二次函数和一次函数图像综合
2020年中考代数综合第4讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题
2020 年中考代数综合第 4 讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【专项突破】4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c 在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G 有唯一公共点，请结合图象，求n 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C1：y＝x2+bx+c 与x 轴交于点A，B（点A 在点B 的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1 的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2 围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l 与图形M 有公共点，求k 的取值范围．【参考答案】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线解析式，列出关于a 的一元一次方程，通过解该方程求得a 的值；（2）根据（1）中抛物线解析式求得顶点P 的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点P′的坐标；（3）由点P、P′的坐标求得直线PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）在抛物线上，∴，∴解得a＝﹣2．（2）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3．∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点P的坐标为（1，4）．∴．∵点P 关于原点的对称点为P'，∴P'的坐标为（﹣1，﹣4）．（3）直线PP'的表达式为y＝4x，图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（﹣1，﹣3），B'的坐标为（3，﹣3），若图象G 与直线PP'无交点，则B'要左移到M 及左边，令y＝﹣3 代入PP'，则，M 的坐标为，∴，【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．此题中的点A 的坐标是隐含在题中的一个已知条件．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．【分析】（1）由抛物线的解析式易求点C 的坐标，进而可求出点B 的坐标，把点B 的坐标代入抛物线的解析式可求出m 的值，则抛物线的解析式也可求出；（2）由点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，可知t＝﹣3，若y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，若y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，进而可求出n 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣3）．∵抛物线与x 轴交于A、B 两点，OB＝OC，∴B（3，0）或B（﹣3，0）．∵点A 在点B 的左侧，m＞0，∴抛物线经过点B（3，0）．∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3．∴m＝1．∴抛物线的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）可知：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，∴t＝﹣3，∴y2＝﹣3x﹣3，y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴的交点问题以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m 的值，可得抛物线的解析式；（3）点求出点A，B，C，D 的坐标，根据待定系数法求出直线CD 的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），根据点在直线上，求出取值范围即可．【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：△＝（3m+1）2﹣4×m×3＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：令y＝0，那么mx2+（3m+1）x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣，∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数，∴m＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x+3；（3）如图，∵当x＝0 时，y＝3，∴C（0，3），∵当y＝0 时，x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点A 在点B 的左侧，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D（1，0），设直线CD 的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CD 的表达式为：y＝﹣3x+3，又∵当x＝﹣时，y＝，∴点E（﹣，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），当直线y＝﹣3x+3 经过点A′（﹣3+n，0）时，得：﹣3（﹣3+n）+3＝0，解得：n＝4，当直线y＝﹣3x+3经过点E′（﹣+n，），时，得：﹣3（﹣+n）+3＝，解得：n ＝，当抛物线与直线相切情况，此时n＝∴n 的取值范围是≤n≤．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x 轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x 轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．【分析】（1）本题中，二次项系数m 的值不确定，分为m＝0，m≠0 两种情况，分别证明方程有实数根．（2）抛物线经过原点，c＝0，列出方程即可解决．（3）列出方程组，有两个交点，△＞0，即可求出b 的取值范围．【解答】解：（1）分两种情况讨论．①当m＝0 时，方程为x﹣2＝0，x＝2．∴m＝0 时，方程有实数根．②当m≠0 时，则一元二次方程的根的判别式△＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）＝9m2﹣6m+1﹣8m2+8m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴m≠0 时，方程有实数根．故无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．综合①②可知，m 取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 恒有实数根；（2）∵抛物线y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2 经过原点，∴2m﹣2＝0，∴m＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x．（3）函数图象如图所示，由消去y 得到x2﹣3x﹣b＝0，∵两个函数图象有两个交点，∴△＞O，∴9+4b＞0，∴b＞﹣时直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点．【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况，记住两个函数图象有两个交点，说明方程组有两组解，利用判别式解决问题，属于中考常考题型．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出k 的取值范围；（2）根据k 的取值范围可得当k＝0 时，为k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过原二次函数与x 轴的交点A（即左边的交点），可将A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出m 的值；②原二次函数图象x 轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x 的一元二次方程，那么该方程的判别式△＝0，根据这一条件可确定m 的取值．【解答】解：（1）由题意，得△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0，∴k＞﹣1，∴k 的取值范围为k＞﹣1；（2）∵k＞﹣1，且k 取最小的整数，∴k＝0．∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∵y＝x2﹣2x﹣3 的图象与x 轴相交，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴解得：x＝﹣1 或3，∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y＝x+m 知：直线位于l1 和l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0＝﹣1+m，即m＝1．②当直线位于l2 时，此时l2 与函数y＝﹣x2+2x+3 的图象有一个公共点，∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m＝0 有两个相等实根，∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，即m＝．当m＝时，x1＝x2＝满足﹣1≤x≤3，由①②知m＝1 或m＝．【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B 的坐标可以得到对称轴方程为x＝1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则易求该抛物线的解析式；（2）通过图象可以看出点B 纵坐标t 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n过点A（﹣1，a），B（3，a），∴抛物线的对称轴x＝1．∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．∴抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣4，即y＝2x2﹣4x﹣2．把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式，求出a＝4；（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y 轴的对称点为点D，∴D（﹣1，﹣4）．求出直线CD 的表达式为y＝﹣4．求出直线BD 的表达式为y＝2x﹣2，当x＝1 时，y＝0．所以﹣4＜t≤0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到A 点坐标；（2）已知BC＝4，由（1）可知抛物线对称轴为x＝1，所以可知B 点坐标，将其代入抛物线方程可求得m 的值，于是得到抛物线解析式；②由m＝1即可得到B（﹣1，0），C（3，0），再求出D（0，﹣3），画出抛物线，通过画图可得当k＞0 时，直线y＝kx+b 过A、C 时，k 最大；当k＜0，直线y＝kx+b 过A、D 时，k 最大，然后分别求出两直线解析式即可得到k 的范围．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx+m﹣4＝m（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点A的坐标为（1，﹣4）；（2）①∵BC＝4，抛物线的对称轴为x＝1，点 B 在点C 左侧，∴点B坐标为（﹣1，0），点C坐标为（3，0），将B（﹣1，0）代入y＝m（x﹣1）2﹣4，得：0＝4m﹣4，解得m＝1所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；②B（﹣1，0），C（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），如图，当直线y＝kx+b 过A、C 时，直线解析式为y＝2x﹣6；当直线y＝kx+b 过A、D 时，直线解析式为y＝﹣x﹣3，所以若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，k 的取值范围为0＜k≤2 或﹣1≤k＜0．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．，（1） 求抛物线的表达式；（2） 抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 在第一象限内的部分记为图象 G ，如果过点 P （﹣3，4）的直线 y ＝mx +n （m ≠0）与图象 G 有唯一公共点，请结合图象，求 n 的取值范围．【分析】（1）将点 A 、B 坐标代入二次函数解析式即可求得；（2）如图，先求出直线 PB 解析式．从而知其与 y 轴的交点 E ，由图象知过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象 G 有唯一公共点，据此解答可得．【解答】解：（1）将 A 、B 两点的坐标代入抛物线的表达式中，得：， 解得∴抛物线的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +3．（2）设抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 与 y 轴交于点 C ，则点 C 的坐标为（0，3）．抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 的顶点坐标为（1，4）．设直线 PB 解析式为 y ＝kx +b ，将点 P （﹣3，4）、B （3，0）代入，得：，∴直线 PB 的表达式为，∴与 y 轴交于点 E （0，2）．∵直线 PD 平行于 x 轴，∴与 y 轴交于点 F （0，4）．由图象可知，当过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象G 有唯一公共点，另外，直线 PD 与图象 G 也有唯一公共点，但此时 m ＝0．∴n 的取值范围是 2＜n ≤3．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象 G 有唯一公共点时，与 y 轴交点的范围是解题的关键，9. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 1：y ＝x 2+bx +c 与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 的左侧），对称轴与 x 轴交于点（3，0），且 AB ＝4．（1） 求抛物线 C 1 的表达式及顶点坐标；（2） 将抛物线 C 1 平移，得到的新抛物线 C 2 的顶点为（0，﹣1），抛物线 C 1 的对称轴与两条抛物线 C 1，C 2 围成的封闭图形为 M ．直线 l ：y ＝kx +m （k ≠0）经过点 B ．若直线 l 与图形 M 有公共点，求 k 的取值范围．，解得：【分析】（1）利用对称轴与x轴交于点（3，0），AB＝4可得A，B坐标，将A，B坐标代入y＝x2+bx+c 可得解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）利用平移后的C2的顶点为（0，﹣1），可得抛物线C2的解析式，易得抛物线C1的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点E，当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，代入y＝kx+m（k≠0）可得k BD，将点B（5，0）和点E（3，8）代入y＝kx+m（k≠0）可得k BE，易得k 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线C1的对称轴与x轴交于点（3，0），∴抛物线C1 的对称轴为直线x＝3．又∵AB＝4，∴A（1，0），B（5，0）．∴解得∴抛物线C1 的表达式为y＝x2﹣6x+5．即y＝（x﹣3）2﹣4．∴抛物线C1的顶点为D（3，﹣4）．（2）∵平移后得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），∴抛物线C2 的表达式为y＝x2﹣1．∴抛物线C1 的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点为E（3，8）①当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，得解得k BD＝2．②当直线l 过点B（5，0）和点E（3，8）时，得解得k BE＝﹣4，∴结合函数图象可知，k 的取值范围是﹣4≤k≤2 且k≠0．【点评】本题主要考查了二次函数的性和二次函数图象与几何变换，利用代入法求交点是解答此题的关键．第21页（共21页）。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合1．如图，在直角坐标平面内，直线y=－x+5与轴和轴分别交于A、B两点，二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求sin∠OCA的值；（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且ABP的面积为10，求点P的坐标．2．如图，已知二次函数y＝12x2－x－32的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求线段EF的最大值．3．如图二次函数的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y 轴于点C．（1）试确定、的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求∠MBC的面积．4．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min{﹣3，2}＝，min{﹣1，﹣2}＝；（2）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；（3）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值.5．已知，二次三项式﹣x2+2x+3.（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围.6．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，且二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.（1）求A，B两点的坐标.（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.7．小明根据华师版八年级下册教材P37学习内容，对函数y= 12x2的图象和性质进行了探究，试将如下尚不完整的过程补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣4n﹣2﹣101234…y…8 4.520.500.52 4.58…；（2）如图，在平面直角三角形坐标系xOy中，已描出了以上表中的部分数值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的大致图象．（3）根据画出的函数图象，小明观察发现：该函数有最小值，没有最大值；当函数值取最小时，自变量x的值为．（4）进一步探究函数的图象发现：①若点A（x a，y a），点B（x b，y b）在函数y= 12x2的图象上；当x a＜x b＜0时，y a与y b的大小关系是；当0＜x a＜x b时，y a与y b的大小关系是；②直线y1恰好经过函数的图象上的点（﹣2，2）与（1，0.5）；当y＜y1时，x的取值范围是．8．如图所示，将抛物线y＝12x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．（1）直接写出新抛物线的解析式为；（2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE∠CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：①求点E的坐标；②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．9．某超市准备销售一种儿童玩具，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该儿童玩具每件的利润不允许高于进货价的60%．设销售这种儿童玩具每月的总利润为w（元），那么每件售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？10．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG∠AB于点G．求出∠PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得∠ABM与∠ABD 的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2.（1）求抛物线的函数关系式；（2）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.13．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C （0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM∠BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若∠BCD和∠ABC面积满足S∠BCD= 35S∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒5 3个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．14．如图，二次函数y=-x²-2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y 轴于点C。
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合1．如图，二次函数y＝- 34x2+94x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB=6，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x 轴于点B，求△ABC的面积。
5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。
（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。
（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由。
6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax 2交于A ，B 两点，点A 坐标为(1，1)。
（1）水抛物线的函数表达式：（2）连结OA ，OB ，求△AOB 的面积。
7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P(1，-1)，且过Q(5，3)。
2022年江苏省南京市九年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．在同一坐标系中，二次函数2y ax b =+的图象与一次函数y bx a =+的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，⊙O 的直径AD=6，则BD 的长为()A ．2B ．3C ．23D ．333．连接对角线相等的任意四边形各边中点得到的新四边形的形状是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形4．如图，在Rt △ABC 中，AC =3，AB =5，则cosA 的值为( )A ．45B ．35C ．34D ．435．已知反比例函数的解析式为||2-=a y x ，则a 的取值范围是( ) A ．2a ≠ B ．2a ≠- C ．2a ≠± D ．2a =±6．下列是随机事件的是( )A ．口袋里共有5个球，都是红球，从口袋里摸出1个球是黄球B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．掷一枚图钉，落地后图钉针尖朝上D ．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是77．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y 轴，那么这个函数是（ ）A ．2 2y x x =+B ．2 21y x x =++C ．22y x =+D ．()21y x =- 8．如图，矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的，AC 与DE 、EF 、FG 、HG 、HB 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设△EPQ 、△GKM 、△BNC 的面积依次为S 1、S 2、S 1．若S 1+S 1=10，则S 2的值为（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．129．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）A ．b=a+cB ．b=acC ．b 2=a 2+c 2D ．b=2a=2c10．若0ab <，则函数y ax =与b y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．11．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．12．下列说法正确的是（ ）A ．一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面B ．某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说2020年元旦节紫云下雨的概率是50%，所以紫云2020年元旦节这天将有一半时间在下雨D ．某口袋中有红球3个，每次摸出一个球是红球的概率为100%二、填空题（每题4分，共24分）13．已知：如图，△ABC 的面积为12，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则四边形BCED 的面积为_____．14．如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：AB=2：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为________．15．已知ABC ∆∽DEF ∆，若周长比为4：9，则:AC DF =_____________．16．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C 在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若()31P ，是钝角ABC ∆的外心，则C 的坐标为__________．17．已知实数m ，n 满足等式m 2+2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0，那么求n m m n+的值是_____． 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点D （4，2），反比例函数k y x =的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C 落在该反比例函数图象上，则n 的值为_____________．三、解答题（共78分）19．（8分）解方程：（1）22450x x +-=(配方法)（2）()()2322x x x -=-20．（8分）计算： （1）解不等式组2531(3)23x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩ （2）化简：22131x x x x x ---+- 21．（8分）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝5，cosC ＝35，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；（2）求△ABC 的面积．22．（10分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中b 班征集到作品 件，请把图2补充完整；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率．23．（10分）（1）计算：()2013.148445132sin π-⎛⎫--++-+ ⎪⎝⎭； （2）解分式方程：21321x x x---=-； （3）解不等式组：()742 2531x x x x +⎧<⎪⎨⎪+>-⎩．24．（10分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，连接OE.过点C 作CF//BD 交OE 的延长线于点F ，连接DF. 求证：（1）△ODE ≌△FCE;（2）四边形OCFD 是矩形．25．（12分）在一元二次方程x 2-2ax +b =0中，若a 2-b >0，则称a 是该方程的中点值.（1）方程x 2-8x +3=0的中点值是________；（2）已知x 2-mx +n =0的中点值是3，其中一个根是2，求mn 的值.26．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆O 上，BE ⊥CD 垂足为E ，CB 平分∠ABE ，连接BC（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若cos ∠CAB 5CE 5AD 的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可．【详解】A．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a>0，b<0，故A选项不可能．B．由一次函数图像可得：a>0，b<0；由二次函数图像可得：a>0，b>0，故B选项不可能．C．由一次函数图像可得：a<0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b>0，故C选项可能．D．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b<0，故D选项不可能．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键．2、D【分析】连接OB，如图，利用弧、弦和圆心角的关系得到AB BC，则利用垂径定理得到OB⊥AC，所以∠ABO=12∠ABC=60°，则∠OAB=60°，再根据圆周角定理得到∠ABD=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长．【详解】连接OB，如图：∵AB=BC，∴AB BC=，∴OB⊥AC，∴OB平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×120°=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=60°，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，AB=12AD=3，∴BD=333AB=.故选D．【点睛】考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．3、B【分析】先根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证得此四边形为平行四边形，再判断一组邻边相等，所以根据菱形的定义可知该中点四边形是菱形．【详解】如图所示，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴HG、EF分别为△ACD与△ABC的中位线，∴HG∥AC∥EF，12HG EF AC==，∴四边形EFGH是平行四边形；同理可得，12EH GF BD==，∵AC=BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH 是菱形；故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合思想解答．4、B【分析】根据余弦的定义计算即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，3cos 5AC A AB ==； 故选：B.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键．5、C【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.故选C.【点睛】本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义.6、C【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【详解】A. 口袋里共有5个球，都是红球，从口袋里摸出1个球是黄球，是不可能事件，故不符合题意；B. 平行于同一条直线的两条直线平行，是必然事件，故不符合题意；C. 掷一枚图钉，落地后图钉针尖朝上，是随机事件，故符合题意；D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7，是不可能事件，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7、C【分析】由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax 2+bx+c 中，b=0，由选项入手即可．【详解】二次函数的对称轴为y 轴，则函数对称轴为x=0，即函数解析式y=ax 2+bx+c 中，b=0，故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．8、D【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质判断出△AQE ∽△AMG ∽△ACB ，得到12QE AE MG AG ==,32BC AB MG AG ==，再通过证明得到△PQE ∽△KMG ∽△NCB ，利用面积比等于相似比的平方，得到S 1、S 2、S 1的关系，进而可得到答案.【详解】解：∵矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的，∴AE=EG=GB=DF=FH=HC ，∠AEQ=∠AGM=∠ABC=90°，AB ∥CD,AD ∥EF ∥GH ∥BC∴∠AQE=∠AMG=∠ACB,∴△AQE ∽△AMG ∽△ACB ， ∴12QE AE MG AG ==,32BC AB MG AG == ∵EG= DF=GB=FH AB ∥CD,（已证）∴四边形DEGF ，四边形FGBH 是平行四边形，∴DE ∥FG ∥HB∴∠QPE=∠MKG=∠CNB ，∴△PQE ∽△KMG ∽△NCB ∴22121124S QE S MG ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22323924S BC S MG ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1214S S =，3294S S = ∵S 1+S 1=10，∴S 2=2．故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形相似的性质的综合应用，能找到对应边的比是解答此题的关键． 9、A【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a 和b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b c b a c -=-，化简得b ＝a ＋c ，故选A.【详解】请在此输入详解！10、B【分析】根据0ab <及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从00a b ><，和00a b ，两方面分类讨论得出答案．【详解】∵0ab <，∴分两种情况：（1）当00a b ><，时，正比例函数y ax =数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当00a b ，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B 符合． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，解题的关键是掌握它们的性质．11、C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系，即可得出a 、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．12、D【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【详解】解：A、一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面，是随机事件，错误；B、某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票不一定会中奖，错误；C、下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；D、正确．故选：D．【点睛】正确理解概率的含义是解决本题的关键．注意随机事件的条件不同，发生的可能性也不等．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【解析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=12BC，从而得2ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭，据此建立关于x的方程，解之可得．【详解】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=12 BC，∴△ADE∽△ABC，则2ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭=14，即121124x-=，解得：x=1，即四边形BCED的面积为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．【解析】由DE 与BC 平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE 与三角形ABC 相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．【详解】∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC =（AD ：AB ）2=4：1． 故答案为：4：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．15、4：1【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】∵△ABC ∽△DEF ， ∴ABC DEF 49C AC DF C ==． 故答案为：4:1．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比是解题的关键．16、()4,3或()1,2【解析】由图可知P 到点A ，B 的距离为5，在第一象限内找到点P 的距离为5的点即可．【详解】解：由图可知P 到点A ，B 的距离为5，在第一象限内找到点P 的距离为5的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2），故答案为()4,3或()1,2．【点睛】本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C 点．17、1或﹣2【分析】分两种情况讨论：①当m ≠n 时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m =n 时，直接得出答案．【详解】由题意可知：m 、n 是方程x 1+1x ﹣1=0的两根，分两种情况讨论：①当m ≠n 时，由根与系数的关系得：m +n =﹣1，mn =﹣1， ∴原式222()2421m n m n mn mn mn ++-+====--2， ②当m =n 时，原式=1+1=1． 综上所述：n m m n+的值是1或﹣2． 故答案为：1或﹣2．【点睛】本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型． 18、1【分析】根据菱形的性质得出CD=AD ，BC ∥OA ，根据D （4，2）和反比例函数x k y =的图象经过点D 求出k=8，C 点的纵坐标是2×2=4，求出C 的坐标，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCO 是菱形，∴CD =AD ,BC ∥OA ，∵D (4,2),反比例函数xk y =的图象经过点D ， ∴k =8，C 点的纵坐标是2×2=4， ∴8xy =， 把y =4代入得：x =2，∴n =3−2=1，∴向左平移1个单位长度，反比例函数能过C 点，故答案为1.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化-平移，数形结合思想是关键.三、解答题（共78分）19、（1）1211x x =-+=-（2）1223x x ==，． 【分析】（1）方程整理配方后，开方即可求出解；（2）把方程整理后左边进行因式分解，求方程的解【详解】（1）22450x x +-=，方程整理得：2522x x +=， 配方得：252112x x ++=+， 即27(1)2x +=，开方得：12x +=±，解得：121122x x =-+=--； （2）()23(2)2x x x -=- ，移项得：()23(2)?20x x x ---=， 提公因式得：()()2320x x x ⎡⎤---=⎣⎦，即()()2260x x --=，∴20x -=或260x -=，解得：1223x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－配方法、因式分解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．20、（1）34x ；（2）1(1)x x -． 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集；（2）根据分式的减法法则即可得．【详解】（1）2531(3)23x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩①②， 解不等式①得：4x ≤，解不等式②得：3x >-，则不等式组的解集为34x ；（2）22131x x x x x ---+-， 13(1)(1)(1)x x x x x x --+=-+-，2(1)(3)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ---+=+--， 22213(1)(1)x x x x x x x -+-+-=+， 1(1)(1)x x x x ++-=， 1(1)x x =-． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式的减法运算，熟练掌握不等式组的解法和分式的运算法则是解题关键．21、（1）AD=2；（2）S △ABC ＝1．【分析】（1）由高的定义可得出∠ADC ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ACD 中，由AC 的长及cosC 的值可求出CD 的长，再利用勾股定理即可求出AD 的长；（2）由∠B ，∠ADB 的度数可求出∠BAD 的度数，即可得出∠B ＝∠BAD ，利用等角对等边可得出BD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°．在Rt △ACD 中，AC ＝5，cosC ＝35， ∴CD ＝AC•cosC ＝3，∴AD 2．（2）∵∠B ＝25°，∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝90°﹣∠B ＝25°，∴∠B ＝∠BAD ，∴BD ＝AD ＝2，∴S △ABC ＝12AD•BC ＝12×2×（2+3）＝1． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，解题的关键是：(1) 通过解直角三角形及勾股定理，求出CD 、AD 的长；(2) 利用等腰三角形的性质，找出BD 的长．22、（1）抽样调查；12；3；（2）60；（3）25． 【解析】试题分析：（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C 在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A 、C 、D 的件数即为B 的件数；（2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解；（3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．试题解析：（1）抽样调查，所调查的4个班征集到作品数为：5÷150360=12件，B 作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3件，故答案为抽样调查；12；3；把图2补充完整如下：（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品x =12÷4=3（件），所以，估计全年级征集到参展作品：3×14=42（件）；（3）画树状图如下：列表如下：共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，所以，P （一男一女）=1220=35，即恰好抽中一男一女的概率是35． 考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法；5．图表型．23、（1）4；（2）3x =；（3）18x <<．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可．【详解】解：（1）()2013.1444512sin π-⎛⎫-+⎪⎝⎭， (214122=-⨯-+， 114=-，4=+（2）21321x x x---=-， 去分母得：()()1132x x +-=-，解得：3x =，经检验3x =是原方程的根．（3）()742 2531x x x x +⎧<⎪⎨⎪+>-⎩①②， 解不等式①得1x >，解不等式②得8x <，∴原不等式组的解集为为：18x <<．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算、不等式组的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24、（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据题意得出DOE CFE ∠=∠，DE CE =，根据AAS 即可证明；（2）由（1）可得到OD FC =，再根据菱形的性质得出90DOC ︒∠=，即可证明平行四边形OCFD 是矩形.【详解】证明：（1）CF BD ∥，DOE CFE ∴∠=∠，.E 是CD 中点，DE CE ∴=，又DEO CEF ∠=∠ODE FCE ∴∆≅∆(AAS)（2）ODE FCE ∆≅∆，OD FC ∴=，.CF BD ∥，∴四边形OCFD 是平行四边形，平行四边形ABCD 是菱形，90DOC ︒∴∠=.∴平行四边形OCFD 是矩形.【点睛】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.25、 (1)4；(2)48.【分析】(1)根据中点值的定义进行求解即可；(2)根据中点值的定义可求得m 的值，再将方程的根代入方程可求得n 的值，由此即可求得答案.【详解】(1)2 x 8x 30-+=，x 2-2×4x+3=0，42-3=13>0，所以中点值为4，故答案为4；(2)由中点值的定义得：m 32=，m 6∴=， 2x 6x n 0∴-+=，将x 2=代入方程，得：412n 0-+=，n 8∴=，mn 48∴=.【点睛】本题考查了一元二次方程的根，新定义，弄懂新定义是解题的关键.26、（1）见解析；（2）AD =6． 【分析】（1）连接OC ，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB ＝∠EBC ，则OC ∥BE ，从而证得OC ⊥CD ，即CD 是⊙O 的切线；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】证明：（1）连接OC．∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，又∵∠EBC＝∠ABC，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE，∵BE⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）设AB＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴直角△ABC中，AC＝AB•cos∠CAB＝55x，∴BC22AB AC-2255x x⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭25x，∵∠BCE+∠BCO＝∠CAB+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CAB＝∠BCE，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CEB，∴ACCE＝ABBC，∴5x55＝255xx，∴x＝552，∴AB＝552，BC＝5，∵△ACB∽△CEB，∴∠CAB =∠ECB= cos∠CAB=CE BC∴BE＝25，∵OC∥BE，∴△DOC∽△DBE，∴OCBE＝ODBD，∴55425＝554552ADAD++，∴AD＝556．【点睛】本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，相似三角形的判定及性质等，证明切线的问题常用的思路是转化成证明垂直问题．。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
一次函数与二次函数图像共存及其性质
相关
a、b同号 a、b异号
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c 0 与y轴交于正半轴
c
与y轴交点的纵坐标c c
0 0
与坐标轴交于原点 与y轴交于负半轴
学以致用：
函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）
的图象可能是（C ）
y
y
y
y
1
x o
× A．
1
ox
× B．
o
x
√C．
1
0 0
从左往右上升 从左往右下降
b
与y轴
交
点
的
纵
坐
标
b b
0 0
与y轴交于正半轴 与坐标轴交于原点
b 0 与y轴交于负半轴
二次函数的一般式：y ax2 bx ca 0
二次函数的图像是一条抛物线
a
抛物线开口方向
a a
0 0
开口向上 开口向下
b
与对称轴x
b 2a
二次项系数a
ox
× D．
{ a>0→一次函数上升 + 二次函数开口向上
a相同 a<0→一次函数下降 + 二次函数开口向下
一次函数中常数项是1 →直线与y轴交于 正半轴(0,1) 二次函数中常数项是1 →抛物线与y轴交于正半轴(0,1)
新人教版初中数学九年级上册第22章《二次函数》 §22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像及性质
一次函数与二次函数 图像及其性质
学校：潮州市高级实验学校 授课者：谢骏
知识回顾：
一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0) 一次函数的图像是一条直线
武汉市2017中考第10题二次函数与一次函数综合(2)
二次函数与一次函数综合1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知二次函数y=ax2+bx+1（a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，下列5个判断中：①b＜0；②b﹣a＜0；③a＞b﹣1；④a＜﹣；⑤2a ＜b+，正确的是（）A．①③B．①②③C．①②③⑤D．①③④⑤3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论：①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知二次函数y=ax2﹣bx+c（a≠0），其图象经过A（3﹣m，2），B（m+1，2）两点，则的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣45．如图：二次函数y=ax2+bx+c的图象所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2，正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值是（）A．1或﹣5 B．1或3 C．1或﹣3 D．﹣1或57．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（）A．3﹣或1+B．3﹣或3+C．3+或1﹣D．1﹣或1+ 8．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．9．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（）A．有最大值﹣4.5 B．有最大值4.5 C．有最小值4.5 D．有最小值﹣4.5 10．已知非负数a，b，c满足a+b=2，c﹣3a=4，设S=a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A．9 B．8 C．1 D．11．如果二次函数y=x2﹣6x+8在x的一定取值范围内有最大值（或最小值）为3，满足条件的x的取值范围可以是（）A．﹣1≤x≤5 B．1≤x≤6 C．﹣2≤x≤4 D．﹣1≤x≤112．已知y=x（x+5﹣a）+2是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤4时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a=10 B．a=4 C．a≥9 D．a≥1013．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（）A．B．C．D．全体实数14．已知二次函数y=x2﹣x+a的图象与x轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则实数a的取值范围是（）A．0≤a＜B．﹣6≤a＜0 C．﹣5＜a≤D．﹣6≤a＜15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a=0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥016．对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）A．m≥﹣2 B．﹣4≤m≤﹣2 C．m≥﹣4 D．m≤﹣4或m≥﹣217．已知二次函数y=x2+2x﹣3，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，设自变量分别取m﹣4，m+4时对应的函数值为y1，y2，则下列判断正确的是（）A．y1＜0，y2＜0 B．y1＜0，y2＞0 C．y1＞0，y2＜0 D．y1＞0，y2＞0 18．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2二次函数与一次函数综合参考答案与试题解析1．（2017•绍兴模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①由函数的图象可得：当x=﹣2时，y＜0，即y=4a﹣2b+c＜0，故①正确；②由函数的图象可知：抛物线开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴大于﹣1，即x=＞﹣1，得出2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图象知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），联立（1）（2），得：a+c＜1，故③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，故选D．2．（2017•安丘市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+1（a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，下列5个判断中：①b＜0；②b﹣a＜0；③a＞b﹣1；④a＜﹣；⑤2a＜b+，正确的是（）A．①③B．①②③C．①②③⑤D．①③④⑤【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（1，0）和（x1，0），﹣2＜x1＜﹣1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，∵﹣2＜x1＜﹣1，∴﹣＜﹣＜0，∴b＜0，b＞a，故①正确，②错误；∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+1＞0，∴a＞b﹣1故③正确；∵由一元二次方程根与系数的关系知x1•x2=，∴x1=，∵﹣2＜x1＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴a＜﹣，故④正确；∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+1＜0，∴2a＜b+，故⑤正确，综上所述，正确的结论有①③④⑤，故选：D．3．（2017•宁波一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论：①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵顶点坐标为（1，2），∴x=1时，函数最大值是2，故②正确；根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（0，3），∴x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故③正确；∵b=﹣2a，∴2a+b=0，故④正确；当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，∴﹣﹣b+c=0，∴2c=3b，故⑤错误；综上所述，正确的结论有②③④共3个．故选C．4．（2017•孝感一模）已知二次函数y=ax2﹣bx+c（a≠0），其图象经过A（3﹣m，2），B（m+1，2）两点，则的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣bx+c的图象经过两点（3﹣m，2）、（m+1，2），∴对称轴方程x==，∴，∴，故选C．5．（2017•诸城市模拟）如图：二次函数y=ax2+bx+c的图象所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2，正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意得：a＜0，c＞0，﹣=1＞0，∴b＞0，即abc＜0，选项①错误；﹣b=2a，即2a+b=0，选项②正确；当x=1时，y=a+b+c为最大值，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即当m≠1时，a+b＞am2+bm，选项③正确；由图象知，当x=﹣1时，ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，选项④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12﹣ax22+bx1﹣bx2=0，（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，∴x1+x2=﹣=﹣=2，所以⑤正确．所以②③⑤正确，共3项，故选C．6．（2017•历下区一模）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值是（）A．1或﹣5 B．1或3 C．1或﹣3 D．﹣1或5【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：D．7．（2017•河西区模拟）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（）A．3﹣或1+B．3﹣或3+C．3+或1﹣D．1﹣或1+【解答】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值﹣5，可得：﹣（1﹣h）2+1=﹣5，解得：h=1﹣或h=1+（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值﹣5，可得：﹣（3﹣h）2+1=﹣5，解得：h=3+或h=3﹣（舍）．综上，h的值为1﹣或3+，故选：C．8．（2016•舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，2m=﹣（n﹣1）2+5，n=，∴m=，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣2+=．故选：D．9．（2016•滕州市校级模拟）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（）A．有最大值﹣4.5 B．有最大值4.5 C．有最小值4.5 D．有最小值﹣4.5【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），∴N点坐标为（﹣a，b），∵点M在双曲线y=上，∴2ab=1，解得ab=，∵点N在直线y=x+3上，∴b=﹣a+3，解得a+b=3，∴二次函数解析式为y=﹣x2+3x，∴当x=﹣=3时，函数有最大值，y max=﹣×9+9=4.5．故选B．10．（2016•杭州模拟）已知非负数a，b，c满足a+b=2，c﹣3a=4，设S=a2+b+c 的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A．9 B．8 C．1 D．【解答】解：∵a+b=2，c﹣3a=4，∴b=2﹣a，c=3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S=a2+b+c=a2+（2﹣a）+3a+4，=a2+2a+6，∴对称轴为直线a=﹣=﹣1，∴a=0时，最小值n=6，a=2时，最大值m=22+2×2+6=14，∴m﹣n=14﹣6=8．故选B．11．（2016秋•下城区期末）如果二次函数y=x2﹣6x+8在x的一定取值范围内有最大值（或最小值）为3，满足条件的x的取值范围可以是（）A．﹣1≤x≤5 B．1≤x≤6 C．﹣2≤x≤4 D．﹣1≤x≤1【解答】解：∵y=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，当y=3时，得出x=1或5，∴在自变量﹣1≤x≤1的取值范围内，当x=1时，有最小值3，故选D．12．（2015•余杭区一模）已知y=x（x+5﹣a）+2是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤4时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a=10 B．a=4 C．a≥9 D．a≥10【解答】解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤4内时，此时，对称轴一定在1≤x≤4的右边，函数方能在这个区域取得最大值，x=≥4，即a≥13，第二种情况：当对称轴在1≤x≤4内时，对称轴一定是在区间1≤x≤4的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=4的地方取得最大值，即：x=≥，即a≥10（此处若x取2.5的话，函数就在1和4的地方都取得最大值）．综合上所述a≥10．故选：D．13．（2017•历城区二模）已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（）A．B．C．D．全体实数【解答】解：根据题意，令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，∵抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，∴f（0）＜﹣，解得：m＜，综上可得：＜m＜，故选A．14．（2017•鄂城区校级二模）已知二次函数y=x2﹣x+a的图象与x轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则实数a的取值范围是（）A．0≤a＜B．﹣6≤a＜0 C．﹣5＜a≤D．﹣6≤a＜【解答】解：∵二次函数y=x2﹣x+a的图象与x轴的两个不同的交点，∴△=b 2﹣4ac=1﹣4a＞0，解得：a＜，∵图象与x轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，∴|x1﹣x2|≤5，∴x12+x22﹣2x1x2≤25，∵x1+x2=1，∴x12+x22+2x1x2=1，x12+x22=1﹣2x1x2，∴1﹣2x1x2﹣2x1x2≤25，∴1﹣4x1x2≤25，∴1﹣4a≤25，∴a≥﹣6，则a的取值范围是：∴﹣6≤a＜，故选D．15．（2017•石城县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a=0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0【解答】解：当a＞0，∵方程ax2+bx+c﹣a=0的两根为m、n，∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=a的交点在x轴上方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n；当a＜0，∵方程ax2+bx+c﹣a=0的两根为m、n，∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=a的交点在x轴下方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n．故选B．16．（2017•东丽区一模）对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）A．m≥﹣2 B．﹣4≤m≤﹣2 C．m≥﹣4 D．m≤﹣4或m≥﹣2【解答】解：对称轴为：x=﹣=﹣，y==1﹣，分三种情况：①当对称轴x＜0时，即﹣＜0，m＞0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；②当0≤x＜2时，0≤﹣＜2，﹣4＜m≤0，当1﹣＞0时，﹣2＜m≤0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；当1﹣＜0时，不能满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；③当x≥2时，如果满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则有x=2时，y≥0，4+2m+1≥0，m≥﹣，故选A．17．（2016•巨野县二模）已知二次函数y=x2+2x﹣3，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，设自变量分别取m﹣4，m+4时对应的函数值为y1，y2，则下列判断正确的是（）A．y1＜0，y2＜0 B．y1＜0，y2＞0 C．y1＞0，y2＜0 D．y1＞0，y2＞0【解答】解：令x2+2x﹣3=0，（x+3）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣3，x2=1．∵当自变量x取m时对应的值小于0，∴﹣3＜m＜1，∴m﹣4＜﹣3；m+4＞1；结合图象可知y1＞0、y2＞0，故选：D．18．（2017•全椒县一模）已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2【解答】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，∴，解得：k≤3且k≠2．故选：C．。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
一次函数和二次函数-课件ppt
去．故选B.
答案：B
◆高考总复习•数学•(文科)◆
4．若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足
0<α<1<β<2，实数t的取值范围是______．
解析：令 f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4，
∵α，β 满足 0<α<1<β<2，
∴f0f1<0， f1f2<0.
∴74<t<5.
◆高考总复习•数学•(文科)◆
(3)当t<1<t＋1，即0<t<1时，f(x)在区间[t,1]上是减函数，在
区间[1，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋3＝2， (i)当1－t≥t＋1－1，即0<t≤ 时1 ，f(t)≥f(t＋1)，
2
∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， (ii)当1－t<t＋1－1，即 1 <t<1时，f(t)<f(t＋1)，
∞)⇔－ b ≤0⇔b≥0.故选A.
2
2
(2)∵f(x)＝x2＋bx＋c，a＝1，∴抛物线开口向上．又f(2＋t)＝
f(2－t)，故x＝2是其对称轴，即当x＝2时，f(x)取最小值，且f(1)
＝f(3)．而当x≥2时，f(x)是增函数，∴f(2)<f(1)<f(4)．故选A.
答案：(1)A (2)A
函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[α，β]上的最值一般分为三种情况讨
◆高考总复习•数学•(文科)◆
二、二次函数定义及其性质 1．二次函数的定义：_____形__如__y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_，_ b， _c_为__常__数__且__a_≠_0_)_的__函__数__叫__一__元__二__次__函__数________. 2．二次函数的三种表示形式为： (1)一般式：____y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)______； (2)顶点式：___y_＝__a_(_x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠_0_)______； (3)零点式：___y_＝__a_(x_－___x_1)_(_x_－__x_2)_(_a_≠_0_) ___.
一次函数,二次函数
一次函数一次函数的实例概述一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。
[编辑本段]数学术语【读音】yī cì hán shù【解释】函数的基本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。
表示为y＝Kx＋b（其中K、b为任意常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。
[编辑本段]基本定义变量：变化的量常量：不变的量自变量x和X的一次函数y有如下关系：y=kx+b （k为任意不为零常数，b为任意常数）当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。
如果有2个及以上个值与x对应时，就不是函数。
x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。
[编辑本段]相关性质函数性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b为常数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)形、取、象、交、减。
4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。
图像性质1．作法与图形：通过如下３个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
一次函数反比例函数二次函数图像及性质
02
反比例函数图像及性质
反比例函数定义与表达式
定义
反比例函数是一种特殊的函数， 其自变量和因变量的乘积为常数 ，且该常数不为零。
表达式
一般地，反比例函数可以表示为 y = k/x (k ≠ 0) 的形式，其中 k 是比例系数。
反比例函数图像特征
图像位置
反比例函数的图像分布在两个象 限内，当 k > 0 时，图像位于第 一、三象限；当 k < 0 时，图像
一次函数反比例函 数二次函数图像及 性质
汇报人：XXX 2024-01-28
目录
• 一次函数图像及性质 • 反比例函数图像及性质 • 二次函数图像及性质 • 函数图像变换规律探讨 • 函数性质应用举例
01
一次函数图像及性质
一次函数定义与表达式
定义
一次函数是函数中的一种，一般形如$y=kx+b$（$k，b$是常数，$k≠0$）， 其中$x$是自变量，$y$是因变量。
表达式
一次函数的标准形式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，表示$x$每增加一个单位 ，$y$增加$k$个单位；$b$是截距，表示当$x=0$时，$y$的值。
一次函数图像特征
1 2 3
直线形状
一次函数的图像是一条直线。
斜率决定倾斜程度
当$k>0$时，直线从左下方向右上方倾斜；当 $k<0$时，直线从左上方向右下方倾斜；当 $k=0$时，直线与$x$轴平行。
二次函数
图像沿x轴或y轴平移，开 口方向和宽度不变，顶点 位置发生变化。
伸缩变换规律
一次函数
01
通过改变斜率的大小，可以实现图像在x轴或y轴方向上的伸缩
变换。
反比例函数
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
其图像的画法是按定义域的划分分别作图。
中考数学高频考点25--二次函数与一次函数综合
中考数学高频考点--二次函数与一次函数综合1．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与⊥OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问⊥PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．2．如图所示，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C。
（1）求B、C的坐标（2）点P是抛物线对称轴l上的一动点，连结PA、PC，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。
3．对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：（1）（尝试）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；（4）（发现）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．（5）（应用）二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．4．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上.（1）求m的值和二次函数的解析式.（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围.5．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线AB交于点A(−3,0)，点B(1,4) .（1）求抛物线的解析式；（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若A、O、M、N以为顶点的四边形是以OA为边的平行四边形，求点M的坐标.6．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出⊥ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．7．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c 与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点Q，以Q点为圆心，以√2长为半径的⊥Q与直线BC相切，直接写出所有满足条件的Q点坐标．8．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求⊥ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使⊥APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与⊥ABC相似，请求出点D的坐标．10．已知抛物线G：y=mx2−2mx−3有最低点.（1）求二次函数y=mx2−2mx−3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围.11．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x （米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）00.160.20.40.60.640.86X（米）00.40.51 1.5 1.62…y（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25…（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．①用含a的代数式表示k；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．12．如图，直线AB过x轴上一点A(2,0)，且与抛物线y=ax2相交于B，C两点，B点的坐标为(1,1)．（1）求直线AB的表达式及抛物线y=ax2的表达式．（2）求点C的坐标．（3）点P(m,y1)在直线AB上，点Q(m,y2)在抛物线y=ax2上，若y2<y1，直接写出m的取值范围．（4）若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得SΔAOD=SΔCOB，直接写出点D的坐标．13．综合与探究如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）连接OD，CD，求⊥OCD周长的最小值；（3）在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y=12x+ 1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当⊥CDM为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．15．某商场销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，设销售单价为x（x≥250）元．（1）写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式．（2）设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大．（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润=毛利润-经营费用）最大，超市对该商品定价为元，最大毛利润为元．16．先将二次函数L1：y=−2x2的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象L2与x 轴相交于点A和点B．（1）求线段AB的长；（2）设直线y=m与L2的图象交于Q点，当△ABQ的面积为18时，试确定Q点的坐标．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：{−1−b+c=0−16+4b+c=0，解得：b=3，c=4．抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．（2）解：如图1所示：∵令x=0得y=4，∴OC=4．∴OC=OB．∵⊥CFP=⊥COB=90°，∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与⊥OBC相似．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．则CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|．∴|a2﹣3a|=a．解得：a=2，a=4．∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．（3）解：如图2所示：连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．∵S四边形PCEB= 12OB•PE=12×4（﹣a2+3a+4），S⊥CEB= 12EB•OC=12×4×（4﹣a），∴S ⊥PBC =S 四边形PCEB ﹣S ⊥CEB =2（﹣a 2+3a+4）﹣2（4﹣a ）=﹣2a 2+8a ． ∵a=﹣2＜0，∴当a=2时，⊥PBC 的面积S 有最大值． ∴P （2，6），⊥PBC 的面积的最大值为82．【答案】（1） 解：当x=0时，y=-3，∴点C （0，-3）； 当y=0时， x 2-2x-3 =0∴（x-3）（x+1）=0 x-3=0或x+1=0 解之：x 1=3，x 2=-1 ∴点B （3，0）；（2）解： ∵抛物线与x 轴交于点A ，B∴点A ，B 关于对称轴对称，连接BC 交对称轴于点P,此时PA+PC 的值最小.∵y=x 2-2x-3=（x-1）2-4 ∴对称轴为直线x=1,；设经过点B ，C 的函数解析式为y=kx+b （k≠0） ∴{3k +b =0b =−3 解之：{k =1b =−3∴y=x-3 当x=1时，y=-2∴点P 的坐标为（1，-2）3．【答案】（1）（1，﹣2）（2）点A 在抛物线L 上（3）解：将x ＝﹣1代入抛物线L 的解析式中，得： n ＝t （x 2﹣3x+2）+（1﹣t ）（﹣2x+4）＝6． （4）（2，0）、（﹣1，6）（5）解：将x ＝2代入y ＝﹣3x 2+5x+2，y ＝0，即点A 在抛物线上． 将x ＝﹣1代入y ＝﹣3x 2+5x+2，计算得：y ＝﹣6≠6， 即可得抛物线y ＝﹣3x 2+5x+2不经过点B ，∴二次函数y ＝﹣3x 2+5x+2不是二次函数y ＝x 2﹣3x+2和一次函数y ＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．4．【答案】（1）解：由于A （﹣1，0）在一次函数y 1=﹣x+m 的图象上，得：﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；已知A （﹣1，0）、B （2，﹣3）在二次函数y 2=ax 2+bx ﹣3的图象上，则有： {a −b −3=04a +2b −3=−3 ，解得 {a =1b =−2 ∴二次函数的解析式为y 2=x 2﹣2x ﹣3 （2）解：∵y 1=-x-1, y 2= x 2﹣2x ﹣3 , 当y 1=y 2时， -x-1= x 2﹣2x ﹣3 , 整理得（x-2）(x+1)=0, 解得x=2或x=-1,看图象可知：当1＜x ＜2时， 抛物线在直线的下方， ∴ 当y 1＞y 2时，﹣1＜x ＜2.5．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2+bx +c 与直线 AB 交于点 A(−3,0) ，点 B(1,4) ，∴{0=−9−3b +c 4=−1+b +c ，解得： {b =−1c =6 ，∴抛物线的解析式为： y =−x 2−x +6 （2）解：设直线AB 的解析式为：y=kx+m ，把 A(−3,0) ， B(1,4) ，代入得： {0=−3k +m 4=k +m ，解得： {k =1m =3 ，∴直线AB 的解析式为：y=x+3.∵以 A 、O 、M 、N 为顶点的四边形是以OA 为边的平行四边形， ∴AO=MN=3且AO⊥MN ，∵点 M 是 x 轴上方抛物线上一点，点 N 是直线 AB 上一点，∴设M(x ， −x 2−x +6 )，则N(x+3，x+6)或N(x-3，x)，∴−x 2−x +6 =x+6或 −x 2−x +6 =x ，解得： x 1=0 ， x 2=−2 ， x 3=−1−√7 ， x 4=−1+√7 ，令y=0代入 y =−x 2−x +6 ，得： −x 2−x +6=0 ，解得：x=-3或x=2， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(2，0)， ∵点 M 是 x 轴上方抛物线上一点， ∴点M 的横坐标取值范围为：-3＜x ＜2，∴点M 的坐标为：(0，6)或(-2，4)或( −1+√7 ， −1+√7 )6．【答案】（1）解：当k=1时，抛物线解析式为 y =x 2−1， 直线解析式为y=x+1.联立两个解析式 {y =x 2−1y =x −1，得： x 2−1=x +1， 解得：x=−1或x=2，当x=−1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A(−1，0)，B(2，3).（2）解：设 P(x ，x 2−1). 如答图2所示，过点P 作PF⊥y 轴，交直线AB 于点F ，则F(x ，x+1).∴PF =y F −y P =(x +1)−(x 2−1)=−x 2+x +2.S △ABP =S △PFA +S △PFB =12PF(x F −x A )+12PF(x B −x F )=12PF(x B −x A )=32PF ， ∴S △ABP =32(−x 2+x +2)=−32(x −12)2+278. 当 x =12 时， y P =x 2−1=−34.∴⊥ABP 面积最大值为278，此时点P 坐标为 (12，−34) （3）解：设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E. F ，则 E(−1k ，0)，F(0，1)，OE =1k，OF =1. 在Rt⊥EOF 中，由勾股定理得： EF =√(1k )2+1=√1+k 2k.令 y =x 2+(k −1)x −k =0， 即(x+k)(x−1)=0，解得：x=−k 或x=1. ∴C(−k ，0)，OC=k.设以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时 ∠OQC =90∘. 如图3所示，设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ⊥EF ， NQ =CN =ON =k2.∴EN =OE −ON =1k −k2.∵∠NEQ =∠FEO ，∠EQN =∠EOF =90∘，∴⊥EQN⊥⊥EOF ， ∴NQ OF =EN EF， 即： k 21=1k −k 2√1+k 2k解得： k =±2√55，∵k>0，∴k =2√55.即存在实数k 使得直线 y =kx +1 与以O 、C 为直径的圆相切7．【答案】（1）解：当x ＝0时，y ＝3，即C （0，3），当y ＝0时，x ＝3，即B （3，0），将B 、C 点坐标代入y ＝x 2+bx+c ，得 {c =39+3b +c =0 ， 解得 {b =−4c =3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x+3 （2）解：如图1，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，即P（2，﹣1），∵对称轴为x＝2，∴设M（2，b），MP＝|b+1|，CP＝2 √5，MC＝√22+(b−3)2，当MC＝MP时，√22+(b−3)2＝|b+1|，化简，得8b＝12，解得b＝32，即M（2，32）；当MC＝CP时，＝√22+(b−3)2＝2 √5，化简，得b2﹣6b﹣7＝0，解得b＝7，b＝﹣1（舍），即M（2，7）；当MP＝CP时，|b+1|＝2 √5，化简，得b2+2b﹣19＝0，解得b＝﹣1+2 √5，b＝﹣1﹣2 √5，M（2，﹣1+2 √5），M（2，﹣1﹣2 √5），综上所述：在该抛物线的对称轴上存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形，点M的坐标为（2，32）；（2，7）；（2，﹣1+2 √5），M（2，﹣1﹣2 √5）（3）解：如图2，在y轴上取点D（0，1），过点D作DE⊥BC于E，则⊥CDE是等腰直角三角形．∵⊥CED＝90°，CD＝3﹣1＝2，∵OB＝OC＝3，∴⊥BOC是等腰直角三角形，∴DE＝CD•cos45°＝√2．过D点作BC的平行线l，交抛物线与点Q．∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴可设直线l的解析式为y＝﹣x+n，将D（0，1）代入，得n＝1，∴y＝﹣x+1．由{y=−x+1y=x2−4x+3，解得{x=1y=0或{x=2y=−1，∴Q1（1，0），Q2（2，﹣1）．8．【答案】（1）解：设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，又∵函数图象经过点A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a= 1 4，∴此函数的解析式为y= 14（x+2）2﹣4，即y= 14x2+x﹣3；（2）解：∵点C是函数y= 14x2+x﹣3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，﹣3），又当y=0时，有y= 14x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），则S⊥ABC= 12|AB|•|OC|= 12×8×3=12；（3）解：假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．设E（x，0），则P（x，14x2+x﹣3），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，∵直线AC 过点A （﹣6，0），C （0，﹣3），∴{−6k +b =0−3=b ，解得 {k =−12b =−3， ∴直线AC 的解析式为y=﹣ 12 x ﹣3，∴点F 的坐标为F （x ，﹣ 12x ﹣3），则|PF|=﹣ 12 x ﹣3﹣（ 14 x 2+x ﹣3）=﹣ 14 x 2﹣ 32 x ，∴S ⊥APC =S ⊥APF +S ⊥CPF = 12 |PF|•|AE|+ 12|PF|•|OE|= 12 |PF|•|OA|= 12 （﹣ 14 x 2﹣ 32 x ）×6=﹣ 34 x 2﹣ 92 x=﹣ 34 （x+3）2+ 274， ∴当x=﹣3时，S ⊥APC 有最大值 274，此时点P 的坐标是P （﹣3，﹣ 154）．9．【答案】（1）解：由x=0得y=0+4=4，则点C 的坐标为（0，4）；由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A 的坐标为（﹣4，0）； 把点C （0，4）代入y=x 2+kx+k ﹣1，得k ﹣1=4， 解得：k=5，∴此抛物线的解析式为y=x 2+5x+4， ∴此抛物线的对称轴为x=﹣ 52×1 =﹣ 52 ．令y=0得x 2+5x+4=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=﹣4， ∴点B 的坐标为（﹣1，0）（2）解：∵A （﹣4，0），C （0，4），∴OA=OC=4，∴⊥OCA=⊥OAC．∵⊥AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，∴AC= √OA2+OC2=4 √2，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．∵点D在y轴负半轴上，∴⊥ADC＜⊥AOC，即⊥ADC＜90°．又∵⊥ABC＞⊥BOC，即⊥ABC＞90°，∴⊥ABC＞⊥ADC．∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与⊥ABC相似”可得⊥CAD⊥⊥ABC，∴CDAC=CAAB，即CD4√2= 4√23，解得：CD= 32 3，∴OD=CD﹣CO= 323﹣4=203，∴点D的坐标为（0，﹣20 3）．10．【答案】（1）解：∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.（2）解：∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3，∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3），∴x=m+1，y=-m-3，∴x+y=m+1-m-3=-2.即x+y=-2，变形得y=-x-2.∵m＞0，m=x-1.∴x-1＞0，∴x＞1，∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.（3）解：如图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线，x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，∴函数H的图象恒过点B（2，-4），∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.∴抛物线G恒过点A（2，-3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A，∴点P纵坐标的取值范围为-4＜y P＜-3.11．【答案】（1）解：由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度（2）解：由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣1 5，则y=﹣15（x﹣1）2+0.45，当y=0时，0=﹣15（x﹣1）2+0.45，解得：x1= 52，x2=﹣12（舍去），即乒乓球与端点A的水平距离是52m（3）解：①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（52，0），代入y=a（x﹣3）2+k，得（52﹣3）2a+k=0，化简得：k=﹣14a；②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，由题意可得，扣杀路线在直线y= 110x上，由①得，y=a（x﹣3）2﹣14a，令a （x ﹣3）2﹣ 14 a= 110x ，整理得：20ax 2﹣（120a+2）x+175a=0， 当⊥=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时符合题意， 解方程得：a 1= −6+√3510 ，a 2= −6−√3510， 当a 1= −6+√3510 时，求得x=﹣ √352 ，不符合题意，舍去；当a 2= −6−√3510 时，求得x= √352，符合题意12．【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y =kx +b ，把 A(2,0) ， B(1,1) 代入得 {2k +b =0k +b =1 ，解得 {k =−1b =2所以直线 AB 的解析式为 y =−x +2 ； 把 B(1,1) 代入 y =ax 2 得 a =1 ， 所以抛物线解析式为 y =x 2 ；（2）解：解方程组 {y =−x +2y =x 2 得 {x =1y =1 或 {x =−2y =4 ， 所以 C(−2,4) （3）−2<m <1 （4）D(√3,3)13．【答案】（1）解：当x ＝0时，y ＝6，则点C （0，6），当y ＝0时，0＝﹣ 12x 2 +2x+6，∴x 1＝6，x 2＝﹣2，∴点A （﹣2，0），点B （6，0）， 设直线BC 解析式为：y ＝kx+b ， ∴{b =60=6k +b ∴{k =−1b =6∴直线BC 解析式为：y ＝﹣x+6；（2）解：∵y ＝﹣ 12x 2 +2x+6＝﹣ 12 （x ﹣2）2+8，∴对称轴为x ＝2，∵⊥OCD 周长＝OC+OD+CD ＝6+OD+CD ， ∴OD+CD 有最小值时，⊥OCD 周长的存在最小值， 作点O 关于对称轴x ＝2的对称点O'（4，0），∴OD+CD ＝O'D+CD ，∴当点C ，点D ，点O'共线时，O'D+CD 的值最小，最小值为CO'， ∵CO'＝ √36+16 ＝2 √13∴⊥OCD 周长的最小值为6+2 √13 ；（3）解：∵以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是以BC 为边的平行四边形， ∴x B ﹣x D ＝x C ﹣x E ，或x D ﹣x C ＝x E ﹣x B ，∴6﹣2＝0﹣x E ，或2﹣0＝x E ﹣6 ∴x E ＝﹣4或8，∴点E （﹣4，﹣10）或（8，﹣10）14．【答案】（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A(−1，0)，B(3，0)两点，∴{−1−b +c =0−9+3b +c =0，解得{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；（2）解：令x=0，则y =12x +1=1，∴OD=1，过点P 作PH⊥OB 于H ，交EQ 于F ，则⊥COA=⊥PHO=90°， ∴PH⊥OC ，∴⊥P=⊥DOQ ，⊥PFQ=⊥ODQ ， 又Q 是OP 中点， ∴PQ=OQ ，∴⊥PFQ⊥⊥ODQ （AAS ）， ∴PF=OD=1，设点P 横坐标为x ，则−x 2+2x +3−(12x +1)=1，解得x 1=2，x 2=-12，当x=2时，y=3；当x=-12时y=74，∴点P 的坐标是P 1（2，3），P 2（-12，74）；（3）解：点M 的坐标为（85，95）或（-4√55，1-2√55）或（4√55，1+2√55）或（2，2）．15．【答案】（1）解：y=1000-10x（2）解：W=（1000-10x ）（x-40）=-10（x-70）2+9000 当50≤x≤70时，毛利润w 随x 的增大而增大 （3）75；500016．【答案】（1）解：由题意可得L 2的解析式为y =−2(x −2)2+8，对于L 2：y =−2(x −2)2+8，令y =0，则−2(x −2)2+8=0， 解得：x 1=0，x 2=4， ∴AB =x 2−x 1=4；（2）解：∵直线y =m 与L 2的图象交于Q 点， ∴y Q =m ．∵S △ABQ =12AB ⋅|y Q |=18，AB =4，∴|m|=9， 解得：m =±9．∵L 2的解析式为y =−2(x −2)2+8， ∴y Q =m ≤8， ∴y Q =m =−9．将y Q =−9，代入y =−2(x −2)2+8，即−9=−2(x −2)2+8解得：x =2±√342，∴Q 点坐标为(2+√342，−9)或(2−√342，−9)．。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图是二次函数 y 1=ax 2+bx +c(a ≠0) 和一次函数 y 2=mx +n(m ≠0) 的图象.则下列结论正确的是（ ）A ．若点 M(−2，d 1)，N(12，d 2)，P(2，d 3) 在二次函数图象上，则 d 1<d 2<d 3B ．当 x <−12或 x >3 时C ．2a −b =0D ．当 x =k 2+2 （ k 为实数）时2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y 1≠y 2时，则取y 1，y 2中的较大值记为N ；当y 1=y 2时，则N=y 1=y 2．则下列说法：①当0＜x ＜2时，则N=y 1；②N 随x 的增大而增大的取值范围是x ＜0；③取y 1，y 2中的较小值记为M ，则使得M 大于4的x 值不存在；④若N=2，则x=2﹣√2或x=1．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知抛物线y 1= 14（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）交x 轴于A （x 1，0）B （x 2，0）两点，且点A 在点B 的左边，直线y 2=2x+t 经过点A ．若函数y=y 1+y 2的图象与x 轴只有一个公共点时，则则线段AB 的长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．无法确定4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 和直线y ＝kx +b 都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x ＝1，那么下列说法正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．k ＝2a +cD ．x ＝4是ax 2+（b ﹣k ）x +c ＜b 的解5．直线y=ax ﹣6与抛物线y=x 2﹣4x+3只有一个交点，则a 的值为（ ）A ．a=2B ．a=10C ．a=2或a=﹣10D ．a=2或a=106．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，则x 2+（b ﹣1）x+c ＜0.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，直线y=x+2和抛物线y=x 2-x+1的若干组函数值如下表所示：x … 1 1.5 2 2.5 3 … y=x+2 … 3 3.5 4 4.5 6 … y=x 2-x+1…11.7534.7513…A ．1<x<1.5B ．1.5<Xx2C ．2<x<2.5D ．2.5<x<38．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数 y=14(x −4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）A ．5B ．225C ．4D ．17﹣4π9．如图，“心”形是由抛物线 y =−x 2+6和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C 的对应点为D ，点A ，B 是两条抛物线的两个交点，直线AB 为“心”形对称轴，点E ，F ，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）A ．6√3B ．8C ．10D ．10√310．已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于B 、D 两点．若直线y ＝kx ﹣k 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则k 的最大值是（ ）A ．12B ．2 √5 ﹣6C ．6+4 √2D ．6﹣4 √212．在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,4) ， B(2,1) 直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别交于点 M ，N 若抛物线 y =x 2−bx +2 与直线 AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A ， N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上（包含 B ， M 两个端点），则 b 的取值范围是（ ）A．1≤b≤52B．b≤1或b≥52C．52≤b≤113D．b≤52或b≥113二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=﹣12 x2于点B，C，则S△BOC= ．14．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15．如图，抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=kx+1上，对称轴为直线x=1，以下四个结论：①ab<0；②b<13；③a=−k；④当0<x<1其中正确的是．（填序号）16．如图，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y=x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为．17．已知抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x 2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．18．如图，抛物线y=13x 2﹣4√33x+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点M 的坐标为（2√3，1）．以M 为圆心，2为半径作⊙M ．则下列说法正确的是 （填序号）． ①tan ∠OAC=√3； ②直线AC 是⊙M 的切线； ③⊙M 过抛物线的顶点； ④点C 到⊙M 的最远距离为6；⑤连接MC ，MA ，则△AOC 与△AMC 关于直线AC 对称．三、综合题(共6题；共73分)19．在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y=ax 2（a ＞0）上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．（1）如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，则求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，则求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为1 2．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件.公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P 万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当10≤x≤15时可看成抛物线P= 14x2−4x+m.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式.（3）当售价x为多少元时，则年利润W最大，并求出这个最大值.21．如图，抛物线y＝ax2＋32 x＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，其中A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)．（1）求抛物线的表达式及点B坐标；（2）点E是线段BC上的任意一点（点E与B、C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长；②线段EF长的最大值是．22．已经二次函数y=ax2+bx+1 .（1）如图，其图象与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1 .①求二次函数解析式；②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形OEFG为正方形时，则求点F坐标；（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数y=ax2+bx+1函数值存在负数，求b的取值范围.23．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，则min{a，b}=b；当a＜b时，则min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．（1）求min{x2﹣1，﹣2}；（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；（3）已知当﹣2≤x≤3时，则min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．24．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y={−2x+140，(40≤x<60)−x+80.(60≤x≤70)（1）当售价为60元/件时，则年销售量为万件；（2）当售价为多少时，则销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】414．【答案】1（答案不唯一） 15．【答案】①③④16．【答案】（1，﹣4）和（﹣2，5） 17．【答案】y=x 2﹣2x ﹣3 18．【答案】①②③④ 19．【答案】（1）解：如图1作BE ⊥x 轴∴△AOB 是等腰直角三角形 ∴BE=OE= 12AB=1∴A （﹣1，1），B （1，1）∴A ，B 两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1∵抛物线y=ax 2（a ＞0）过A ，B ∴a=1 ∴抛物线y=x 2 （2）解：如图2作BN ⊥x 轴，作AM ⊥x 轴 ∴∠AOB=AMO=∠BNO=90° ∴∠MAO=∠BON ∴△AMO ∽△ONB ∴AM ON =OM BN ∴AM ×BN=OM ×ON设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上 ∴AM=y 1=x 12，BN=y 2=x 22，OM=﹣x 1，ON=x 2 ∴x 12×x 22=﹣x 1×x 2 ∴x 1×x 2=﹣1∴A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值；（3）解：由（2）得，A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，∵点B 的横坐标为 12，∴点A 的横坐标为﹣2，∵A ，B 在抛物线上，∴A （﹣2，4），B （ 12 ， 14 ），∴直线AB 解析式为y=﹣ 32x+1，∴P （ 23 ，0），D （0，1）设Q （n ，0），∴DP 2= 139 ，PQ 2=（n ﹣ 23）2，DQ 2=n 2+1∵△QDP 为等腰三角形∴①DP=PQ ，∴DP 2=PQ 2，∴139 =（n ﹣ 23 ）2，∴n= 2±√133 ，∴Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（ 2−√133 ，0）②DP=DQ ，∴DP 2=DQ 2，∴139 =n 2+1，∴n= 23 （舍）或n=﹣ 23 ，Q 3（﹣ 23 ，0）③PQ=DQ ，∴PQ 2=DQ 2，∴（n ﹣ 23 ）2=n 2+1∴n=﹣ 512 ，∴Q4（﹣ 512 ，0），∴存在点Q 坐标为Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（2−√133 ，0），Q 3（﹣ 23 ，0），Q4（﹣ 512 ，0）20．【答案】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b将点（5，30），（15，10）代入可得：{30=5k +b 10=15k +b解得：{b =40k =−2∴y 与x 的函数关系式为：y=-2x+40（5≤x ≤15）； （2）解：当5≤x ≤10时，则根据图像可得：P=60 ∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-60=-2x 2+50x-260；当10≤x ≤15时，则P =14x 2−4x +m由图可得经过点（10，60），将其代入可得：60=14×102−4×10+m 解得：m=75∴P =14x 2−4x +75；∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-(14x 2−4x +75)=−94x 2+54x −275；综上：W ={−2x 2+50x −260(5≤x ≤10)−94x 2+54x −275(10≤x ≤15)；（3）解：由（2）可得：当5≤x ≤10时W=-2x 2+50x-260=-2(x −252)2+1052∴x =252不在5≤x <10，由于开口向下在5≤x <10内随x 增大而增大 在x=10时，则取得最大值为W=40； 当10≤x ≤15时W=−94x 2+54x −275对称轴为x=−b2a=12 由于函数开口向下 ∴当x=12时，则W=49∴当x=12时，则W 取得最大值为49；综上可得：当售价为12元时，则年利润最大，最大为49万元.21．【答案】（1）解：将A(－1，0)、 C(0，2)代入y ＝ax 2＋ 32x ＋c （a ≠0）得：a ＝－ 12， c ＝2y ＝－ 12 x 2＋ 32x ＋2 当y ＝0时，则x 1＝－1，x 2＝4，故B(4，0)（2）解：设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将B(4，0)、 C(0，2)代入 得：y ＝－ x ＋2，EF ＝FG －GE ＝－ m 2＋ m ＋2－(－ m ＋2) ＝－ m 2＋2m ；2 22．【答案】（1）解：①由题： {a −b +1=0−b 2a =1 解得 {a =−13b =23∴ 二次函数解析式为： y =−13x 2+23x +1 ； ②设BC 解析式为： y =kx +b 对称轴为直线 x =1 .∵ 图象与x 轴交于点 A(−1,0) 和点B ，对称轴为直线 x =1 .∴ 点 B(3,0)将 B(3,0) ， C(0,1) 代入得： {3k +b =0b =1解得： {a =−13b =1∴BC 解析式为： y =−13x +1 设点 F(m,−13m +1) ∵ 四边形 OEFG 是正方形∴EF =GF∴m =−13m +1解得 m =34∴F(34,34) （2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数∴−x =ax 2+bx +1 有两相等实根，即 ax 2+(b +1)x +1=0 有两相等实根 ∴{a ≠0(b +1)2−4a =0解得： a =(b+1)24>0 ，且 b ≠−1 ∵y =ax 2+bx +1 存在负值∴b 2−4a =b 2−(b +1)2>0 ，解得 b <−12综上： b <−12且 b ≠−123．【答案】（1）解：∵x2≥0∴x2﹣1≥﹣1∴x2﹣1＞﹣2．∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2（2）解：∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3∴k﹣1≥﹣3．∴k≥﹣2（3）解：对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，则y=﹣7当x=3时，则y=﹣12由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12）所以m的范围是：﹣3≤m≤7．24．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为W万元当40≤x<60时W=(x−30)(−2x+140)=−2(x−50)2+800 .∵－2<0∴当x=50时W最大=800当60≤x≤70时W=(x−30)(−x+80)=−(x−55)2+625∵−1<0∴当x=60时W最大=600∵800>600∴当x=50时W最大=800∴当售价为50元/件时，则年销售利润最大，最大为800万元.（3）解：45≤x≤55理由如下：由题意得(x−30)(−2x+140)≥750解得45≤x≤55。
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
二次函数代数综合
二次函数代数综合一．二次函数与一次函数综合一次函数()0y kx n k =+≠的图象l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： 1．方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点； 2．方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； 3．方程组无解时⇔l 与G 没有交点．二．二次函数与不等式综合二次函数与不等式的联系．如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=- 0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象不等式的解集20ax bx c ++>(0)a >1x x <或2x x >2b x a≠-任意实数20ax bx c ++<(0)a >12x x x <<无解 无解三．二次函数与方程及代数式综合二次函数与方程及代数式综合主要是二次函数与一元二次方程综合及二次函数与代数式的化简求值，与方程综合注意分类讨论以及整数解问题，与代数式综合的解题思想是“消元降次，整体代入”．x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy知识精讲三点剖析二次函数代数综合一．考点：二次函数代数综合．二．重难点：二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式综合，二次函数与方程及代数式综合．三．易错点：1．二次函数与一次函数综合中求解参数的取值范围时容易漏解或者是分不清取值范围的上限或者下限；2．二次函数与不等式综合问题解题时不要直接硬算，要结合函数图像，利用函数的增减性来求解参数的取值范围；3．二次函数与代数式综合除了极少数情况下可以直接计算之外，一般情况下都是通过“消元降次，整体代入”的方法来求解；4．二次函数与方程综合注意二次项系数的分类讨论．题模一：与不等式综合例1.1.1如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】（1）y=12x2-12x-1（2）（-1，0）（3）-1＜x＜4【解析】题模精讲（1）∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过A （2，0），B （0，-1）和C （4，5）三点， ∵42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，∵a=12，b=-12，c=-1，∵二次函数的解析式为y=12x 2-12x -1； （2）当y=0时，得12x 2-12x -1=0； 解得x 1=2，x 2=-1， ∵点D 坐标为（-1，0）； （3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．例 1.1.2已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1112y x =-；2(,4)a a -（2）24x <≤；13562a ≤<【解析】（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩…………………………… 1分 ∴1112y x =--------------------------------------------2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………… 4分 如图10，因为10y >且20y ≤，由图象得24x <≤．…… 6分 ②13562a ≤<．……………………………7分题模二：与一次函数综合例1.2.1在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线142y x m n =++经过点B ．①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G与直线142y x m n =++只有两个公共点时，d 的取值范围是________．【答案】（1）()4,0（2）2142y x x =--；122y x =-（3）502d -<<【解析】该题考查的是函数综合． （1）依题意，可得抛物线的对称轴为212mx m-=-=．………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为()2,0-， ∴点B 的坐标为()4,0………………………2分（2）∵点B 在直线142y x m n =++上， ∴024m n =++①∵点A 在二次函数22y mx mx n =-+的图象上， ∴044m m n =++② ………………………3分 由①，②可得12m =，4n =-………………………4分 ∴抛物线的解析式为2142y x x =--，直线的解析式为122y x =-……………5分 （3）502d -<<………………………7分例1.2.2在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y mx mx =--()0m ≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，并且在23x <<这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．【答案】（1）()1,0（2）22y x =-+（3）2242y x x =-- 【解析】该题考察的是一次函数和二次函数综合． （1）当0x =时，2y =∴ 点A 的坐标为()0,2-， …………………1分 将222y mx mx =--配方，得()212y m x m =---，∴ 抛物线的对称轴为直线1x =，∴ 点B 的坐标为()1,0， …………………2分（2）由题意，点A 关于直线1x =对称点的坐标为()2,2-．………………………………3分 设直线l 的解析式为y kx b =+ ∵ 点()1,0和点()2,2-在直线l 上， ∴022k b k b =+⎧⎨-=+⎩， 解得22k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线l 的解析式为22y x =-+．………………………………………………4分 （3）由题意可知，抛物线关于直线1x =对称，直线AB 和直线l 也关于直线1x =对称∵ 抛物线在23x <<这一段位于直线AB 的下方， ∴ 抛物线在10x -<<这一段位于直线l 的下方， 又∵ 抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，∴ 抛物线与直线l 的一个交点横坐标为1- ， …………………………………5分 ∴ 由直线l 的解析式22y x =-+ 可得这个店的坐标为()1,4-，………………6分 ∵ 抛物线222y mx mx =--经过点()1,4-， ∴2m =．∴ 所求抛物线的解析式为2242y x x =--． …………………………………7分 例1.2.3在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x ﹣1交于点A ，点A 关于直线x=1的对称点为B ，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C 2：y=ax 2（a ≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （3，2），B （﹣1，2）． （2）y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）． （3）2a<29≤．【解析】（1）当y=2时，则2=x ﹣1， 解得：x=3， ∴A （3，2），∵点A 关于直线x=1的对称点为B ， ∴B （﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx +c 得： 2=9+3b+c2=1-b+c ⎧⎨⎩解得：21b c =-⎧⎨=-⎩∴y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A （3，2）则9a=2，解得：a=29， 代入B （﹣1，2），则a （﹣1）2=2， 解得：a=2，∴2a<29≤． 题模三：与代数式综合例1.3.1已知关于x 的方程()03132=+++x m mx ．（1）求证：不论为m 任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式； （3）若点P （1x ，1y ）与点Q （n x +1，2y ）在（2）中抛物线上，（点P 、Q 不重合），且21y y =，求代数式81651242121++++n n n x x 的值． 【答案】（1）见解析（2）243y x x =++（3）24【解析】（1）当0m =时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. 当0m ≠时，原方程为一元二次方程.∵()()2223112961310m m m m m ∆=+-=-+=-≥． ∴此时方程有两个实数根．综上，不论m 为任何实数时，方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根． （2）∵令0y =, 则 03)13(2=+++x m mx ． 解得 13x =-，21x m=-． ∵ 抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，m 为正整数，∴1m =. ∴抛物线的解析式为243y x x =++. （3）∵点()11,F x y 与()12,Q x n y +在抛物线上， ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵12y y =，∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++. 可得 04221=++n n n x ，即 0)42(1=++n x n ． ∵ 点P , Q 不重合，∴ 0n ≠．∴ 124x n =--.∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++ 22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++=随练1.1如图，二次函数213y ax bx =++的图象与x 轴相交于点()3,0A -、()1,0B ，交y 轴点C ， C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数2y mx n =+的图象经过B 、D 两点． （1）求二次函数的解析式及点D 的坐标；（2）根据图象写出21y y >时，x 的取值范围．【答案】（1）223y x x =--+（2）2x <-或1x >随堂练习【解析】本题考查了一次函数和二次函数综合应用． （1）∵二次函数经过()3,0A -，()1,0B设二次函数解析式为()()31y a x x =+-，代入()0,3C ，解得1a =-， 二次函数解析式为()()23123y x x x x =-+-=--+∵C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，二次函数对称轴为1x =- ∴()2,3D -（2）两函数的交点为()1,0B ，()2,3D -，所以当21y y >时，根据图象可得2x <-或1x >． 随练1.2已知：抛物线()2220y ax a x =+--=过点()3,4A ．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线()2220y ax a x =+--=在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．①求的取值范围；②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为_________． 【答案】（1）22y x x =--（2）①10m -≤≤或12m ≤≤②4k ≤或4k ≤- 【解析】该题考查的是二次函数综合．（1）∵抛物线()222y ax a x =+--过点()3,4A ，∴()93224a a +--=． 解得1a =．∴抛物线的解析式为22y x x =--． --------------2分（2）①当0y =时，220x x --=．∴1x =-或2．∴抛物线与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B ．-----3分 当2y =-时，222x x --=- ． ∴0x =或1．∴抛物线与直线2y =-交于点()0,2C -，()1,2D -．∴C ，D 关于直线1y =-的对称点()'0,0C ，()'1,0D ．----4分 ∴根据图象可得10m -≤≤或12m ≤≤．----------------5分m②的取值范围为4k ≥或4k ≤-．----------------7分随练1.3已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若△BOC 是等腰三角形，求抛物线的 解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点(),0P n 是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．【答案】（1）()1,0A m -;()1,0B m +（2）243y x x =-+-（3）1y x =-+ 【解析】该题考查的是二次函数综合． （1）令0y =，有22210x mx m -+-+=． ∴()210x m --+=． ∴()21x m -=． ∴11x m =+，21x m =-． ∵点B 在点A 的右侧，k∴()1,0A m -，()1,0B m +．…………………………………………2分（2）∵点B 在原点的右侧且在点A 的右侧，点C 在原点的下方，抛物线开口向下， 10m ->．∴1m >． ∴1OB m =+．令0x =，有21y m =-+．∴21OC m =-．∵△BOC 是等腰三角形，且 90BOC ∠=︒， ∴OB OC =．即211m m +=-． ∴210m m --=．∴12m =，21m =-（舍去）． ∴2m =．∴抛物线的解析式为243y x x =-+-．………………………………4分（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，由此可得交点坐标为()1,0和()4,3-．将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx b =+中， 得043k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=⎩一次函数的解析式为1y x =-+．…………………………………………7分随练1.4已知关于x 的一元二次方程()2221230x k x k k -++--=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线()222123y x k x k k =-++--的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y x m =+有三个不同公共点时m 的值．yxO 123 4 12 3 4 5【答案】（1）1k >-（2）()1,0-或()3,0（3）1m =或134m =【解析】该题考查抛物线的性质与几何变换（1） 由题意，得，()()224142316160k k k k ∆=+---=+>∴1k >-∴k 的取值范围为1k >-．…………2分 （2）∵1k >-，且k 取最小的整数，∴0k = ∴()222314y x x x =--=--则抛物线的顶点坐标为()1,4-…………………3分 ∵223y x x =--的图象与轴相交， ∴2230x x --=∴13x =-或∴抛物线与轴相交于()1,0A -,()3,0B …………4分（3）翻折后所得新图象如图所示.…………5分平移直线y x m =+知: 直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于时，此时过点()1,0A - 1.01m =-+，即1m =………………6分②当直线位于时，此时与函数()22313y x x x =-++-≤≤的图象有一个公共点，∴方程223x m x x +=-++，即230x x m --+=有两个相等实根，∴()1430m ∆=--= 即134m =………………7分 x x 1l 2l 1l 1l 2l 2l当134m =时，1212x x ==满足13x -≤≤ 由①②知1m =或134m =． 随练1.5已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点()3,A m -，求m 与k 的值； （3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧 ），将二次函数的图象B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0n >）个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y kx b =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
一次函数和二次函数的性质与图象
一次函数和二次函数的性质与图象Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】【本讲主要内容】一次函数和二次函数的性质与图象【知识掌握】 【知识点精析】1. 一次函数定义：形如)0(≠+=a b ax y 的函数叫一次函数。
一次函数图象：斜率为a ，在y 轴上截距为b 的直线。
一次函数性质：在（－∞，+∞）上是单调函数，a>0增函数，a<0减函数。
2. 二次函数（1）定义：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数。
（2）图象：抛物线，对称轴：abx 2-=，顶点)442(2a b ac a b --，，开口方向a>0向上；a<0向下。
（3）二次函数的基本性质 <1>二次函数的三种表示法：n x x a y x x x x a y c bx ax y +-=--=++=20212)();)((;<2>当a>0，f(x)在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令)(210q p x +=若p ab<-2，则M q f m p f ==)()(， 若02x a b p <-≤，则M q f m a bf ==-)()2(，若q a b x <-≤20，则m a bf M p f =-=)2()(，；若q ab ≥-2，则m q f M p f ==)()(，特别提醒：（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即2x 项的系数是否为零，必要时加以讨论。
（2）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。
（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。
【解题方法指导】例1. （1）设x 、y 是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是（ ）A. 4112-B. 18C. 8D. 43剖析：由0)6(4)2(2≥+--=∆a a ，得2-≤a 或3≥a 。