三重积分详解

z x2 y2 1
y
x+ y = 4
.
1
o
4
x
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
Ω
Ω: 曲面 z x 2 y 2 1,平面 z x y 4 及三个坐标面所围区域
取第一卦限部分
z x2 y2 1
y
x+ y = 4
.
1 1
o
4
x
f ( x , y, z )dxdydz

I = dxdy
D

z ( x , y )
z ( x , y )
f ( x, y, z )dz
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
三重积分化为三次积分的过程：
z
z2 z1
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。
. .
0
D 2 4
x 0
.
6
6 2y 3 y 2 3 4 6 x y
2 4
x
y
D
0
6
I dy
dx
0
f ( x , y, z )dz
例
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
Ω
Ω: 曲面 z x 2 y 2 1,平面 z x y 4 及三个坐标面所围区域
1 x 1 故 ： 1 x 2 y 1 x 2 , 2 2 2 x 2 y z 2 x
因此， I 1 dx
1
1 x 2 1 x
2
dy x 2 2 y 2 f ( x , y , z )dz.
2 x 2
例
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z =z 6所围成的区域
(2) 过点 ( x, y ) D 作直线,
得到 z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ). (3) f ( x , y , z )dv


a
b
o
( x, y)
D
y
dxdy
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
Ω
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = z 6所围成的区域
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
2 4
x
y
6
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
Ω
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = z 6所围成的区域
: z xy 与 x y , z 所围成的区域
x+ y=1
Ω
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
例 计算 I f ( x , y , z )dxdydz
: z xy 与 x y , z 所围成的区域 。
x+ y=1
。
Ω
z
z=xy
y
1
o
z =0
例
计算三重积分 z dxdydz 。

其中 ：平面 x 1, x 2 , y x , z 0 , 及
2 z y 所围成的闭区域 .
解
z
1 2
向 xoy 面上投影，得到 D。
1 x 2, D: 0 y x .
o
D
y
x
过点 ( x , y ) D 作平行与 z 轴的直线, 得到
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
6Βιβλιοθήκη Baidu
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
2
y
x
6
例
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
1

1 x
I
.
dxdy
D
xy
0
f ( x , y , z )dz
dx
0
1
0
dy
xy
0
f ( x , y , z )dz
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz

c2
z
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
于是，
1 x 2, 即 : 0 y x， 0 z y 2 .
z dxdydz

1 dx 0 dy 0
2
x
y 2
zdz
2 x 2 2 3 1 1 5 . 1 dx 0 y dy x dx 8 24 1 32
例
化三重积分 I

z ( x , y )
f ( x, y, z )dz
z1(x,y)
M
闭区域 在 xoy 面上的投影为闭区域 D, S1 : z z1 ( x , y ), S 2 : z z2 ( x , y ),
. .
0 y
D
x
P
二、直角坐标系下三重积分的累次积分法
1.先一后二法
I
z z2(x,y)
一、三重积分的概念
设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 上的有界函数 ，
, vn ， (1)将闭区域 任意分成n 个小闭区域 v1 ， v 2 , 其中 v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积 ,
(2) 在每个 v i 上任取一点( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) v i ， ( i 1, 2 , , n ) ，
三重积分的性质与二重积分的类似。 特别地， 被积函数 f ( x , y , z ) 1时，
dv 的体积 .

二、直角坐标系下三重积分的累次积分法
1.先一后二法
I f ( x , y , z )dxdydz

z
N
z2(x,y)
I = dxdy
D

z ( x , y )

解
向 xoy 面上投影，得到 D。 0 x 1, D: 1 x 0 y . 2
过点 ( x , y ) D 作平行与 z 轴 的直线, 得到
1
z
1
x
o D
1 2
y
0 z 1 x 2 y.
于是，
x dxdydz

0 dx 0
1
1 x 2
I f ( x , y , z )dxdydz

c2
z
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
先做二重积分，后做定积分
c2

I=

c1
dz f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
.
x
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域向某轴（例如轴Z）投影，得投 影区间 [c1,c2] (2) 对用过轴且平行xoy平面的平面去截， 得截面Dz;
6
x+y+z=6
y=0
.
0
z=0
6
2 4
x
y
6
例.
y
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
6
6
I dxdy
D
6 x y
0
f ( x , y , z )dz
x
a x b, D: y1 ( x ) y y2 ( x ).
z2 ( x , y )
(4) D向 x 轴投影，得到


f ( x , y , z )dv
a dx y1 ( x ) dy z1 ( x , y )
b
y2 ( x )
f ( x , y , z )dz.

f ( x, y, z )dz
. .

y
y=0
x+ y = 4
1
.
D
o
4
x
例.
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
Ω
: z xy 与 x y , z 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.例
x
例 计算 I f ( x , y , z )dxdydz
先做二重积分，后做定积分

Dz
z
c1
0 y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz

其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
先做二重积分，后做定积分
c2
z

Dz
z
c1
0
.
y
x
2.截面法（先二后一法）
dy 0
1 x 2 y
xdz
过点 ( x , y ) D 作平行与 z 轴 的直线, 得到
0 z 1 x 2 y.
于是，
x dxdydz

0 dx 0
1 x 2
1
1 x 2
dy 0
1 x 2 y
xdz
0 dx 0 0 dx 0
0
.
6
2
y
x
6
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = z6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
2 4
x
y
6
计算 I f ( x , y , z )dxdydz


f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分，
其中积分区域 为由曲面 z x 2 2 y 2 及
z 2 x 2 所围成的闭区域 .
z x2 2 y2 , 解 由 2 z 2 x
2 2 x y 1, 得交线投影区域
1 x 1 故 ： 1 x 2 y 1 x 2 , 2 2 2 x 2 y z 2 x
(3)
f ( , ,
i 1 i i
n
i
)vi
趋近于零 (4) 如果当各小闭区域的直径中的最大值 时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在 闭区域 上的三重积分，记为 f ( x , y , z )dv , 即

lim f ( i , i , i )vi . f ( x , y, z )dv 0
1
1
x2 y xz 1 dy 0
1
1 x 2
( x x 2 2 xy )dy
2
0 ( x x ) y xy
2

2

0
1 x 2
1 1 dx 0 ( x 2 x 2 x 3 )dx 4
1
x 1 2 1 3 4 x x 1 . 4 2 3 4 0 48
y 0 z . 2
1 x 2, 即 : 0 y x， 0 z y 2 .
z
解
向 xoy 面上投影，得到 D。
1 x 2, D: 0 y x .
1 2
o
D
y
x
过点 ( x , y ) D 作平行与 z 轴的直线, 得到
y 0 z . 2
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭 区域 的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
( 2) 若平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与 闭区域 的边界曲面 S 相交多于两点时，把 分若干个小区域来讨论 ．
例
计算三重积分 xdxdydz ，其中 为三个坐标 面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
i 1
n
其中 dv 叫做体积元素 .
在直角坐标系中，如果 用平行于坐标面的平面 来划分 , 则 vi x j yk zl .
三重积分记为
n


f ( x , y , z )dxdydz lim
f ( i , i , i ) v i . 0
i 1
其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体 积元素.
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
Ω
Ω: 曲面 z x 2 y 2 1,平面z x y 4 及三个坐标面所围区域
I dxdy
D x 2 y 2 1 0
f ( x , y , z )dz
dx


x

dy
x y
I f ( x , y , z )dxdydz

其中 Ω z ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
先做二重积分，后做定积分
c2
z
Dz

I=

.
c2
c1
dz f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
x
2.截面法（先二后一法）