导数中参数的取值范围问题
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在微积分中，导数是用来描述一个函数在其中一点上的变化率的工具。
通过求导，我们可以研究函数的增减性、最值、拐点等性质。
而利用导数求参数的取值范围，我们主要关注函数的单调性和极值点，对于包含参数的函数，我们可以利用导数来研究参数的取值范围。
设函数$f(x)$为包含参数$a$的函数，我们的目标是求出参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$满足其中一特定条件。
下面将分别讨论求函数单调性和极值点的情况。
一、函数的单调性：1.1单调递增：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递增，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒大于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递增的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递增。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)>0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
1.2单调递减：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递减，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)>f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒小于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递减的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递减。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)<0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
导数专题(一)参数的取值范围
太原市新希望双语学校 钱大平
（一）、概述：求参数的取值范围是数学 中普遍存在的问题（如函数、解析几何、 向量等）。宏观地讲，求参数的取值范围， 就是通过寻求参数所满足的不等量关系 （特殊地也可以是等量关系，一般地是不 等式或不等式组）而得到参数的取值范围 （特殊地范围可以夹挤为一个常数，也可 以无解）。应用导数求参数的取值范围就 是在求范围的过程中，采用了导数的方法 和手段。这类问题有一定的特定数学背景 （首先是函数问题的大背景）。
（二）、预备知识：
一、恒成立、能成立问题的化归（参考《成功密 码》9月刊P14）
1、利用分离参数确定不等式 f ( x, a ) 0 ( x D, a为实参数） 恒成立中参数a的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离，即化为 g ( a ) 恒成立的形式
f ( x) (或g (a) f ( x)）
（2）求 f ( x)在x D 上的最大（或最小）值 （3）解不等式 g (a) f ( x) max (或g (a) f ( x) min ) ，得到a的取值范 围
例：已知两函数 f ( x) 8 x 2 16 x k , g ( x) 2 x 3 5 x 2 4 x ， 其中k为实数。 （1）对任意 x 3, 3 ，都有 f ( x) g ( x) 成立，求k的取 值范围； （2)存在 x 3, 3 ，使 f ( x) g ( x) 成立，求k的取值范围 （3）对 x1 , x2 3, 3 ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) ，求k的取值范 围；
二、参数满足的条件与参数取值范围的逻辑关系 （集合观点理解：即用充分条件得到的参数范围是 用充要条件得到的范围的子集，用必要条件得到的 参数范围含盖用充要条件得到的范围）
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
一．含参数导数问题的分类讨论问题求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★例1已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 ★★例2已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+--=（a>0）求函数的单调区间★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
。
练习：已知函数当时，讨论的单调性.二．已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；．例4.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．练习：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．恒成立分参例1：设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．练习： 当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数是微积分中的重要概念，可以用于求函数的变化率、极值、最值等问题。
利用导数求参数的取值范围可以帮助我们找到函数的关键点、拐点以及定义域的范围等信息。
下面是一些常见的方法归纳。
求函数在处的导数：1.首先，计算函数的导数表达式。
2.将参数值代入导数表达式，得到函数在该处的导数。
3.根据导数值的正负来判断函数在该处的增减性。
求函数的关键点：1.通过导数求出函数的导数表达式。
2.设置函数的导数等于零的方程，并求解得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，得到关键点的横坐标。
4.进一步求得关键点的纵坐标，得到函数的关键点。
求函数的拐点：1.首先，求出函数的二阶导数表达式。
2.解出二阶导数等于零的方程，得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，求出拐点的横坐标。
4.进一步求得拐点的纵坐标，得到函数的拐点。
求函数的定义域范围：1.首先，确定函数的定义区间，并计算函数在该区间的导数。
2.判断导数的正负情况，以确定函数的单调性。
3.判断函数在定义区间的端点处是否存在极值。
若存在，则考虑边界条件。
4.根据以上分析，确定函数在定义区间的取值范围。
举例说明：1. 求函数 f(x) = ax^2 + bx 的最值：首先，求出函数的导数 f'(x) = 2ax + b。
令导数等于零，得到 2ax + b = 0，解方程可得 x = -b/(2a)。
将x的值代入原函数，得到最值的纵坐标。
进一步分析函数的单调性和边界条件，得到函数的取值范围。
2. 求函数 g(x) = sin(ax) 的最值：首先，求出函数的导数 g'(x) = acos(ax)。
判断导数的正负情况，确定函数的单调性。
根据函数的周期性和边界条件，得出函数在定义区间的取值范围。
3. 求函数 h(x) = log(x + a) 的定义域范围：首先，确定函数的定义区间为x+a>0，即x>-a。
对函数求导，得到导数h'(x)=1/(x+a)。
如何利用导数求参数的取值范围公开课
f x x x 2a
' 2
2 函数 f x 在 , 上存在单调递增区间， 3 2 即导函数在 , 上存在函数值大于零的部分 3
2 3
1 2 2 2 f 2a 0 a 9 3 3 3
例8
解：
（2010新课标理） 设函数 f(x)= e x 1 x ax 2 .
（Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间; （Ⅱ）若当 x≥0 时 f (x)≥0，求 a 的取值范围.
x
( x) e 1 2ax, 令h( x) f ( x), 则h( x) e x 2a f 1 （）a 1时 即 a 时 h( x) 0, 1 2a 1 ， ， 2
'
2
பைடு நூலகம்
问题 3：若函数 f ( x)在1， 单调递增， x ( x 1)( x 2 2ax 3)，求 a的范围 且经计算得 f
f x ( x 1)( x 2ax 3) 0在1， 恒 立 成
2
即x 2ax 3 0在1， 恒 立 成
间是函数单调递增（递减）区间的一个子区间即 （Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 的单调区间； 可。 f ( x) 在区间 2 ， 1 内是减函数，求 a 的取值范围 （Ⅱ）设函数
( x) 3x2 2ax 1 f 2 当 a 3时 2 当 a ≤ 3 时， ≤ 0 ， f ( x) ≥ 0 ， f ( x ) 在 R 上递增
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
一个根小于K，一个 根大于K
导数中的参数问题(解析版)
【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。
而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。
利用导数求参数范围题型
利用导数求参数范围题型一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使a x f >)(成立，只需使函数的最小值a x f >m in )(恒成立即可；要使a x f <)(成立，只需使函数的最大值a x f <m ax )(恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种. 例1 已知向量a =(2x ,1+x)，a =(x -1,t )，若b a x f ∙=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.例2 使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围.例3 若函数)(x f =)(log 3ax x a -(a >0,a ≠1)在区间(-21,0)内单调递增，则a 的取值范围是（ ）A[41,1) B[43.1) C(49,+∞) D(1, 49)例4 已知函数)0)(ln()(>+=a a e x f x .（1）求函数)(x f y =的反函数)()(1x f x f y 及-=的导数);(x f '（2）假设对任意)]4ln(),3[ln(a a x ∈,不等式0))(ln(|)(|1<'+--x f x fm 成立，求实数m 的取值范围.二 与极值点的个数有关求解策略：按方程)(x f '=0的根的个数分情况谈论。
例5 已知1->b ,0>c ,函数)(x f =b x + 的图象与函数)(x g =c bx x ++2的图象相切， (Ⅰ)求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；(Ⅱ)设函数)(x F =)()(x g x f 在(-∞,+∞)内有极值点，求c 的取值范围.三 与集合之间的关系相联系例6（05湖南文）设t ≠0，点)0,(t P 是函数ax x x f +=3)(与)(x g =c bx +2的图象的一个公共点.两函数的图象在点P 处有相同的切线，(Ⅰ)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y =)()(x g x f -在(-1,3)上单调递减，求t 的取值范围.。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围一•已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 •参数放在函数表达式上例1. 设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中a R •⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值.⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上2例3•已知f(x) x3ax2bx c在x 与x 1时都取得极值3(1)求a、b的值及函数f (x)的单调区间.(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) C2恒成立，求c的取值范围.23. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2类型2 .参数放在区间上例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f (x)在x=3处有极值.(1) 求f (x)的解析式•( 2)当x (0,m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围.分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9' 2(2) .f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3)由f (x) 0得X1丄必 3当x (0,1)时f (x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 93 3当x 』,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 03所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3]基础训练：4. 若不等式x4 4x3 ________________________________________ 2 a对任意实数x 都成立，则实数a的取值范围是___________________________________________________ .三.知函数图象的交点情况，求参数的取值范围.例5•已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1, x 1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式.⑵若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y= f (x)的三条切线，求实数m的取值范围略解⑴求得f (x) x3 3x⑵设切点为M(x0,x3 3x0),因为f (x) 3x2 3所以切线方程为y m (3x2 3)(x 1),又切线过点M所以x3 3x0 m (3x2 3)(x01)即2x3 3x(2 m 3 0因为过点A可作曲线的三条切线，所以关于X。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围导数是微积分中的重要概念之一，它可以用于求解函数的变化率、极值以及函数的图像性质等。
在求参数的取值范围时，通过导数可以帮助我们确定参数的有效取值范围。
首先，让我们回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，它在点x0处的导数可以通过以下公式计算：f'(x0) = limit(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h这个公式表示了函数在x0处的切线的斜率。
如果导数大于0，则函数在该点处递增；如果导数小于0，则函数在该点处递减。
在解决参数的取值范围时，一种常见的方法是通过导数的正负性来确定。
具体而言，我们可以通过以下步骤来求解参数的取值范围：1.确定函数表达式：首先，我们需要确定待求参数所在的函数表达式。
这通常是一个关于自变量x和参数p的函数，如f(x;p)。
2.求导：接下来，我们对函数f(x;p)关于自变量x求导。
这将给出函数在每个点处的导数表达式，如f'(x;p)。
3.确定导数的正负性：根据导数的正负性，我们可以确定函数在每个点处的增减情况。
4.设置约束条件：根据问题的要求，我们可以确定一定的约束条件来限制参数p的取值范围。
这些约束条件可以是函数在一些点处递增或递减，或函数在一些区间内具有特定性质等。
5.解方程或不等式：最后，我们将约束条件与导数的正负性结合起来，解方程或不等式来确定参数p的取值范围。
实际问题中，求参数的取值范围也可能涉及到其他数学方法和定理，如最值问题、平均值定理等。
这些方法将在下面的具体例子中进行讨论。
例子1：确定函数f(x;p) = px^2 + 2x + 1的参数p的取值范围，使得函数在整个定义域上递增。
1. 求导：对函数f(x;p)关于自变量x求导，得到f'(x;p) = 2px +22. 导数的正负性：由于希望函数在整个定义域上递增，所以导数f'(x;p)应当大于0。
解不等式2px + 2 > 0，得到p > -1所以参数p的取值范围为p>-1例子2：确定函数f(x;p) = px^3 + x^2 + 1的参数p的取值范围，使得函数在整个定义域上的平均增加率大于0。
利用导数求解一类含参数取值范围问题的常用方法
2020年第10期(上)中学数学研究33利用导数求解一类含参数取值范围问题的常用方法广东省广州市第七中学陆曼丽摘要利用导数求解参数取值范围问题是导数应用的一个重点,此类问题的解决,对培养学生的逻辑推理能力、数学抽象能力,数学运算能力和知识整合能力有很大的帮助.本文主要介绍常见的三种解决此类问题的方法,并在具体例题中探讨各类方法的优缺点,帮助学生在解题中能优中择优.关键词分离参数法;含参讨论法;分离函数法利用导数求解参数取值范围问题是一类常见的探索性问题,是导数应用的一个重点,若能掌握此类问题的解法,对培养学生的逻辑思维能力、数学抽象能力,数学运算能力和知识整合能力有很大的帮助.一、梳理方法,加深理解利用导数求解参数取值范围常见的方法有:分离参数法、含参讨论法、分离函数法.这三种方法各有特点.分离参数法:若参数的系数符号确定(无需讨论符号的正负便可以把参数分离出来),而且构造的函数相对容易求出导函数,并能确定导函数的正负,可选择分离参数法.含参讨论法:若含有参数的函数表达式是一些简单且常见的基本初等函数的四则混合运算的形式,可考虑用含参讨论法,但要注意对参数进行分类讨论,不重不漏.分离函数法:一般适用于能分离出含参数和不含参数的两类初等函数,再对含参数和不含参数的两个函数进行分析,本文主要分析一类能分离出含参数的一次函数的题型.二、甄别细微,领会异同例1函数f(x)=x ln x+ax2(a为常数)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围.解法1(分离参数法)因为f′(x)=ln x+1+2ax (x>0),而函数f(x)=x ln x+ax2(a为常数)有两个极值点x1,x2等价于f′(x)=0有两个不相等的变号的实数根x1,x2,由f′(x)=0,即−2a=ln x+1x(x>0),设g(x)=ln x+1x(x>0),则g′(x)=−ln xx2,令g′(x)=0,得x=1;所以,当0<x<1时,g′(x)>0,g(x)在区间(0,1)内单调递增;当x>1时,g′(x)<0,g(x)在区间(1,+∞)内单调递减.g(x) g(1)=1,且x→0+时,g(x)→−∞; x→+∞时,g(x)→0+.从而,由g(x)=f′(x)=0有两个不相等的变号的实数根x1,x2,得0<−2a<1,即−12<a<0.方法点睛函数有极值点是其导函数所对应的方程有实数根的充分不必要条件,所以一定要强调并教会学生证明它的必要性.而函数有极值点的充分且必要条件是导函数对应的方程有变号的实数根.对题目进行适当的变形,并使用分离参数法解题,能避免对参数进行分类讨论的麻烦,只需求y=−2a这条水平线与函数g(x)=ln x+1x图像有两个变号的交点即可.因为C,P,Q三点共线,所以−−→CP//−−→CQ.又−−→CP=(a cosα−x C,b sinα−y C),−−→CQ=(a cosβ−x C,b sinβ−y C),所以(a cosα−x C)(b sinβ−y C)=(a cosβ−x C)(b sinα−y C),整理得ab sin(α−β)−bx C(sinα−sinβ)+ay C(cosα−cosβ)=0,即ab cos α−β2−bx C cosα+β2−ay C sinα+β2=05⃝又C在l2上,所以y C=bx C sinθa cosθ,即bx C=ay C cosθsinθ,代入5⃝,化简得cos α−β2=y C cos(θ−α+β2)b sinθ,代入4⃝,得|OM|·|ON|=b sinθ+y Cb sinθ−y C·|OA|2=y C+y By C−y B·|OA|2,故结论成立.以上由特殊到一般,揭示了这道定值问题的根源与本质.在教学中,教师要帮助学生养成良好的学习习惯,敢于质疑、善于思考、把握本质,厘清知识、结论的来龙去脉,这样的数学学习才更加有意义,数学核心素养的提升才会指日可待.参考文献[1]刘刚.一道椭圆联赛题的探究与拓展[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(7,上半月):19-20.[2]刘刚,赵毅.一个定值问题的一般化探究[J].中学数学月刊,2017(12):54-55.[3]刘刚,赵毅.2016年全国高中数学联赛江西预赛第9题的探究与推广[J].中学数学月刊,2017(2):64-65.34中学数学研究2020年第10期(上)解法2(含参讨论法)因为f′(x)=ln x+1+2ax(x>0),而函数f(x)=x ln x+ax2(a为常数)有两个极值点x1,x2等价于f′(x)=0有两个不相等的变号的实数根x1,x2,设h(x)=ln x+1+2ax,则h′(x)=1x+2a(x>0),当a 0时,h′(x)>0恒成立,所以h(x)在(0,+∞)单调递增,最多有一个零点,不符合题意;当a<0时,由h′(x)=0得:x=−12a>0.当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况列表如下:x (0,−12a)−12a(−12a,+∞)h′(x)+0−h(x)↗极大值↘所以,h(x)在区间(0,−12a)内单调递增,在区间(−1 2a ,+∞)单调递减,h(x) h(−12a)=ln(−12a),且x→0+,h(x)→−∞;x→+∞,h(x)→−∞,所以,由f′(x)=ln x+1+2ax=0有两个不相等的变号的实数根x1,x2,得ln(−12a)>0,解得−12<a<0.方法点睛函数h(x)=ln x+2ax+1的表达式是一些简单的初等函数的加减运算的形式,所以可以尝试使用含参讨论法.因为函数的单调性与参数有关,从而在讨论导函数的正负符号时,需要对参数a进行讨论,而a 0时,导函数h′(x)>0恒成立,函数单调递增,最多有一个零点,从而直接排除.此外还需留意函数f(x)的导函数f′(x)有两个变号零点是函数有两个极值的充要条件.解法3(分离函数法)因为f′(x)=ln x+1+2ax (x>0),而函数f(x)=x ln x+ax2(a为常数)有两个极值点x1,x2等价于f′(x)=0有两个不相等的变号实数根x1, x2,由f′(x)=0,得ln x=−2ax−1(x>0),设φ(x)=ln x (x>0),从而f′(x)=0有两个不相等的变号实数根x1, x2等价于函数φ(x)=ln x图像与直线y=−2ax−1有两个变号交点.设过定点(0,−1)的直线y=−2ax−1与函数φ(x)=ln x相切时,切点为(x0,ln x0),因为直线的斜率等于曲线φ(x)=ln x在该点处的导数,则φ′(x)=1x.所以ln x0+1x0−0=1x0,即x0=1,此时直线斜率为1,要使函数y=φ(x)图像与直线y=−2ax−1有两个变号交点,则0<−2a<1,即−12<a<0.方法点睛分离函数法的解法很灵活,要求学生能熟悉各类基本初等函数的图像,并能分析它与过定点的直线无交点、相切、相交的情形,特别是有变号交点等各类情况.而直线与曲线相切时,解题的关键是:切点是公共点,切线的斜率是导数值.这需要学生有很强的数学建模,逻辑推理和直观想象能力.三、灵活处理,优中择优在具体的解题中,我们常常让学生优先使用分离参数法求解含参数取值范围问题.分离参数法能避免分类讨论的麻烦,比如:例2设函数f(x)=(x−1)ln x+ax(a∈R).若f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.思路探求因为参数a的系数为x,且x是恒正的,优先考虑用分离参数法,则f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,等价于(x−1)ln xx>−a在(0,+∞)上恒成立,等价于((x−1)ln xx)min>−a.设g(x)=(x−1)ln xx,x∈(0,+∞),只需求g(x)的最小值.由g′(x)=ln x+x−1x2,再设h(x)=ln x+x−1,则h′(x)=1x+1>0,则h(x)单调递增,且h(1)=0,所以x∈(0,1),h(x)<0,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(1,+∞),h(x)>0,g′(x)>0,g(x)单调递增; g(x)的最小值为g(1)=0,所以−a<0,即a>0.方法点睛本题适合用分离参数法,由于含有参数,对很多学生来说常常感到束手无策,含参讨论往往牵涉到分类讨论,而分类讨论又恰好是一个难点,一个痛点.所以能用分离参数法来做的题目,我们优先选择用分离参数法.其实,在本题中分离函数法也是不错的选择,因为f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,等价于(x−1)ln x>−ax在(0,+∞)上恒成立,可以通过求导得出φ(x)=(x−1)ln x在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,且φ(x)min=φ(1)= 0,只需过原点的直线y=−ax在φ(x)=(x−1)ln x图像下方即可求出a的范围.分离参数法有时的确能避免分类讨论的麻烦,但是并不是所有的题目都适合用分离参数法,接下来的例3、例4的解答方法中,含参讨论法是优先选择的方法.例3若x=1是f(x)=[x2−(a+3)x+2a+3]e x 的极小值点,则实数a取值范围是()A.(1,+∞)B.(−1,+∞)C.(−∞,−1)D.(−∞,1)思路探求因为f′(x)=[x2−(a+1)x+a]e x= (x−1)(x−a)e x,且e x>0,所以f′(x)符号的正负与(x−1)(x−a)的符号正负相同,要使x=1是f(x)的极小值点,则x=1是变号零点,且在点x=1附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.由二次函数y=(x−1)(x−a)的图像知,图像开口向上,且零点x=a在零点x=1的左侧,所以a<1.方法点睛该题目适合用含参讨论法,参数问题因受各种因素的制约,多数题目很难一次性处理,分类讨论是其常2020年第10期(上)中学数学研究35见解法,若在解题前注意思维策略,适当作一些“技术处理”,则可避免或简化讨论,达到掌控解题节奏的目的,也收到事半功倍的效果.例4已知函数f (x )=ln x −ax,若a 0,不等式x 2f (x )+a 2−e 对x ∈(0,+∞)恒成立,求a 的取值范围.思路探求因为a 0,x 2f (x )+a 2−e 对x ∈(0,+∞)恒成立,等价于x ln x −ax +a −2+e 0对x ∈(0,+∞)恒成立.设g (x )=x ln x −ax +a −2+e,x ∈(0,+∞),g ′(x )=ln x +1−a ,令g ′(x )=0,得x =e a −1,当x ∈(0,e a −1),g ′(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(e a −1,+∞),g ′(x )>0,g (x )单调递增;所以g (x )的最小值为g (e a −1)=(a −1)e a −1+a +e −2−a e a −1=a +e −2−e a −1所以原不等式等价于a +e −2−e a −1 0.令t (a )=a +e −2−e a −1,a 0,则t ′(a )=1−e a −1,令t ′(a )=0,得a =1,当a ∈[0,1),t ′(a )>0,t (a )在[0,1)单调递增;当a ∈[1,+∞),t ′(a )<0,t (a )在[1,+∞)单调递减;所以ⅰ)当a ∈[0,1),g (x )的最小值g (e a −1)=t (a ) t (0)=e −2−1e>0,则0 a <1;ⅱ)当a ∈[1,+∞),要使g (x ) 0恒成立,则g (x ) g (ea −1)=t (a )=a +e −2−ea −10=t (2),则1 a <2,所以,a 的取值范围是[0,2].方法点睛本题适合用含参讨论法.我们常常遇到这样的情形,参数并不好被分离出来,或者即使参数好分离,但被分离参数之后的函数很复杂且很难研究它的最值和单调性等性质,这时候就要尝试用含参讨论法去研究.本题就是参数不好被分离出来的典型,因为参数a 的系数为x −1,而x −1的正负符号不确定,从而考虑使用含参讨论法,利用导数性质,结合分类讨论思想就能求出a 的取值范围.四、反馈训练,巩固提高1.(2019广东二模)若函数f (x )=x 3−k e x在区间(0,+∞)上单调递减,则k 的取值范围是()A.[0,+∞)B.[27e 3,+∞)C.[12e 2,+∞)D.[3e,+∞)2.(2014新课标全国Ⅰ)已知函数f (x )=ax 3−3x 2+1,若f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,−2)D.(−∞,−1)3.(2019广东一模)已知函数f (x )=(kx −2)ln x ,g (x )=2ln x −x ,若f (x )<g (x )在(1,+∞)上的解集中恰有两个整数,则k 的取值范围为()A.[1−12ln 2,43−1ln 3)B.(1−12ln 2,43−1ln 3]C.[43−1ln 3,2−1ln 2)D.(43−1ln 3,2−1ln 2]4.已知函数f (x )=e x −e x +a 与g (x )=ln x +1x的图像上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为()A.[−e ,+∞)B.[−1,+∞)C.(−∞,−1]D.(−∞,−e ]5.(2019广州二模)已知函数f (x )=ln x −kx 2(k ∈R ),若函数f (x )有两个零点x 1,x 2,求k 的取值范围.6.(2019广州一模)已知函数f (x )=e 2x −ax 2,a ∈R ,若f (x )在(0,+∞)上单调递增,求a 的取值范围.7.(2020广州二模)已知函数f (x )=ln x −sin x ,记f (x )导函数为f ′(x ),若h (x )=ax +1x−f ′(x )是(0,+∞)上的单调递增函数,求实数a 的取值范围.五、教学反思,延伸思考导数的应用是高考考查的重点也是难点,是高三复习的重要内容,其中的求解含参数取值范围的问题是考查学生综合素养的重要载体,备受命题者青睐.这类试题中蕴含着函数和方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法,体现了数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题知识点多,把方程、函数、不等式、几何等内容联系起来;试题综合性强,在知识点的交会处命题,体现了很好的区分度和选拔功能.教师要引导学生灵活选择适当的方法求解,不断提高学生的解题能力,提升学生的数学核心素养.教师更要深挖教材和加强对试题的研究,提高自身的专业知识素养,更好地开展中学数学教学.参考文献[1]夏繁军.利用导数研究曲线的切线问题[J].中学数学教学参考(上旬),2019(4):38-42.[2]曹凤山,周杰华.极值问题[J].中学数学教学参考(上旬),2019(4):43-47.[3]黎海燕.2019年高考全国Ⅰ卷函数与导数试题分析与备考建议[J].中学数学研究(上半月),2019(9):46-50.。
导数中参数的取值范围问题
题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=xf得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(xgxf>恒成立)()()(>-=⇔xgxfxh恒成立）；单参数放到不等式上设函数1()(1)ln(1)f xx x=++（1x≠，且0x≠）（1）求函数的单调区间；（2）求()f x的取值范围；（3）已知11(1)2mx x+>+对任意(1,0)x∈-恒成立，求实数m的取值范围。
2.已知函数ln ()1a xbf x x x =++在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=（1）求,a b 的值；（2）如果当0x >,且1x ≠时，ln ()1xkf x x x =+-，求k 的取值范围.3.已知函数44()ln (0)f x a x b c x x x =+->在 0x >出取得极值3c -- ,其中 ,,a b c为常数.（1）试确定,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围。
4.已知函数2()21f x ax x =++，()a g x x=，其中0,0a x >≠ （1）对任意的[1,2]x ∈，都有()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）对任意的12[1,2],[2,4]x x ∈∈，21)()(f g x x >恒成立，求实数a 的取值范围5.已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围6.设函数()x xf x e e -=-．若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．7，设函数，当0x ≥时，2()1x f x e x ax =---()0f x ≥，求a 的取值范围．8设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围9（15北京理科）已知函数()1ln 1x f x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．10（15年福建理科）已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有11、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.（I ）讨论f (x )的单调性； （II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞11x xe --在区间（1，+∞）内恒成立(e=…为自然对数的底数)。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在数学中，导数是一个非常重要的概念，用于刻画函数在其中一点的变化率。
利用导数求参数的取值范围，常常用于优化问题、最值问题等等。
下面我将从几个典型的例子入手，详细介绍如何利用导数求参数的取值范围。
首先，我们考虑一个简单的一元函数的例子。
假设有一个函数f(x)，它的导数f'(x)在一些区间内恒大于0。
那么我们可以推知，在这个区间内，f(x)是递增的。
反过来，如果f'(x)在一些区间内恒小于0，那么f(x)在该区间是递减的。
利用这一点，我们可以通过求导数的方式来确定参数的取值范围。
举个例子来说明。
假设我们要求函数f(x) = ax^2 + bx + c(x > 0)在0到正无穷的取值范围。
我们可以先计算导函数f'(x) = 2ax + b。
由于题目中没有给定a的取值范围，我们要通过导数f'(x)来确定a的取值范围。
首先，我们要求f'(x)大于0。
这意味着2ax + b大于0。
当a大于0时，方程2ax + b = 0没有实数解，所以我们要求a小于0。
然后，我们要求f'(x)在x > 0时恒大于0，即对所有的x > 0，2ax + b > 0。
这表明a也必须小于0才能满足这个条件。
因此，我们可以得出结论，a小于0。
至于b和c，没有给出取值范围的要求，所以可以是任意实数。
接下来，我们考虑一个多元函数的情况。
同样地，我们希望通过求导数来确定参数的取值范围。
假设有一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2 + ax + by + c。
我们可以分别计算f对x和y的偏导数f_x和f_y。
如果f_x和f_y的取值范围有限，那么我们可以据此确定a和b的取值范围。
举个例子来说明。
假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2 + ax +by + c在整个二维平面的取值范围。
我们计算f对x和y的偏导数，得到f_x = 2x + a和f_y = 2y + b。
导数中求参数的取值范围
导数中求参数的取值范围导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，经常需要根据导数的特性来求解参数的取值范围。
下面我们将讨论几种常见的求解参数取值范围的方法。
一、导数的符号在其中一点的导数的符号能够告诉我们函数在该点的增减性。
具体地，如果导数大于零，则函数在该点是增函数；如果导数小于零，则函数在该点是减函数；如果导数等于零，则函数在该点取得极值（可能是极大值或极小值）。
1.寻找函数的增减区间要求解参数的取值范围，首先需要找到函数的增减区间。
具体步骤如下：（1）找到函数的导数；（2）将导数求零，即找到导数为零的点，这些点可能是函数的极值点；（3）根据导数的符号可知道函数增减的情况。
2.判断函数的极值是否为最值找到函数的极值点并不一定能够得到最值。
我们可以使用二阶导数的符号来判断函数的极值是否为最值。
具体来说，如果二阶导数大于零，说明该极值点为函数的极小值；如果二阶导数小于零，说明该极值点为函数的极大值；如果二阶导数等于零，无法判断该极值点的大小。
3.列出函数的不等式当我们已经找到了函数的增减区间和极值点以后，可以通过列出函数的不等式来求解参数的取值范围。
比如，如果我们需要找到函数在一些区间上的最大值，可以列出函数在该区间上的不等式，并且将该区间的端点带入函数进行比较，最终求解出参数的取值范围。
二、导数的连续性导数的连续性是求解参数取值范围的另一个重要条件。
在一些点处，如果函数的导数存在且连续，则函数在该点处具有可导性。
如果函数在一些点处不可导，那么该点就是一个临界点。
1.求解临界点为了找到可能的临界点，我们需要计算函数的一阶导数和二阶导数，并求解出导数为零或不存在的点。
通过这些点，我们可以判断参数的取值范围。
2.判断导数的连续性对于一般的函数而言，一阶导数存在且连续的点称为可导点。
如果函数在一些点的导数不连续，那么该点为不可导点。
针对不可导点，我们需要观察其特点，并结合其他条件来进行求解。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数在数学中广泛应用，它可以表示函数的变化率。
在求取参数的取值范围时，可以利用导数的性质来推导出函数与参数之间的关系。
下面将介绍利用导数求参数取值范围的一些常见方法。
一、利用导数判断函数的单调性：考虑函数$f(x)$的单调性，可以使用导数来帮助我们判断。
如果函数$f(x)$在其中一区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数恒小于零，那么函数递减。
1.对于一元函数$f(x)$，可以计算其导数$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$，将问题转化为求解函数的极值点。
如果求解出的极值点满足题目给定的参数范围条件，则参数的取值范围就是极值点的区间。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，利用一元函数的方法来判断参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数，从而转化为一元函数的问题。
二、利用导数判断函数的极值：考虑函数$f(x)$的极值情况，可以求取其导数$f'(x)$，然后判断导数的正负性。
1.对于一元函数$f(x)$，如果导数$f'(x)$在特定点$x_0$处为零，并且$x_0$处的导数的左右性质相异，那么函数在$x_0$处取得极值。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，判断导数的正负性来确定参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数。
然后再对求得的一元函数进行求导判断极值。
三、利用导数判断函数的凸凹性：考虑函数$f(x)$的凸凹性质，可以使用导数$f''(x)$来判断。
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导数中参数的取值范围问题
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题型一：最常见的关于函数的单调区间;极值；最值;不等式恒成立;
经验１:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令0
)
('=
x
f得到几个根;第二步:列表如下；第三步:由表可知;
经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种:
第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）;题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）; 第二种:分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立; 第四种:构造函数求最值；题型特征（)
(
)
(x
g
x
f>恒成立
)
(
)
(
)
(>
-
=
⇔x
g
x
f
x
h恒成立）;
单参数放到不等式上
设函数
1
()
(1)ln(1)
f x
x x
=
++
(1
x≠，且0
x≠)
（1）求函数的单调区间；（2）求()
f x的取值范围;
（3）已知
1
1(1)
2m
x x
+>+对任意(1,0)
x∈-恒成立，求实数m的取值范围。
2.已知函数ln ()1a x b f x x x
=++在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-= （1）求,a b 的值;
（2）如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k f x x x =
+-，求k 的取值范围.
3.已知函数44
()ln (0)f x a
x b c x x x =+->在 0x >出取得极值3c -- ,其中 ,,a b c 为常数．
（1）试确定,a b 的值； （2）讨论函数()f x 的单调区间；
（3）若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥
-恒成立,求c 的取值范围。
4.已知函数2()21f x ax x =++,()a g x x
=，其中0,0a x >≠ （1）对任意的[1,2]x ∈，都有()()f x g x >恒成立,求实数a 的取值范围；
（2）对任意的
12[1,2],[2,4]x x ∈∈,2
1)()(f g x x >恒成立，求实数a 的取值范围
５．已知函数()2
a f x x x
=+,()ln g x x x =+，其中0a >．若对任意的[]12,1x x e ∈，(e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立,求实数a 的取值范围
6.设函数()x x
f x e e -=-．若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
7，设函数，当0x ≥时,2()1x f x e x ax =---()0f x ≥,求a 的取值范围.
８设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值.
(１)求a 、b 的值；(２）若对于任意的[0,3]x ∈,都有2()f x c <成立，求c 的取值范围
９(1５北京理科）已知函数()1ln 1x f x x
+=-． （Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；
（Ⅱ)求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭; (Ⅲ)设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．
1０（1５年福建理科）已知函数,
(Ⅰ)证明:当;
(Ⅱ）证明：当时，存在，使得对
(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有 f()ln(1)x x (),(k ),g x kx R 0x x x 时，f()1k 00x 0(0),x x 任意，恒有f()()x g x ；0t
(0),x ，t 2|f()()|x g x x
１1、（2０16年四川高考)设函数f(x）=aｘ2-ａ－lｎｘ，其中a ∈R．（I)讨论f(ｘ）的单调性;
(II）确定a的所有可能取值,使得f(ｘ) ＞
1
1x
x
e-
-
在区间(1，+∞）内恒成立（e=２.７18…
为自然对数的底数)。
单参数放到区间上
1.已知32()f x cx ax bx =
++在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0)-∞,(1,)∞上是减函数，有13()2
2f = （1）求()f x 的解析式；
（2）若区间[0,]m (0)m >上恒有()f x x ≤成立,求m 的取值范围
2.已知三次函数
32
()5f x cx d ax x =-++图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且()f x 在3x =有极值
（1）求()f x 的解析式； （2）当(0,)x m ∈时,()0f x >恒成立,求实数m 的取值范围
3.已知函数32
()f x cx d ax bx =+++在0x =处取得极值,曲线()y f x =过原点和点P (1,2)-,若曲线()y f x =在点P 处的切线与直线2y x =的夹角为4
π且切线的倾斜角为钝角 （1）求()f x 的表达式;
（2）若()f x 在区间[21,1]m m -+上递增,求m 的取值范围
（3）若1,2[1,1]x x ∈- 求证12()()4f f x x -≤
4.已知函数1()ln x f x x ax -=
+,若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数,求正实数a 的取值范围
5.（15年新课标2理科)设函数2()mx f x e x mx =+-。
(1)证明:()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（２)若对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围。
6.（1５年新课标2文科）已知．
(I)讨论的单调性;
（I Ｉ）当
有最大值，且最大值大于时,求a 的取值范围
7、(２0１6年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ,其中a ∈R.
()()ln 1f x x a x =+-()f x ()f x 22a -
(I)讨论f （x )的单调性;
（II ）确定a 的所有可能取值，使得ｆ（x ) >11x x e --在区间(１，+∞）内恒成立(e=２.718…
为自然对数的底数）。
双参数知道一个参数的范围
1.已知函数()a f x x b x
=++ (0)x ≠,其中,a b R ∈ （1）讨论()f x 的单调性
（2）若对任意1[,2]2a ∈,不等式()10f x ≤在1[,1]4
恒成立，求b 的取值范围
2.已知函数2()ln(1)f x ax ax x =++-,0a >
（1）若12
x =是函数()f x 的一个极值点,求a （2）讨论()f x 的单调性
（3）若对任意的[1,2]a ∈，不等式()f x m ≤在1[,1]2
上恒成立，求m 的取值范围
3设函数()ln f x a x bx =-
（1）若函数()f x 在1x =处于直线12y =
相切，求实数,a b 的值，求()f x 在1[,]e e
上的最大值; （2）当0b =时,若不等式()f x m x ≥+对所有的3
[0,]2a ∈，2
[
]1,x e ∈都成立,求m 的取值范围
4.设函数432
()216ln (f x x ax x x b a =---++，)b R ∈，若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式4()f x x ≤-在(0,1]x ∈上恒成立,求实数b 的取值范围
５.设函数432()2 ()f x x ax x b x R =+++∈，其中a ，b R ∈.若对于任意的[2,2]a ∈-, 不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围
双参数中范围均未知型
1.已知函数2()f x bx c x =++ (,)b c R ∈,对任意的x R ∈，恒有`()()f x f x ≤
（1）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+
（2）若对满足题设条件的任意b ，c ,不等式22()()(
)f c f b M c b -≤-恒成立,求M 的最
小值
2若32()f x x
a =图形上的斜率是3的两切线间的距离为2105,设23()()3bx g x f x a
=-+ （1）若函数()g x 在1x =处有极值,求()g x 的解析式；
（2）若函数()g x 在区间[1,1]-上为增函数,且
24()mb g x b -+≥在区间[1,1]-上都成立,
求m 的取值范围
３、(2016江苏)已知函数
()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠． （1） 设a =2,b =12
. ① 求方程()f x ＝２的根;
②若对任意x R ∈，不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值；
（２）若01,1a b <<＞
,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值.。