3第三章 系统的时间响应分析

b1 x
b0
x
n
零状态响应项：B(t)
A e sit 1i
n
零输入响应项：
A e sit 2i
i 1
i1
n
n
y(t) B(t)
A e sit 1i
A e sit 2i
i1
i 1
若无特殊说明，通常所述时间响应仅指零状态响应
3. 系统特征根与自由响应的关系
n
n
y(t)
A e sit 1i
L-1[G(s)
1 s2
]
0
T
L-1[ 1 Ts
1
1 s2
]
L-1[
1 s2
T s
T s
1
]
xo t t T Tet T (t 0)
T
瞬态响应： Tet T
稳态响应：t T
T t(sec)
输入 (t)
1
输出
1 e t /T T
1 et /T
结论1：
t
t T Tet /T
如果输入函数等于某个函数的导数，则该输入函数所引起 的输出等于这个函数所引起的输出的导函数。
[s2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 7[sY (s) y(0 )] 12Y (s) 6[sR(s) r(0 )] 12R(s)
Y (s) 6(s 2) R(s) (s 7) y(0 ) y(0 ) 6r(0 )
s2 7s 12
s2 7s 12
y(t ) L1[Y (s)] L1[
0
t
xi (t) u(t) 1
Xi (s) 1/ s
xi(t)
xi(t)
0
t
xi (t) r(t) t
Xi (s) 1/ s2
xi(t)
0
t
0
t
0
t
xi (t )
1 t2 2
Xi (s) 1/ s3
xi (t) sint
Xi (s) s2 2
三、一阶系统的时间响应
微分方程 传递函数
解：1）单位阶跃输入时
2s 1 X o (s) G(s)X i (s) s(s 1)2
11
1
s (s 1)2 s 1
从而：
xo(t) L1[ Xo(s)] 1 tet et
2）单位脉冲输入时，由于
(t) d [1(t)]
dt 因此：
xo
(t)
d dt
xo1 (t)
2e t
tet
-1 0
1
3) 1时：
w(t)
L-1[ (s
n2 n
)2
]
n2t
ent
w(t) 0.4
n
0.2
无振荡,先上升后急速衰减 4) 1时：无振荡
-1 0
1
w(t) n {L-1[
1
]
2 2 1 s ( 2 1)n
w(t) 0.4
n
L-1[
1
]}
0.2
s ( 2 1)n
n
[e e ] ( 21)nt
瞬态响应 1 et T T
稳态响应 0
传递函数为Laplace变换
对
例: 单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo (t ) 7 5e 6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
G(s)
Xo (s) X i (s)
Xo(s)
L[ xo (t )]
L[7 5e 6t ]
7 5 2s 42 s s 6 s(s 6)
机械工程控制基础
广东海洋大学
第三章 时间响应分析
一、时间响应及其组成
1.时间响应
时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，即 系统微分方程在一定初始条件下的解。 系统在外界（输入或扰动）的作用下，从一定的初始状 态出发，所经历的由其固有特性所决定的动态历程。亦 即系统微分方程在一定初始条件下的解。
特征根虚部Im[si]的大小决定自由响应的振荡频率
Im
[s]
Re
若所有特征根具有负实部 系统自由响应收敛 系统稳定 自由响应称为瞬态响应 强迫响应称为稳态响应
Im
[s]
若存在特征根的实部大于零
系统自由响应发散
Re
系统不稳定
若有一对特征根的实部为零 其余特征根均小于零 系统自由响应最终为等幅振荡 系统临界稳定
研究时间响应的目的在于分析系统的稳定性、响应的快 速性与响应的准确性等系统的动态性能。
2.时间响应的组成
求 y 7 y 12 y 6r 12r (其中，r(t), y(t)分别为 系统的输入和输出)在r(0 ), y(0 ), y(0 )时的解。
解：在初始条件下，对微分方程两边分别进行Laplace变化得：
系统稳定性判据
4.特征根虚部Im[si]的大小决定自由响应的振荡频率
二、典型的输入信号
（一） 选择典型信号的原因
实际的输入信号是复杂的、随机的，数
学处理困难，分析不易
对于同一系统
典型输入
X 01 (s) G(s) X 02 (s)
Hale Waihona Puke Baidu
X i1(s)
X i2(s)
任意输入
只要知道系统对典型输入信号的响应，就 能求出系统对任何输入的响应
0
t>
1 xo(t)
t
L[(t)]=1
3、单位速度信号 t
xi(t)=t t≥0
xo(t)
450
t
L[t]
1 s2
4、单位正弦、余弦信号
xo(t)
t
L[sint] s2 2
L[cos t ]
s2
s
2
5 指数函数eat
xo(t)
t
L[e at ] 1 sa
典型输入信号的选择原则 能反映系统在工作过程中的大部分实际
0
ts
由xou (t ) 1 e t / T 1 (1 ets /T ) g1
xou (t s) 1 ets /T
有ets /T 1
ts T ln
时，ts 4T; 5时，ts 3T。
越小，精度要求越高，调整时间ts 越长； T 越大，系统惯性越大，调整时间ts 越长。
调整时间反映系统响应的快速性
情况； 如：若实际系统的输入具有突变性质，
则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间 逐渐变化，则可选速度信号。
注意：对于同一系统，无论采用哪 种输入信号，由时域分析法所表示的系 统本身的性能不会改变。
二、典型的输入信号
xi(t)
xi(t)
1
1
h
0
t
xi
(t
)
(t
)
0
Xi (s) 1
xi(t)
(t 0) (t 0)
例：已知xi
(t
)
t
,
xor
(t
)
t
0.85(1
e
t 0.85
),求其脉冲响应函数。
解：（t） t;
w(t )
xor
(t)
[t
0.85(1
t
e 0.85
)]
(1
e
t 0.85
)
1
t
.e 0.85
0.85
例：已知系统传递函数： G(s) 2s 1
(s 1)2
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
T
dxo (t) dt
xo (t)
xi
(t )
1
G(s)
Ts 1
1.一阶系统单位脉冲响应
T为时间常数
w(t)
xi (t) (t
1/T
Xi (s) 1
0.368/T
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
1 Ts
1
0T
t(sec)
wt
L-1[
X
o
(s)]
L-1[ 1 Ts
] 1
1 T
et
T
单位脉冲响应函数与
A e sit 2i
i1
i 1
e e e sit
Re[si ]t jIm[si ]t
e sit e si *t 2 cos(I m [si ]t )e Re[si ]t
Im [s]
y
Re
t
Im [s]
y
Re
t
Im [s] y
Re
t
Im
y
[s]
Re
t
Im [s]
Re
t
特征根实部Re[si]的正负决定自由响应的收敛性.Re[si]<0,自由响 应收敛，绝对值越大收敛越快； Re[si]>0,自由响应发散，绝对 值越大发散越快。
结论：
1.若所有特征根实部均为负值（所有极点均位于[s]平面左半平 面），系统自由响应收敛。系统稳定。
2.若存在特征根实部正值（ [s]平面右半平面存在极点），系统 自由响应发散。系统不稳定。 3.若存在一对特征根实部为零，而其余特征根实部均为负值 （ [s]平面虚轴上存在一对极点，其余极点位于左半平面），系 统自由最终为等幅振荡。系统临界稳定。
2
零状态响应项：B(t)
A e sit 1i
2
零输入响应项：
A e sit 2i
i 1
i 1
2
2
y(t) B(t)
A e sit 1i
A e sit 2i
i 1
i 1
对于一个n阶系统，其微分方程为
an
y(n)
an1
y (n1)
...
a1
y
a0
y
bm
x(m)
b x (m1) m1
...
由Xo(s)=Xi(s)G(s) =Xi(s)W(s)
可得： xo(t)=xi(t)*w(t)
任何输入信号的响应等于该输 入信号与单位脉冲响应的卷积。
三、一阶系统的时间响应
2. 一阶系统单位阶跃响应
xi (t) u(t 1
xo(t) 斜率1/T 1
Xi (s) 1 s
0.632
X
o
(s)
G(s)
xi1 (t) xo2 (t) xi2 (t) xo1 (t)
实际中经常使用下述两类输入信号：系 统正常工作时的输入信号和外加测试信号；
输入信号即简单又不会因外加扰动而破坏 系统的正常运行，然而，这不一定能保证有 足够的能激励系统的信息，从而获得对系统 动态特性的全面了解；
测试信号在实验条件下用得很成功，但在 实际生产过程中对正常的生产运行干扰太大， 往往不能使用。
完全由初始状态所决定）。
y(t ) L1[
6(s 2)
R( s )]
L1[ (s
7) y(0
)
y(0
)
6r(0
) ]
s2 7s 12
s2 7s 12
若r (t )
u(t ), r(0
)
0,
y(0
)
1,
y(0
)
1, 此 时 ，R( s )
1 s
y(t ) L1[ 6(s 2) . 1 ] L1[ (s 7) 1 ]
. 稳态值
t(sec)
四、二阶系统的时间响应
传递函数：
G(s)
Xo(s) Xi (s)
2 n
s2
2n s
2 n
特征方程：
s2 2n s n2 0
n ——无阻尼固有频率
——阻尼比
特征根：
s1,2 n n 2 1
0 1
j s1 n
n
s2
欠阻尼系统
0
j
[s]
s1
n
s2
无阻尼系统
6(s 2)
R( s )]
L1[ (s
7) y(0 )
y(0
)
6r(0
) ]
s2 7s 12
s2 7s 12
L1[G(s)R(s)] L1[(s 7) y(0 ) y(0 ) 6r(0 )] s2 7s 12
零状态响应（零初始状态下， 零输入响应（系统无输入，
完全由输入所引起）。
1
j
[s]
s1(s2)
n
临界阻尼系统
1
j
[s]
s1 s2
过阻尼系统
1. 二阶系统的单位脉冲响应
w(t) L-1[G(s) Xi (s)] L-1[G(s)]
L-1[
n2
] L1[
n2
]
s2 2n s n2
(s n )2 (n 1 2 )2
1) 0<<1时：
w(t) L-1[ n
4.时间常数对时间响应的影响
单位脉冲响应
单位阶跃响应
单位斜坡响应
结论1： 时间常数T 越小，系统惯性越小，系统响应越快； 时间常数T 越大，系统惯性越大，系统响应越慢。
5.一阶系统性能指标——调整时间 ts
稳态值 xo(t)
单位阶跃输入作用下，其响应与
稳态值相差等于容许误差所需要
的时间。 设相对容许误差
n 1 2
]
1 2 (s n )2 (n 1 2 )2
w(t)
n 1
0
w(t)
n 1 2
ent
sin dt
-1 01
d n 1 2 ——有阻尼固有频率
角频率为有阻尼固有频率的减幅振荡
2 t(sec)
2) 时：
w(t)
L-1[n
s2
n n2
]
n
sin
nt
w(t) 1
n
0
角频率为无阻尼固有频率的等幅振荡
X
i
(s)
1 Ts
1
1 s
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
L-1[
1 Ts
1
1 s
]
0T
1 et T
t(sec)
瞬态响应：et T
稳态响应： 1
3. 一阶系统单位斜坡响应
xo(t)
xi (t) r(t t
Xi (s) 1 s2
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
G(s)
1 s2
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
( 2 1)nt
2 2 1
-1 0
1
2 t(sec) 2 t(sec) 2 t(sec)
2. 二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) u(t)
L[u(t)] 1 s
X o (s)
G(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
1 s
xo(t)
n
2
1
s 2n
1
s (s n jd )(s n jd )
（二）对典型输入信号的要求
1、能够使系统工作在最不利的情形下； 2、 形式简单，便于解析分析； 3、实际中可以实现或近似实现。
（三）、常用的典型信号
1、单位阶跃信号u(t)
1 t ≥0
u(t)=
xo(t)
0 t <0
1
t
L[u(t)] 1 s
2 单位脉冲信号(t)
(t)=
lim 1
→0
t≤
s2 7s 12 s
s2 7s 12
L1[1 2 3 ] L1[ 5 4 ]
s s3 s4
s3 s4
1 2e 3t 3e 4t 5e 3t 4e 4t u(t ) 7e 3t 7e 4t
零状态响应 零输入响应
强迫响应 自由响应
-3，-4是系统传递函数的极点（特征根）