高等数学资料：试题分析(全)

（91，上，期末）
【解】 去掉绝对值写出 f (x) 的表达式：
f
(x)
sin x , x
sin x
x
x0 ,x0
易见 x 0 是 f 的间断点，且 f (x 0) 1, f (x 0) 1, 所以 x 0 是 f 的第一类间断点。
8. 当 x 0 时，无穷小量 x2 sin x 是 x 的1阶无穷小。
然后再检验分界点 x 0 与 x 1 是否是间断点。例如，对 x 1 ，因为
lim[ f (x) g(x)] lim(2x 1) 3
x1
x1
lim[ f (x) g(x)] lim(2x) 2
x1
x1
左极限不等于右极限，所以 x 1是 f (x) g(x) 的间断点。
7. 函数 f (x) sin x 的间断点为 0, 类型为 第一类 。 x
目
录
一 函数、极限与连续 ...................................1 二 一元函数微分学 ....................................14 三 一元函数积分学 ....................................45 四 微分方程..........................................80 五 无穷级数..........................................92 六 向量代数与空间解析几何 ...........................129 七 多元函数微分学 ...................................144 八 多元函数积分学 ....................................168 九 复变函数.........................................207 附录 2005 级期中、期末试卷 ..........................221
设
f (x)
a ln(1 2x) , 1 x 0 1 x 1 x 2
2, x 0
在 x 0 处连续，则 a 1,b 2 。
sin bx , 0 x 1
x
（01，上，期中）
【解】 因为 lim sin bx b ， lim a ln(1 2x) lim 2ax( 1 x 1 x) 2a
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解不等式
f
(x)
0 ，得
x
1。因此
f
[
f
(x)]
2 x, x
1, x
1 1
【注】 此题也可通过引进中间变量 u f (x) 及利用函数 y f (u),u f (x) 的图象得
到 f [ f (x)] 的表达式，读者不妨一试。
3. 函数 f (x) 1 的定义域是 x 0 。 x x
1 2x
2
1 x
2.
若
f
(x)
1 x,
1, x
x
0
0
，则
f[f
(
x)]
2
1,
x, x x
1
。
1
（90，上，期末）
【解】 此题主要考查分段函数概念及分段函数复合的基本方法
f
[
f
(x)]
1
f (x), f 1, f (x)
(x) 0
0
解不等式 f (x) 0，得 x 1，此时1 f (x) 1 (1 x) 2 x
【解】 这是运用夹逼定理求极限的题目。
（96，上，期中）
令 d max{a,b, c}，则 d n a n bn cn n 3d ，令 n , 注意到 n 3 1 ，由夹逼定理
即得结果。
6.
设
f
(x)
x, 0,
x x
0 0
，
g(x)
x
1, x, x
x 1
1
，则
f (x) g(x) 的间断点为 x 1 。
（91，上，期末）
【解】 根据无穷小量阶的比较的概念及重要极限 lim sin x 1即可得结论。 x0 x
因为 lim x2 sin x 1 0 ，所以当 x 0 时， x2 sin x 是 x 的一阶无穷小。(或填同)
x0
x
9.
若
sin 2x e2ax
f
(x)
x
1, x 0 在 (, ) 上连续，则 a 2 。
x x0
x0 1 x 1 x x0
2x
由函数连续性知： b 2a 2 ，所以 a 1,b 2 。
11.
设函数
f
(x)
lim
n
1
x x2enx 1 enx
，则
f (x) 在 x 0 处间断，其类型是 第一类 间断
（一）填空题
一 函数、极限与连续
试题分析
1. 设 f (x) x (x 1) ，则 f [ f (x)] x (x 1且x 1) 。 （90，上，期
1 x
1 2x
2
中） 【解】 此题主要考查复合函数概念
x
f
[
f
(x)]
f 1
(x) f (x)
(x
1且f
(x)
1)
1 1
x x
x (x 1且x 1)
【解】 利用重要极限 lim(1 1)x e 及复合函数求极限的法则，有
x
x
lim( x 2a )x lim[(1
3a
xa 3ax
) 3a ]xa e3a 8
x x a
x
xa
从而 a ln 2 。
5. 设 a,b, c 均为正数，则 lim n an bn cn max{a,b, c} 。 n
（97，上，期中）
【解】 因为 f (x) 在 R 上连续，g(x) 的间断点为 x 1 ，所以由连续函数的性质知 x 1
是 f (x) g(x) 的间断点。
或者先写出 f (x) g(x) 的解析表达式
x 1, x 0 f (x) g(x) 2x 1, 0 x 1
2x, x 1
a, x 0
（98，上，期末）
【解】 显然，当 x 0 时 f 连续。由 f 在 x 0 处连续的定义知 a lim f (x) ，而 x0
lim f (x) lim sin 2x lim e2ax 1 2 2a
x0
x0 x
x0 x
于是由 2 2a a ，得 a 2 。
10.
（91，上，期末）
【解】 函数 f 的定义域是 x x x 0 。由 x 的定义，当 x 0 时， x x 0 ；
当 x 0 时， x x 2x 0 。故 f 的定义域 x 0 。
4. 设 lim( x 2a )x 8 ，则 a ln 2 。 x x a
（97，上，期中）