三重积分详解

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三重积分计算

三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。

在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。

一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。

设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。

则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。

可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。

三重积分对应的结果是一个数值。

二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。

三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。

1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。

先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。

然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。

三重积分的概念和计算方法

三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。

本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。

1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。

在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。

2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。

3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。

3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。

对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。

3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。

常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。

3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。

对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。

根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。

3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。

对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。

根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。

4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。

常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。

5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。

三重积分n重积分简介

§５三重积分一、三重积分的概念1 三重积分的物理解释设非均匀物体A 内分布着一种物质，其密度为(,,)x y z ρ，并假定ρ在A 上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到A 的质量是(,,)Am x y z dxdydz ρ=⎰⎰⎰2 三重积分的定义P243-2443 三重积分的性质、可积条件与二重积分类似线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等.二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1 长方体],[],[],[h k d c b a ⨯⨯上的积分定理21.15设[,][,][,]A a b c d e f =⨯⨯，f 是A 上的连续函数，那么f 在A 上的三重积分可以化为先对z ，后对y,x 的积分：(,,)Af x y z dxdydz ⎰⎰⎰=(,,)bdfacedx dy f x y z dz ⎰⎰⎰，或先y x z →→：(,,)Af x y z dxdydz ⎰⎰⎰= (,,)f b deacdz dx f x y z dy ⎰⎰⎰等等（共6种），并且此时（f 连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Vb ad chkdz z y x f dy dx dxdydz z y x f ),,(),,(.2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分简单区域（典型区域）的定义}),( , ),(),(|),,( {21D y x y x z z y x z z y x V ∈≤≤=, 其中D 为V 在XY 平面上的投影，{})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤= 或者 {})()(,),(21y x x y x d y c y x D ≤≤≤≤=),(),,(21y x z y x z 在D 上连续，)(),(21x y x y 在],[b a 上连续，)(),(21y x y x 在 ],[d c 上连续.方法将三重积分先化为一个定积分与一个二重积分（先一后二），进而化为三个定积分.⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(=2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰（3）公式解释“点—点，线—线，面—面”三重积分的直接计算方法举例（先一后二）补例1 3(1)DdxdydzI x y z =+++⎰⎰⎰，D ：有平面1,0,0,0x y z x y z ++====所围成区域.P245 补例2 DxyI dxdydz x =⎰⎰⎰，D ：锥面222222z x y c a b =+，平面,0,0z c x y ===所围（,,0a b c >）例1⎰⎰⎰+V yx dxdydz22, V : y z x y z x x ===== , , 0 , 2 , 1. P245. 解 } 21 , 0 , 0|),,( {≤≤≤≤≤≤=x x y y z z y x V ,⎰⎰⎰=V⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤=+=+=+21,0021,021*******x x y yx x y x y x ydydx yx ydxdy y x dz dxdy ⎰⎰==+===2121022.2ln 212ln 21)ln(21dx dx y x x y y注此例要求学生解答，学生画出积分区域的图形普遍困难，由此导出“求围定顶”法.3 三重积分的“求围定顶”法4 三重积分的“先二后一”（“截面法”）⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰hkD zdxdy z y x f dz ),,( ,其中V 介于平面k z =和h z =之间 , z D 是用平面z Z =截V 所得的截面. “先二后一”多用于围成V 的闭合曲面由一个方程给出的，二重积分部分的被积函数往往为常数，并且积分区域的面积函数可以求出的情况.例2 ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V d x d y d z c z b y a x 222222, V : 1222222≤++c z b y a x . P246解 ⎰⎰⎰=V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++V V V dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x 222222.解法1 (“先二后一”)⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V aD xdydz dx a x dxdydz a x 022222,其中x D 为椭圆域 2222221ax c z b y -≤+, 即椭圆域11122222222≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a x c z a x b y ,其面积为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222222111a xbc a x c a x b ππ. 因此 ⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=V aabc dx a x x abc dxdydz a x 022*******12ππ. 同理得 ⎰⎰⎰=V abc dV b y π15422 ,⎰⎰⎰=Vabc dV c z π15422. 因此⎰⎰⎰=⋅=a b ca b c ππ541543. 解法2 (“先一后二”)V 上下对称, 22ax 为z 的偶函数, ⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰'=V V dxdydz a x 222, 其中V '为V 在XOY 平面上方的部分, 其在XOY 平面上的投影为椭圆 12222≤+by a x . 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=--==≤+--≤+V b y ax b y ax c b y a x dxdy by a x a x cdz dxdy a x dxdydz a x 2222221102212212222222222 ⎰⎰-==============21232sin , cos 1cos 8πθθθθdr r r d abc br y ar x .⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=220242sin 2121cos πππθθθθd , ⎰⎰=-=====--=1122123152)1(12dt t t dr r rr t . 因此 ⎰⎰⎰=⋅⋅=V abc abc dxdydz ax ππ1541524822. 同理 …….于是⎰⎰⎰=⋅=a b ca b c ππ541543. 思考题设⎰=12)(dx x f . 计算积分⎰⎰⎰Vd x d y d z z f y f x f )()()(, V : x z x y x ≤≤≤≤≤≤0 , 0 , 10.解⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤===Vxy x x xx dz z f dy y f dx x f dz z f y f x f 0,1010)()()()()()(⎰⎰⎰⎰==⎰========⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==220321)(020232|31)()(0t dt t dy y f d dy y f xdy y f t x x .三、三重积分换元法三重积分的变量替换公式设在三重积分 (,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰作变量替换：(,,)(,,)(,,){x x u v y y u v z z u v ωωω=== (,,)'u v D ω∈又设这一变换满足下列条件：（1）建立了'D D ↔之间的一一对应；（2） x,y,z 在'D 内有关于,,u v ω的连续偏导数，并且其通变换：(,,),(,,),(,,)u u x y z v v x y z x y z ωω===在D 内有关于,,x y z 的连续偏导数；（3） Jacohi 行列式 (,,)(,,)uv uv uvx x x x y z J y y y u v z z z ωωωω∂==∂在'D 内无零点，则(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰='((,,),(,,),(,,))D f x u v y u v z u v J dudvd ωωωω⎰⎰⎰ （4）公式把xyz 坐标系下的三重积分化为uv ω坐标系下的三重积分. 和二重积分类似，当 J 在'D 内个别点或线段上为零时，上述公式仍成立.特别地有1 柱面坐标代换cos ,sin ,x r y r z z θθ===，(0,02,)r z θπ≥≤≤-∞<<+∞，(,,)(,,)x y z J r r z θ∂==∂三重积分的柱坐标换元公式为(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰='(cos ,sin ,)D f r r z rd drdz θθθ⎰⎰⎰.用柱坐标计算三重积分，通常是找出'D 在r θ平面上的投影区域r θσ，那当{}12'(,,)|(,)(,),(,)r D x r z r z z r r θθθθθσ=≤≤∈时，(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰=21(,)(,)(,,)r z r z r drd f r r z dz θθθσθθθ⎰⎰⎰先对z 积分，再计算r θσ上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下的二重积分）适用于22()f x y +型被积函数，或积分区域中二重积分部分的积分区域适用于极坐标变换.例3⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, V : 4 , )(222==+z z y x . 解 P2482 球坐标变换球面坐标设空间一点(,,)M x y z 在zy 平面上的投影为P （x,y ），(0)OM ρρ=≤<+∞，ϕ是有向线段OM 与z 轴的正向之间的交角（0ϕπ≤≤），θ是两平面xz 与POM 的交角（02θπ≤≤），则(,,)ρϕθ叫做点M 的球面坐标.在球面坐标中，有三族坐标平面：ρ=常数，以原点为中心的球面；ϕ=常数，以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ=常数，过z 轴的柱面（两两正交是正交坐标系）.点M 的直角坐标与它的球面坐标的点系为：sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，02,0,0θπϕπρ≤≤≤≤≤<+∞2||sin (0,0,02)J ρϕρϕπθπ=≤<+∞≤≤≤≤(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰=2'(sin cos ,sin sin ,cos )sin D f d d d ρϕθρϕθρϕρϕθϕρ⎰⎰⎰ （6）适用于积分区域或被积函数是222()f x y z ++型：例4 P250 例5 P250补例3 DI zdxdydz =⎰⎰⎰，D 由上半球面2224(0)x y z z ++=≥和抛物面223x y z +=所围的区域.补例4 求球面2222(0)x y z rz r ++=>和锥面所围区域的体积V ，其中锥面是以Z 轴为轴，顶角为2α的锥面。

简介三重积分资料讲解

2020/7/30
三、计算xzdxdyd,z其中是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
2020/7/30
例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
2020/7/30
解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则三重积分 f ( x , y , z )dxdydz 化为三次积分是
_______________________.
2、若
是由曲面 cz
xy (c

三重积分讲解

三重积分是微积分学中的一个重要部分，也是解决许多实际问题的基础。

以下是对三重积分的详细讲解：1.三重积分的概念：三重积分是将一个函数的积分运算转化为三个不同的积分，即分别对三个变量进行积分。

其一般形式为：∫∫∫f(x,y,z)dxdydz其中f(x,y,z)是待求积分的函数，而∫∫∫是三重积分的符号。

2.三重积分的物理背景：三重积分有着深刻的物理背景。

在物理学中，一个物体的质量分布、能量分布或者电荷分布等可以用三重积分来表示。

例如，一个物体的质量分布可以表示为空间中的密度函数f(x,y,z)，那么该物体的总质量就可以通过三重积分来计算。

3.三重积分的计算方法：三重积分的计算通常采用“分割、近似、求和、取极限”的方法。

具体步骤如下：（1）分割：将积分区域分割成许多小的立方体，每个立方体称为一个“小块”。

（2）近似：用每个小块的中心点(x',y',z')来近似该小块上的积分，即用该点的函数值f(x',y',z')来近似该小块上的积分。

（3）求和：将所有小块的积分值相加，得到粗略的积分值。

（4）取极限：将小块的尺寸逐渐缩小，使得粗略的积分值逐渐接近精确的积分值。

4.三重积分的几何意义：三重积分可以理解为空间物体的质量，即空间物体占据空间区域，在点(x,y,z)处的体密度为f(x,y,z)，整个空间物体的总质量就是将f(x,y,z)累积遍整个空间区域。

5.三重积分的性质：三重积分具有与一元定积分相同的性质，例如可加性、可移性、可换序性等。

同时，三重积分也具有与二重积分不同的性质，例如三重积分可以通过“分割、近似、求和、取极限”的过程得到精确的积分值，而二重积分则不能。

6.三重积分的实际应用：三重积分在许多实际应用领域有着广泛的应用，例如物理学中的质量分布、电荷分布、能量分布等问题，工程学中的体积计算、质量平衡等问题，以及统计学中的数据分布等问题。

通过三重积分，我们可以更好地理解和解决这些问题。

三重积分及其计算

三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。

它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。

一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。

三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，$\Delta V_i$表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。

二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。

1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。

将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。

2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。

即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。

常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。

具体的变换公式可参考相关数学教材。

三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用。

1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。

三重积分

中值定理. 3) 中值定理. 上连续, 在有界闭域上连续,V 为的体积, 体积, 则存在 (ξ,η,ζ ) ∈, 使得
∫∫∫ f (x, y, z)dv = f (ξ,η,ζ )V
二、利用直角坐标系计算三重积分
定理21. 定理21.15 设f ( x, y, z )在长方体 = [ a, b] × [c, d ] × [e, h]上 21 三重积分存在, 且对每个x ∈ [a, b], 二重积分 I ( x) = ∫∫D f ( x, y, z )dydz
2 2
x 2 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 1.
I = ∫1 dx ∫x 2 dy ∫0
1
1
x2 + y2
f ( x , y , z )dz .
练习1 练习将 I = ∫∫∫ f (x, y, z) d v用三次积分表示,其中由
六个平面 x = 0, x = 2, y =1, x + 2y = 4, z = x, z = 2 所围成 , f (x, y, z) ∈C().
微元线密度≈
记作
∫∫Ddxdy∫z (x, y)
1
z2 ( x, y)
f (x, y, z) dxdy
f (x, y, z)dz
方法3. 方法三次积分法设区域 :
z
z = z2 ( x , y )
z2 S 2
z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)
y1(x) ≤ y ≤ y2 (x) (x, y) ∈D: o a ≤ x ≤b a
0 ≤ z ≤ 1 x 2y
z
1
1 2
解: V :
1 0 ≤ y ≤ 2 (1 x)
0 ≤ x ≤1

三重积分知识点总结

三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。

我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。

然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。

2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。

设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。

3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。

常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。

通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。

二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。

对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。

2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。

球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。

3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。

柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。

三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。

例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。

2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。

通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。

【精品】三重积分

【精品】三重积分三重积分是微积分中的一种运算方式，用于解决三维空间某个区域内的函数值的平均、体积、质心等问题。

三重积分在物理学、工程学、计算机科学等众多领域具有重要应用。

一、三重积分的定义三重积分表示对三维区域内的函数进行积分，即将三维区域分成许多小体积，每个小体积内函数值近似相等，然后对每个小体积进行积分，再将所有小体积的积分值相加，得到整个区域内函数的积分值。

三重积分的一般形式如下：$$\iiint_Df(x, y, z)dxdydz$$其中，$D$表示三维空间内的区域，$f(x, y, z)$表示被积函数，$dxdydz$表示小体积$dV=dxdydz$。

1.直角坐标系下的三重积分在直角坐标系下，三重积分的计算通常采用“分块法”或“交错积分法”。

以分块法为例，假设积分区域为$D$，它被$xOy$平面和某表面$z=z_1(x,y)$,$z=z_2(x,y)$,$z=z_3(x,y)$等分成了若干小块，这个区域的三重积分可表示为：$$\iiint_Df(x,y,z)dxdydz=\sum_{i=1}^n\int_{x_i}^{x_{i+1}}\int_{y_i}^{y_{i+1}}\ int_{z_i(x,y)}^{z_{i+1}(x,y)}f(x,y,z)dxdydz$$其中，$n$为把积分区域分成$n$个小块，$(x_i,y_i,z_i)$和$(x_{i+1},y_{i+1},z_{i+1})$为第$i$个小块的相邻两个顶点，每个小块内$f(x,y,z)$近似相等。

在柱坐标系下，三重积分的计算可以利用角度和半径的关系，将三重积分转化为二重积分的形式。

以球坐标系为例，它是一个三维坐标系，以球心为原点。

球坐标系中的三个坐标分别是：半径$r$，极角$\theta$，和方位角$\varphi$。

球坐标系下的三重积分可以表示为：$$\iiint_Gf(x,y,z)dxdydz=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}f(r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\theta)r^2\sin\theta drd\thetad\varphi$$1.体积三重积分可以计算三维空间内任意形状的体积。

三重积分

D
(1 x 4 )dxdydz
解:考虑被积函数和y,z无关,先对y,z积分时把x看成常数.
积分区域就变成圆 (y2+z2=a2→x2) dydz为圆面积.

D
(1 x )dxdydz dx 2
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
4
y z2 x
(1 x 4 )dydz 2
x3 x7 4 (1 x 4 ) x 2 dx [ ]2 2 3 7
0 0
1
x
2
(2)要把积分次序更换成先x后z再y.可按下列方案进行,第一步把x和y交换,第二步再x和z交换
但这是错误的.一般说空间闭区域是由几个曲面围
成的,这些曲面的交线向同一坐标轴的投影,这些投影
曲线围成的区域就是空间闭区域向该坐标面的投影. F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0为曲面的交线从两个方程中消去y,得到H(x,z)=0即是:0≤x≤1, 0≤z≤x+y y=0 y=1-x y=0 z=x+y y=1-x z=x+y 0≤y≤1-x,
1
1 x 2 2 0
上面的计算方法我们称为“投影法”.
“投影法”计算和后面的曲面积分的计算密切
相关,所以我们要研究“投影法”.这种方法的关键是把空间区域Ω向坐标平面投影,如何求空间区域向坐标面的投影区域?由于空间作图比较困难,再利用区域Ω的图形去观察就容易出错.例如求空间区域Ω:0≤x≤1, 0≤y≤1-x, 0≤z≤x+y 在 xoz平面上的投影区域,其图形为如下:从观察得
把f(x,y,z)看成z的函数,在区域
[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分.积分的结果是x,y的函数,记作

三重积分

2
2
4

2 2 64 1 d (16 4)d 1 2 [8 2 1 6 ]2 0 0 2 6 3 2 0
提示的上边界曲面为 z4 下边界曲面为 zx2y2 用极坐标在xOy面上的投影区域为 x2y24 用极坐标可表示为 2 所以 2z4 可表示为 0 2 0z 2
返回
例 3 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz 其中是
由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域解闭区域可表示为

2z4 02 02
于是
zdxdydz zdddz

d d 2 zdz
0 0
b y2 ( x )
1
a x b,
z2 ( x , y )
1
dy f ( x , y , z )dz. f ( x , y , z )dv dx a y ( x) z ( x, y)
注意
这是平行于 z 轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
返回
例4. 计算三重积分成半圆柱体.
其中为由
柱面 x 2 y 2 2 x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围
0 2 cos 解: 在柱面坐标系下 : 0 2 0 za
原式 z d d d z
f (i ,i , i )vi
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重
积分记作 f (x, y, z)dv

i 1
n
返回
三重积分的定义

三重积分

0 ≤ y ≤ 1 x 0≤ x ≤1
1 x y
x
1
1 1 2 ∫∫∫ xdxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ xdz = 2 ∫ x(1 x) dx = 24 0 0 0 0
3 例
化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
2 2 2
次积分，次积分，其中积分区域为由曲面
D( z )
无关时
就是截面的面积，如截面为圆、就是截面的面积，如截面为圆、椭圆三角形、正方形等，、三角形、正方形等，面积较易计算
截面法的一般步骤：截面法的一般步骤： (1) 把积分区域向某轴（例如 z 轴）投影，得投向某轴（投影，影区间[c1 , c2 ]； (2) 对 z ∈ [c1 , c 2 ]用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去截，得截面 Dz ;
1 3
0
0
r
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标体或旋转体时，来计算。来计算。
ez 2 2 dxdydz, : z = x + y , z = 1, z = 2 例2 ∫∫∫ 2 2 x +y x = r cosθ 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2 y = r sinθ , z=z 当0 ≤ r ≤ 1时 1≤ z ≤ 2
当1 ≤ r ≤ 2时 r ≤ z ≤ 2
2 z 2 2
e ez I = ∫ dθ [∫ dr∫ rdz + ∫ dr∫ rdz] r r 0 0 1 1 r
2π
1
= 2π (e2 e) + 2π ∫ (e2 er )dr = 2πe2

(完整版)10.3三重积分(新)

0
8
dz
2
2
d
0
4 r 2 rdr
2
8
r2 dz
2
336
另解2
8
I dz
( x2 y2 )dxdy
2
Dz
8
2
dz d
2z r 3dr
2
0
0
336 24
4、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数
r，，来确定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离，为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角，为从正 z 轴来看自x 轴按逆时
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
例1. 计算三重积分 (x2 y2 z2) d xd yd z ,其中为
锥面 z x 2 y 2 与球面 x2 y 2 z 2 R2 所围立体.
0rR
解:
在球面坐标下
:
0
0
4
b
(
( y2 ( x)
z2( x, y) f ( x, y, z)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1( x)
z1( x, y)
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z 其中为 z
针方向转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M 在 xoy 面上的投
影，这样的三个数r，，就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2.

三重积分精讲

AB = r sin ϕ dθ .
o
B1
y
x
2
A1
AD AC AB = r sin ϕ drd ϕ d θ .
求半径为a的球面与半顶角为例4 求半径为的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的含有球心的立体的体积. 含有球心的立体的体积. 该立体所占区域Ω可表示为: 解该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r≤2acosϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. ≤≤ ≤ ≤ 于是所求立体的体积为
0
r θ
ϕ
M ( r , ϕ ,θ )
y
P
x
几何图形的表示
r=a θ =α
半径为a的球面半径为的球面圆锥面平面
ϕ=β
变量的变化范围
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
直角坐标与球面坐标的关系 x=rsinϕcosθ, y=rsinϕsinθ, z=rcosϕ. = = = 球面坐标系中的体积元素 dv=r2sinϕdrdϕdθ. = 球面坐标系中的三重积分
下页
求半径为a的球面与半顶角为例4 求半径为的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积. 立体的体积. 该立体所占区域Ω可表示为: 解该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r≤2acosϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. ≤≤ ≤ ≤ 于是所求立体的体积为
V = ∫∫∫dxdydz = ∫∫∫r2 sin ϕdrdϕdθ
D
D
= ∫∫ ρ 2 sin 2 θ (4 − ρ 2 ) ρ d ρ dθ
D
=∫
2π
0
sin θ dθ ∫ ρ 2 (4 − ρ 2 ) ρ d ρ
2 0

三重积分详解

x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
例计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
Ω : z = xy 与 x + y = 1, z = 0 所围成的区域。
。
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
Ω
1− x
I =
.
∫∫ dxdy ∫
D
xy
0
f ( x , y , z )d z =
2 x y 2
∫∫∫ z dxdydz = ∫1 dx∫0 dy∫0
Ω
zdz
1 2 dx x y2dy 1 2 3 = ∫1 ∫0 x dx = 5 . = 8 24 ∫1 32
例
为三次积分，化三重积分I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三次积分，
Ω
Ω为由曲面 z = x2 + 2y2 及其中积分区域
面上投影， Ω向xoy 面上投影，得到 D。
1 ≤ x ≤ 2, D: 0 ≤ y ≤ x.
1 2
o
D
y
x
, 过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴的直线得到
y 0≤ z ≤ . 2
于是，于是，
1 ≤ x ≤ 2, 即 Ω : 0 ≤ y ≤ x， 0 ≤ z ≤ y 2.
z
0
.
6
y
2
x
6
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面， 3x+2y =12 和 x+y+z = z6所围成的区域所围成的区域

第三节三重积分

第三节三重积分
一、三重积分的概念三重积分的概念二、三重积分的计算 1.直角直角坐标系下直角直角坐标系下直角 2.柱坐标下计算三重积分柱坐标下计算三重积分 3.球坐标下计算三重积分球坐标下计算三重积分
第十章
1
一、三重积分的概念
引例: 引例设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的物质, 物质密度函数为 µ( x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 解决方法类似二重积分解决问题的思想采用 “大化小常代变近似和求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小可得 Ω
a
b
DZ
f ( x, y, z)dxdy
z2 ( x, y)
方法3. 三次积分三次积分” 方法 “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1 ( x)
d y∫
z1 ( x, y)
f ( x, y, z)d z
三种方法(包含种形式各有特点, 三种方法包含12种形式各有特点具体计算时应根据包含种形式)各有特点被积函数及积分域的特点灵活选择. 被积函数及积分域的特点灵活选择
D
1
z2 ( x , y )
Ω
z1(x,y)
M
0
. .
y
D
x
P
10
2.计算三重积分 2.计算三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
积分区域是曲顶柱体
z
z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
I =∫∫ dxdy∫z ( x , y ) f ( x , y , z )dz

三重积分概念及其计算

三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。

在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。

一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。

它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。

三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。

二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。

具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。

设积分区域为V，边界为S。

根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。

假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。

2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。

具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。

设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。

根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。

积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。

9.3 三重积分

lim f ( k , k , k )Vk
0
k 1
n
记作
v k
f ( x, y, z)dV 或

f ( x, y, z)d xdydz

( k , k , k )
2 性质三重积分的性质完全类似于二重积分的性质。如
[k f ( x, y, z) k g( x, y, z)]dV k f ( x, y, z)dV k g ( x, y, z)dV
const
0
M
z
o
0 2 (或 )
z
y

x

N
柱坐标与空间直角坐标之间的关系式：
z
x cos
M ( x, y , z )
z
y sin
zz
（柱坐标变换公式）
z
y
x
x
o

y
N
2 利用柱坐标计算三重积分

与曲面 z x 2 y 2 所围成的闭区域。
解
z
( x y z)dV xdV ydV zdV

h
Dz : x 2 y 2 z 2
0 0 zdV

zdz
h 0 h
dxdy
x2 y2 z 2
其中 : x 2 y 2 z 2 4. 例8 求 ( x y z) dV ,
2
解
( x y z)2 dV

( x 2 y 2 z 2 )dV 2 xydV 2 yzdV 2 zxdV

第二节-三重积分

Dxy
f
(x,
y, z)dV
Dxy
z2 (x, y) z1 ( x, y)
f
(x,
y, z)dzdxdy.
(其中 z1(x, y) z2 (x, y))
(若Dxy : y1(x) y y2 (x), a x b, 为x—型区域)
z
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x,y) f (x, y, z)dz.
为先对z, 再对r, 再对的三次积分(即先对z积分,
然后在Dxy上用极坐标做二重积分).
例5. 计算 zdxdydz, 其中：x2+y2+z2 1, 且z0.
解：是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位
圆x2+y2 ≦ 1.
令 x=rcos, y=rsin , z=z,则平面 z = 0 和球面
z 1 x2 y2的柱面坐标方程分别为z 0和z 1 r2 ,
即0 z 1 r 2 . 且0 r 1, 0 2,
2
1
1r 2
zdxdydz 0 d 0 dr0 z rdz
2 1 1 r(1 r 2 )dr .
02
4
例6. 求 (x2 y2 )dxdydz. 其中由x2+y2=2z
2. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 x 轴, 它在yz面上的投影区域为Dyz, 则可选择先对x 积分, 然后到Dyz上作二重积分.
3. 当的母线退缩成一点时, 此时不是柱体. 但作三重积分时, 仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理, 比如.
: x2 + y2 + z2 1. 则 Dxy : x2 + y2 1.
由图知,直角坐标与球面
坐标的关系为x=rcos= sin cos, y= rsin = sin sin,

10.3 三重积分

x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
20
三重积分
x2 y 2 z 2 解因为 M 2 2 2 dv a b c V
x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
i 1 i i
n
i
)v i
体积元素
3
三重积分
2. 三重积分存在性
当f ( x , y , z ) 的三重积分存在性时, 称f ( x , y, z )
在Ω上是可积的.
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义 (1)占有空间区域
, 体密度函数为 f ( x, y, z )
M f ( x, y, z )dv
x2 所以 2 dv a V
x2 a a 2 dx
a
d ydz
Dx
4 abc 15 由对等性知
2 bc a 2 x2 2 x (1 2 )dx a a a
x2 dydz bc(1 2 ) a Dx
则
f ( x, y, z)dv

b
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
dy

z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z)dz
9
先对z,次对y,最后对x的三次积分
三重积分
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面 S 相交不多于两点情形.则考虑化为先对 z,后对xy的累次积分.过程如下:
1 dxdy (1 z )(1 z ) 2 Dz 1 1 1 2 原式= 0 z (1 z ) dz . 2 24

三重积分详解

三重积分计算

三重积分的概念和计算方法

三重积分n重积分简介

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三重积分及其计算

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