计控 例

【例4-1】 设最小拍控制系统如图4-11所示，被控对象的传递函数2()(0.51)
G s s s =
+，采
样周期0.5T s =，试设计在单位速度输入时的最小拍控制器()D z 。

解：系统的广义被控对象脉冲传递函数为 1
2
211
21
1
1
121
1
1
122()[
](1)[
]
(0.51)
(0.51)
(1)
0.368(10.718)(1)(1)
(1)(10.368)
Ts
T
T
T
e G z Z z Z s
s s s s e z z e
z z z z e z z z --------------==-++-++=
=
----
根据题意，输入信号为单位速度输入，即()r t t =，则有12()(1)e z z -Φ=-
代入 求出最小拍控制器为11
1
1
5.435(10.5)(10.368)
()(1)(10.718)
z z D z z z ------=
-+
下面对设计出来的最小拍控制器进行分析和校验。

系统的闭环脉冲传递函数为12()2z z z --Φ=-，当输入为单位速度信号时，系统输出序列的z 变换为
1
1
2
12
2
3
4
()()()(2)
(1)234Tz
Y z R z z z z
z Tz
Tz
Tz
-------=Φ=--=+++
即(0)0,(1)0,(2)2,(3)3,y y y T y T ==== 。

输出响应如图4-12所示。

从图中可以看出，当系统为单位速度输入时，经过两拍以后，输出量完全跟踪输入采样值，即()()y k r k =。

但在各采样点之间还是存在一定的误差，即存在一定纹波。

图4-12 单位速度输入时最少拍控制系统输出响应曲线
当输入为单位阶跃信号时，系统输出序列的z 变换为
1
2
1
1
1
1
1
1()()()(2)
21Y z R z z z
z
z
z
z
z
z
-------=Φ=-=++++-
即(0)0,(1)2,(2)(3)(4)1,y y y y y ===== 。

其输出响应曲线如图4-13所示。

从由图可见，按单位速度输入所设计的最小拍系统，当输入变为单位阶跃信号时，经过两个采样周期，()()y k r k =。

但当1k =时，系统输出响应将有100%的超调量。

图4-13 单位阶跃输入时最小拍控制系统输出响应曲线
当输入为单位加速度信号时，系统输出序列的z 变换为
211
1
2
22
23
24
25
13
(1)()()()(2)
3.5711.52(1)
T z z Y z R z z z
z
T z
T z
T z
T z
z ---------+=Φ=-=++++-
即222(0)0,(1)0,(2),(3) 3.5,(4)7,y y y T y T y T ===== 。

此时，输入序列为
2
2
2
2
(0)0,(1)0.5,(2)2,(3) 4.5,(4)8,r r T y T y T y T ===== 。

可见输出响应与输入之间始终存在偏差，如图4-14所示。

由以上分析可以看出，按照某种典型输入设计的最小拍控制系统，当输入信号形式改变时，系统的性能将变坏，输出响应不一定理想。

这说明最小拍控制系统对输入信号变化的适应性较差。

2T
4T 6T 8T 10
图4-14 单位加速度输入时最小拍控制系统输出响应曲线图
如果被控对象()G z 中有单位圆上或圆外的极点，即被控对象是一个不稳定系统，在最小拍控制系统设计时，理论上可通过最小拍控制器设置零点进行抵消，得到一个稳定的控制系统。

脉冲传递函数()z Φ和误差脉冲传递函数()e z Φ通式为
1
11
1
1
21
()(1)()
()(1)
(1)()
l
N
k
k m
q
e i i z z
z
z F z z z p z F z --=--=Φ=-Φ=--
∏∏
1、在选择()z Φ和()e z Φ时，必须针对不同的输入选择不同的形式，1,2,3q =；
2、为保证控制系统的稳定性，()e z Φ的零点应包含()G z 的所有不稳定极点；
3、为保证控制器()D z 的物理可实现性，()G z 的所有不稳定零点和滞后因子均应包含在闭环脉冲传递函数()z Φ中；
4、为实现最小拍控制，通式中的1()F z 和2()F z 是关于1z -的多项式， 1()F z 不包含()G z 中的不稳定极点，2()F z 不包含()G z 中的不稳定零点。

1()F z 和2()F z 应尽可能简单，在满足恒等式()()1e z z Φ+Φ=的同时，应取项数最少而保证通式成立的多项式。

【例4-2】在图4-11所示系统中，设10(),1(1)
p G s T s s s =
=+，采用零阶保持器，系统
输入为单位阶跃信号，试设计最小拍系统的数字控制器()D z 并画出数字控制器和系统的输出波形。

解：11
1
1
110 3.68(10.718)()[
](1)
(1)(10.368)
Ts
e z z G z Z s
s s z z ------+==
+--
1
()z z -Φ=，1
()1e z z -Φ=-
1
1
()0.272(10.368)
()()()
10.718e z z D z z G z z
--Φ-=
=
Φ+
1
2
3
()()()Y z z R z z z
z
---=Φ=+++
下面利用修正z 变换求采样点之间的系统输出，取0.5β=
21
11
12
1
1
1
(1)(,)10(1)[
](1)
(1)
(1)
z
z
e
z
G z z z z e z β
ββ----------=-+
+
---
21
1
1
1
1
10 6.065(1)(,0.5)5110.368)
z
z z G z z
z
z -------=
-+
--
()(,)(,)1()()
D z G z z D z G z ββΦ=
+
11
2
1
2
1
2
3
4
5
6
0.289(1 4.420.512)
(,)(,)()10.2820.7180.289 1.3590.738 1.1840.864 1.093z z
z Y z z R z z
z
z
z
z z z z
ββ-----------++=Φ=--=++++++
其输出响应如图4-15所示，可以看出系统的输出存在纹波。

进一步分析可知，产生纹波的原因是数字控制器()D z 输出序列*()u t 经过若干拍后，在系统输出*()y t 的过渡过程结束后，不为常值或零，而是围绕其平均值振荡收敛的。

控制器的输出如图4-16所示。

1
1
1
2
3
4
5
0.272(10.368)
()()()()()()10.7180.2720.2950.2120.1520.1090.078e z U z D z E z D z z R z z
z
z
z z
z --------==Φ=+=-+-+-+
图4-15 单位阶跃输入时系统输出曲线 图4-16 单位阶跃输入时控制器输出曲线
【例4-3】对于图4-11所示系统，设10()(1)
p G s s s =+，1T s =，试按输入为单位阶跃
信号确定无纹波最小拍系统的数字控制器()D z 。

解：11
11
110 3.68(10.718)()[
](1)
(1)(10.368)
Ts
e z z G z Z s
s s z z ------+==
+--
1
1
()(10.718)z kz z --Φ=+，1
1
1()(1)(1)e z z d z --Φ=-+
由()1()e z z Φ=-Φ得1112
11(10.718)(1)kz z d z d z ----+=-+
1
0.582
0.418k d =⎧⎨
=⎩ 11
()0.582(10.718)z z z --Φ=+ 1
1
()(1)(10.418)e z z z --Φ=-+
此时，系统在采样点的输出为：1
2
3
()()()0.582Y z z R z z
z
z
---=Φ=+++
1
1
()0.1582(10.368)
()()()
10.418e z z D z z G z z
--Φ-=
=
Φ+
1
2
()()0.1582(1 1.3680.368)e D z z z
z
--Φ=-+
数字控制器的输出为1()()()()0.15820.058e U z D z z R z z -=Φ=- 误差信号为1()(1())()10.418E z z R z z -=-Φ=+
可见()()e D z z Φ为关于1z -的多项式，并且*()u t 经过2拍后过渡过程结束。

同时，经过两拍后*()y t 的过渡过程也结束了，也就是*()u t 和*()y t 同时结束过渡过程。

利用广义z 变换可求出系统的输出响应。

设0.5β=
21
11
12
1
1
1
(1)(,)10(1)[
](1)
11z
z e
z
G z z z z
e z
β
ββ----------=-+
+
---
1
2
3
()()()Y z z R z z
z
z
---=Φ=+++
21
11
12
1
1
1
(1)(,)10(1)[
](1)
(1)
(1)
z
z
e
z
G z z z z e z β
ββ----------=-+
+
---
1
1
2
1
1
2
3
4
(,)()()(,)()
1.582[1(
2.368 1.3682)(0.3680.736)]
11.582(1) 1.582(1.3680.368)e Y z z D z G z R z z e
e
z
e z z
e z
e
z
z
z
β
β
β
β
β
βββββββ-------------=Φ-++--+-+=
-=-++--+++
由此可见，此系统经过2拍以后就消除了纹波，如图4-17所示。

如果所求得系统在单位速度信号输入下，则输出的广义z 变换为
2
3
4
5
(,)()()(,)()
1.582(1)(0.582)( 1.582)(
2.582)e Y z z D z G z R z e
z
z
z
z
β
ββββββ-----=Φ=-++++++++
其输出响应如图4-18所示，可以看出，系统经过2拍后过渡过程结束，但始终存在稳态误差1.418。

t
图4-17 输入为单位阶跃时的输出响应 图4-18 输入为单位速度时的输出响应
如果按输入为单位速度信号，来确定无纹波最小拍系统的数字控制器()D z ，则有：
1
1
1
1()(10.718)(1)z kz z c z ---Φ=++，1
2
1
1()(1)(1)e z z d z --Φ=-+
由()1()e z z Φ=-Φ，得到 11
1.4070.3750.593k c d =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩ 所以，11
1
1
()0.383(10.368)(10.586)
()()()
(1)(10.593)
e z z z D z G z z z z ----Φ--=
=
Φ-+
输出的广义z 变换为
2
3
4
5
(,)()()(,)()
3.83(1)(3.650.175 2.24)(3)(4)e Y z z D z G z R z e
z
e
z
z
z
β
β
ββββββ------=Φ=-+++-+++++
由此可知，此系统在单位速度信号作用下，过渡过程为3拍，并且无纹波，其输出响应如图4-19所示。

如果所求得的系统在单位阶跃信号输入下，则输出的广义z 变换为
1
2
345
(,)()()(,
)()
3.83(1)(7.483.656.07)(0.8250.652.24
e
Y z z D z G z R z e z e
z e
z z z β
β
ββββββ------
--=Φ=-++
--+-++++ 其输出响应如图4-20所示，可以看出，系统经过3拍后过渡过程结束，但有100%的超调量，并且无纹波。

t
图4-19 输入为单位速度时的输出响应 图4-20 输入为单位阶跃时的输出响应
1、最小拍系统的局限性：一种典型的最小拍闭环脉冲传递函数只适用一种特定的输入，而不能同时适应多种不同类型的输入。

2、惯性因子法：使用惯性因子法并不能改善系统对所有输入类型的响应，因此，这种方法只适用于输入类型不多的情况。

3、极点位置：如果系统参数发生变化，或在计算机中存入的参数与设计参数略有差异，将使实际输出严重偏离期望状态。

4、采样时间越短，则控制输出越大，这就立即会使系统工作于非线性饱和状态，从而使性能显著变坏。

达林算法：设计一个数字控制器()D z ，使闭环传函()z Φ设计成为一个带有纯滞后的
一阶惯性环节，且纯滞后时间与被控对象的纯滞后时间相同。

即()()()
1
s
Y s e
s R s T s ττ-Φ==
+
【例4-4】 已知某过程对象的传递函数为2()41
s
p e
G s s -=
+，试用Dahlin 算法设计数字控制
器()D z ，使系统的闭环传递函数为2()21
s
e
s s -Φ=
+。

设采样周期1T s =。

解：根据题意，可知2s τ=，14T s =，1K =，2T s τ=，/2N T τ==，被控对象为一阶惯性环节，则由式（4-46），有
1/2
1/4
1
1/4
1/2
1
1/2
21
1
1
2
(1)(1)
()(1)[1(1)]
1.778(10.779)10.6070.393e
e z D z e
e
z
e z
z z
z --------------=
-----=
--
所以，1
1
3
() 1.778(10.779)()()
10.6070.393U z z D z E z z
z
----=
=
--
将上式等号两边交叉相乘，得到控制器的递推算法为
() 1.778() 1.385(1)0.607(1)0.393(3)
u k e k e k u k u k =--+-+-
即为达林算法设计的数字控制器。

当输入为单位阶跃信号时误差曲线、控制曲线和输出曲线如图4-22（a ）、（b ）、（c ）所示。

0.10.20.30.40.50.60.70.80.90
12
4
6
8
10
0.10.20.30.40.50.60.70.80.90
12
4
6
8
10
11.11.21.31.41.51.61.7-0.1
1.82
4
6
8
10
1.9曲线1
曲线2
（a ）误差曲线 （b ）控制曲线 （c ）输出曲线
图4-25 仿真波形图
振铃现象的消除
例题，根据Dahlin 算法求得的D(z)表达式为1
1
11.3515(10.2865)()(1)(10.9643)
z D z z z ----=
-+，可知D(z)
有两个极点，其中z=1处的极点不会引起振铃，而0.9643z =-接近1z =-，是引起振铃的极点。

根据消除振铃因子法，令该因子中的z=1，则有
1
1
1
1
1.3515(10.2865)0.6880.1971()(1)(10.9643)
1z z
D z z z
------=
=
-+-
【例5-1】直线插补。

如图5-28所示，设OA 为第一象限的直线，其终点坐标 ，用逐点比较法加工出直线。

插补从直线起点开始，因为起点总是在直线上，所以 ，下表列出了直线插补运算过程。

【例5-2】圆弧插补。

如图5-29所示，设 AB 为第一象限逆圆弧，起点
为 ，终点为 ，用逐点比较法加工
4,5A A x y ==0,0
0F =(6,0)A A A x y ==(0,6)B B
B x y ==
终点判别值： 。

开始加工时，刀具从点 A 开始，即在圆弧上， ，加工运算过程如下表所示。

(60)(60)12n =-+-=0,00F =。