§3.7 连续时间LTI系统的频率响应
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1
π 2
0
ϕ ( j ω)
ω
−
π
2
ω
根据各种定义来计算 频率响应 计算方法 如果系统给定电路，则利用相量法， 如果系统给定电路，则利用相量法， 求出输出信号相量与输入信号的相量之比 即是系统的频率响应
三、频率响应的计算
已知一个LTI因果系统的单位冲激响应为 例：已知一个 因果系统的单位冲激响应为 h(t) = [e−t − e−2t ]u(t) 试求该系统的频率响应H(ω) 。 试求该系统的频率响应
∞ ∞
解： 因为
−∞
Baidu Nhomakorabea
h(τ ) dτ = ∫ e−τ − e−2τ dτ < ∞ ∫
0
所以系统稳定。 所以系统稳定。 则系统的频率响应为
∞ ∞
H(ω) = ∫ h(τ )e− jωτ dτ = ∫ (e−τ -e−2τ )e− jωτ dτ
−∞ 0
1 1 1 = − = 2 1+ jω 2 + jω −ω + 2 + j3ω
试求该系统的频率响应H(ω) 。
解： 对上式两边取傅立叶变换，得 对上式两边取傅立叶变换，
[( jω)3 +10( jω)2 + 8( jω) + 5]Y (ω) = [13( jω) + 7]X(ω)
所以系统的频率响应为
H(ω) =
Y(ω) 13 jω + 7 = X(ω) ( jω)3 +10( jω)2 +8 jω +5 13 jω + 7 = − jω3 −10ω2 +8 jω +5
比。 因此由图根据分压原理得系统的频率响应为
V2 (ω) R jω = = H(ω) = 1 V1(ω) R + 1 jω + jωC RC
三、频率响应的计算
从而得幅频响应为
H (ω) =
ω 1 2 ω + RC
2
相频特性为 ϕ(ω) =
π − arctanCRω 2
H ( j ω)
ϕ(ω)
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义2 定义 当系统的激励为冲激信号δ(t) ，系统的零状态响应即为冲激响应 h
(t) ，即
x(t) = δ(t)
y(t) = h(t)
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)
y(t) = h(t) ∗ x(t) 根据傅立叶变换的时域积分性质有： 根据傅立叶变换的时域积分性质有： Y(ω) = H(ω) × X (ω)
−∞
∫ H(ω)
2
dω < ∞
注意：只是系统物理可实现的必要条件，而非充分条件。 注意：只是系统物理可实现的必要条件，而非充分条件。 必要条件
二、频率响应的性质
(4) 因果系统的频率响应的实部和虚部具有某种 相互制约的特性。 相互制约的特性 的特性。 对于因果系统， 对于因果系统，其冲激响应 h (t) 可表示为 由傅立叶变换的频域卷积性质， 由傅立叶变换的频域卷积性质，可得
§ 3.7 连续时间LTI系统 连续时间LTI系统 的频率响应
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义1 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTI系统，即 系统， 定义 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间 系统
dn y dy dmx dx an n +⋯+ a1 + a0 y(t) = bm m +⋯+ b1 + b0 x(t) dt dt dt dt
对任意激励x(t)都有响应 和定义1相符 和定义 相符 说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。 说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。
h(t) 和 H(ω) 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。
二、频率响应的性质
(1) 存在性 只有稳定的LTI系统才存在频率响应 存在性 。 系统才存在频率响应(存在性 只有稳定的 系统才存在频率响应 存在性) LTI系统稳定的充要条件是 系统稳定的充要条件是
三、频率响应的计算
1 H(ω) = −ω2 + 2 + j3 ω
幅频特性 相频特性
1 2
H (ω )
ϕ (ω )
π
0
0
ω
−π
ω
三、频率响应的计算
已知一个零状态LTI系统由下列微分方程表征 例： 已知一个零状态 系统由下列微分方程表征
d3 y d2 y dy dx +10 2 +8 + 5y(t) =13 + 7x(t) dt 3 dt dt dt
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为 ω 一般是 的复函数，
H(ω) = H(ω) e jϕ(ω)
称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性 幅频特性， H(ω) 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性， 是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 相频特性 是 ω 的奇函数 说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励无关， 说明 ： 系统频率响应只与系统本身的特性有关 ， 而与激励无关 ， 是表征系统特性的一个重要参数。 是表征系统特性的一个重要参数。
则有
Y (ω ) = H (ω ) X (ω )
Y (ω ) H (ω ) = X (ω )
H(ω) 称为系统的系统函数，也称为系统的频率响应特性，简称 称为系统的系统函数，也称为系统的频率响应特性， 系统函数 频率响应特性 系统频率响应或频率特性。 系统频率响应或频率特性。
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
三、频率响应的计算
已知电路如图所示， 例： 已知电路如图所示，试求该系统 的频率响应 H(ω) 。 对于电路系统，求它的频率响应， 解：对于电路系统，求它的频率响应，
+ V1 (ω ) −
C
R V2 (ω )
+
−
1 用电路分析中的相量法， 用电路分析中的相量法，将 R, L, C 为是复阻抗分别为 R, jωL, 的 jωC 元件，然后用各种电路分析方法求输出信号相量与输入信号的相量之 元件，
由傅立叶变换及其性质可得： 由傅立叶变换及其性质可得：
[an ( jω)n +⋯+ a1( jω) + a0 ]Y (ω) = [bm ( jω)m +⋯+ b1( jω) + b0 ]X (ω)
令
bm(jω)m +bm−1(jω)m−1 +⋯+b (jω) +b0 1 H(ω) = an (jω)n + an−1(jω)n−1 +⋯+ a1(jω) + a0
∞
存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件。 亦即频率响应 H(ω) 存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件。 结论：存在性依赖于稳定性。 结论：存在性依赖于稳定性。 (2) 频率响应具有共轭对称性，即 H(−ω) = H∗ (ω) 频率响应具有共轭对称性， 共轭对称性
−∞
∫ h(t)dt < ∞
二、频率响应的性质
∞
HI (η) 其中 dη HR (ω) = ∫ π −∞ ω −η 1
∞
HI (ω) = −
称为希尔伯特变换对。 称为希尔伯特变换对。 希尔伯特变换对 说明: 说明 具有因果性的系统的系统函数的实部 HR(ω) 被已知的虚部
HI(ω) 唯一地确定，反过来也一样。 唯一地确定，反过来也一样。
三、频率响应的计算
h(t) = h(t)u(t)
∞
1 1 1 H(η) H(ω) = {H(ω)∗[ + πδ(ω)]} = ∫ ω −ηdη 2π jω jπ −∞
频率响应可表示为实部和虚部的形式， 频率响应可表示为实部和虚部的形式，即
H(ω) = HR (ω) + jHI (ω)
HR (η) ∫ ω −η dη π −∞ 1
(3) 一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实现系统 (物理可实现性 。 物理可实现性)。 物理可实现性 佩利—维纳准则： 佩利 维纳准则： 维纳准则 幅频响应为 H(ω)的系统可实现的必要条件为 ω
−∞
∞
∫
∞
ln H(ω) 1+ω
2
dω < ∞
而且幅频特性必须绝对可积， 而且幅频特性必须绝对可积，即
π 2
0
ϕ ( j ω)
ω
−
π
2
ω
根据各种定义来计算 频率响应 计算方法 如果系统给定电路，则利用相量法， 如果系统给定电路，则利用相量法， 求出输出信号相量与输入信号的相量之比 即是系统的频率响应
三、频率响应的计算
已知一个LTI因果系统的单位冲激响应为 例：已知一个 因果系统的单位冲激响应为 h(t) = [e−t − e−2t ]u(t) 试求该系统的频率响应H(ω) 。 试求该系统的频率响应
∞ ∞
解： 因为
−∞
Baidu Nhomakorabea
h(τ ) dτ = ∫ e−τ − e−2τ dτ < ∞ ∫
0
所以系统稳定。 所以系统稳定。 则系统的频率响应为
∞ ∞
H(ω) = ∫ h(τ )e− jωτ dτ = ∫ (e−τ -e−2τ )e− jωτ dτ
−∞ 0
1 1 1 = − = 2 1+ jω 2 + jω −ω + 2 + j3ω
试求该系统的频率响应H(ω) 。
解： 对上式两边取傅立叶变换，得 对上式两边取傅立叶变换，
[( jω)3 +10( jω)2 + 8( jω) + 5]Y (ω) = [13( jω) + 7]X(ω)
所以系统的频率响应为
H(ω) =
Y(ω) 13 jω + 7 = X(ω) ( jω)3 +10( jω)2 +8 jω +5 13 jω + 7 = − jω3 −10ω2 +8 jω +5
比。 因此由图根据分压原理得系统的频率响应为
V2 (ω) R jω = = H(ω) = 1 V1(ω) R + 1 jω + jωC RC
三、频率响应的计算
从而得幅频响应为
H (ω) =
ω 1 2 ω + RC
2
相频特性为 ϕ(ω) =
π − arctanCRω 2
H ( j ω)
ϕ(ω)
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义2 定义 当系统的激励为冲激信号δ(t) ，系统的零状态响应即为冲激响应 h
(t) ，即
x(t) = δ(t)
y(t) = h(t)
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)
y(t) = h(t) ∗ x(t) 根据傅立叶变换的时域积分性质有： 根据傅立叶变换的时域积分性质有： Y(ω) = H(ω) × X (ω)
−∞
∫ H(ω)
2
dω < ∞
注意：只是系统物理可实现的必要条件，而非充分条件。 注意：只是系统物理可实现的必要条件，而非充分条件。 必要条件
二、频率响应的性质
(4) 因果系统的频率响应的实部和虚部具有某种 相互制约的特性。 相互制约的特性 的特性。 对于因果系统， 对于因果系统，其冲激响应 h (t) 可表示为 由傅立叶变换的频域卷积性质， 由傅立叶变换的频域卷积性质，可得
§ 3.7 连续时间LTI系统 连续时间LTI系统 的频率响应
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义1 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTI系统，即 系统， 定义 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间 系统
dn y dy dmx dx an n +⋯+ a1 + a0 y(t) = bm m +⋯+ b1 + b0 x(t) dt dt dt dt
对任意激励x(t)都有响应 和定义1相符 和定义 相符 说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。 说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。
h(t) 和 H(ω) 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。
二、频率响应的性质
(1) 存在性 只有稳定的LTI系统才存在频率响应 存在性 。 系统才存在频率响应(存在性 只有稳定的 系统才存在频率响应 存在性) LTI系统稳定的充要条件是 系统稳定的充要条件是
三、频率响应的计算
1 H(ω) = −ω2 + 2 + j3 ω
幅频特性 相频特性
1 2
H (ω )
ϕ (ω )
π
0
0
ω
−π
ω
三、频率响应的计算
已知一个零状态LTI系统由下列微分方程表征 例： 已知一个零状态 系统由下列微分方程表征
d3 y d2 y dy dx +10 2 +8 + 5y(t) =13 + 7x(t) dt 3 dt dt dt
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为 ω 一般是 的复函数，
H(ω) = H(ω) e jϕ(ω)
称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性 幅频特性， H(ω) 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性， 是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 相频特性 是 ω 的奇函数 说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励无关， 说明 ： 系统频率响应只与系统本身的特性有关 ， 而与激励无关 ， 是表征系统特性的一个重要参数。 是表征系统特性的一个重要参数。
则有
Y (ω ) = H (ω ) X (ω )
Y (ω ) H (ω ) = X (ω )
H(ω) 称为系统的系统函数，也称为系统的频率响应特性，简称 称为系统的系统函数，也称为系统的频率响应特性， 系统函数 频率响应特性 系统频率响应或频率特性。 系统频率响应或频率特性。
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
三、频率响应的计算
已知电路如图所示， 例： 已知电路如图所示，试求该系统 的频率响应 H(ω) 。 对于电路系统，求它的频率响应， 解：对于电路系统，求它的频率响应，
+ V1 (ω ) −
C
R V2 (ω )
+
−
1 用电路分析中的相量法， 用电路分析中的相量法，将 R, L, C 为是复阻抗分别为 R, jωL, 的 jωC 元件，然后用各种电路分析方法求输出信号相量与输入信号的相量之 元件，
由傅立叶变换及其性质可得： 由傅立叶变换及其性质可得：
[an ( jω)n +⋯+ a1( jω) + a0 ]Y (ω) = [bm ( jω)m +⋯+ b1( jω) + b0 ]X (ω)
令
bm(jω)m +bm−1(jω)m−1 +⋯+b (jω) +b0 1 H(ω) = an (jω)n + an−1(jω)n−1 +⋯+ a1(jω) + a0
∞
存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件。 亦即频率响应 H(ω) 存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件。 结论：存在性依赖于稳定性。 结论：存在性依赖于稳定性。 (2) 频率响应具有共轭对称性，即 H(−ω) = H∗ (ω) 频率响应具有共轭对称性， 共轭对称性
−∞
∫ h(t)dt < ∞
二、频率响应的性质
∞
HI (η) 其中 dη HR (ω) = ∫ π −∞ ω −η 1
∞
HI (ω) = −
称为希尔伯特变换对。 称为希尔伯特变换对。 希尔伯特变换对 说明: 说明 具有因果性的系统的系统函数的实部 HR(ω) 被已知的虚部
HI(ω) 唯一地确定，反过来也一样。 唯一地确定，反过来也一样。
三、频率响应的计算
h(t) = h(t)u(t)
∞
1 1 1 H(η) H(ω) = {H(ω)∗[ + πδ(ω)]} = ∫ ω −ηdη 2π jω jπ −∞
频率响应可表示为实部和虚部的形式， 频率响应可表示为实部和虚部的形式，即
H(ω) = HR (ω) + jHI (ω)
HR (η) ∫ ω −η dη π −∞ 1
(3) 一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实现系统 (物理可实现性 。 物理可实现性)。 物理可实现性 佩利—维纳准则： 佩利 维纳准则： 维纳准则 幅频响应为 H(ω)的系统可实现的必要条件为 ω
−∞
∞
∫
∞
ln H(ω) 1+ω
2
dω < ∞
而且幅频特性必须绝对可积， 而且幅频特性必须绝对可积，即