混料试验设计

混料试验设计

The Design of Mixture Experiments

主要参考文献：

1、 栾军. 现代试验设计优化方法. 上海：上海交通大学出版社，1995

2、

茆诗松等. 回归分析及其试验设计. 上海：华东师范大学出版社,

1981

一、 混料问题与混料试验 (栾军, 1995；茆诗松 等, 1981)

日常生活中和工业生产上经常遇到配方配比一类的问题，即所谓混料问题。这里所说的混料是指由若干不同成分的元素混合形成一种新的物品。由不同成分组成的钢、铁、铝、药方、饲料以及燃料等都是混料，某些分配问题，如企业的材料、资金、设备和人员等的分配也可看着混料问题。

混料试验就是通过实物试验或非实物试验，考察各种混料成分与试验指标之间的关系。例如，人们吃的糕点是将面粉、水、油、糖发酵及某些香料混合后经烘烤制成的，考察这些成分对糕点的柔软性、口味等试验指标的影响所进行的试验就是混料试验。应该指出，混料试验中的混料成分至少应有三种，并且混料成分中的不变成分不应作为混料成分。

混料试验设计，不同于以前所介绍的各种试验设计。混料试验设计的试验指标只与每种成分的含量有关，而与混料的总量无关，且每种成分的比例必须是非负的，且在0~1之间变化，各种成分的含量之和必须等于1（即100%）。也就是说，各种成分不能完全自由地变化，受到一定条件的约束。

设：y 为试验指标，x ()p i i ,,2,1 =是第i 种成分的含量，则混料问题的约束

条件，即混料条件为：

()

⎪⎭⎪⎬⎫=+++==≥∑=1,,2,1,0211p p

i i i x x x x p i x （1）

其中x i 称为混料成分或混料分量，即混料试验中的试验因素。

混料试验设计是一种受特殊条件约束的回归设计，它是通过合理地安排混料试验，以求得各种线性或非线性回归方程的技术方法。它具有试验点数少、计算简便、容易分析、迅速得到最佳混料条件等优点。

混料条件（1）决定了混料试验设计不能采用一般多项式作为回归模型，否则会由于混料条件的约束而引起信息矩阵的退化。混料试验设计常采用Scheff é 多项式回归模型。例如，一般的三元二次回归方程为

∑∑∑=<=∧

+++=3

1

231

0i i ii j

i j i ij i i i x b x x b x b b y (2)

而混料试验设计中，三分量二次回归方程应为

∑∑<=∧

+=j

i j i ij i i i x x b x b y 3

1

(3)

比较式（2）和式（3）可知，Scheff é多项式没有常数项和平方项。[这是因为，将约束条件∑==3

11i i x 代入式（2），即可推导得到式（3）。]

通常，混料试验设计的p 分量d 次多项式回归方程，其Scheff é多项式（或称为规范多项式）为 一次式（d=1）：

∑=∧

=p

i i i x b y 1

(4)

二次式（d=2）： ∑∑<=∧

+=j

i j i ij p

i i i x x b x b y 1

(5)

三次式（d=3）：

∑∑∑∑<<<<=∧

+

-++=k

j i k j i ijk

j

i j i j i ij j

i j i ij p

i i i x x x b

x x x x r x x b x b y )(1

(6)

式中ij r 为三次项)(j i j i x x x x -的回归系数。

由此看来，混料试验设计的 (p, d) Scheff é 多项式回归方程中，待估计的回归系数的个数，比一般的p 因素d 次多项式回归方程要少。例如，对于混料试验设计（p, d ）的回归方程式（5），无常数项和二次项。于是，减少了 p+1 个回归系数，所以至少可以少做 p+1 次试验。

混料试验设计由 H. Scheff é 于1958年首先提出，至今已有40多年。由于这种试验设计方法与工农业生产及科学试验有密切的关系，所以无论在理论研究中，还是实际应用中都有了很大的发展。在工业试验方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混纺纤维、医药、食品等的配方和生产制造都广泛地应用混料试验设计方法。

二、单（纯）形格子设计 （茆诗松等，1981；栾军，1995）

1. 引言

（1）单（纯）形

在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最早出现的，是Scheff é 于1958年提出的。它是混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法都要用到单纯形格子设计。

在混料问题中，各分量 x i (i=1, 2, … , p) 的变化范围受混料条件式（1）

的制约。在几何上，称∑==p

i i x 1

1为p 维平面，而（x 1, x 2, …, x p ）为p 维平面上

点的坐标。在p 维平面上满足1,,,021≤≤p x x x 的区域构成一个图形称为单形（或单纯形）。单形上的点，若其p 个坐标中有一个坐标 x i =1 , 而其余的 p-1 个坐标 x j =0 (j ≠i), 则这种点称为单形的顶点。因此，在p 因子混料试验中，单形的顶点有p 个。

例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、（0，1，0）和（0，0，1）。所以单型的图形为一等边三角形，如图1（a ）所示。

（2）单形上点的坐标

下面，以p=3为例讨论单形上点的坐标问题。

对于三因子混料试验，这个试验的单形是一个等边三角形，其三个顶点分别为

A （1，0，0）、

B （0，1，0）和

C （0，0，1）。

设P （x 1、x 2、x 3）为这单形的内点，定义x 1表示P 点到边BC 的距离，x 2为P 点到边AC 的距离，x 3为P 点到边AB 的距离。为简单起见，使用时不再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三角形，如图1（b ）所示。

(a)

(b)

图1 p=3时的单形

A(1, 0, 0)

C(0, 0, 1)

x 3