高中数学 必修二 同步练习点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离(解析版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、解答题
14．已知等边△ABC的两个顶点的坐标为A(−4，0)，B(2，0)，试求：
（1）C点坐标.
（2）△ABC的面积.
【思路点拨】（1）由等边三角形得 ，设 ，根据两点之间的距离公式列出方程组即可解得；（2）利用等边三角形的面积公式即可求解.
15．已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1、l2的方程．
18．已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2的距离是 .
（1）求a的值.
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 ?
即为所求.
7．直线 关于点(1，－1)对称的直线方程是
A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0
【答案】D
8．若 ， ，则
A． B．
C． D．不能确定，与 有关
【答案】C
【解析】因为 表示点 到原点距离差的绝对值， 表示两点 之间的距离，根据三角形两边之差小于第三边（三点共线时相等），可得 ，故选C.
6．已知直线3x＋2y−3=0和6x＋my＋1=0互相平行，则它们之间的距离是
A．4B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法1：在直线3x＋2y−3=0上取一点(1,0)，则点(1,0)到直线6x＋my＋1=0的距离即为所 求．由两直线平行，得3m−12=0，m=4，∴两平行线间的距离为 .
解法2：直线6x＋my＋1=0过定点 ，该点到直线3x＋2y−3=0的距离为
∴ ,∴ ,∴ 或
4．光线从点 射到 轴上，经 轴反射后经过点 ，则光线从 到 的路程为
A． B．
C． D．
【答案】C
5．已知点P(x，y)在直线x＋y−4=0上，则x2＋y2的最小值是
A．8B．
C． D．16
【答案】A
【解析】由x2＋y2的实际意义，可知它代表直线x＋y−4=0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方．∴(x2＋y2)min=( )2=8.
17．求函数 的最小值．
【解析】原式可化为 .
考虑两点间的距离公式，如图所示，
令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．
作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，
由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
二、填空题
10．已知两条平行直线 ， 间的距离为2，则 __________．
【答案】38或−2
11．已知 ， ，当|AB|取最小值时，实数a的值是__________．
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴
，∴当 时， 取得最小值.
12．已知直线l与两直线 和 平行且距离相等，则l的方程为__________.
一、选择题
1．已知点A(－3,4)和点B(wenku.baidu.com，b)，且|AB|＝5，则b等于
A．0或8B．0或－8
C．0或6D．0或－6
【答案】A
【名师点睛】本题考查两点间距离公式，由公式列式即可，注意解方程时不要出现计算错误.由两点间距离公式可列出方程，求出b的值.
2．与直线 的距离为 的直线方程为
A． B．
C． 或 D． 或
若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
（2）设点P(x0,y0)，
若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x−y+c=0上，且 ,即c= 或c= .
∴2x0−y0+ 或2x0−y0+ .
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式 ，
∴x0−2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.
联立方程2x0−y0+ 和x0−2y0+4=0，解得x0=−3,y0= ,应舍去.
由2x0−y0+ 与x0−2y0+4=0联立，解得x0= ,y0= .
所以P( )即为同时满足三个条件的点.
【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.
若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
则满足条件的直线方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
16．已知直线 ：x−y+3=0，直线l：x−y−1=0.若直线 关于直线l的对称直线为 ，求直线 的方程.
【答案】
【解析】设所求的直线方程为 ，分别在 和 上取点A(0，3)和B(0，−1)，则此两点到 的距离相等，即 ，解得c=1，故直线l的方程为 .
13．已知P为直线y=4x−1上一点，点P到直线2x＋y＋5=0的距离等于原点到这条直线的距离，则点P的坐标为__________．
【答案】 或
【解析】依题意可设点P的坐标为(x，4x−1)，由题意可知 ，解得 或 .当 时，4x−1=4× −1= ；当 时，4x−1=4×( )−1=−7，∴点P的坐标为 或 .
故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．
由两点间的距离公式可得|A′B|＝ ，
所以函数 的最小值为5．
【名师点睛】本题考查函数的最值，将函数最值问题几何化，由解析式的几何意义，注意两点间距离的标准形式，注意对解析式变型时计算的准确性.可将函数化为两个两点间距离公式，由两点之间线段最短的几何意义，求出距离最小值点，将最小值点代入函数解析式即可求得函数最小值.
【解析】当l1、l2的斜率存在时，∵l1∥l2，∴可设两直线的斜率为k.
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由两平行线间的距离公式得 ＝5，解得k＝ ，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
9．已知点 在直线 上，若 的最小值为4，则实数 的值为
A． 或19B． 或9
C． 或9D． 或19
【答案】B
【解析】 的几何意义是直线 上的点到定点 的距离的平方，那么最小值就是定点 到直线 的距离的平方，所以 ，解得 或 ，故选 .
【名师点睛】本题考查了数学的化归与转换能力，首先要知道一些式子的几何意义，比如本题 表示点 和定点 的两点间距离的平方，所以本题转化为已知直线上的点到定点的距离平方的最小值为4，即定点到直线的距离最小，这样问题就迎刃而解了，还有 表示 和 两点连线的斜率， 表示点 到 距离的 倍等几何意义.
（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.
（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.
【答案】D
【解析】根据题意可设所求直线方程为 ,因为两直线间的距离等于 ,所以 = ,解得C=0或C=2,所以所求直线方程为 或 .故选D.
3．已知两点A(3,2)和B(−1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值为
A．0或 B． 或−6
C． 或 D．0或
【答案】B
【解析】依题意得 ,∴ ,∴ ,
14．已知等边△ABC的两个顶点的坐标为A(−4，0)，B(2，0)，试求：
（1）C点坐标.
（2）△ABC的面积.
【思路点拨】（1）由等边三角形得 ，设 ，根据两点之间的距离公式列出方程组即可解得；（2）利用等边三角形的面积公式即可求解.
15．已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1、l2的方程．
18．已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2的距离是 .
（1）求a的值.
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 ?
即为所求.
7．直线 关于点(1，－1)对称的直线方程是
A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0
【答案】D
8．若 ， ，则
A． B．
C． D．不能确定，与 有关
【答案】C
【解析】因为 表示点 到原点距离差的绝对值， 表示两点 之间的距离，根据三角形两边之差小于第三边（三点共线时相等），可得 ，故选C.
6．已知直线3x＋2y−3=0和6x＋my＋1=0互相平行，则它们之间的距离是
A．4B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法1：在直线3x＋2y−3=0上取一点(1,0)，则点(1,0)到直线6x＋my＋1=0的距离即为所 求．由两直线平行，得3m−12=0，m=4，∴两平行线间的距离为 .
解法2：直线6x＋my＋1=0过定点 ，该点到直线3x＋2y−3=0的距离为
∴ ,∴ ,∴ 或
4．光线从点 射到 轴上，经 轴反射后经过点 ，则光线从 到 的路程为
A． B．
C． D．
【答案】C
5．已知点P(x，y)在直线x＋y−4=0上，则x2＋y2的最小值是
A．8B．
C． D．16
【答案】A
【解析】由x2＋y2的实际意义，可知它代表直线x＋y−4=0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方．∴(x2＋y2)min=( )2=8.
17．求函数 的最小值．
【解析】原式可化为 .
考虑两点间的距离公式，如图所示，
令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．
作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，
由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
二、填空题
10．已知两条平行直线 ， 间的距离为2，则 __________．
【答案】38或−2
11．已知 ， ，当|AB|取最小值时，实数a的值是__________．
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴
，∴当 时， 取得最小值.
12．已知直线l与两直线 和 平行且距离相等，则l的方程为__________.
一、选择题
1．已知点A(－3,4)和点B(wenku.baidu.com，b)，且|AB|＝5，则b等于
A．0或8B．0或－8
C．0或6D．0或－6
【答案】A
【名师点睛】本题考查两点间距离公式，由公式列式即可，注意解方程时不要出现计算错误.由两点间距离公式可列出方程，求出b的值.
2．与直线 的距离为 的直线方程为
A． B．
C． 或 D． 或
若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
（2）设点P(x0,y0)，
若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x−y+c=0上，且 ,即c= 或c= .
∴2x0−y0+ 或2x0−y0+ .
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式 ，
∴x0−2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.
联立方程2x0−y0+ 和x0−2y0+4=0，解得x0=−3,y0= ,应舍去.
由2x0−y0+ 与x0−2y0+4=0联立，解得x0= ,y0= .
所以P( )即为同时满足三个条件的点.
【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.
若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
则满足条件的直线方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
16．已知直线 ：x−y+3=0，直线l：x−y−1=0.若直线 关于直线l的对称直线为 ，求直线 的方程.
【答案】
【解析】设所求的直线方程为 ，分别在 和 上取点A(0，3)和B(0，−1)，则此两点到 的距离相等，即 ，解得c=1，故直线l的方程为 .
13．已知P为直线y=4x−1上一点，点P到直线2x＋y＋5=0的距离等于原点到这条直线的距离，则点P的坐标为__________．
【答案】 或
【解析】依题意可设点P的坐标为(x，4x−1)，由题意可知 ，解得 或 .当 时，4x−1=4× −1= ；当 时，4x−1=4×( )−1=−7，∴点P的坐标为 或 .
故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．
由两点间的距离公式可得|A′B|＝ ，
所以函数 的最小值为5．
【名师点睛】本题考查函数的最值，将函数最值问题几何化，由解析式的几何意义，注意两点间距离的标准形式，注意对解析式变型时计算的准确性.可将函数化为两个两点间距离公式，由两点之间线段最短的几何意义，求出距离最小值点，将最小值点代入函数解析式即可求得函数最小值.
【解析】当l1、l2的斜率存在时，∵l1∥l2，∴可设两直线的斜率为k.
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由两平行线间的距离公式得 ＝5，解得k＝ ，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
9．已知点 在直线 上，若 的最小值为4，则实数 的值为
A． 或19B． 或9
C． 或9D． 或19
【答案】B
【解析】 的几何意义是直线 上的点到定点 的距离的平方，那么最小值就是定点 到直线 的距离的平方，所以 ，解得 或 ，故选 .
【名师点睛】本题考查了数学的化归与转换能力，首先要知道一些式子的几何意义，比如本题 表示点 和定点 的两点间距离的平方，所以本题转化为已知直线上的点到定点的距离平方的最小值为4，即定点到直线的距离最小，这样问题就迎刃而解了，还有 表示 和 两点连线的斜率， 表示点 到 距离的 倍等几何意义.
（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.
（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.
【答案】D
【解析】根据题意可设所求直线方程为 ,因为两直线间的距离等于 ,所以 = ,解得C=0或C=2,所以所求直线方程为 或 .故选D.
3．已知两点A(3,2)和B(−1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值为
A．0或 B． 或−6
C． 或 D．0或
【答案】B
【解析】依题意得 ,∴ ,∴ ,