混料试验设计
第九章 混料试验设计
二、单形混料设计
1、单形混料设计的定义及特点 在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最 早出现的，是Scheffe于1958年提出的。它是 混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法 都要用到单纯形格子设计。
在混料问题中，各分量 xi (i=1, 2, „ , p) 的变化范围受混料条件式 p （1）的制约。在几何上，称 xi 1 i 1 为p维平面，而（x1, x2, „, xp）为p 维平面上点的坐标。在p维平面上满足
2、特点 混料试验设计，不同于以前所介绍的各种试验 设计。混料试验设计的试验指标只与每种成分 的含量有关，而与混料的总量无关，且每种成 分的比例必须是非负的，且在0~1之间变化， 各种成分的含量之和必须等于1（即100%）。 也就是说，各种成分不能完全自由地变化，受 到一定条件的约束。
设：y为试验指标，x是第i种成分的含量， 则混料问题的约束条件，即混料条件为：
0 x1 , x2 ,, x p 1
的区域构成一个图形称为单形（或单 纯形）。
单形上的点，若其p个坐标中有一个坐标 xi=1 , 而其余的p-1个坐标xj=0(j≠i), 则这种点称为 单形的顶点。因此，在p因子混料试验中，单 形的顶点有p个。 例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、 （0，1，0）和（0，0，1）。所以单型的图形 为一等边三角形。
3、单形格子混料设计 3.1、单纯形格子设计法 对于由混料条件式（1）构成的正规单（纯） 形因素空间，当采用式（5）、式（6）等完全 型规范多项式回归模型时，试验点可以取在正 规单（纯）形格子点上，构成单（纯）形格子 设计。
对于三因素（p=3时）的格子点集，其单形是 一个高为1的等边三角形，它的三个顶点的全 体称为一阶格子点集，记为{3，1}，如图。
混料实验设计DOE实战训练营(2天)
混料试验设计（）DOE（实验设计）（2天）【培训对象】从事产品设计开发、工艺设计、质量管理和生产管理有关的总裁、总监、副总、经理、工程师、技术人员和六西格玛黑带大师/黑带等【课程背景】如何以最低成本实实现顾客满意最大化，是所有企业共同的目标。
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3）90％的公差可能是不合适的。
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如果应用DOE（实验设计），上述问题便可彻底解决。
DOE作为一种产品研发的最强大工具可以帮助管理者解决上述问题。
DOE（实验设计）不但可帮助研发工程师一开始从质量和成本综合考虑，进行最优化设计，而且可把产品生命周期因素都考虑周全，从而设计出先天性健壮产品（这恰恰是大多数工程师的困惑）。
同时DOE（实验设计）也是寻找原因、分析和优化复杂因子最强大的解决问题的工具和方法。
在不少日本企业，不懂DOE（实验设计）的工程师不能称之为合格的工程师。
DOE（实验设计）包括传统经典DOE（析因实验设计）、RSM（响应优化曲面）、混料DOE（生化行业最有用）、田口DOE（抗噪声设计）和谢宁DOE（快速解决问题实验设计），每种DOE（实验设计）各有其特点。
DOE（实验设计）除了与六西格玛其它工具联合起来发挥巨大功能外，本身也是一套系统地解决问题方法。
资深黑带大师何小勇博士设计的本课程将从应用角度出发为顾客设计二到三天的实用DOE（实验设计）培训课程，而不考虑复杂的数理统计公式和计算。
【课程目的】本课程重点针对从事产品研发人员和相关工程技术人员而设计。
旨在帮助学员系统、全面地应用DOE （实验设计）在产品研发、产品和过程改善时分析重要因子，优化结果，提高产品和过程健壮性（先天性高免疫能力）。
混料设计Mixture Design
六西格玛培训—改进阶段模块混料设计Patrick ZhaoI&CIM Deployment Champion混料设计介绍创建混料设计分析混料设计混料设计介绍创建混料设计分析混料设计以因子水平的仅执行全因子确定了重要因特殊的响应曲使产品或过程试验设计类型全因子部分因子响应曲面混料田口试验目的全部组合度量响应的设计。
设计中的部分设计。
子后进行模型改进。
面试验，主要研究产品的多种成分组成。
在操作环境中更加稳定试验设计。
因子个数≤4≥5≤3 3 ~ 5≥7什么是混料设计？•混料设计是一类特殊的响应曲面设计，研究由多种成分组成的试验设计，在工业环境十分常用，许多产品设计和开发活动都涉及配方或混料。
•在混料设计中，响应（基于某些标准的产品质量或性能）取决于这些分量（成分）的相对比例。
分量的量以重量、体积或某些其他单位来度量。
相比较而言，因子设计中的响应则随每个因子的数量而变化。
三角坐标系•三角坐标系可以使三种分量之间的关系变得更直观。
在混料设计中，成分在其总数必须等于总量的条件下彼此约束，X 1、X 2和X 3分量的最小值为0，最大值为1。
•右图中三角形上的每个位置表示一种不同配方的三组分混料。
例如：•边的中点表示含有两种成分的混料，其中每种成分各占混料的1/2。
•边的三等分点表示含有两种配方的混料，其中一种分量占混料的1/3，另一种分量占2/3。
这些点将三角形的边三等分。
•中心点（或质心）表示完全混料，其中所有分量均以相同比例（1/3、1/3、1/3）出现。
完全混料位于设计空间的内部，其中所有分量同时出现。
X 1（1, 0, 0）X 2（0, 1, 0）X 3（0, 0, 1）（1/3, 1/3, 1/3）（0, 1/2, 1/2）（2/3, 1/3, 0）约束图•不同于全因子试验设计，混料设计的因子水平并不能取到所有立方体上的点。
•混料设计只能在一个平面内选择试验组合。
如右图阴影处，三个因子的坐标并不独立，三者之和为1。
混凝土混合料配比设计与试验方法
混凝土混合料配比设计与试验方法混凝土是一种常见且重要的建筑材料，其性能直接影响到工程的质量和耐久性。
混凝土的质量主要取决于混合料的配比设计，因此准确的配比设计和试验方法对于确保混凝土工程质量至关重要。
一、混合料配比设计方法混凝土的配比设计是指根据工程要求和原材料性能，确定水泥、骨料、砂料和掺合料的比例，并确定适当的配合比例。
在进行混合料配比设计时，一般可以采用以下几种方法：1. 经验法：根据经验公式或经验系数，结合对类似工程的经验总结，进行初步的配比设计。
这种方法简单快捷，但不够准确。
2. 理论法：根据混凝土的力学性能、物理性能和工作性能等理论计算，确定混合料的配比。
这种方法准确性较高，但需要大量计算和数据支持。
3. 实验法：通过试验分析原材料特性、配比变化对混凝土性能的影响，进而确定最佳配比。
这种方法具有较高的准确性，但需要耗费较多的时间和资源。
混合料配比设计时需要考虑多个因素，如强度要求、耐久性要求、施工要求和经济性要求等。
在实际工程中，综合考虑这些因素，通过选取合适的配合比例，可以获得满足工程要求的混凝土。
二、混合料试验方法混凝土混合料试验是验证配比设计的有效性和确定混合料性能的重要手段。
常见的混合料试验方法包括骨料试验、水泥试验和混凝土试验等。
1. 骨料试验：骨料试验主要包括骨料的粒度分析、吸水率试验、石粉含量试验等。
这些试验可以评估骨料的物理性能，为配比设计提供依据。
2. 水泥试验：水泥试验主要包括细度试验、凝结时间试验、强度发展试验等。
通过水泥试验可以评估水泥的物理性能和水化性能，为配比设计提供参考。
3. 混凝土试验：混凝土试验是最直接、最有效的评估混凝土性能的方法。
常见的试验包括抗压强度试验、抗折强度试验、渗透性试验、收缩性试验等。
这些试验可以评估混凝土的力学性能和耐久性能，确保混凝土工程的质量。
除了上述试验方法，还可以根据具体需要进行其他相关的试验，如抗冻试验、耐磨试验、抗渗试验等。
混料试验设计与分析
·278·第七篇时间序列分析混料试验设计与分析混料设计，又称配方设计(mixture design)，是工农业生产及科学试验中经常遇到的较特殊的多因素试验设计。
试验者要通过试验得出各种成分比例与指标的关系。
例如，某种不锈钢由铁、镍、铜和铬四种元素组成，我们想知道每种元素所占比例与抗拉强度的数量关系。
怎样的试验就可以得到精度较好而且易于计算的回归方程？这是一种特殊的回归设计问题，试验指标，如不锈钢的抗拉强度，仅与各种成分，如铁、镍、铜和铬所占的百分比有关系，而与混料的总数量没有关系。
混料回归设计就是要合理地选择少量的试验点，通过一些不同百分比的组合试验，得到试验指标成分百分比的回归方程，通过探索响应曲面来估计多分量系统的内在规律。
自从Scheffe在1958年提出单纯形格子设计以来，混料回归设计的理论和它的应用都有很大发展。
人们针对各种数学模型、试验区域与各种意义下的“最优性”提出了各种设计方法与分析计算法。
混料回归设计在工业、农业和科学试验中都得到广泛的应用。
在工业试验方面，如汽油混合物、混凝土、聚合物塑料、合金、陶瓷、油漆、食品、医药、洗涤剂、混纺纤维及烧结矿等产品都会遇到混料回归设计问题。
在混料试验中，每个分量的贡献都要表示成混料或合成的比例。
每个分量的比例必须是非负的，而且它们的总和必须是1，这就决定了混料回归设计是一种受特殊约束的回归设计问题。
用y表示试验指标，x1，x2，L，x p表示混料系统中p种成分各占的百分比，混料回归设计就是要在混料条件x i≥ 0, i= 1，2，…，n，x1 + x2 + … + x p=1 (11.1)或者除上述混料条件外，再加上一些其他约束条件，进行试验。
配方实验的主要目的是得出关于y的回归方程，以推断最佳混料比。
11.1 单纯形格子设计配方实验设计，在组分之和为1的约束条件下，有几种常用的方法如单纯型混料设计，极端顶点混料设计、对称单纯型混料设计、倒数混料设计，随机混料设计等，这些方法各有特点。
混料均匀试验设计
混料均匀试验设计在化工、材料工业、食品及低温超导等领域中的一些试验中,试验考察并不是各影响因素不同水平组合对响应的影响或它们间的相互关系。
而是要考察各因素在所有因素混料中所占比例对响应的影响。
这种与一般因子试验的区别使得混料设计（或称配方设计）不论是理论还是应用上都非常重要。
混料均匀设计以在混料试验区域均匀布点为出发点,提供了一种模型稳健的设计方案。
克服了最优设计在区域边界布点过多及过于依赖模型假设条件的弱点。
丰富了试验设计理论。
本文结合均匀设计的思想,提出了混料设计试验区域（区域为标准单纯形）上的L<sub>2</sub>—偏差“DM<sub>2</sub>偏差”及“CDM<sub>2</sub>偏差”。
并推导出了它们的一般计算公式。
为均匀混料设计优良性提供了一个方便可行的度量标准。
在这两个偏差准则下,对于同一个试验问题的两个不同设计,可以通过计算它们的偏差值方便的选出较均匀的设计。
从而为实际实验选出较合理的设计方案。
在现有的设计表构造方法的基础上,本文提出了几种新的设计表构造方法。
对于一般的无限制条件混料设计,提出了U型设计变换法及非边界单纯形格子搜索法。
在试验维数不高,而试验点数n也不大时,这两种方法都有不错的效果。
而对于有限制条件混料设计中的保序限制条件混料设计,本文证明了在次序变换下,变量的分布仍保持原来的均匀分布。
因此,为保序限制条件混料设计找到了简单可行的设计表构造方法。
最后,考虑到混料均匀设计和一般因子设计中的均匀设计一样:“维数较高的时候,设计表构造的计算是个NP-hard问题”。
本文引入了门限接受和NTLBG两种算法,在减小设计表构造中计算量的同时,找到较均匀的设计。
并对NTLBG算法做出了（?）进,克服了NTLBG算法仅对MSE偏差收敛的弱点。
提出了加权NTLBG算法,在DM<sub>2</sub>偏差下也能找到较均匀的混料设计。
配方实验设计
配方试验设计配方试验设计配方配比问题是工业生产及科学试验中经常遇到的一类问题，在化工、医药、食品、材料等工业领域，许多产品都是由多种组分按一定比例混合起来加工而成，这类产品的质量指标只与各组分的百分比有关，而与混料总量无关。
为了提高产品质量，试验者要通过试验得出各种成分比例与指标的关系，以确定最佳的产品配方。
配方试验设计又称混料试验设计，其目的就是合理地选择少量的试验点，通过一些不同配比的试验，得到试验指标与成分百分比之间的回归方程，并进一步探讨组成与试验指标之间的内在规律。
配方设计的方法主要有：单纯形格子点的设计，单纯形重心设计，配方均匀设计。
1 配方试验设计的约束条件在配方试验或混料试验中，如果用y 表示试验指标，X 1,X 2,...,X m 表示配方中m 中组分各占的百分比，显然每个组分的比例必须都是非负的，而且它们的总和必须为1，所以混料约束条件可以表示为()1...,,...,2,1021=+++=≥m j x x x m j x （1-1）如果产品含有三种成分，其比例分别为x 1、x 2、x 3，则试验指标y 与x 1、x 2、x 3之间的三元二次回归方程可以表示为：2333222221113223311321123322110ˆx b x b x b x x b x x b x x b x b x b x b b y +++++++++= （1-2） 由于()()()()213233122232121321001,1,1,x x x x x x x x x x x x x x x b b --=--=--=++= 整理可得322331132112332211ˆx x b x x b x x b x b x b x b y+++++= （1-3） 回归方程没有了常数项和二次项，只有一次项和交互项。
又由于 2131x x x --= ，所以上述回归方程还可以表示如下22222111211222110ˆx b x b x x b x b x b b y+++++= （1-4）可见，在配方试验中，试验因素为各组分的百分比，而且是无印次的，这些因素一般是不独立的，所以往往不能直接使用前面介绍的用于独立变量的试验设方法。
混凝土配合设计实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 掌握混凝土配合比设计的基本原理和方法。
2. 学会查阅相关资料，根据工程需求设计符合要求的混凝土配合比。
3. 熟悉混凝土拌合物性能的测试方法。
4. 提高动手能力和实验操作技能。
二、实验原理混凝土配合比设计是根据工程要求、原材料性能和施工条件等因素，确定混凝土中水泥、水、砂、石子等各组成材料的最优比例，以达到混凝土强度、耐久性和工作性等性能指标的要求。
三、实验材料1. 水泥：普通硅酸盐水泥，强度等级32.5MPa。
2. 砂：中砂，细度模数2.6。
3. 石子：碎石，粒径5-20mm。
4. 水：自来水。
5. 减水剂：聚羧酸系高性能减水剂。
6. 实验设备：混凝土搅拌机、电子秤、量筒、坍落度筒、振动台、压力试验机等。
四、实验步骤1. 原材料性能测定：测定水泥的强度、细度，砂的细度模数、含泥量，石子的粒径、含泥量等指标。
2. 混凝土强度等级确定：根据工程需求确定混凝土强度等级，本实验以C30为例。
3. 水灰比确定：根据水泥强度等级、混凝土强度等级和回归系数，计算水灰比。
4. 单位用水量确定：根据水灰比和水泥强度等级，查表确定单位用水量。
5. 砂率确定：根据砂的细度模数和混凝土工作性要求，查表确定砂率。
6. 水泥用量确定：根据水灰比和单位用水量，计算水泥用量。
7. 砂、石用量确定：根据砂率、水泥用量和单位用水量，计算砂、石用量。
8. 混凝土拌合：按照计算出的配合比，将水泥、砂、石子、水、减水剂等材料加入搅拌机中，进行搅拌。
9. 拌合物性能测试：测定拌合物的坍落度、维勃稠度等指标，以验证配合比设计的合理性。
10. 混凝土试件制作：将拌合物分装成标准立方体试件，进行养护。
11. 强度测试：测定混凝土试件在28天、60天、90天等龄期的抗压强度，以验证配合比设计的合理性。
五、实验结果与分析1. 原材料性能：水泥强度等级32.5MPa，砂细度模数2.6，石子粒径5-20mm。
2. 混凝土强度等级：C30。
混料实验
0 1 2 3 4 5 6 7 观 测值 顺序 8 9 10
来源 自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P 回归 5 0.000037 0.000037 0.000007 1.44 0.372 线性 2 0.000022 0.000017 0.000008 1.64 0.302 二次 3 0.000015 0.000015 0.000005 0.95 0.495 A*B 1 0.000011 0.000011 0.000011 2.16 0.215 A*C 1 0.000001 0.000001 0.000001 0.24 0.649 B*C 1 0.000002 0.000002 0.000002 0.46 0.536 残差误差 4 0.000021 0.000021 0.000005 合计 9 0.000058
y f ( x1 , x2 ,, x p )
N (0, 2 )
ˆ f ( x1 , x2 , , x p )为响应函数，其图形也称为响应曲面，当响应函数中的 称 y 未知参数用估计值代替后便得到回归方程，也称响应曲面方程。 由于 f ( x1, x2 ,, x p ) 形式往往是未知的，通常用 x1 , x2 ,, x p 的一个d 次多项式表示，此时一个混料试验由因子数p与响应多项式的次数d来确定，以后 用M{p,d}表示一个混料试验。
步骤二：选择设计类型“单纯型质心法”---进入设计选择“公国轴点增强设 计”，选择整个设计的仿形数为1，确定后得到混料设计表格
标准序 1 8
运行序 1 2选择ຫໍສະໝຸດ 料设计方法选择混料成分数量
不选择通过轴 点增强设计， 为7个点，七 次实验
选择通过轴点 增强设计，多 了3个-1点， 10个点10次 实验
_配方试验设计
第9章配方(混料)试验设计(Formula Experimental Design) 1.教学目标-掌握配方试验设计的基本原理及分 析计算 2.教学重点-单纯形格子点的配方设计 3.教学难点-单纯形的引入，试验配方的确定
9.0 概述(Overview)
所谓混料，是指若干种不同成分按百分比 混在一起。如饮料、巧克力等。 9.0.1配方试验设计(Formula Experimental Design)，又称混料试验设 计(Mixture Experimental Design)：其目 的是合理地选择少量的试验点，通过一些 不同配比的试验，得到试验指标与成分百 分比之间的回归方程，并进一步探讨组成 与试验指标之间的内在规律。
例：当m＝3，d＝1时
3个试验点(a)
正三角形的三个顶点：
（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）
例：当m＝3，d＝2时
6个试验点： 图示(b) 表：{ 3，2 }单纯形格子点设计表
例：当m＝3，d＝3时
10个试验点： 图示(c) 表：{ 3，3 }单纯形格子点设计表
b13 4 y13 2( y1 y3 ) 4 6.8 2 (6.5 7.5) 0.8 b23 4 y23 2( y2 y3 ) 4 5.4 2 (5.5 7.5) 4.4
单纯形格子点设计表的选用
先将自然变量xj（j＝1，2，…，m）进行编码 编码公式：
m
x j a j (1 a j ) z j
j 1
或
zj
xj aj 1 a j
j 1 m
8、高级实验设计—混料试验设计(Mixture Design)
E y 0 1 x1 p x p
转化为正则多项式：
（8.3）
E y ixi
i 1
p
转化方法为，在
i 1
xi 1 的两端乘以 0 ，得到 0 0 xi
i 1
p
p
代入（8.3式）得：
p
p
p
化成二次正则多项式模型：
E ( y ) i xi ij xi x j
i 1 i j
p
p
（8.6）
混料试验 p,3 的正则多项式模型为：
E ( y ) i xi ij xi x j ij xi x j ( xi x j ) ijk xi x j xk
Introduction
• In many cases, products are made by blending more than one ingredient together. • Usually the manufacturer of each of these products is interested in one or more properties of the final product, which depends on the proportions of the ingredients used. Examples: – Cake formulations (by blending baking powder, shortening, flour, sugar, and water), property of interest is the fluffiness of cake. – Construction concrete (made by mixing sand, water, and cement), property of interest is the compressive strength.
混料设计实验
混料设计实验一、引言混料设计，又称混合物设计，是实验设计的一种重要形式，广泛应用于化学、生物、工程等领域。
该设计主要针对由两种或多种成分组成的混合物，通过控制不同成分的比例，探索最佳的混合条件，以达到所需的性能或效果。
近年来，随着科技的飞速发展，混料设计实验在许多领域都发挥了关键作用，尤其在材料科学、制药工业、食品加工和农业生产等领域。
二、混料设计实验的基本概念混料设计实验的核心在于通过调整多种成分的比例，找到最优的混合比例。
这通常涉及三个主要因素：成分种类、成分比例和混合方式。
在进行混料设计实验时，实验者需要明确实验目标，确定所需探索的成分和比例范围，然后通过适当的实验设计方法来确定实验方案。
三、混料设计实验的实验设计混料设计实验的关键在于选择合适的实验设计方法。
常见的实验设计方法包括全因子设计、部分因子设计、中心复合设计等。
每种方法都有其优点和适用范围，实验者需要根据具体情况选择。
在实验过程中，需要严格控制变量，确保实验结果的准确性和可靠性。
四、混料设计实验的数据分析数据分析是混料设计实验的重要环节。
通过数据分析，可以确定各成分对混合物性能的影响程度，以及最佳的混合比例。
常用的数据分析方法包括回归分析、方差分析、响应曲面法等。
在分析数据时，需要采用适当的统计分析软件，如SPSS、MATLAB等，以确保数据分析的准确性和可靠性。
五、混料设计实验的应用领域1.化学工业：在化学工业中，混料设计实验被广泛应用于材料科学领域。
通过混料设计实验，可以探索不同化学成分的最佳混合比例，从而制备出性能优异的复合材料、高分子材料等。
例如，在制备高性能陶瓷材料时，可以通过混料设计实验来优化陶瓷原料的比例，提高陶瓷材料的硬度和耐热性。
2.制药工业：在制药工业中，混料设计实验常用于药物制备和配方优化。
通过混料设计实验，可以找到药物中不同成分的最佳混合比例，提高药物的疗效和稳定性。
此外，混料设计实验还可以用于研究药物释放机制，优化药物制剂的释放性能。
混料设计
Lean Six Sigma Training—ZeroCost Copyright
9
极端顶点
A 0.500
当某种成分的含量受限制时，采
0.300
0.200
用极端顶点设计。例如，您需要 确定可以生产出口味最佳的薄饼 的配方中面粉、牛奶、发酵粉、 鸡蛋和食用油的比率。由于以前 的试验表明发酵粉过多的配方无 法满足口味要求，因此决定通过 设置上限来约束设计。
– 假定响应取决于各成分的比例和过程变量，过程变量虽是实验中 不属于混料成分的因子，但它可能会影响混料的混合属性。例 如，油漆的粘合属性可能取决于喷漆时的温度。
混料总量
– 假定响应取决于各成分的比例和混料的数量。例如，植物肥料的 施肥数量以及各种肥料成分的比例都可能会影响室内植物的生长
Lean Six Sigma Training—ZeroCost Copyright
18
项的选择
项
线性 二次 特殊立方 完全立方 特殊四次 完全四次 倒数
表达式
A B C 线性 + AB AC BC 二次 + ABC 特殊立方 + AB(A-B) AC(A-C) BC(B-C) 二次 + AABC ABBC ABCC 完全立方 + AABC ABBC ABCC AB(A-B)2 AC(A-C)2 BC(B-C)2 1/A 1/B 1/C
Lean Six Sigma Training—ZeroCost Copyright
6
单纯形格点 –1阶
未增强 A
1
增强后 A
1
0
0
0
0
1 B
0
1 C
1 B
0
混料模型稳健D-,R-最优设计的研究
混料模型稳健D-，R-最优设计的研究
混料试验设计是针对影响产品某种特性指标的q个因子之间的最优配比的研究,被广泛的应用于农业、工业、药学以及中医等方面.在混料试验设计中,寻找最优的混料配比,往往在某些具体的混料模型和某种最优准则下得到.然而,一个分量所占比例的改变或者混料模型的选择不同,会导致响应变量也随之发生改变.稳健设计是在满足当影响因子发生微小改变时,试验响应变量的改变不敏感的条件下作出设计.于是,本文针对二阶可加混料模型,利用模型稳健D-最优设计的最优准则及相关理论结果,得到了四分量二阶可加混料模型的稳健D-最优设计.同时根据设计效率的最小最大原则,得到了稳健D-最优设计所对应的先验测度.其次,本文针对二阶混料K模型,利用R-最优设计的最优准则,研究了 q分量二阶混料K模型的R-最优设计,并得到了该混料模型下的R-最优设计.同时,根据模型稳健R-最优设计的相关理论基础,得到了二阶混料K模型的稳健R-最优设计的最优配置,并针对具体的三分量二阶混料K模型,利用效率设计的最小最大原则,得到了模型稳健R-最优设计所对应的先验测度.。
试验优化设计-第八章(2013)
p
p
p
2 j
z
j 1
p
j
1
ˆ y
b
j 1
p
j
x j bhj xh x j
h j
ˆ a0 a j z j ahj zh z j a jj z y
j 1 j h j 1
p
p
p
2 j
ˆ y
b x b
j j j 1 h j
正交（比率设计） 混料D最优 混料旋转设计
5、追求优良设计
§3 单形重心设计
一、单形：顶点数与坐标空间维数相等的凸图形
正三角形，正四面体形，p 维单形即（p-1）维单纯形。
单形 单纯形 相同点 多维空间的凸图形 多维空间的凸图形 ①顶点数与坐标维 ①顶点数仅比空间 数相等 维数多一
不同点
ns p
第八章 混料回归设计
§1 混料试验
一、混料
定义：是指若干种不同成分的混合或合成。
例：1°材料：由铁、镍、铜和铬四种元素组成的不锈 钢，由镁，硝酸钠、硝酸锶和固定剂组成的闪光剂； 2°食品工业：吃喝； 3°建筑材料：水泥，混凝土，粘接剂； 4°能源：由不同成分组成的固态、液态和气态的燃料；
5°工厂中不同品种，不同合格率的产品总体，不同 型号，不同完好率的设备总体； 6°资金、人员、材料、设备的分配问题。
j i
（x j , N )
（z j , N )
X1
X2
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
1 2 3 4
5
6 7
1 0 0 1 0 0.2 0.6 0 0 1 0.2 0.4 1/2 1/2 0 0.3 0.5 1/2 0 1/2 0.4 0.4 0 1/2 1/2 0.2 0.5 1/3 1/3 1/3 0.27 0.47
具有相关性的混料试验设计
具有相关性的混料试验设计
混料试验设计是一种试验设计,试验研究的是不规则试验域内的最优设计问题,被广泛应用于饮食品、药制品、烧结矿、聚合物塑料等产品生产.通常研究不同混料试验模型在不同最优准则下的最优设计问题,本文主要讨论了基于相关性的混料模型及半变系数混料模型的最优设计问题.混料试验模型一般采用试验回归模型,而回归模型中有两个主要的影响因素,即随机误差项因素和回归系数项因素.混料模型的随机误差项通常假定是方差恒定的,但实际试验中会存在相关性因素,即随机误差项的方差不恒定,相关性下混料模型的研究很有意义.在基于相关性条件下研究混料回归模型,通过研究模型的信息矩阵及协方差核函数,以及准则函数下判决函数与上确界函数的判定定理,并研究模型的D-最优、A-最优和G-最优设计的判定定理.随着非线性混料模型的不断深入研究,研究半变系数的混料回归模型,不同于线性回归模型是在于其模型部分系数的不确定性.在实际混料试验中,测量误差数据或缺失数据等复杂数据情形时,半变系数混料模型的应用具有理论意义.通过研究一阶半变系数混料回归模型,将模型转变为混合效应模型,进而得到模型的信息矩阵,求得模型的D-最优、V-最优和G-最优设计.最后,总结了本文研究的主要内容和创新点,并介绍了后续的研究工作.。
混料试验设计与分析
10B11.1 单纯形格子设计 ·273·第11章混料试验设计与分析混料配比问题，是工农业生产及科学试验中经常遇到的、较特殊的多因素试验设计问题。
试验者要通过试验得出各种成分比例与指标的关系。
例如，某种不锈钢由铁、镍、铜和铬四种元素组成，我们想知道每种元素所占比例与抗拉强度的数量关系。
怎样的试验就可以得到精度较好而且易于计算的回归方程？这是一种特殊的回归设计问题，试验指标，如不锈钢的抗拉强度，仅与各种成分，如铁、镍、铜和铬所占的百分比有关系，而与混料的总数量没有关系。
混料回归设计就是要合理地选择少量的试验点，通过一些不同百分比的组合试验，得到试验指标成分百分比的回归方程，通过探索响应曲面来估计多分量系统的内在规律。
自从Scheffe在1958年提出单纯形格子设计以来，混料回归设计的理论和它的应用都有很大发展。
人们针对各种数学模型、试验区域与各种意义下的“最优性”提出了各种设计方法与分析计算法。
混料回归设计在工业、农业和科学试验中都得到广泛的应用。
在工业试验方面，如汽油混合物、混凝土、聚合物塑料、合金、陶瓷、油漆、食品、医药、洗涤剂、混纺纤维及烧结矿等产品都会遇到混料回归设计问题。
在混料试验中，每个分量的贡献都要表示成混料或合成的比例。
每个分量的比例必须是非负的，而且它们的总和必须是1，这就决定了混料回归设计是一种受特殊约束的回归设计问题。
用y表示试验指标，x1、x2、……、x p表示混料系统中p种成分各占的百分比，混料回归设计就是要在混料条件x i 0 （i=1，2，…，n）, x1+x2+…+x p=1 （11-1）或者除上述混料条件外，再加上一些其他约束条件，进行试验。
配方实验的主要目的是得出关于y的回归方程，以推断最佳混料比。
11.1 单纯形格子设计配方实验设计，在组分之和为1 的约束条件下，有几种常用的方法如单纯型混料设计，极端顶点混料设计、对称单纯型混料设计、倒数混料设计，随机混料设计等等，这些方法各有特点。
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混料试验设计The Design of Mixture Experiments主要参考文献：1、 栾军. 现代试验设计优化方法. 上海：上海交通大学出版社，19952、茆诗松等. 回归分析及其试验设计. 上海：华东师范大学出版社,1981一、 混料问题与混料试验 (栾军, 1995；茆诗松 等, 1981)日常生活中和工业生产上经常遇到配方配比一类的问题，即所谓混料问题。
这里所说的混料是指由若干不同成分的元素混合形成一种新的物品。
由不同成分组成的钢、铁、铝、药方、饲料以及燃料等都是混料，某些分配问题，如企业的材料、资金、设备和人员等的分配也可看着混料问题。
混料试验就是通过实物试验或非实物试验，考察各种混料成分与试验指标之间的关系。
例如，人们吃的糕点是将面粉、水、油、糖发酵及某些香料混合后经烘烤制成的，考察这些成分对糕点的柔软性、口味等试验指标的影响所进行的试验就是混料试验。
应该指出，混料试验中的混料成分至少应有三种，并且混料成分中的不变成分不应作为混料成分。
混料试验设计，不同于以前所介绍的各种试验设计。
混料试验设计的试验指标只与每种成分的含量有关，而与混料的总量无关，且每种成分的比例必须是非负的，且在0~1之间变化，各种成分的含量之和必须等于1（即100%）。
也就是说，各种成分不能完全自由地变化，受到一定条件的约束。
设：y 为试验指标，x ()p i i ,,2,1 =是第i 种成分的含量，则混料问题的约束条件，即混料条件为：()⎪⎭⎪⎬⎫=+++==≥∑=1,,2,1,0211p pi i i x x x x p i x （1）其中x i 称为混料成分或混料分量，即混料试验中的试验因素。
混料试验设计是一种受特殊条件约束的回归设计，它是通过合理地安排混料试验，以求得各种线性或非线性回归方程的技术方法。
它具有试验点数少、计算简便、容易分析、迅速得到最佳混料条件等优点。
混料条件（1）决定了混料试验设计不能采用一般多项式作为回归模型，否则会由于混料条件的约束而引起信息矩阵的退化。
混料试验设计常采用Scheff é 多项式回归模型。
例如，一般的三元二次回归方程为∑∑∑=<=∧+++=312310i i ii ji j i ij i i i x b x x b x b b y (2)而混料试验设计中，三分量二次回归方程应为∑∑<=∧+=ji j i ij i i i x x b x b y 31(3)比较式（2）和式（3）可知，Scheff é多项式没有常数项和平方项。
[这是因为，将约束条件∑==311i i x 代入式（2），即可推导得到式（3）。
]通常，混料试验设计的p 分量d 次多项式回归方程，其Scheff é多项式（或称为规范多项式）为 一次式（d=1）：∑=∧=pi i i x b y 1(4)二次式（d=2）： ∑∑<=∧+=ji j i ij pi i i x x b x b y 1(5)三次式（d=3）：∑∑∑∑<<<<=∧+-++=kj i k j i ijkji j i j i ij ji j i ij pi i i x x x bx x x x r x x b x b y )(1(6)式中ij r 为三次项)(j i j i x x x x -的回归系数。
由此看来，混料试验设计的 (p, d) Scheff é 多项式回归方程中，待估计的回归系数的个数，比一般的p 因素d 次多项式回归方程要少。
例如，对于混料试验设计（p, d ）的回归方程式（5），无常数项和二次项。
于是，减少了 p+1 个回归系数，所以至少可以少做 p+1 次试验。
混料试验设计由 H. Scheff é 于1958年首先提出，至今已有40多年。
由于这种试验设计方法与工农业生产及科学试验有密切的关系，所以无论在理论研究中，还是实际应用中都有了很大的发展。
在工业试验方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混纺纤维、医药、食品等的配方和生产制造都广泛地应用混料试验设计方法。
二、单（纯）形格子设计 （茆诗松等，1981；栾军，1995）1. 引言（1）单（纯）形在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最早出现的，是Scheff é 于1958年提出的。
它是混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法都要用到单纯形格子设计。
在混料问题中，各分量 x i (i=1, 2, … , p) 的变化范围受混料条件式（1）的制约。
在几何上，称∑==pi i x 11为p 维平面，而（x 1, x 2, …, x p ）为p 维平面上点的坐标。
在p 维平面上满足1,,,021≤≤p x x x 的区域构成一个图形称为单形（或单纯形）。
单形上的点，若其p 个坐标中有一个坐标 x i =1 , 而其余的 p-1 个坐标 x j =0 (j ≠i), 则这种点称为单形的顶点。
因此，在p 因子混料试验中，单形的顶点有p 个。
例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、（0，1，0）和（0，0，1）。
所以单型的图形为一等边三角形，如图1（a ）所示。
（2）单形上点的坐标下面，以p=3为例讨论单形上点的坐标问题。
对于三因子混料试验，这个试验的单形是一个等边三角形，其三个顶点分别为A （1，0，0）、B （0，1，0）和C （0，0，1）。
设P （x 1、x 2、x 3）为这单形的内点，定义x 1表示P 点到边BC 的距离，x 2为P 点到边AC 的距离，x 3为P 点到边AB 的距离。
为简单起见，使用时不再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三角形，如图1（b ）所示。
(a)(b)图1 p=3时的单形A(1, 0, 0)C(0, 0, 1)x 3（x 1+x 2+x 3 = 正三角形的高 = 1）取此等边（正）三角形的高为1，则由初等几何学可知，∆ABC 内任一点P 到三个边的距离之和为1，即1321=++x x x 或 131=∑=i i x所以，三因子混料试验可以用等边三角形这样一个单形上的点表示。
一般情况下，对p 因子混料试验，其p 个顶点分别为A 1（1，0，0，…，0）、 A 2（0，1，0，…，0）、…、 A p （0，0，0，…，1）。
设P （x 1, x 2, …, x p ）为单形的内点，定义x 1，x 2，…，x p 分别表示P 点到A 2…A p 面的距离、A 1A 3…A p 面的距离、…、A 1…A p-1面的距离，并取p-1维空间内正多边形的高为1[正多边形又称为正规单（纯）形]。
于是，我们就建立了p 因子混料试验的单形坐标系。
2. 单（纯）形格子点的概念对于由混料条件式（1）构成的正规单（纯）形因素空间，当采用式（5）、式（6）等完全型规范多项式回归模型时，试验点可以取在正规单（纯）形格子点上，构成单（纯）形格子设计。
对于三因素（p=3时）的格子点集，其单（纯）形是一个高为1的等边三角形，它的三个顶点的全体称为一阶格子点集，记为{3，1}，如图2（a ）所示。
①③2 2 23 3 = 1 3 = 1(a) {3, 1} (b) {3, 2} (c) {3, 3}图2 单（纯）形格子点分布图将高为1的等边三角形的三条边各二等分，则该三角形的三个顶点与三条边的中点的全体称为二阶格子点集，记为{3，2}，如图2（b）所示。
其中共有6个点，各点坐标如表1所示。
将等边三角形的各边进行三等分，对应分点连成与各边平行的直线，在等边三角形上形成许多格子，则这些格子顶点的全体称为三阶格子点集，记为{3，3}，如图2（c）所示，其中共有10个点。
各点坐标如表2所示。
表1 {3，2}各点坐标（三因素二阶格子点集坐标）表2 {3，3}各点坐标（三因素三阶格子点集坐标）四因素二阶格子点集，记为{4，2}，其中共有10个点，各点坐标见表3。
表3 {4，2}各点坐标（四因素二阶格子点集坐标）一般情况下，p 因素d 阶格子点集记为{p ，d}，其中p 表示单（纯）形顶点的个数，d 表示单（纯）形边长被等分的段数，并且总的点数为dd p C 1-+。
3、单（纯）形格子设计法Scheff é提出的单（纯）形格子设计，具有以下两个特点：（1）、每个{p ，d}设计所要做的试验次数为dd p C 1-+，恰好等于完全型规范多项式回归方程[如式（5）、式（6）所示]中的回归系数的个数。
因而单（纯）形格子设计是饱和设计，是一种优化设计。
代表试验的点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子，称为{p ，d}格子。
每一点的p 个坐标代表p 个因素的成分值，它们加起来的和等于1；（2）、试验点的成分与模型的次数（或阶数）d 有关，我们约定每一成分x i取值为d 1的倍数，即1,1,,2,1,0dd d d x i -= 。
并且在设计中因素成分量的各种配合都使用到。
单（纯）形格子设计的试验点数，与相应的完全型规范多项式回归方程的阶数（或次数）d 的关系，见表4。
表4 单（纯）形格子设计的试验点数（dd p C 1-+）4、回归系数的计算在单（纯）形格子设计中，每个回归系数的值只取决于所对应的一些格子上的观测值，而与其它设计点上的观测值无关，故使得用最小二乘法计算回归系数变得很简单。
各回归系数均可表达为相应设计点上观测值的简单线性组合。
[例1] {3，2}单形格子设计∵ 是三因素二次单形格子设计，即 p=3，d=2，∴ 响应方程（又称Scheff é多项式或规范多项式或正则多项式）为：322331132112332211331ˆx x b x x b x x b x b x b x b x x b x b yji j i ij i i i +++++=+=∑∑<=成分的取值=i x 0，21，1。
此时单形格子设计及试验结果如表5所示。
表5 单形格子{3, 2}设计及试验结果为了求出模型中系数的估计，可以通过把同一号的试验成分值分别代入上述模型中的x 1、x 2和x 3，并把观测值y i 代入对应的i yˆ，这样便得到一组方程，解这组方程便可获得回归系数的估计值。
将第1号试验（1，0，0）代入（x 1，x 2，x 3），便得到11b y = 同理可得22y b =， 33y b = 21412224y y y b --=31513224y y y b --= 32623224y y y b --=[例2] {4，2}单形格子设计∵ p=4，d=2∴ 未知参数的个数1012452521241=⨯⨯===-+-+C C C d d p 单形格子设计的试验点个数也是10。
成分的取值x i =0，21，1。