正态分布推导72927
正态分布讲解
复习引入:总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率. 设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线.它反映了总体在各个范围内取值的概率. 根据这条曲线，可求岀总体在区间（a, b）内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：(X )2（X）式中的实数、（0）是参数，分别表示总体的平均数与标准差,态分布密度曲线，简称正态曲线讲解新课：2. 4正态分布,x（X）的图象为正一般地，如果对于任何实数b，随机变量X满足P(a X B) (x)dx.则称X的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布完全由参数和确定，因此正态2 2分布常记作N( , ) •如果随机变量X服从正态分布，则记为x〜N(,).经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布•例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标x是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布•在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布•例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等)；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布•因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中•正态分布在概率和统计中占有重要的地位.说明：1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.2.早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n !的近似公式得到了正态分布•之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导岀了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布.2•正态分布N( , 2))是由均值卩和标准差b唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响・3•通过对三组正态曲线分析，得岀正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 .正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上+讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质.4.正态曲线的性质：(1) 曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交. (2) 曲线关于直线x=卩对称. (3) 当x=卩时，曲线位于最高点 + (4 )当x <卩时，曲线上升(增函数)；当 x >g 时，曲线下降(减函数).并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近 ・(5)卩一定时，曲线的形状由b 确定 +b 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； b 越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比 教学+ 5 .标准正态曲线：当卩=0、 b =1时，正 态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是x 2(-x V +8)其相应的曲线称为标准正态曲线+标准正态总体N(0, 1)在正态总体的研究中占有重要的地位 ■任何正态分布的概率问题均可转化成标 准正态分布的概率问题f(x)讲解范例:给岀下列三个正态总体的函数表达式，请找岀其均值卩和标准差b答案：(1)0 , 1; (2)1 , 2; (3)-1 ,解：利用等式 p (x 2) (x 1)有 p (2)( 1) (2)11=(2)(1) 1= + —仁.1.标准正态总体的概率问题对于标准正态总体 N(0, 1), (x 0)是总体取值小于x 0的概率，即(X o ) P (X X o ),其中x 0 0，图中阴影部分的面积表示为概率P(x x 0) •只要有标准正态分布表即可查表解决 .从图中不难发现：当x 0 0时，(x 0) 1 ( x 0)；而当x 00时，①(o )=・2.标准正态分布表标准正态总体 N (0,1)在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中，对应于x 0的值 (x 0)是指总体取值小于x 0的概率，即(X 。
正态分布的概念和特征
正态分布的概念和特征一、正态分布的概念由表1.1的频数表资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。
我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图 3.1（3）。
这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。
由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。
（3.1）该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布(standard normal distribution)，亦称u分布。
u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。
二、正态分布的特征：1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。
2．正态分布以均数为中心，左右对称。
3．正态分布有两个参数，即均数和标准差。
是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。
是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。
通常用表示均数为，方差为的正态分布。
用N（0，1）表示标准正态分布。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。
正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。
对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
正态分布数学公式
正态分布数学公式
正态分布的公式：Y＝（X-μ）/σ～N（0，1）。
正态分布符号定义：
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的高斯分布，记为N（μ，）。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态分布有两个参数，即均数（μ）和标准差（σ）。
μ是位置参数，当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴，越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴，越向左移动。
是形状参数，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭。
通常用表示标准正态分布。
主要特点：
1、估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2、制定参考值范围。
1）正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
2）百分位数法常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
3、质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。
这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
4、正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
正态分布公式推导
正态分布公式推导正态分布是一种常见的概率分布，其概率密度函数可以通过公式推导而得。
下面将介绍正态分布的起源以及其推导过程。
正态分布在19世纪由高斯（Gauss）引入，也因此被称为高斯分布。
高斯分布具有许多重要的性质，因此在统计学和自然科学中得到了广泛的应用。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x)=(1/√(2πσ²))*e^((-(x-μ)²)/(2σ²))其中，f(x)是随机变量X的概率密度函数，x是变量的取值，μ是分布的均值，σ²是方差，e是自然对数的底。
下面将推导正态分布的概率密度函数。
首先，考虑标准正态分布，即均值为0，方差为1的正态分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/√(2π)*e^(-x²/2)为了将概率密度函数推广到一般的正态分布，我们引入变量Z，用来表示标准正态分布的随机变量。
假设X是一个正态分布的随机变量，其均值为μ，方差为σ²。
我们可以将X表示为：X=μ+σZ其中，Z是标准正态分布的随机变量。
将X的表达式代入概率密度函数，我们得到：f(x)=1/(√(2π)σ)*e^(-((x-μ)/σ)²/2)通过这个表达式，我们可以看出，X是一个以μ为均值，以σ²为方差的正态分布。
为了进一步推导正态分布的公式，我们需要理解正态分布的性质。
具体来说，在正态分布中，68%的观测值位于均值加减1个标准差之间，95%的观测值位于均值加减2个标准差之间，99.7%的观测值位于均值加减3个标准差之间。
这些性质称为“三个标准差法则”或“68-95-99.7法则”。
基于这些性质，我们可以通过对概率密度函数进行适当的变换得到正态分布的常用公式。
首先，我们对标准正态分布的概率密度函数进行变换，得到：∫(-∞, x) (1/√(2π) * e^(-t²/2)) dt = ∫(-∞, (x-μ)/σ) (1/√(2π) * e^(-t²/2)) dt其中，左侧是标准正态分布的累积概率密度函数（CDF），右侧是一般正态分布的CDF。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等众多领域都有着广泛的应用。
下面，让我们一起来深入了解正态分布。
一、什么是正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数呈现出一种独特的“钟形”曲线，具有对称性。
从数学表达式上看，正态分布的概率密度函数为：＼ f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，决定了曲线的位置；＼（＼sigma\）是标准差，决定了曲线的“胖瘦”程度。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线以均值\（＼mu\）为对称轴，左右两侧对称。
这意味着在均值两侧相同距离处，出现观测值的概率相等。
2、集中性大部分数据集中在均值附近，离均值越远，数据出现的概率越小。
3、均值和中位数、众数相等这三个统计量在正态分布中是重合的，反映了数据的中心趋势。
4、标准差的作用标准差\（＼sigma\）越大，曲线越“胖”，数据的分散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。
三、正态分布的产生原因为什么在现实世界中会有如此多的现象符合正态分布呢？1、大量独立随机因素的综合作用许多自然和社会现象受到众多微小、相互独立的随机因素的影响。
例如，人的身高受到遗传、营养、环境等多种因素的影响，当这些因素的数量足够多且相互独立时，最终的结果往往呈现正态分布。
2、中心极限定理根据中心极限定理，当从一个总体中抽取大量独立同分布的随机样本，并计算其均值时，这些均值的分布将近似于正态分布。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，通过对产品质量特征的测量，如果其符合正态分布，可以设定合理的控制界限，来监控生产过程是否处于稳定状态。
2、考试成绩评估考试成绩通常近似服从正态分布。
教师可以根据正态分布来确定合理的分数段，评估学生的学习情况。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义一、什么是正态分布在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布。
它就像是自然界和人类社会中许多现象的“常客”，无处不在。
想象一下，我们测量一群人的身高，或者记录一段时间内某地区的气温，这些数据往往会呈现出一种特定的规律，这就是正态分布。
正态分布的形状就像一个钟形，中间高，两边逐渐降低并且对称。
这意味着大部分数据集中在平均值附近，而离平均值越远，数据出现的频率就越低。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线是关于均值对称的。
也就是说，如果均值是μ，那么在μ 左侧和右侧相同距离处的数据出现的频率是相等的。
2、集中性大部分数据都集中在均值附近。
这反映了在许多情况下，一个典型的或者最常见的值是存在的。
3、均匀变动性从均值向两侧，曲线的下降是均匀的。
这意味着数据的变化是相对平稳和有规律的。
三、正态分布的数学表达式正态分布的概率密度函数可以用下面的公式来表示：f(x) ＝（1 ／（σ √（2π)）） e^（（（x μ)＾2 ／（2σ^2)））在这里，μ 是均值，σ 是标准差，π 是圆周率，e 是自然常数。
这个公式看起来可能有点复杂，但它精确地描述了正态分布的形状和特征。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，例如制造零件，产品的某些质量指标往往服从正态分布。
通过对这些指标的监控和分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整。
2、考试成绩学生的考试成绩通常也近似符合正态分布。
这有助于教师评估教学效果，确定合理的分数段和等级划分。
3、金融领域股票价格的波动、收益率等常常呈现正态分布的特征。
投资者可以利用这一特点进行风险评估和投资决策。
4、医学研究例如人体的生理指标，如血压、身高体重指数等，很多都符合正态分布。
这对于疾病的诊断和预防具有重要意义。
五、如何计算正态分布的概率为了计算给定区间内的概率，我们通常需要借助数学表或者使用统计软件。
例如，要计算某个值 x 以下的概率，可以通过将 x 标准化为 z 分数：z ＝（x μ) ／σ然后，查找标准正态分布表来获取对应的概率。
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
《正态分布》教学课件(32张PPT)
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
正态分布函数表达式推导
正态分布函数表达式推导正态分布函数（NormalDistribution）是数学统计学中最常用的概率分布，它可以提供最重要的信息，包括一般抽样分布的均值和方差，以及一些特定随机变量的概率密度。
此外，正态分布还可以用于描述现实世界中的多种随机过程，如外观质量、财务报表质量等，从而被广泛用于实际工作和研究中。
本文将从表达式来推导正态分布函数，从而更深入地理解正态分布以及如何用它来描述实际现象。
首先，正态分布函数的表达式是一个非常复杂的概率密度函数。
它可以表示为：$$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}}e^{frac{-(x - mu)^2}{2 sigma^2}}$$其中，μ是正态分布的均值，σ2表示方差。
可以看出，此表达式与已知的指数函数形式有所不同。
为了更好地理解正态分布函数的概念，我们假设μ和σ2的值都固定，将上述表达式展开并展示如下： $$ N(x ; mu,sigma^2) = frac{1}{sqrt {2 pi sigma^2}}{e^{-frac {(x-mu)^2}{2 sigma^2}}} = frac{1}{sqrt {2 pi sigma ^2}}{ (1- frac{(x-mu)^2}{2 sigma^2})^{-frac{1}{2}} } $$ 其中，指数项称为正态分布函数的多项式因子，可以通过幂级数来表示：$$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{2^n cdot n!} cdot (x -mu)^{2n}$$接下来，我们可以将正态分布函数的多项式因子以紧凑方式表示出来，即：$$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}} cdot e^{-frac {(x-mu)^2}{2 sigma^2}} cdot left( 1 +frac{(x-mu)^2}{sigma^2} + frac{(x-mu)^4}{2 sigma^4} +frac{(x-mu)^6}{6 sigma^6} + frac{(x-mu)^8}{24 sigma^8} + cdotsright) $$以上，就是正态分布函数的表达式，它可以用来描述多种实际情况，比如外观质量、财务报表质量等。
正态分布条件公式
正态分布条件公式
（实用版）
目录
1.引言
2.正态分布的定义和性质
3.正态分布的条件公式
4.结论
正文
1.引言
正态分布，又称为高斯分布，是一种常见的概率分布。
在自然界和社会科学中的许多现象都遵循正态分布规律，例如人的身高、考试成绩等。
正态分布具有一些重要的性质，如均值、中位数、众数相等，标准差决定了分布的胖瘦等。
2.正态分布的定义和性质
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x-μ)) / 2σ)，其中，μ为均值，σ为标准差。
正态分布的分布图象呈钟型，其均值、中位数、众数相等，即μ=σ=ν。
3.正态分布的条件公式
在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来判断总体分布是否为正态分布。
下面介绍一种常用的正态分布检验方法——Kolmogorov-Smirnov 检验。
Kolmogorov-Smirnov 检验是一种基于样本最大差值的检验方法，其步骤如下：
(1) 计算样本的最大差值 Dmax；
(2) 计算 n-1 个区间的中点，记为 xi；
(3) 计算 (xi-μ)/σ的值，记为 z；
(4) 根据 Kolmogorov-Smirnov 分布表，查找对应的临界值 Ks；
(5) 如果计算得到的 z 值小于临界值 Ks，则不能拒绝原假设，即总体分布为正态分布；反之，则拒绝原假设，即总体分布非正态分布。
4.结论
正态分布在实际应用中具有重要意义，理解和掌握正态分布的条件公式，可以帮助我们更好地分析和处理数据。
正态分布原理
正态分布原理正态分布，又称高斯分布，是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它在自然界和人类社会的各个领域都有着广泛的应用，因此对正态分布的原理和特性有一定的了解是非常重要的。
首先，正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-((x-μ)^2)/(2σ^2))。
其中，μ是分布的均值，σ是分布的标准差，π是圆周率。
这个公式描述了正态分布曲线在不同取值下的概率密度，而正态分布曲线呈现出典型的钟形，两头低，中间高的形状。
其次，正态分布具有许多重要的性质。
首先是68-95-99.7法则，即在正态分布中，约有68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约有95%的数据落在两个标准差范围内，约有99.7%的数据落在三个标准差范围内。
这个法则对于理解正态分布的数据分布情况非常有帮助。
另外，正态分布的均值和标准差对于整个分布的形状有着决定性的影响。
均值决定了正态分布曲线的位置，而标准差决定了曲线的宽窄程度。
因此，对于不同的数据集，可以通过均值和标准差的变化来描述数据的分布情况。
在实际应用中，正态分布被广泛应用于各种统计分析和预测模型中。
例如，在质量控制中，可以使用正态分布来描述产品的尺寸和重量分布情况；在金融领域，正态分布被用来描述股票价格和收益率的分布情况；在医学研究中，正态分布被用来描述人群的身高、体重等生理特征的分布情况。
总之，正态分布作为统计学中最重要的概率分布之一，其原理和特性对于理解数据分布情况、进行统计分析和预测具有重要意义。
通过对正态分布的深入了解，可以更好地应用统计学方法解决实际问题，提高数据分析的准确性和可靠性。
正态分布公式推导
正态分布公式推导
正态分布叠加公式是：x+y~n(3，8)。
相互立的正态变量之线性组合服从正态分布。
即x~n(u1，(q1)^2)，y~n(u2，(q2)^)。
则z=ax+by~n(a*u1+b*u2，
(a^2)*(q1)^2+(b^2)*(q2)^2)
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右等距，曲线两端永远不与横轴平行。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等同于1，相等于概率密度函数的函数从正无穷至负无穷分数的概率为1。
即为频率的总和为%。
两个正态分布的任意线性组合仍服从正态分布（可通过求两个正态分布的函数的分布证明），此结论可推广到n个正态分布。
因此，只需求x-3y的期望方差就可知道具体服从什么正态分布了。
数学正态分布
正态分布是概率论中最重要的一种连续型随机变量分布，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，因此也被称为钟形曲线分布。
正态分布的概率密度函数可以表示为：
f(x) = (1/σ√2π) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)
其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
这个公式表明，正态分布的概率密度函数关于均值对称，且随着离均值的距离增加而逐渐减小。
正态分布在统计学和科学领域中有着广泛的应用。
例如，在描述自然现象、人类行为和社会现象等方面，很多数据都呈现出正态分布的特征。
此外，许多统计方法都基于正态分布假设，例如参数估计、假设检验等。
正态分布的所有公式
正态分布的所有公式正态分布是一种在统计学中非常重要的概率分布，它在自然科学、社会科学以及工程技术等领域都有着广泛的应用。
咱们先来说说正态分布的概率密度函数公式，这可是理解正态分布的核心哟！它的表达式是：$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x -\mu)^2}{2\sigma^2}}$这里的$\mu$是均值，也就是正态分布的中心位置；$\sigma$是标准差，它决定了分布的宽度。
咱们举个例子来理解一下哈。
比如说咱们要研究一个班级学生的考试成绩，假设成绩符合正态分布。
如果均值$\mu$是 80 分，标准差$\sigma$是 10 分。
那这意味着大部分同学的成绩会在 80 分左右，离80 分越远，人数就越少。
比如说 90 分以上和 70 分以下的同学相对就比较少啦。
再来说说正态分布的累积分布函数公式，它可以用来计算随机变量小于等于某个值的概率。
公式是：$F(x) = \frac{1}{2} [1 + erf(\frac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}})]$这里的$erf$是误差函数。
想象一下哈，还是那个班级成绩的例子。
如果咱们想知道成绩小于等于 75 分的同学所占的比例，就可以用这个累积分布函数来算一算。
正态分布还有一些重要的性质和公式。
比如，正态分布的期望就是均值$\mu$，方差就是$\sigma^2$。
这两个公式可重要啦，能帮助我们更好地描述数据的集中趋势和离散程度。
还有个有趣的现象，正态分布的 3$\sigma$原则。
大概 68%的数据会落在均值$\pm 1\sigma$的范围内，约 95%的数据会落在均值$\pm2\sigma$的范围内，而几乎 99.7%的数据会落在均值$\pm 3\sigma$的范围内。
就像前面说的那个班级，大约 68%的同学成绩会在 70 分到 90 分之间（80$\pm$10），约 95%的同学成绩会在 60 分到 100 分之间（80$\pm$20），几乎 99.7%的同学成绩会在 50 分到 110 分之间（80$\pm$30）。
正态分布标准转化公式推导
正态分布标准转化公式推导正态分布是统计学中非常常见的一种分布形式，也常用于数学中的各种运算。
在实际的应用中，由于每个样本都有其独立性和特征性，因此常需要对各种数据进行标准转化。
而在对正态分布数据进行标准转化时，可以利用正态分布标准转化公式进行计算。
本文将从标准正态分布及其基本性质入手，详细讲解正态分布标准转化公式的推导过程。
一、标准正态分布及其基本性质标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布，也称为Z分布。
对于一个任意的正态分布X，其标准化变量为Z，可用以下公式表示：z=(x-μ)/σ (1)其中，μ为X的均值，σ为X的标准差，z为标准化变量。
由于标准正态分布均值为0，标准差为1，可以将标准正态分布的分布函数表示为：φ(z)=1/√(2π)e^(-z^2/2) (2)其中，φ(z)是标准正态分布的概率密度函数，e表示自然对数底数。
二、对于一个正态分布X，其概率密度函数为：f(x)=1/√(2π)σe^(-(x-μ)^2/2σ^2) (3)其中，μ和σ分别为均值和标准差。
设标准化变量为Z，则有：Z=(X-μ)/σ (4)将(4) 代入(3) 可得：f(x)=1/√(2π)×σ×e^(-(x-μ)^2/2σ^2)=1/√(2π)×σ×e^(-(σZ)^2/2)×σ=1/√(2π)×e^(-z^2/2) (5)其中，将(4) 代入(5) 的过程中，利用了σ和e^(-(σZ)^2/2) 是相互独立的性质，可以提出一个σ公因子。
由于标准正态分布的概率密度函数为：φ(z)=1/√(2π)e^(-z^2/2)因此，可以将(5) 中的概率密度函数表示为标准正态分布概率密度函数的形式，即：f(x)=φ(z) (6)将(6) 即可得到正态分布标准转化公式。
即：Z=(X-μ)/σ其中，X是随机变量的观测值，μ和σ分别为随机变量的均值和标准差，Z是随机变量标准化后的值。
正态分布推导
正态分布推导
正态分布即钟形曲线也叫正态曲线，由拉普拉斯在1809年提出。
正态分布具
有两个关键性特征，即均值和方差。
均值可以用来找出样本中的平均数值，而方差可以表示数据分布幅度。
正态分布在概率论和统计分析中是一种常用的概率模型。
主要应用在生物学、物理学、定量经济学等领域。
当把一个概率分布的独立量较多的变量考虑进去时，此时正态分布就可以有效地表示这种变异性，在建立统计模型时，一般假设它是正态分布的。
此外，正态分布有很多的好处，比如简化运算，便于解模型；正态分布的拟合尽可能简单，在不改变模型核心结构的前提下，使其模型参数概率分布更加逼近正态分布；正态分布在很多统计学和计算机科学术科上都有重要的应用。
例如，在自然环境中，常常需要采集气温随时间变化的数据，这种情况一般符合正态分布，拟合出来的函数和模型也可以有助于我们了解气温变化的规律。
此外，还有许多地方都可以应用正态分布，比如考试成绩的分布、相对距离的分布等。
总之，正态分布在统计学中十分重要，由于它的简单的数学性储，它在概率统计和模型建立过程中发挥着重要的作用，从而更好地理解定量的量和数据。
正态分布的推导
正态分布的推导正态分布（Gaussian Distribution），又被称为钟形曲线或高斯分布，是概率论中非常重要且广泛使用的一种连续型的概率分布。
在统计学和自然科学的研究中，正态分布被广泛应用于描述和分析各种随机变量的分布情况。
一、概述正态分布是一种连续型的对称概率分布，其图形呈钟形曲线，两侧延伸至无穷远。
正态分布的特点如下：•均值和中位数相等，位于分布的对称中心。
•曲线在均值处取得最大值，且两侧对称。
•标准差决定了曲线的宽度，标准差越小，曲线越尖锐。
正态分布具有许多重要的性质和应用，如中心极限定理。
在实际问题中，很多随机变量可以近似看作是服从正态分布，因此正态分布的推导和应用具有重要的意义。
二、概率密度函数正态分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）可以用数学公式表示为：f(x)=1√2πσexp(−(x−μ)22σ2)其中，x表示随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差。
f(x)表示在x处的概率密度。
三、推导过程为了推导正态分布，我们首先从标准正态分布开始。
标准正态分布的均值μ=0，标准差σ=1。
假设Z是一个标准正态分布的随机变量，其概率密度函数可以表示为：f(z)=1√2π(−z22)现在考虑将标准正态分布变换为一般的正态分布。
设X是一般的正态分布随机变量，其均值为μ，标准差为σ。
我们用X来表示Z经过线性变换后的结果。
设X和Z之间的线性变换关系为X=σZ+μ，其中σ是比例系数，μ是常数项。
反解可以得到Z=X−μσ。
为了求得一般的正态分布的概率密度函数，我们需要求出X的概率密度函数。
通过换元法，我们有：f(x)=f(x−μσ)=1√2π(−(x−μ)22σ2)这就是一般的正态分布的概率密度函数。
可以看到，当μ=0，σ=1时，概率密度函数退化为标准正态分布。
四、性质和应用正态分布具有许多重要的性质和应用。
以下是其中的一些：1. 中心极限定理中心极限定理是指，对于任意独立同分布的随机变量X1,X2,...,X n，其均值为μ，标准差为σ，当n趋于无穷大时，这些随机变量的和的分布趋近于正态分布。
正态分布求导
正态分布求导正态分布又称常态分布，它是数理统计中最常用到的一种概率分布。
那么什么是正态分布？怎样求出正态分布的表达式呢？今天，我们就来学习正态分布。
在生活中，经常要做一些统计图表，例如：圆形统计图、条形统计图等等。
通过图表可以直观地看出总体情况，进而比较和分析，并得出结论。
我们都知道正态分布是一个很有规律的分布，所以这里也会用到正态分布。
例如：人口数量的分布，高考考生的成绩分布，在选举中人员的票数分布等等。
下面我们一起来认识下正态分布吧！这个问题不能用公式去解决，我们需要从研究对象的特征入手，利用正态分布的特征：对称性、周期性及稳定性，用下面的方法求出正态曲线的方程。
(1)在正态曲线上任取两点，构造两个相关联的方程组，由于这两个方程组必有一组为零，所以求出的即为正态曲线的斜率。
(2)设方程组解的期望为L，因为斜率为c，所以由题意知方程组的期望L=-(1-c/c)。
即可得出： ln L=1-ln(1-c/c)=1-C ln c=0。
然后根据下列公式即可求得：正态分布的表达式。
正态分布的研究，在数学与自然科学等许多领域有着广泛的应用。
下面我们举几个实际的例子：一是正态分布在人口普查中的应用。
假如现在要进行人口普查，某小区共有2000名居民，这2000人被分成A， B， C， D四类，每一类都随机抽取50人，那么该小区居民的人口分布属于哪一类呢？你能求出该小区居民的人口分布吗？假如把正态曲线上每个点用一个数表示，那么这个数就是正态分布的表达式，如果每一点表示的数字越多，那么这个分布越偏向于正态分布，就像温度分布一样，偏于正态分布时，这个温度分布越偏于0度，偏离0度越大，那么温度就越低；反之，如果每一点表示的数字越少，那么这个分布越偏离正态分布，就像人口分布一样，偏于正态分布时，这个人口分布越偏于平均数，偏离平均数越大，那么人口就越少。
通过这些例子我们发现了正态分布的这一特征，我们一定要牢记这个特征，只有这样，我们才能更好地运用正态分布这个工具去解决各种问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正态分布的推导
斯特林(Stirling)公式的推导
斯特林（Stirling）公式：
这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。
Stirling太强了。
1，Wallis公式
证明过程很简单，分部积分就可以了。
由x的取值可得如下结论：
即
化简得
当k无限大时，取极限可知中间式子为1。
所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。
2，Stirling公式的求解
继续兜圈。
关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。
分别是：
显然，
代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方）
所以得公式：
正态分布推导
在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。
记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。
大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。
但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。
这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。
只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。
最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。
前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。
他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。
于是就有了这篇文章：
斯特林(Stirling)公式的推导
如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。
本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。
于是直至今日，方才有这篇小文字。
本篇是斯特林公式的一个应用。
本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。
其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。
这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中，作为理解连续性随机变量的基础，正态分布是十分重要的。
斯特林公式：
根据斯特林公式,
因此
对于0<x<1
注意到
这个结论也可以表述为以下的形式：
假如设
这里只给出等价关系，离相等还差一步。
如果中间画了等号，那么公式就是大家所熟悉的棣莫弗——拉普拉斯定理了，即二项分布以正态分布为极限分布。
从等价到相等，也没什么难的了，反正就是微积分证明的主要思路——略去高阶无穷。
这里就不再给出了吧。
---------------------
不好意思,以前漏了个条件
k满足|k-np|=o(npq)的2/3次方这个条件是原来给定的条件，而不是推导出来的．这个条件的意义是保证二项分布的 p 和 q 不会太小. 比如考虑一个极端的情况 p->0 ,那么上面的推导就不成立了.
欢迎您的下载，
资料仅供参考！
致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等
打造全网一站式需求。