旋转对称和中心对称
旋转对称的字母表达
旋转对称的字母表达
旋转对称，又称中心对称，是一种在几何学中常见的对称性质。
如果一个图形在旋转一定角度后能够与原图重合，那么这个图形就被称为旋转对称图形。
旋转对称的角度通常是90度、180度或360度。
在数学上，我们可以使用字母表达式来描述旋转对称。
例如，对于一个正方形，如果我们将其旋转90度，它仍然与原图重合。
这可以用表达式“C4”来表示，其中“C”代表中心对称，“4”代表旋转的角度（以90度为单位的倍数）。
类似地，对于一个圆形，无论我们旋转多少度，它都会与原图重合，这可以用“Cn”来表示，其中“n”代表任何整数。
总的来说，旋转对称是一种重要的几何概念，它可以帮助我们理解和描述许多复杂图形的对称性质。
通过使用字母表达式，我们可以更简洁地表示这些性质，从而更好地应用于数学和日常生活中。
第9讲 图形的旋转与中心对称八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第9讲图形的旋转与中心对称目标导航1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；2、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形；3、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形．知识精讲知识点01 生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．【知识拓展1】（2021秋•建华区期末）时钟的时针从上午的8时到上午10时，时针旋转的旋转角为．【即学即练1】（2021秋•太原期中）几何图形由点、线、面组成，点动成线、线动成面、面动成体．下列现象中能反映“线动成面”的是（）A．流星划过夜空B．笔尖在纸上快速滑动C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转【即学即练2】（2021春•凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（）A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪知识点02 旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．【知识拓展2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（）A．15°或45°B．15°或45°或90°C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°【即学即练1】（2021秋•湖北期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【即学即练2】（2021秋•莆田期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝81°，则∠AOB的度数是（）A．24°B．27°C．30°D．33°知识点03 旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．【知识拓展3】（2021秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．B．C．D．【即学即练1】（2021秋•荆门期末）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（）A．36°B．72°C．90°D．108°【即学即练2】（2021秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60°B．72°C．75°D．90°知识点04中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．【知识拓展4】（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．∠ABC＝∠A'C'B'C．点B的对称点是B′D．BC∥B'C'【即学即练1】（2021秋•黄陂区期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（）A．点A B．点BC．线段AB的中点D．无法确定【即学即练2】（2021春•清苑区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′知识点05中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．【知识拓展5】（2021秋•交城县期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．向右和向左转弯B．靠左侧道路行驶C．禁止驶入D．环岛行驶【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．知识点06关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．【知识拓展6】（2021秋•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，点P、点Q关于原点对称，若点P的坐标是（2，3），则点Q的坐标是．【即学即练1】（2021秋•新吴区期末）若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M （a，b）在第象限．【即学即练2】（2021秋•开州区期末）平面直角坐标系中点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣9，7）B．（﹣7，9）C．（7，9）D．（﹣7，﹣9）知识点07作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．【知识拓展7】（2021秋•南开区期末）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．（1）直接写出点D的坐标；（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为．【即学即练1】（2021秋•南沙区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D 恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（）A．αB．90°+C．90°﹣D．180°﹣2α【即学即练2】（2021秋•铅山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）求四边形AOA1B1的面积．例题1．（2020·浙江八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点'',P AP AP =）．当AP 旋转至AP AB'⊥时，点'B P P ,,恰好在同一直线上，此时作'⊥P E AC 于点E ．（1）求证：∠=∠CBP ABP ；（2）若4,8AB BC AC -==，求PBC 的面积；（3）在（2）的条件下，点N 为边BC 上一动点，点M 为边BP 上一个动点，连接MC MN ,，求MC MN +的最小值．能力拓展【变式1】（2021·河南郑州市·八年级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45︒的三角尺ADE 固定不动，将含30的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当角60CAE ∠=︒时，//BC DE ．求其它所有可能符合条件的角()0180CAE CAE ∠︒<∠<︒的度数，画出对应的图形并证明．【变式2】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）已知：如图1，AOB 和COD 都是等边三角形．（1）求证：①AC＝BD ；②∠APB＝60°；（2）如图2，在AOB 和COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝α，则AC 与BD 间的等量关系为 ，∠APB的大小为模块三、中心对称例题1．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上．请回答下列问题：（1）作出△ABC 向左平移4个单位长度后得到111A B C △，并写出1A 的坐标；（2）作出△ABC 关于原点O 对称的222A B C △并写出22B C ，点的坐标．【变式1】（2021·山东济南市·八年级期末）如图网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是(3,2)A 、()1,3B ．（1）点A 关于点O 中心对称点的坐标为（_______，_______）；（2）△AOB 绕点O 顺时针旋转90︒后得到11AOB ，在方格纸中画出11AOB ，并写出点1B 的坐标（______，_______）；（3）在y 轴上找一点P ，使得PA PB +最小，请在图中标出点P 的位置，并求出这个最小值．【变式2】（2021·山东烟台市·八年级期末）如图所示，网格中每个小正方冠的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：（1）图①中的三个图案面积都是，且都具有一个共同特征：都是对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2021秋•澄海区期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．85°2．（2021秋•崆峒区期末）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（）A．180°B．120°C．90°D．60°3．（2021秋•雨花区期末）如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是（）A．点A与点D是对应点B．BO＝EOC．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE4．（2021秋•沙河口区期末）下列图案是一些电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2021秋•澄海区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，则m的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣16．（2021秋•铅山县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2021秋•绥滨县期末）已知，如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长是（）A．1.5cm B．3cm C．5cm D．2.5cm8．（2021秋•澄海区期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝20°，则△ABC旋转的角度为（）A．60°B．80°C．100°D．120°二．填空题（共1小题）9．（2021秋•杜尔伯特县期末）时针从数字“9”到“12”按时针方向旋转了90°．三．解答题（共9小题）10．（2021秋•大洼区期末）如图，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°，在所给的直角坐标系中画出旋转后的Rt△A1B1O．11．（2021秋•昆明期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．（1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'；（2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C；（3）直接写出A'、A″点的坐标．12．（2021秋•尧都区期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，13．（2021秋•富县期中）如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心．14．（2021秋•新丰县期中）如图，在边长为1的小正方形格中，△AOB的顶点均在格点上．（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）以原点O为对称中心，画出△AOB关于原点对称的△A1OB1．15．（2020秋•定南县期末）已知点P（2x+y，1）与点Q（﹣7，x﹣y）关于原点对称，求x，y的值．16．（2021春•绿园区期末）如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？17．（2021春•商河县校级期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．18．（2020春•肇源县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C （4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•椒江区期末）如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转30°所得，边DE，AC相交于点F．若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．（2021秋•铜官区期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α，得到△DEC，若点A恰好在DE的延长线上，则∠BAD的度数为（）A．α﹣30°B．180°﹣αC．90°D．3．（2021秋•句容市期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A．B．1C．2D．4．（2021秋•宜州区期末）如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，连接BB′，则∠ABB′的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（2021秋•绵阳期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转角α，得到△A1BC1，此时点A，点B，点C1在一条直线上，若∠A1BC＝22°，则旋转角α＝（）A．79°B．80°C．78°D．81°二．填空题（共5小题）6．（2021秋•廉江市期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是．7．（2021秋•山亭区期末）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．8．（2021秋•滨城区期末）已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y ＝．9．（2021秋•海门市期末）点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是．10．（2015秋•天津期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为．三．解答题（共8小题）11．（2021秋•沙河口区期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A'B'C'，其中A和A'，B和B'，C和C'是对应点．（1）画出△A'B'C'；（2）在该网格中建立平面直角坐标系，点P，A坐标分别为P（0，1），A（1，1），直接写出该坐标系下A'，B'，C'的坐标．12．（2021秋•喀什地区期末）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．13．（2021秋•芝罘区期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．（1）将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，﹣2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是；（3）将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．14．（2021秋•晋安区校级月考）如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC上的两点E、F关于点O对称．求证：AE＝CF．15．（2021•鄂温克族自治旗二模）如图，△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝5，AD+BF＝14，求四边形ABDF的面积S．16．（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．17．（2021秋•桓台县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．（1）图中点B的坐标是；（2）点B关于原点对称的点D的坐标是；点A关于y轴对称的点C的坐标是；（3）四边形ABCD的面积是；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为．18．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．题组C 培优拔尖练一．填空题（共5小题）1．（2021秋•新抚区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E在AC上且AE＝2，D是直线BC 上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，AF，下列结论：①DF的最小值为；②AF的最小值是1+；③当CD＝1时，DE∥AB；④当DE∥AB时，DE＝1．正确结论的题号是．2．（2021秋•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．则DE的最小值为．3．（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝．在点D运动过程中，CE的最小值．4．（2021春•龙岗区期末）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为．5．（2019春•市南区期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为cm．二．解答题（共7小题）6．（2021秋•沙坪坝区校级期末）（1）如图1，在6×6正方形网格中，有一格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），其面积为7cm2，则这个方格纸的面积等于cm2；（2）若点M是图1中不同于点C的一个格点，且△ABC的面积与△ABM的面积相等，则满足条件的点M有个；（3）如图2，在12×12正方形网格中，每个小正方形的边长为1，给定了点D，E的位置，请先画一个△DEF，使DF，EF的长分别为，2，再画△DEF关于点O成中心对称的△D'E'F'．7．（2021秋•阳东区期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．8．（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．9．（2017•中原区校级三模）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围；（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 …y…﹣2 0 …﹣﹣﹣如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数y＝的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x＝﹣1左侧的最高点的坐标为；（3）小强补充了该函数图象上两个点（﹣，），（﹣，﹣），①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；②写出该函数的一条性质：．10．（2021秋•渝中区校级期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝；（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．11．（2021秋•南川区期中）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．12．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．。
《中心对称图形》旋转中心对称图形
实例一：利用旋转作图求解几何问题
总结词：高效便捷；理解深刻
旋转中心对称作图方法可以解决涉及圆、椭圆、双曲 线等几何问题
将已知图形绕着某个点旋转一定角度后，观察旋转后 的图形能否与原图形重合。
作图的过程中，需要先确定旋转中心，然后确定旋转 角度和旋转方向
实例二：利用旋转对称性设计美丽的图案
总结词：美观实用；富有创意
旋转对称性往往使得图形在旋转特定角度后与原图重合。
旋转角度可变
不同的图形可能具有相同的旋转对称性，但其对应的旋转角度可能不同。
旋转对称性与平移对称性不同
旋转对称性是围绕着旋转中心进行旋转，而平移对称性则是沿着一定方向平移。
旋转对称性的应用
几何作图
利用旋转对称性可以方便地作 出一些几何图形，如正多边形
《中心对称图形》旋转中心 对称图形
xx年xx月xx日
目录
• 中心对称图形概述 • 中心对称图形的旋转 • 中心对称图形的旋转中心 • 中心对称图形的旋转对称性 • 中心对称图形的旋转作图 • 中心对称图形的实例分析 • 中心对称图形的思考与探究
01
中心对称图形概述
中心对称图形的定义
• 定义：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合，那么这个图形就被称为中心对称 图形。
方法三
找到一个图形上的一条对称轴，该 轴线与图形的交点即为旋转中心。
04
中心对称图形的旋转对称性
旋转对称性的定义
定义
若一个图形沿着中心旋转 一定角度后，仍能与自身 重合，则称该图形具有旋 转对称性。
旋转中心
图形旋转过程中，不动的 点称为旋转中心。
旋转方向
顺时针或逆时针。
旋转对称性的特点
旋转对称图形与中心对称图形
初二数学讲义第三讲 旋转对称图形与中心对称图形一、主要知识点1．把—个图形绕旋转中心旋转一定(小于周角)角度后，所得图形能够与自身重合，这种图形称为旋转对称图形。
2．中心对称图形是绕某一中心点旋转180°后能与自身重合的旋转对称图形，这个中心点叫做对称中心；3．中心对称图形是旋转对称图形的特例。
4．中心对称的特征：如果两个图形成中心对称，那么对称中心在对应点的连线上且平分这条线段．两个图形的对应角相等，对应线段平行且相等，两个图形的形状和大小都一样。
5．中心对称与中心对称图形：中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。
区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形。
(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。
联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看成—个整体，则成为中心对称图形。
6．常见的中心对称图形有：①线段；②相交直线；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有：①线段；②相交直线；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。
二、例题与练习例1．下列旋转对称图形中绕哪一个点旋转多少度与自身重合？答：例2．如图所示，该图按顺时针绕旋转中心旋转，可与自身重合的度数是 （ ） （A ）60°； （B ）180°； （C ）120°； （D ）320°。
答：（1）（3） （4） （5）例3．如图，△ABC 为等边三角形，D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置。
（1）旋转中心是点 ；（2）旋转角度是 ；（3）△ADE 是 三角形。
例4、如图，已知△ABC 和点O ，画出△A ’B ’C ’，使△A ’B ’C ’和△ABC 关于点O 成中心对称。
解：（1）连结 并延长 到 ，使 = ，于是得到点 的对称点 ；（2）同样画出点 和点 的对称点 和 ； （3）顺次连结 、 、 。
中心对称与旋转对称
中心对称与旋转对称中心对称和旋转对称是几何学中常见的概念，它们在我们日常生活和各个领域中的应用非常广泛。
本文将从定义、特点以及实际应用等方面对中心对称和旋转对称进行探讨。
一、中心对称中心对称是指平面上的一个图形围绕一个点进行旋转180度后，仍能够与原来的图形完全重合。
中心对称具有如下特点：1. 对称中心：对于一个中心对称的图形，存在一个称为对称中心的点，该点与图形的每一个点都保持相等的距离。
图形中的任意一对对称点均位于对称中心的同一个直径上。
2. 对称轴：对称轴是通过对称中心和图形中任意一对对称点的直线。
对称轴上的任意一点到对称中心的距离与这个点的对称点到对称中心的距离相等。
3. 对称图形：中心对称图形是指具有中心对称性的图形，在进行180度旋转后能够与原来的图形完全重合。
中心对称在我们的日常生活中随处可见。
例如，花朵、雪花、蝴蝶等自然界中的许多图案都具有中心对称性。
此外，在建筑设计、艺术创作等领域中，中心对称也被广泛运用，以达到美观和平衡的效果。
二、旋转对称旋转对称是指平面上的一个图形按照某个点进行旋转一定角度后，可以与原来的图形完全重合。
旋转对称具有如下特点：1. 旋转中心：旋转对称图形的旋转中心是图形中心的一个点，通过该点进行旋转，使图形能够与原来的图形完全重合。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形按照旋转中心进行旋转的角度，通常是90度、180度、270度等整数倍的角度。
3. 对称图形：具有旋转对称性的图形，在经过一次或多次旋转后，能够与原来的图形完全重合。
旋转对称在许多领域中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，正多边形具有旋转对称性，同时也是中心对称的。
在艺术创作、标志设计等领域，旋转对称常被用于打造简洁而富有美感的图案。
总结：中心对称和旋转对称是几何学中非常重要的概念。
通过中心对称，我们可以实现图形的对称分布和平衡美感；通过旋转对称，我们可以创造出简洁而富有艺术感的图案。
在实际生活和各个领域中，中心对称和旋转对称都有着广泛的应用，丰富了我们的视觉体验。
图形的旋转、中心对称-重难点题型
专题9.1 图形的旋转、中心对称-重难点题型【苏科版】【知识点1 旋转的定义】在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点2 旋转的性质】旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【考点1 旋转对称图形】【例1】（2021秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60°B．72°C．75°D．90°【分析】根据五角星的五个顶点等分圆周，所以出现正五边形，进而可得结论．【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，所以360°÷5＝72°，所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为72°．故选：B ．【变式1-1】（2021•南关区四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．180【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度．【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转360°6=60°后，能与其自身重合．故选：B ．【变式1-2】（2021秋•海淀区校级月考）如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】如图，观察图形可知：∠AOB ＝∠EOF ＝60°，推出旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，由此即可判断．【解答】解：如图，观察图形可知：∠AOB ＝∠EOF ＝60°∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，故选：C ．【变式1-3】（2021春•高平市期末）下列图形中，是旋转对称图形的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．【解答】解：旋转对称图形是从左起第（1），（2），（3）；不是旋转对称图形的是（4）．故选：C．【考点2 由旋转的性质求角的度数】【例2】（2021秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC 绕顶点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，并使点C的对应点C′恰好落在边AB 上，则∠BB'C'的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据旋转可得∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，得∠ABB′＝∠AB'B＝65°，进而可得∠BB'C'的度数．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，∴∠ABB′＝∠AB'B=12×（180°﹣50°）＝65°，∴∠BB'C'＝90°﹣∠ABB'＝90°﹣65°＝25°，故选：B．【变式2-1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若AF＝AD，则旋转角α的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据旋转的性质得∠DCA＝α，CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣α）＝90°−12α，利用三角形外角的性质得∠DF A＝30°+α，AF＝AD，利用等腰三角形的性质得30°+α＝90°−12α，即可得到α的值．【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，∴∠DCA＝α，CD＝CA，∴∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣α）＝90°−12α，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠DF A＝30°+α，∴90°−12α＝30°+α，解得α＝40°；故选：B．【变式2-2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（）A．15°或45°B．15°或45°或90°C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．【解答】解：设旋转的度数为α，若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，∴α＝90°，当点C，点B，点E共线时，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴AC∥DE，∴α＝180°﹣45°＝135°，故选：D．【变式2-3】（2021秋•南召县期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转．如图②，当∠CAE ＝15°时，此时BC∥DE．继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其他所有可能符合条件的度数为．【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．【解答】解：如图②，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；如图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，故答案为：60°或105°或135°．【考点3 由旋转的性质求线段的长度】【例3】（2021秋•怀化期末）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，P A＝6，将△P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）A．6B．√6C．3D．2【分析】根据等边三角形的性质推出AC＝AB，∠CAB＝60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BP A，推出AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，求出∠P AQ＝60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，∵将△P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，∴△CQA≌△BP A，∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°，即∠P AQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴QP＝P A＝6，故选：A．【变式3-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（）A．1B．2C．√3D．4【分析】根据旋转的性质可证明△BCC'、△ABA'是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AB＝2，由勾股定理得BC=√3，从而解决问题．【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，∴BA＝BA'，BC＝BC'，∠BAC＝∠BA'C'，∵∠BAC＝60°，∴∠A'＝60°，∴△ABA'是等边三角形，∴∠ABA'＝60°，∴∠CBC'＝∠ABA'＝60°，∴△BCC'是等边三角形，∴CC'＝BC，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2，∴BC=√3，∴CC'＝BC=√3，故选：C．【变式3-2】（2021春•覃塘区期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC ＝8，BC＝6，将三角形ABC绕顶点C逆时针旋转得到三角形A'B'C，A'B'与AC相交于点P，则线段PC长度的最小值为（）A．6B．5.2C．4.8D．4【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，AB＝A'B'＝10，∵S△A'B'C=12×B'C×A'C=12×A'B'×CP，∴CP=6×810=4.8．故选：C．【变式3-3】（2021秋•江油市期末）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE（如图2），此时AB与CD1交于点H，则线段AD1的长度为√34．【分析】由直角三角形的性质可得AC＝BC＝3√2，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，由旋转的性质可求∠D1CB＝45°，由直角三角形的性质可求AH＝CH＝3，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，AB于CD1交于点H，∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝30°，斜边AB＝6，CD＝8，∴AC＝BC＝3√2，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∵将三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE，∴∠D1CB＝45°，CD1＝CD＝8，∴AB⊥CD1，∴AH＝CH＝3，∴D1H＝5，∴AD1=√AH2+D1H2=√25+9=√34，故答案为：√34．要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，【考点4 中心对称图形】【例4】（2021秋•招远市期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：A．【变式4-1】（2021秋•通榆县期末）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（）A．2张B．3张C．4张D．5张【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色求解．【解答】解：由于黑桃9与梅花3、黑桃8中间的图形旋转180°后无法与原来重合，故不是中心对称图形；只有红桃2，方片J是中心对称图形，共2张．故选：A．【变式4-2】（2021秋•海阳市期末）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；②是中心对称图形，故本选项符合题意；③不是中心对称图形，故本选项不合题意；④是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【变式4-3】（2021秋•市南区期末）万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【解答】解：从左往右第二、四、五这3个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，第一、三这两个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：A．【考点5 设计中心对称图形】【例5】（2021秋•迁安市期末）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（）A．①②B．③④C．②④D．②③【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的③④位置，所组成的图形是中心对称图形．故选：B．【变式5-1】（2021春•汝阳县期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故答案为：③．【变式5-2】（2021秋•辛集市期末）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．【变式5-3】（2021•宁波模拟）图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：（1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；（3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．【分析】（1）根据题意涂阴影；（2）根据题意涂阴影；（3）根据题意涂阴影；【解答】解：（1）如图1；（2）如图2，答案不唯一；（3）如图3，答案不唯一．【考点6 旋转变换作图】【例6】（2021秋•广饶县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A （1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；（3）观察图形，判断△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标．【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们相交一点，则两个三角形关于这个点中心对称．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．【变式6-1】（2021秋•普陀区期末）如图，已知四边形ABCD和直线MN．（1）画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；（2）画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；（3）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；（2）根据中心对称性质即可画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD 关于点O成中心对称；（3）结合以上画图即可得四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是．【解答】解：（1）如图，A1B1C1D1即为所求；（2）如图，A2B2C2D2即为所求；（3）关于直线CO成轴对称．故答案为：CO．【变式6-2】（2021秋•顺城区月考）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC以O为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出坐标A1（﹣4，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，5）；（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，并直接写出坐标A2（4，﹣2），B2（2，﹣1），C2（1，﹣5）；（3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P2，请直接写出点P2的坐标．（用含a，b的代数式表示）【分析】（1）分别作出三个顶点绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可；（2）分别作出三个顶点关于原点对称的对应点，再首尾顺次连接即可；（3）结合以上对应点的坐标变化规律可得答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作，A1（﹣4，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，5），故答案为：（﹣4，2），（﹣2，1），（﹣1，5），（2）如图，△A2B2C2即为所作，A2（4，﹣2），B2（2，﹣1），C2（1，﹣5），故答案为：（4，﹣2），（2，﹣1），（1，﹣5），（3）根据题意知P2（b，﹣a）．【变式6-3】（2021秋•孝义市期中）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）．注：点A 与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；（2）点P的对应点P1的坐标是（b，﹣a）；（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是（﹣b，a），点P1与点P2关于原点对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后写出A1，B1，C1的坐标；（2）利用A1，B1，C1的坐标特征写出点P的对应点P1的坐标；（3）先写出点P的对应点P2的坐标，再利用P1和P2的坐标特征可判断点P1与点P2关于原点对称．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）；故答案为（4，﹣5），（3，﹣1），（1，﹣3）；（2）点P的对应点P1的坐标是（b，﹣a）；故答案为（b，﹣a）；（3）点P的对应点P2的坐标是（b，﹣a），点P1与点P2关于原点对称．。
旋转和中心对称
旋转和中心对称这部分内容主要介绍旋转、中线对称、中心对称图形等基本知识。
其中旋转是解决一类几何证明题的基本工具。
在学习旋转和中心对称的相关知识时，要注意和轴对称的对比。
【知识点扫描】1、旋转是图形围绕一个定点进行的圆周运动，这个定点称为旋转中心。
旋转的三要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向。
通过旋转得到的图形一定是全等的。
2、旋转的性质：保持图形形状相同、大小相等。
对应角和线段都是相等的。
对应点到旋转中心的距离相等，但是非对应点到旋转中心的距离一般不相等。
对应点和旋转中心所成的角相等，等于旋转角，非对应点和旋转中心所成角也不一定相等。
3、中心对称是指一个图形绕一个定点旋转180度后能与另一个图形重合的对称，这个定点称为对称中心。
4、中心对称的性质：对应点到对称中心的距离相等，对应点所连成的线段过对称中心，并且以对称中心为中点。
5、中心对称是指两个图形之间的关系，这两个图形其中一个绕一点旋转180度以后能与另一个图形重合。
中心对称图形是指一个图形，这个图形绕一点旋转180度以后能与自身重合。
6、一个中心对称图形只有一个对称中心，就是它的几何中心，过对称中心的任一条直线将这个图形的面积平分。
7、绕一点旋转一个0度到180度之间的角度后能与自身重合的图形叫做旋转对称图形。
中心对称图形是旋转对称图形的特例。
8、作一个中心对称图形的对称中心，找对应点，连接，取中点。
作一个图形关于一点的中心对称图形，找关键点，连接中心点，延长一倍，连接相关对应点。
【基础检测】1．下列图形是不是中心对称图形？是不是旋转对称图形？如果是，指出对称中心。
圆平行四边形正方形等边三角形等腰梯形正五角星线段角扇形正七边形2．如果一个正多边形绕它的中心至少旋转60度才能和原来的图形重合，那么这个正多边形是【】A．正三角形B．正方形C．正五边形D正六边形3．一个四边形如果是旋转对称图形，那么它的旋转角度是【】A．90度B．180度C．270度D无法确定4．下列说法中，错误的是【】A．图形经过旋转后，对应线段、对应角都相等，并且对应线段平行B．图形经过旋转后，对应点到旋转中心的距离相等C．图形经过旋转后，对应点绕旋转中心旋转的角度大小相等D．旋转时图形中的每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转【提高练习】1、如图所示，P是正方形ABCD内一点，△ABP是经旋转能与△CBP′重合。
《中心对称图形》旋转中心对称图形
特点
中心对称图形有一个特点，就是 围绕一个点旋转180度后，能够与 原来的图形重合。这个点通常被 称为“对称中心”。
实例
常见的中心对称图形有圆形、矩形 、菱形等。
中心对称图形的性质
旋转性质
对于中心对称图形，如果我们 将其围绕对称中心旋转180度， 那么它所对应的点也会旋转180
度。
对称性质
中心对称图形的两个部分是关 于对称中心对称的，也就是说 ，如果我们将图形的两部分沿 着对称中心对折，它们会重合
04
中心对称图形和旋转中心对 称图形的实例
中心对称图形的实例
圆
圆是一种典型的中心对称图形，圆的直径是它的对称轴，圆心是 它的对称中心。
蝴蝶
蝴蝶的身体结构呈现出中心对称的特性，当它停在花朵上时，翅 膀上的花纹左右对称，给人以美的享受。
雪花
雪花是一种美丽的晶体，其结构呈现出中心对称的特性，即从中 心向各个方向扩展的形状都是相同的。
中心对称图形与旋转中心对称图形的区别
中心对称图形是对称中心两侧的图形 关于对称中心进行对称，而旋转中心 对称图形是图形围绕某一点旋转180
度后与原图形重合。
中心对称图形是一种静态的对称形式 ，而旋转中心对称图形是一种动态的
对称形式。
中心对称图形强调的是两侧图形的对 称性，而旋转中心对称图形强调的是
THANK YOU.
图形的旋转和重合。
中心对称图形与旋转中心对称图形的转化
旋转中心对称图形可以通过将中心对称图形绕其对称中心旋转180度得 到。
中心对称图形可以通过平移和翻转得到旋转中心对称图形。
在某些情况下，可以将中心对称图形转化为旋转中心对称图形，例如将 一个平行四边形绕其对角线的交点旋转180度后可以得到一个菱形，这 个菱形就是一个旋转中心对称图形。
中心对称与旋转对称性
中心对称与旋转对称性中心对称和旋转对称性是数学中的重要概念，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍中心对称和旋转对称性的概念、性质以及它们在各个领域的应用。
一、中心对称性中心对称是指图形相对于一个点对称，该点称为中心对称的中心。
可以用镜子来形象地理解中心对称性，当一个图形能够通过镜子对称地折叠在一起，那么这个图形就具有中心对称性。
中心对称的图形在平面上具有以下几个性质：1. 所有的中心对称图形都具有轴对称性。
2. 中心对称图形的任意两个对称点之间的线段都相等。
3. 中心对称图形具有封闭性，即将中心对称图形绕中心旋转180°后依然得到原来的图形。
4. 在平面上，图形的每一点和中心对称图形上的对称点的连线都会经过中心点。
中心对称性在几何学中有广泛的应用，例如建筑设计中的对称结构、艺术创作中的对称图案等。
二、旋转对称性旋转对称是指图形相对于一个点旋转180°后仍然能重合，这个点称为旋转对称的中心。
旋转对称的图形在平面上具有以下几个性质：1. 旋转对称图形的中心是对称图形的一个顶点。
2. 对于旋转对称图形上的任意两个对称点，中心到这两个点的距离相等，并且与旋转角度有关。
3. 旋转对称图形的旋转角度可以是90°、180°、270°和360°。
旋转对称性在自然界和科学中都有广泛的应用。
例如，在生物学中，一些动植物的结构具有旋转对称性，如蝴蝶的图案和植物的花瓣排列；在物理学中，旋转对称性被广泛应用于分子结构的研究和晶体的对称性分析。
三、中心对称与旋转对称的关系中心对称和旋转对称是密切相关的概念，事实上，中心对称图形可以看作是一个旋转对称中心位于无穷远处的特殊情况。
具体来说，中心对称的图形经过180°旋转后可以得到自身，也就是说，中心对称图形具有旋转对称性。
中心对称和旋转对称的关系可以通过以下几个例子来理解：1. 正方形是具有中心对称性的图形，它的中心对称中心位于图形的中心，同时也是它的一个旋转对称中心。
数学中的正多边形与对称性
数学中的正多边形与对称性在数学中，正多边形是一种特殊的几何图形，它具有旋转对称性、对称轴对称性和中心对称性等多种对称性质。
本文将探讨正多边形与对称性之间的关系，并介绍它们在数学中的应用。
一、正多边形的定义和性质正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形。
例如，正三角形、正四边形（也称正方形）、正五边形等都属于正多边形。
正多边形的对称性是由其特殊的几何属性决定的。
1. 旋转对称性正多边形具有旋转对称性，即绕其重心可以将其旋转至与原来位置重合。
以正三角形为例，将其绕重心旋转120°，可以得到与原来位置相同的图形。
这是因为正多边形的内角和为360°，所以每旋转一次，图形会恢复原状。
2. 对称轴对称性正多边形还具有对称轴对称性，即将其分为两半，其中一半可以通过某条对称轴与另一半完全重合。
以正方形为例，其对角线是其对称轴，将正方形沿对角线折叠后可以完全重合。
同样地，正五边形、正六边形等也都存在对称轴对称性。
3. 中心对称性正多边形具有中心对称性，即以其重心为中心作对称变换，可以得到与原图形完全重合的图形。
以正五边形为例，将其绕重心进行中心对称变换后，可以得到与原来位置完全重合的图形。
这也说明正多边形的重心是其中心对称轴上的一个点。
二、正多边形与对称性的应用正多边形与对称性在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍其中两个重要的应用领域。
1. 几何学与建筑学正多边形在几何学和建筑学中被广泛应用。
例如，建筑中常见的正方形或正六边形的砖块就利用了正多边形的对称性，在拼接时可以达到更好的效果。
此外，建筑中的柱子、门窗等也常常采用正多边形的形状，以增加美观性和稳定性。
2. 组合数学正多边形在组合数学中也有重要的应用。
例如，正多边形的排列组合问题被广泛研究，著名的二项式定理就与正多边形的内部结构密切相关。
此外，正多边形的对称性还可以用于解决组合数学中的计数问题和排列问题。
三、结语正多边形是数学中一类特殊的几何图形，具有旋转对称性、对称轴对称性和中心对称性等多种对称性质。
旋转对称图形与中心对称图形zhjy
旋转对称图形与中心对称图形【知识要点】1.旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。
旋转的较多叫做旋转角。
2．中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
3．中心对称图形是特殊旋转图形，它的旋转角只能是，而选择对称图形的旋转角在之间均可。
4．旋转对称图形和中心对称图形研究的是一个图形，是指一个图形的两个部分之间的关系。
【典型例题】1. 旋转对称图形【例1】如图所示，下列图形中是旋转对称图形的是（ ）。
（） （） （） （） 图【分析】本题考查的是旋转对称图形的识别。
在分析时，注意所给图形是否存在一点，将该图形绕该点旋转一定角度后，旋转后的图形能否与原图形重合，分析这四个选项中只有、选项所示图形能与绕起中心旋转后的图形重合。
【解答】选（）、（）。
【例2】下列四幅图形都是旋转对称图形，其中一个与其他三个不同的是（ ）（A ） （B ） （C （D ）【分析】既然以上四个图形都是旋转对称图形，并从中找出不同的一个，那么我们只能从旋转角度上去寻找，、、可以绕一点旋转后能与自身重合。
而可以围绕一点旋转也能与其自身重合，因此可见旋转角度不同。
【解答】选（）。
2. 中心对称图形【例3】线段、角、三角形平行四边形、长方形、正方形、圆是中心对称图形吗？如果是，那么对称中心在哪里？ 【分析】中心对称图形的对一个图形而言的，是指一个图形的两个部分之间的关系，中心对称图形的对称点在一个图形上。
如果能找到一个点，经过旋转后能与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形。
【解答】角、三角形不是中心对称图形，线段、平行四边形、长方形、正方形、圆都是中心对称图形。
线段的中心是它的对称中心，平行四边形、长方形、正方形的对角线的交点是它的对称中心，圆的圆心是它的对称中心。
【例4】如图所示的风车叶片中，是中心对称图形的有（ ）图（）个 （）个 （）个 （）【分析】旋转对称图形与中心对称图形容易混淆。
旋转知识点
旋转知识点知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
）2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
3．中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
4.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
一、精心选一选1．下面的图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．平面直角坐标系内一点P （－2,3）关于原点对称的点的坐标是 （ ）A ．（3，－2）B ． (2,3）C ．（－2，－3）D ． (2，－3）3．3张扑克牌如图1所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（ ）A ．第一张B ．第二张C ．第三张D ．第四张 4．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）5．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ） A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB 为对称轴作轴对称A BC A B C DC ．绕AB 的中点旋转1800，再以AB 为对称轴作轴对称 D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格6．从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三组的一组是（ ）A ．A N E GB ．K B X NC ．X I H OD ．Z D W H7．如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对8．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）A ︒30B ︒45C ︒60D ︒909．如图所示，图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的个数是（ ） A ．l 个 B ．2个C ．3个D ．4个20．如图，ΔABC 和ΔADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠ADE都是直角，点C 在AE 上，ΔABC 绕着A 点经过逆时针旋转后能 够与ΔADE 重合得到图7，再将图23—A —4作为“基本图形”绕 着A 点经过逆时针连续旋转得到图7.两次旋转的角度分别为（ ）A ．45°，90°B ．90°，45°C ．60°，30°D ．30°，60二、耐心填一填3．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被_____________平分.2．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____________． 3．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是_____________． 4．如图，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB ′C ′，则△ABB ′是 三角形.5．已知ａ＜0，则点Ｐ（ａ2，－ａ＋3）关于原点的对称点Ｐ1在第＿＿＿象限6．如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD ＝90°，则∠D 的度数是 ．A BCDEA BCDE7．如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是＿＿＿.8．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD＝ 。
第一讲图形的旋转、中心对称与中心对称图形.doc
第一讲图形的旋转、中心对称与中心对称图形1.1 图形的旋转一、知识点1．旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2．旋转的性质：（1）旋转前后图形的大小和形状没有改变，旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段的长度、对应角的大小相等3．旋转作图：旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。
二、典型例题例1．下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）例2．如图,△ABC为等边三角形,D是△ABC内一点,若将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置,则旋转中心是______,旋转角等于______△ADP是______三角形。
例3．如图，将△ ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 40 °得△ A ′ B ′ C ，若 AC ⊥ A ′ B ′，则∠ BAC等于（）A. 50 °B. 60 °C. 70 °D. 80 °例4．△ABC在方格中的位置如图所示．（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系,使得A 、B 两点的坐标分别为A （2,﹣1）、B （1,﹣4）．并求出C 点的坐标。
（2）作出△ABC 关于横轴对称的△A 1 B 1 C 1 ,再作出△ABC 以坐标原点为旋转中心、旋转180°后△A 2 B 2 C 2 ,并写出C 1 ,C 2 两点的坐标。
例5．如图,在直角坐标系中,已知点A(−3,0),B(0,4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③， ④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为_________________．三、课堂练习1．下列现象属于旋转的有（ ）个．（1）方向盘的转动；（2）钟摆的运动；（3）荡秋千运动；（4）传送带的移动． A.1 B.2 C.3 D.42．如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法（ ）①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④4．如图，该图形绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） A.72° B.108° C.144° D.216°5．如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是( )第（4）题图6．正方形绕中心至少旋转________度后能与自身重合．7．如图，在等边三角形ABC 中，AB=6，D 是BC 上一点，且BC=3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则CE 的长度为________．8．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过________次旋转而得到，每一次旋转_______度．9．如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB上，连接BB ′，则∠BB ′C ′=________度．10．如图，在△ABC 中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′=________. 四、课堂小结五、课后作业1．如图,△ABC 以点A 旋转中心,按逆时针方向旋转60∘得到△AB ′C ′,则△ABB ′是（ ）三角形。
《中心对称》旋转
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目录
• 中心对称旋转的定义 • 中心对称旋转的性质 • 中心对称旋转的应用 • 中心对称旋转的实例 • 中心对称旋转的意义 • 中心对称旋转的挑战与未来发展
01 中心对称旋转的 定义
中心对称的定义
定义
对于一个平面图形，如果存在一个点，使得图形围绕这个点旋转180度后与原 图重合，那么这个点称为图形的中心对称点，这种图形称为中心对称图形。
圆形、球体和轮胎
01 02
圆形
一个圆形的物体绕其中心旋转时，不论从哪个角度看，它都是相同的形 状和方向。例如，一个车轮在行驶时，不论从哪个角度看，它都是向前 滚动的。
球体
球体也是中心对称的，当它绕其中心旋转时，不论从哪个角度看，它都 是相同的形状和方向。例如，地球的自转就是绕其中心旋转的。
03
轮胎
数学中有很多关于对称性的研究，如代数几何、拓扑 学等。中心对称旋转在数学领域的研究对于解决一些 数学难题有着重要的意义。
对称与量子力学的研究
量子力学中的对称性
量子力学是研究物质和能量基本组成的理论，而对称性 是量子力学中一个非常关键的概念。对对称性的研究有 助于深入理解量子现象和量子力学的基本原理。
雪花是自然界中最著名的中心对称物体之一 。每一片雪花的形状都是独特的，但是它们 都呈现出中心对称的结构。这种结构使得雪 花在各种不同的温度和湿度条件下都能够保
持其美丽和完整的形态。
DNA结构和病毒
DNA结构
DNA（脱氧核糖核酸）是生物体的遗传物质，它的双 螺旋结构也是中心对称的。这种结构保证了DNALeabharlann 细 胞内能够稳定地存在并传递遗传信息。
轮胎的设计也是中心对称的，当轮胎在路面上滚动时，不论从哪个角度
旋转对称图形和中心对称图形
§11.3旋转对称图形与中心对称图形
教学目标：
1．在探究旋转对称图形和中心对称图形的概念过程中，感受从一般到特殊的研究问题方法．2．理解旋转对称图形和中心对称图形的区别和联系．
3．感受旋转对称图形和中心对称图形在生活中的应用，体会数学的价值．
教学重点和难点：
探究旋转对称图形和中心对称图形的概念形成过程．
二、新知探索
师：我们把具有这个特征的图形叫做旋
转对称图形．
问：你能说出什么是旋转对称图形吗？
师生共同总结：
归纳：请比较旋转对称图形和中心对称图形的异同．
练习：课本P102第2、3题
三、拓展应用
1．在一次游戏当中，小明将下面图(1)的四张扑克牌中的一张旋转180o后，得到图(2)，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？
图(1)
(2)
．如图是由两个等边三角形拼成的图形．
这个图形是不是旋转对称图形
是中心对称图形?若是指出对称中心．若三角形ACD旋转后能与三角形
重合．那么图形所在的平面上可以作为
哪些
称图形，
中
形？
图形（2）是旋转对称图形，
也是中心对称图形．它的旋
转中心是对角线的交点O
图形（3）是旋转对称图形，
也是中心对称图形．它的旋
转中心是对角线的交点O
图形（4）是旋转对称图形，
但不是中心对称图形．它的
解答
答：这个图形是旋转对称图
形，最小的旋转角是120︒．旋转对称图形和旋转角
3．如图，如果四边形CDEF
ABCD重合，那么图
2．画一个旋转角是的旋转对称图形．。
数学旋转中心对称知识点总结
数学旋转中心对称知识点总结GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-旋转、中心对称知识点总结一、旋转知识点一、旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二、旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三、利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。
二、中心对称知识点一、中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二、作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。
知识点三、中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
旋转对称和中心对称
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：韩老师授课时间：年月日(星期)本次课授课内容旋转对称一．课前准备1、如果一个图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身，那么这个图形就叫做。
2、请说出数学中你熟悉的三个旋转对称图形（1）、（2）、（3），并回答分别至少旋转多少度后能与自身重合。
3、旋转任意角度都能与自身重合的图形是。
例1、观察下列图形，其中不是旋转对称图形的有（）X(1)(2)(3)C(4)例2、如下图，它们绕哪一个点至少旋转多少度能与自身重合？（右图考虑颜色）例3、如下图（1）、（2），请问：（l）它们是不是旋转对称图形？（2）若是，旋转中心在何处，需要旋转多少度后，能与自身重合？（3）它们是轴对称图形吗？（1）（2）例4、如右图，画△ABC和过点P的两条直线PQ、PR。
画出△ABC关于PQ对称的三角形△A′B′C，再画出△A′B′C 关于PR对称的三角形△A′′B′′C′′。
观察△ABC和△A′′B′′C′′，你能发现这两个三角形有什么关系吗？中心对称1、中心对称的定义：一个图形绕着某一点旋转后能与另一图形重合，那么，我们就说这两图形成中心对称图形。
这个点就是它们的对称中心。
定义中的三个要点:(l)有一个对称中心——点;(2)图形绕中心旋转180度;(3)旋转后与另一图形重合。
2.中心对称的性质：中心对称的两个图形具有如下性质:(1)关于中心对称的两个图形;(2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都过,并且被平分.3.中心对称图形???把一个图形绕某一点旋转后,如果旋转后的图形能够和原来的图形,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的.中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
4.中心对称与中心对称图形之间的关系：区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。
（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。
B旋转对称图形、中心对称中心及中心对称
学科教师辅导讲义三、巩固练习议一议：在一次游戏当中,小明将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180O后,得到右图，小亮看完很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？看一看：在26个英文大写正写字母中，哪些字母是中心对称图形？说一说：说出下列各组图形中的旋转中心和旋转角（阴影部分为旋转后的图形）做一做：1、对等腰直角三角形ABC进行如下的图形变换,请同学们想象每一个点的对应点落在什么位置.（1）以点B为旋转中心,顺时针旋转90度.（3）以点B为旋转中心,逆时针旋转45度.（3）以点A为旋转中心,逆时针旋转45度.（4）以点AC中点为旋转中心,逆时针旋转180度. CBAEDB AC（1）FEDCBA（3）CABD（2）2、如图，哪些是中心对称图形？指出最小旋转角。
四、小结今天我们复习了旋转对称图形和中心对称图形，要熟练掌握它们的概念以及它们的联系与区别，并会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形。
中心对称一、复习引入问题：三角形是不是中心对称图形？[说明]这里教师强调任何三角形都不是中心对称图形，既旋转180°后都不可能与本身重合，然后话锋一转，看这个三角形绕O 旋转180°后发生了什么？二、知识梳理1、中心对称的意义中心对称的概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，中心对称是旋转角为180°的旋转对称。
[说明]强调中心对称图形只是一个图形本身的性质，而中心对称是指两个图形之间的关系。
2、指出上图中的对应点、对应线段、对应角。
2、探寻特征：左图是一幅中心对称图形，O 是对称中心，你还可以怎么看？ [说明]问这个问题再次说明中心对称图形与中心对称这两者之间的联系。
请你找出点A 绕点O 旋转180°后的对应点B ；点C 的对应点D 在哪里？怎么找得？ 你能很快的找到点E 的对应点F 吗？3、总结概括中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
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旋转对称和中心对称
乐学教育学员个性化教学辅导教案
学科: 数学任课教师：韩老师授课时间：年月日(星期 )
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本次课授课内容
旋转对称
一．课前准备
1、如果一个图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身，那么这个图形就叫做。
2、请说出数学中你熟悉的三个旋转对称图形（1）、（2）、
（3），并回答分别至少旋转多少度后能与自身重合。
3、旋转任意角度都能与自身重合的图形是。
例1、观察下列图形，其中不是旋转对称图形的有（）
(1) (2) (3) C (4) X
例2、如下图，它们绕哪一个点至少旋转多少度能与自身重合？（右图考虑颜色）
例3、如下图（1）、（2），请问：
（l）它们是不是旋转对称图形？
（2）若是，旋转中心在何处，需要旋转多少度后，能与自身重合？
（3）它们是轴对称图形吗？
（1）（2）
例4、如右图，画△ABC和过点P的两条直线PQ、PR。
画出△ABC关于PQ对称的三角形△A′B′C，
再画出△A′B′C关于PR对称的三角形△A′′B′′C′′。
观察△ABC和△A′′B′′C′′，你能发现这两个三角形有什么关系吗？
中心对称
1、中心对称的定义：
一个图形绕着某一点旋转后能与另一图形重合，那么，我们就说这两图形成中心对称图形。
这个点就是它们的对称中心。
定义中的三个要点:(l)有一个对称中心——点;(2)图形绕中心旋转180度;(3)旋转后与另一图形重合。
2.中心对称的性质：中心对称的两个图形具有如下性质:
(1)关于中心对称的两个图形 ;
(2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都过 ,并且被平分.
3.中心对称图形
把一个图形绕某一点旋转后 ,如果旋转后的图形能够和原来的图形 ,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的 .
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
4.中心对称与中心对称图形之间的关系：
区别：
（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。
（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。
联系：
若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形。
当堂训练
知识点1：中心对称
1.如右所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有
（）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
知识点2：中心对称图形
2.下列图形中，不是中心对称图形的是（）
3.（09兰州）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
4.（09哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．
5．判断题
（1）如果一个图形绕某个点旋转，能与另一个图形重合，•那么这两个图形组合在一起就是一个中心对称图形；（）
（2）中心对称图形一定是轴对称图形．（）
5.轴对称图形与中心对称图形：
6.轴对称与中心对称：
知识点3.轴对称与旋转中心
6、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）
7、判断下列图形：线段、正三角形、圆、平行四边形、长方形、正方形、菱形、等腰梯形。
⑴是轴对称图形的有；
⑵是中心对称图形的有；
⑶既是中心对称图形，又是轴对称图形的有。
8、在纸上写下这5个大写的英文字母，观察它们：A C F H N
⑴是轴对称图形的有；
⑵是中心对称图形的有；
⑶既是中心对称图形，又是轴对称图形的有。
9、游戏:大家将如图所示的四张纸牌旋转180°后，看哪一张跟原来不一样？
7.画一个图形关于某一点成中心对称图形
画一个图形关于某一点成中心对称图形时，与画平移和旋转时的图形一样，关键是画出已知图形中有关特殊点的对称点
10、作三角形关于点成中心对称的图形
已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF与△ABC关于O 成中心对称。
11.如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心点O
B'
·O
C
B
A
A
B
C
D
E
F
12：如图，已知ΔABC 是直角三角形，BC 为斜边。
若AP=3，将ΔABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ΔACP ′重合，求PP ′的长。
13：AC=BD ，∠A=∠B ，点E 、F 在AB 上，且DE ∥CF ，试说明图形是中心对称图形的理由。
143、在等腰三角形ABC 中，∠C=90°，BC=20㎝，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B 落在B ′处，那么点B ′与点B 原来位置相距____________．
P
P
C
B
A
O
C
课后巩固复习：作业_________题
一、选择题
1.（09内江）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）
.
2.用一副扑克牌做实验，选其中的黑桃5和方块4，其中是中心对称图形的有（ ） A ．方块4 B ．黑桃5 C ．方块4或黑桃5 D ．以上都不对
3.下列几何图形中：①两条互相平分的线段；②两条互相垂直的直线；③两个有公共顶点的角；④两个有一条公共边的正方形．其中是中心对称的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4.（09锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
5.(09牡丹江)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
6.（09台州）单词NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A ．N B ．A Ｃ．M D ．E 二、填空题
7
．如图，以左边图案的中心为旋转中心，将图案按 方向旋转 即可得到左边图案。
8．如图，绕着中心最小旋转 能与自身重合。
9．△ABC 和△DCE 是等边三角形，则在此图中， △ACE 绕着 点 旋转 度可得到△ 。
10. 如图，△ABC 按逆时针方向转动了80°后成为△A B C '''，已知∠B ＝60° ∠C ＝55°，那么∠BA C '＝________°
第
第
A
D
11．如果一个正多边形绕它中心旋转60
°后，能与原来
的图形重合，那么这个多边形是______________
12．如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，
点O是正方形ABCD的对称中心，则图中阴影部分
的面积为．
三．判断题
（1）三角形一定不是中心对称图形（）
（2）中心对称图形的对称中心是唯一的（）
（3）如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定是平行四边形（）（4）一个四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，则这个四边形一定是矩形（）（5）如果关于中心对称的两个图形只有一个交点，那么这个点一定是对称中心（）
四、操作题
1、如下图，作出四边形ABCD关于点O的对称图．
2、如图△DEF与△ABC 成中心对称，请找出它的对称中心
F
E
D
A
B
C
五、解答题
1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DF=CF，连结AF并延长交BC延长线于点E. （1）图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
（2）四边形ABCD的面积与图中哪个三角形的面积相等？
（3）若AB=AD＋BC，∠B=70°，试求∠DAF的度数.
2．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，
①若△BCD的周长为8，求BC的长；
②若BC=4，求△BCD的周长．
预习布置：B C
D E
A。