三角形面积等积变形测试题
五大模型(三角型等积变形、共角模型
杨秀情——六年级秋季——配套练习【练练1】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．HGFE D CBA【练练2】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______；E D GCFBA【练练3】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH 交于点O ，1S 、2S 、3S 及4S 分 别表示四个小四边形的面积．试比较13S S +与24S S +的大小．OS 4S 3S 2S 1H GFEDC BA【练练4】如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【练练5】（2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【练练6】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．A B CDE F【练练7】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【练练8】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．F E DCBA【练练9】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【练练10】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．HGF EDCBA【练练11】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFEDCB A【练练12】2008年春蕾杯五年级决赛如图，长方形ABCD 的边上有两点E 、F ,线段AF 、BF 、CE 、BE 把长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是 平方米。
四年级下册数学试题-思维训练：三角形等积变形(下)(含答案)全国通用
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？两个正方形如图排列，面积相差60，求阴影部分梯形面积。
如图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，EC＝2×BE，那么，图中阴影部分的面积是________平方厘米。
例3例2例1三角形等积变形(下)如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。
如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。
求三角形CDF的面积。
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF＝CE，BG＝DE，如果四边形ABCD 面积是1，求△EFG的面积？例6例5例4测试题1．如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN。
那么，阴影部分的面积是多少？2．如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分。
三角形BDC的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米。
已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米。
求梯形ABCD的面积。
ADB C 3．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。
4．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？HGFEBA5．如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使2AF AC =，求三角形DEF 的面积。
答案1．A M连接BM ，因为M 是中点所以ABM ∆的面积为14又因为2AN BN =，所以ANM ∆的面积为1114312⨯=，又因为BDC ∆面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212--= 2．bDCBA如右图，作AB 的平行线DE 。
五年级奥数之《等积变形》+配套练习题 覆盖面广,条理性好,针对性强,提升效果快
五年级奥数
等积变形
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题.其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心,都要运用到“等(同)底、等(同)高的两个三角形面积相等”这个基本规则,并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧.
例1：
（1）如左下图,ABCD是直角梯形,两条对角线把梯形分为4个三角形.已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米,求直角梯形ABCD的面积.
（2）如右下图,把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D,把它的另一边AC延长2倍到E,得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的多少倍？
随堂练习1
1、（1）如下图（左）,三角形ABO的面积为9平方厘线,段段BO的长度是OD的3倍,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
（2）如下图（中）,AE=3AB,BD=2BC,△DBE面积是△ABC面积的几倍？
（3）如下图（右），平行四边形中，A、M、N分别为对应线段的中点，且三角形ABN的面积为15平方厘米，求平行四边形BCDE的面积。
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
而四边形CEFH是它们的公共部分，
所以三角形DHF的面积=三角形BCH的面积，
进而可得阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积= 10×10÷2=50（平方厘米）。
法2：连接CF，那么CF平行BD，
所以，阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=50（平方厘米）。
附加题目
【附1】 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。
法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE．
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
分析：
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
分析：连结AE、BF、CD(如右下图).由于三角形AEB与三角ABC的高相等，而底边EB=2BC，所以三角形AEB的面积是2.同理，三角形CBF的面积是3，三角形ACD的面积是1.
【小升初专项训练】04 等积变形
第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为 平方厘米。
【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。
【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
等积变形
等积变形
定理一：等底等高的三角形面积相等.
定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
例1：三角形中ADE中AB=BD,CE=2AC,三角形ADE的面积是12平方厘米，求三角形ABC
E
例2：在三角形ABC中BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别是AB和AC的中点，三角形EBF的面积是多少平方厘米？
C
例3：三角形ABC的面积是56平方米，是平行四边形DEFC的2倍，三角形AED的面积是多少？
C
例4：长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H是AD上的任意一点，求阴影面积。
F G
B
例5：长方形ABCD，平行四边形ADFE，则三角形AOD与三角形EOF的面积哪个大？
练习：
1、下图的平面四边形ABCD中，AF是AB的1/2，AE是AC的1/3，平行四边形ABCD的面
积是三角形AEF的几倍？
A D
F E
B C
2、如图长方形AD长是10厘米，宽是8厘米，三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大
20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
C
3、如图平行四边形ABCD中OB=3OE，三角形AOB的面积是30平方厘米，平行四边形ABCD
的面积是多少平方厘米？
A E
B C
4、右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．
O。
三角形面积等积变形
三角形面积等积变形小学四年级阶段训练——三角形的等积变形一、填空：1．如图所示，已知矩形ABCD中，BE=1EC，则△ABE和△ABC的面积，则△2ABC的面积是△ABE的面积的（）倍。
C（第1题）（第2题）2．如图所示，梯形ABCD中共有8个三角形，其中，面积相等的三角形有（）对。
3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，BC=3厘米，BC边的高AE是2厘米，则△ACD的面积是（）平方厘米。
O（第3题）（第4题）4．如图所示，平行四边形MNOP中，Q是OP上任意一点，则S△MRQ( )S△NRO, S△MRN( )S△NRO,(填“>”“<”或“=”)5．如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD，CD的中点，那么与△BFC面积相等的三角形有（）个。
（第5题）（第6题）26．如图所示，△ABC中，D为BC中点，且DE=AD，则△ABC的面积等于5△CDE面积的（）倍。
7．如图所示，在长方形ABCD中，阴影部分面积（>,<,=）空白部分面积表示（）8．如图所示，△ABC与△BCD中，AE=ED，且AD⊥BC，把BC八等分，点F为第一个八等分点，E恰为第二个八等分点，则与△ABF面积相等的三角形有（）个。
9．如图所示，已知BC长是5，其他数据如图所示，则画阴影线的两个三角形的面积之和是（）（第7题）（第8题）（第9题）二．如图，已知在△ABC中，BE=3AE，AD=2CD，若△ADE的面积为2厘米。
求三角形ABC的面积。
三、如图，平行四边形ABCD中，直线DE交AB于F，若三角形ABE的面积是2平方厘米，求三角形CEF的面积。
四、如图所示，AD平行于BE，三角形ABC的面积是8平方厘米。
求四边形ACDE的面积。
三角形的等积变形
三角形的等积变形一、等积变形【例1】★★★三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。
求图中阴影部分的面积。
二、倍比关系【例2】★★★如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
【几个重要的模型】模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
bS1︰S2 =a︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）S 4S 3s 2s 1O DCBA①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；F D CBAS 4S 3s 2s 1ba。
三角形等积变形
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的 重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD， 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等 积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以 而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决 于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等 （BD=DE=EC=BC） ，它们所对的顶点同为A点， （也就是它们的高相等） 那么这两个三角形的面积 相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等 底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二 是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角 形等积变形的方法，如右图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也 相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角形△A′DC．问题是A′位 置的选择是依据三角形等积变形原 则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的 延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．
三角形面积、等积变形测试题
三角形面积和等积变形测试题姓名得分
1． 右图中，四边形ABCD的面积是320平方厘米，四边形ABED
2．是个正方形，已知BC等于CE的3倍，求三角形ECD的面积。
2．已知三角形ABC中，BC＝3.5cm,AD＝2cm,AC＝2.8cm求BE的长度。
3．已知三角形ABC中，DC＝BD,阴影部分的
面积是36平方厘米，求：三角形的面积。
4．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，
5．已知S△ABC=27平方的面积：
6．如图，由两个边长分别是4cm和3cm
的正方形组成，求阴影部分的面积。
7．求右图中阴影部分的面积。
(单位：dm)
8．长方形ABCD中，三角形ABE、ADF,四边形AECF
的面积都相等，求三角形AEF的面积。
9．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别
是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF。
10．如图，已知△ABC的面积为12，M为AB边的中点。
MD与EC平行。求△EBD的面积。
★★
一块长方形的菜地，长为15米，宽为12米，请用经过A点的两条直线把这个长方形分成面积
三角形的等积变形2
习题十三解答一、选择题：1．（D） 2．（D） 3．（D） 4．（A） 5．（C）．提示：以KH为边，再在对边的五个点A、B、C、D、E中任取一点为顶点，可分别构成5个面积为3平方厘米的三角形．同理，以JG、AD、BE为边也各自可以构成5个面积为3平方厘米的三角形．又因为△AFI、△BFJ、△CFK、△ELI、△DLH和△CLG也是面积为3平方厘米的三角形．所以面积为3平方厘米的三角形一共有26个．二、填空题：提示：如右图连结BD，设Ⅰ=S△BEG，Ⅱ=S△CEG，Ⅲ=S△CFG，Ⅳ=S△DFG，设S1=Ⅰ+Ⅱ，S2=Ⅲ+Ⅳ，S3=S△BDG．∵Ⅲ=Ⅳ∴F为CD中点，有：S△BCF=S△BDF，又∵Ⅲ=Ⅳ，∴ S△BGD=S△BCG，即 S3=S1，由已知Ⅰ为Ⅱ的2倍，∴BE=2EC，S△BDE=2S△CDE，两边分别减去Ⅰ和2Ⅱ，可得：S△BDG=2S△CDG，即 S3＝2S2，因此：4．甲∶乙∶丙=1∶2∶6，提示：∵ EF∥BC， AB=2AE∴ AC=3AF，BC=3EF，∵甲∶乙=1∶2，又∵（甲+乙）∶丙=1∶2∴甲∶乙∶丙=1∶2∶6．三、解答题：4．如右图所示，连结AB'、AC，∴ S△AA'B'=S△ABB'即 S△A'BB'=2S△ABC同理 S△D'DC'=2S△ADC∴ S△A'BB'+S△C'DD'=2△C'DD'=2S四边形ABCD同理 S△AA'D'+S△B'CC'=2S四边形ABCD∴四边形A'B' C' D' 的面积=5×S四边形ABCD=5．5．解：连结AG、CG，如右图所示，∵ AF=EC，有S△AGF=S△CGE，又∵ED=BG，有S△AED=S△ABG且 S△CDE=S△BCG，由此可见：△EFG的三个部分中S△ABG补到了S △EAD，S△AFG补到了S△CEG之后，又将其中的S△BCG补到了S△CDE 而S△AEG的位置不变，由此一来相当于将△EFG等积变形到了四边形ABCD，两者面积相同，即：S△EFG=1．。
小学奥数——三角形的等积变形(附答案)word版本
小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底乂高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积•如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）•这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的土则三角形面积与原来的一样.这就是说’ 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若A ABD与/XAEC的底边相等（KD=DE=EC=|BC）3，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道厶ABC的面积是厶ABD或△ AEC面积的3倍.例如在右图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC，它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如右图中，△ ABC与△ DBO的底相同（它们的底都是BC , △ ABC的高是△ DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE，则△ ABC的面积是厶DBC W积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法X 如右图，将EC 边四尊分（BD 二DE 二EF 二FC 二!BC ）,连结 4AD. AE, AF.则△AED 、“ADE 、Z\AEF. △AFCS?积.方法乳如右图，先将BC 四等分，即ED 二土EU 连结AD,再将AD 三1等分、即AL = EF-JD -jAT,连结CE 、CF,从而得到四个等积的三角形 ,即厶ABD . A CDF , A CER △為CE 等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1 : 3: 4.方法1 :如下左图，将 BC 边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E ,连结AD AE,从而得到厶ABD△ ADE △ AEC 的面积比为 1 : 3 : 4.方法厶 如上右图，先取RC 中点D 再取AB 的+分点氏 连结AIXDE 从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD 其面积比为 1 : 3 : 4.方法2:如右图，先将 BC 二等分，分点 D 、连结AD,得到两个等积三角形，即△ ABD M^ ADC 等积.然后取 AC AB 中点E 、F ,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ ADF △ BDF △ DCE △ ADE 等 积.方法玉如右图，先取AB中点D,连结CD,再取B上扌分点E,连^ AE,从而得到三个三角形［△AGE. △ABE、△BCD耳面积比为1 ： 3：4 +当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△COD面积相等.证明：•••△DBC等底等高，••• S A ABC=S\ DBC又••• S △AOB=S\ ABC-S A BOCS △DOC=^ DBC- S A BOC• S A AOB=S\ COD例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A' BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABCD 面积也相等•这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△ A' DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A'。
2024年 三角形中的重要模型等积模型(含答案)
专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
初二三角形面积--等积变形
1、来子朝阳期末26. 阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至1A 、1B 、1C ，使得AB B A 21=，BC C B 21=，CA A C 21=，顺次连接1A 、1B 、1C ，得到△111C B A ，记其面积为1S ，求1S 的值。
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接C A 1、A B 1、B C 1，因为AB B A 21=，BC C B 21=，CA A C 21=，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以CA B BC A S S 11△△= a S S ABC AB C 221===△△，由此继续推理，从而解决了这个问题。
（1）直接写出=1S __________（用含字母a 的式子表示）。
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P 为△ABC 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC 的面积。
（3）如图4，若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点，求APE S △与BPF S △的比值。
26. 解：（1）=1S a 19；（2分）（2）过点C 作CG ⊥BE 于点G ，设x S BPF =△，y S APE =△， ∵7021=⋅=CG BP S BPC △；3521=⋅=CG PE S PCE △， ∴235702121==⋅⋅=CG PE CG BP S S PCE BPC△△。
∴2=EPBP ，即BP ＝2EP 。
同理，PEBP S S APE APB =△△。
∴APF APB S S △△2=。
∴y x 284=+。
①（3分） ∵4084+==x PD AP S S BPD APB △△，3035+==y PD AP S S PCD APC △△， ∴30354084+=+y x 。
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三角形面积等积变形测试
题
The latest revision on November 22, 2020
三角形面积和等积变形测试题
姓名得分1． 右图中，四边形ABCD 的面积是320平方厘米，四边形ABED 2． 是个正方形，已知BC 等于CE 的3倍，求三角形ECD 2．已知三角形ABC 中，BC ＝3.5cm,AD ＝2cm,AC ＝2.8cm 求BE 的长度。
3．已知三角形ABC 中，DC ＝BD,阴影部分的 面积是36平方厘米，求：三角形的面积。
4．如下左图，D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的三等分点， 5．已知S △ABC=27平方厘米，求S △DEF 。
5．求下面阴影部分的面积：
6．如图，由两个边长分别是4cm 和3cm
的正方形组成，求阴影部分的面积。
7．求右图中阴影部分的面积。
(单位：dm)
8．长方形ABCD 中，三角形ABE 、ADF,四边形AECF 的面积都相等，求三角形AEF 的面积。
9．如下左图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别
是AC 、BC 的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S △BEF 。
10．如图，已知△ABC 的面积为12，M 为AB 边的中点。
MD 与EC 平行。
求△EBD 的面积。
★★
一块长方形的菜地，长为15米，宽为12米，请用经过A 点的两条直线把这个长方形分成面积
相等的三部分。
说明怎样划分。
A B
C
D
E
A B C D
E A B
7 3 5 E
A C F
D B
12dm
9dm
A B
C
D 15
12。