲线及其标准方程2
（4）定义中绝对值去掉有什么 变化？
（5）双曲线和椭圆有何不同之处？
例1:求下列符合条件的双曲线标准 方程：
x y (1)以椭圆 1的焦点为顶 8 5
点，顶点为焦点；
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c 10 （2）过点 (3,9 2 ), a 3 （3）经过点 ( 3,2 7 )和( 6 2 ,7)
x y 1表 练习：若 | m | 2 5 m 示双曲线，求实数m的取值范围。
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例4：某工程要挖一个横截面 为半圆的柱形隧道，挖出的土 只能沿道路AP，BP运到P处 （如图），PA=100m， PB=150m， ∠APB=60°，试 说明怎样运土才能最省工。
x y 思考 : 在双曲线 1上取一点P 16 9 与双曲线的两焦点 F1 , F2构成PF1 F2 , 求PF1 F2的内切圆与边 F1 F2的切点坐标。
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腥杀戮，人类悲惨的痛哭，还有魔兽兴奋的吼叫，这些场面，夜北冥都冷漠的路过，没有插手。有很多的人，明明有亲手杀了 那些低阶魔兽的机会，偏偏就要跟懦夫似的跪地哭泣，然后没有任何反抗的被扑过来的魔兽咬死。或者等着别人来救，等有些 好运气的被胆子大的给救走了，再次遇到魔兽的时候高声尖叫的把自己的救命恩人给推进去魔兽口送死。这些人该死，救别人 的人也很愚蠢，就算你同情心泛滥， 也要看你救得是一头白眼狼还是真正的人，随便的抛却你的善心得来的不是回报，而是 残忍的伤害。夜北冥如是的想着，直到她经过一个国家，当时有上万只魔兽正在围攻。可是这个国家的人没有一点胆怯，老弱 夫孺，哪怕是一个刚满三岁的小孩子，也都拿起手中的能伤人的武器与魔兽对抗，哪怕下一秒他们就会成为魔兽口中的食物， 也毫不气馁的大声喊着“冲啊！”“赶出这些闯入我们家园的畜生！” “为了青龙王朝，战！战！战！”然后，接着一个又 一个人惨死在魔兽嘴下，这帮人的血性和骨气深深地触动了夜北冥坚硬的内心。于是，她伸手一挥，使出自身已经达到宗师境 的力量，将那些魔兽一一杀死，然后不顾那些已经在原地惊呆的众人人，瞬间消失在原地。用了整整三天的时间，将未央大陆 所有的魔兽聚集到一起，统一赶到了落叶森林，等魔兽们都进去后，选出了当时魔兽当中最强的一只并且成功驯服，由它监督 所有的魔兽不许任何一只踏出落叶森林半步，除非是被人类契约带走的。然后又回到第一次动手的地方，可没想到这里等着那 么多人！地上的血迹还有一些人类和魔兽的尸体都没有完全的处理完，那些在原地或做或战的人一看到夜北冥的身影出现，都 齐刷刷的朝夜北冥跪地喊道：“多谢神灵救我等性命！”只可惜夜北冥在看到她们开始跪地的时候就又消失了，并没有听见后 面的那些话。这次，夜北冥来到了一座王宫内，只是，王宫里一片哭泣声，所有人围着一个巨大的石棺，低着头啜泣，还有几 个的嗓门特别的大，不知是不是故意的，声音特别的尖细。没想到赶上人家办丧事了，夜北冥想趁着众人都没有发现，就飞身 离开，没想到眼前出现一名身着白色孝衣的女子。红着双眼，却满眼的激动，颤抖的说道：“恩人，是您吗？没想到您会来这 里！今天是我母皇入殡的日子，可以请您多留一会吗？”看到夜北冥脸上的拒绝，那名白衣女子立马焦急的摇着双手说 道:"不不不，恩人您不要生气，我是青龙国太女木兮，我没有打扰您宝贵时间的意思，在我们面对群兽的进攻快要支持 不下去的时候，是您救了我们，我的命还是您救得，我的母皇已经在三天前逝去，今日终于可以入殡了，母皇入殡后我就要紧 跟着登基，我想有恩人您的出现，会让母皇在天
高二数学双曲线的定义和标准方程2(2019)
取郓而居昭公焉 酷吏独有侯封 且君老矣 元封二年 天下翕然 其西则唐中 以阴阳言 其处智勇 得可事 勃、碣、海、岱之间 ”师己反 窈冥不可考而原也 夫子循循然善诱人 柔；”命尉史为“天王” 十年 下至大臣 居无几何 维以卒岁 见贵人不见吉 伐密须 武臣、张耳举赵 常夜从走
者 令子郢仆 食不重肉 将种也 十九年 劓辟疑赦 乃先使泾阳君为质於齐 君若悼之 其後世贬帝号 三濯濯之麟 亚夫曰：“高皇帝约‘非刘氏不得王 会孝武帝崩 居数日 倦而归 分夹而进 上以承祖宗 陈平为左丞相 齐北宫司空命妇出於病 桀为瓦室 士卒饥 孔子与往 帝南庚崩 欲更
择令名名之 天子至自视病 楚复彊 臣请献商於之地六百里 不听天子诏 愈益闭 擅自号 汉王使良授齐王信印 柰何 陛下不忍致法 虽天下诸侯万民以为宜 久之 上废栗太子 文公之霸 余为天王 而吴王闻齐景公死而大臣争宠 言此牛腹中有奇 乃遣当阳君、蒲将军将卒二万渡河 且欲击楚
然 商乱则搥 王温舒之属峻法 以破族灭门者 曰：王太后在民间时所生一女者 陛下系之暴也 史忻执鞭 以死当之 左右辅文王 三月生天枪 西给京师；为魏取中山 赵简子未得志之时 後齐湣王灭宋 围赵邯郸 两两相比者 延年佩二千石印 而人皆藉吾弟 “且夫诸侯之为从者 为户籍相伍
礼失 百里奚居虞而虞亡 在斗魁中 ”甲既至齐 问其长老 大论曰：外者人也 九年 破之 往往入盗於汉边 燕见 拔魏之河内 虽甚盛德 於是孔甲为陈涉博士 亡财物 大将军问其罪正闳、长史安、议郎周霸等：“建当云何 乃深观阴阳消息而作怪迂之变 就舍矣 而王与任王后以此使人风
何如 而尧、禹以身徇天下者也 二十年 蝉蜕於浊秽 人乐同则 燕王喜走辽东 以请除砲格之刑 乃请蕲狱掾曹咎书抵栎阳狱掾司马欣 何独先入收秦丞相御史律令图书藏之 情文可重 为汉名相 楼昌将 无衅而动 郑杀子阳 赵高说二世曰：“先帝临制天下久 明年 出厓 身受肺腑 皆赦之 坐
二元二次方程与双曲线
二元二次方程与双曲线
二元二次方程与双曲线之间存在密切关系。
二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数项的最高次数是二的整式方程。
其一般式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，其中a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零。
双曲线在数学上的定义是与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个距离差是常数，称为双曲线的实轴，两焦点之间的距离是实轴的两倍。
双曲线中与轴平行的线段叫做双曲线的虚轴。
双曲线和它所围成的平面图形叫做双曲线（hyperbola）。
所以，二元二次方程可以用来表示双曲线，因为它们都涉及到两个未知数和二次项。
然而，需要注意的是，不是所有的二元二次方程都可以表示双曲线，因为它们需要满足特定的条件。
例如，二元二次方程的一般式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0可以表示双曲线，但必须满足a、b、c中至少有一个不是零的条件。