高考数学充分条件与必要条件-P
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
高中数学充分条件和必要条件
第8讲：充分条件和必要条件【知识点梳理】知识点：充分条件与必要条件【考点解析】考点一：充分条件的判断例1．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件变式训练1：“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：2x =是260x x +-=的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件变式训练3：设x ∈R ，则“2230x x --<”是“13x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练4：使得()20x y -=成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．20x y +-= B ．22(2)0x y +-= C ．221x y +=D ．0x =或2y =考点二：必要条件的判断例2．已知a ，b ，c 是实数，则下列命题是真命题的（ ） A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件 C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件 D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件变式训练1：若a R ∈，则“1=a ”是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件变式训练2：“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练3：已知a ，b ，R c ∈，则“a b >”是“22ac bc >”成立的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件变式训练4：使得“1x >”成立的一个必要且不充分的条件是（ ） A ．21x >B ．3 1x >C ．11x> D ．2x >考点三：充分条件与必要条件（一）例3．华夏文明五千多年，孕育出璀璨的诗歌篇章，诗歌“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”一句引自王昌龄的《从军行七首（其四）》，楼兰，汉时西域国名．据《汉书》载：汉武帝时，曾使通大宛国，楼兰王阻路，攻截汉朝使臣．汉昭帝元凤四年（公元前77）霍光派傅介子去楼兰，用计斩杀楼兰王．唐时与吐蕃在此交战颇多，王昌龄诗中借用傅介子斩楼兰王典故，表明征战将士誓平边患的决心．那么，“不破楼兰终不还”中，“还”是“破楼兰”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练1：老师经常说“努力不一定成功，但是不努力一定不会成功”，若这句话是真命题，则“努力”是“成功”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：为促进离汉人员安全有序流动，统筹推进疫情防控和复工复产复学，国务院联防联控机制日前印发《关于做好离汉人员新冠肺炎检测和健康管理服务工作的通知》，重点人群离汉前按照“应检尽检”原则进行新冠病毒核酸检测，离汉人员到达目的地后满足相应条件即可正常复工复产复学.这里的“相应条件”是“正常复工复产复学”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点四：充分条件与必要条件的应用（二）例4．已知,a b R ∈，那么“1a b +>”是“221a b +>”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练1：如果2:2,:4,p x q x >->则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：如果p 是q 的必要不充分条件，q 是r 的充要条件，r 是s 的充分不必要条件，那么p 是s 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件考点五：充分条件与必要条件的应用（三）例5．已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{}2a a <- B ．{}2a a >-C ．{}21a a -<≤D ．{}1a a ≥变式训练1：若“14x ≤≤”是“4a x a ≤≤+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a ≤B ．0a ≤或1a ≥C ．01a <<D ．01a ≤≤变式训练2：已知条件12p x +≤：，条件q x a ≤：，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．3a ≤﹣变式训练3：已知:11p m x m -<<+，()():260q x x --<，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．35m <<B ．35m ≤≤C ．5m >或3m <D ．5m >或3m ≤考点六：充分条件与必要条件的应用（四）例6．已知集合{}211A x m x m =-<<+，{}24B x x =<. （1）当2m =时，求AB ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.变式训练1：已知集合{}12A x x =-<<，{}|1120B x m x m m =-<<+>，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围变式训练2：已知集合{14}M xx =-<<∣，{0}N x x a =->∣． （1）当1a =时，求M N ⋂，M N ⋃;（2）若x M ∈是x ∈N 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【课堂检测】1、“5x =”是“2450x x --=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2、设a R ∈，则“23a <<”是“2560a a --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、设命题甲为“03x <<”，命题乙为“12x -<“，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设R a ∈，则“a >22a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5、“04a <<”是“210ax ax ++>对x ∈R 恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、若“x a >”是“13x<”的一个充分不必要条件，则下列a 的范围满足条件的是（ ） A ．2a > B ．102a <<C ．13a <-D ．13a -<<7、若“2x >”是“x a >”的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{|2}a aB ．{}|2a a ≤C ．{}|2a a >D ．{|2}a a ≥8、“三角形ABC 为锐角三角形”是“A ∠为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、设,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的必要不充分条件是（ ） A ．1a b <+B ．1a b <-C ．22a b <D ．33a b <10、设集合{}|2M x x =>，{}|6P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11、使不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x ≥或2x -≤ B ．0x <或2x > C ．1x <-或4x >D ．12x ≤-或3x ≥12、使()f x = ）A ．16x -≤≤B ．13xC ．26x -<<D ．61x -<<13、不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0x ≥ B ．0x <或2x > C ．2x <-D ．12x ≤-或3x ≥14、王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15、盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16、唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件17、2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18、2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19、“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分条件D．必要条件20、钱大姐常说“好货不便宜”，她这话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件21、除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22、已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥23、已知:12p x +≥，:q x a ≥，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a >C ．3a ≥-D ．3a >-24、若1x a -<成立的充分不必要条件是312x <<，则a 的取值范围（ ） A ．122a <<B ．122a ≤≤ C ．12a ≤或2a ≥D ．12a <或2a >25、已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．112a -<≤-C ．112a -<≤ D ．112a -≤<26、设p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．102a <<B ．102a ≤≤C ．102a ≤<D ．102a <≤27、已知条件p ：2230x x --≤，条件q ：x a ≤，若p 是q 的充分非必要条件，利用教材中《子集与推出关系》的方法，求出实数a 的取值范围.28、设{|1A x x =≤或4},{|22}x B x a x a ≥=-<<. （1）若AB R =，求实数a 的取值范围；（2）设:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.。
高考数学一轮复习第一章第二讲充分条件与必要条件课件
p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
2.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “p⇒q”则“q⇐ p”.
(2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要) 条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”，则“p⇒r” (“p⇐ q 且 q⇐ r”，则“p⇐ r”).
第二讲 充分条件与必要条件
1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系. 3.理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
答案：[0，3]
【考法全练】
1.(考向 1)(2023 年潮南区开学)已知复数 z1＝4－7i，z2＝m＋
2i(m∈R)，zz21在复平面内所对应的点位于第三象限的一个充分不必 要条件是( )
பைடு நூலகம்
A.m＜－2
B.m<－87
C.－87<m<27
D.m<27
解析：根据题意，得zz12＝m4－＋72ii＝4m6－5 14＋8＋657mi，故在复平
C 相交”的充分不必要条件.故选 A. 答案：A
答案：A
2.(2023 年高州市二模)已知直线 l：y＝kx 与圆 C：(x－2)2＋
(y－1)2＝1，则“0<k< 33”是“直线 l 与圆 C 相交”的(
高中数学讲义充分条件与必要条件
微专题02充分条件与必要条件一、基础知识1、定义:（1）对于两个条件p,q，如果命题“若p则q”是真命题，则称条件p能够推出条件q，记为p q，（2）充分条件与必要条件：如果条件p,q满足p q，则称条件p是条件q的充分条件；称条件q 是条件p的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p则q”的真假，也要判断“若q则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p能推出q，但q推不出p，则称p是q的充分不必要条件（2）p推不出q，但q能推出p，则称p是q的必要不充分条件（3）p能推出q，且q能推出p，记为p q，则称p是q的充要条件，也称p,q等价（4）p推不出q，且q推不出p，则称p是q的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判_ 2断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。
例如p: x 1;q : x 1 0,构造命题：“若2 9x 1，则x 1 0 ”为真命题，所以p q，但“若x 1 0 ,则x 1 ”为假命题（x还有可能为1），所以q不能推出p ;综上，p是q的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系①充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。
在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p就可以得到结论q，而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例，对于条件p： x 1，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到q： x2 1 0所以可以说p对q是“充分的”，而反观q对p，由q:x2 1 0，要想得到p : x 1，还要补充一个前提：x不能取1，那既然还要补充，则说明是“不充分的”②必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。
高考数学《充分条件与必要条件》
【课标要求】
【考情分析】
1.理解必要条件、充分条件、充要 条件的意义．
2．能根据定义和集合转化法进行 充分性、必要性的判断.
本节常以其他知识为载体，考查 一个命题是另一个命题的什么条件， 或求一个命题的充要条件、充分不必 要条件、必要不充分条件，或已知充 分(必要)条件求参数的取值范围等.
B＝{x||x＋a|＜1}． (1)若 a＝3，求 A∪B； (2)设 p：x∈A，q：x∈B，若 p 是 q 成立
的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
板书
【答案】(1){x|－4＜x＜1} (2)[0，2]
【解析】集合 A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－1－a＜x＜1－a}. (1)当 a＝3 时，B＝{x|－4＜x＜－2}， 所以 A∪B＝{x|－4＜x＜1}.
Δ1＝a2－4<0. Δ3＝4a2－4(3a＋4).若三个方程均无实根，需满足 Δ2＝（a－1）2－64<0， 解得
Δ3＝4a2－4（3a＋4）<0， －2<a<2， －7<a<9，所以－1<a<2. －1<a<4，
所以三个方程至少有一个方程有实根的充要条件为 a≤－1，或 a≥2.
【跟踪反馈】 已知 a，b 都是正整数，则 a＋b>ab
又当 a＝－2，b＝－1 时，ln
1a，ln
1b无意义，故 a2>b2⇒要性不成立.
综上，“ln
1 a<ln
1b”是“a2>b2”的充分不必要条件，故选 C.
(2)由题意易知，当 m＝0 时，不等式不成立；
因为当 m≠0 时，mx2－2x＋1＞0 的解集为 R，
人教高中数学充分条件与必要条件PPT完美版
探求充分条件、必要条件的步骤
(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到 使结论成立的充 要条件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成 立的必要不充分 条件或充分不必要条件.
例1：下列条件中,使不等式组
分不必要条件是 ( A )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.p是q的充分条件是指p成立可以充分保证q成立,但即使q成立,p也未必成立. (√ ) 2.p是q的必要条件是指“要使p成立,必须要使q成立”,也就是说“若p不成立,则 q一定不成立”. ( ✕ ) 3.三角形相似是三角形全等的必要条件. ( √ ) 4.p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同. ( √) 5.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. ( √ ) 6.“A∩B是空集”是“A与B均是空集”的充要条件.( ✕ )
要条件. (2)当条件和结论是不等式时,可以利用集合间的关系判断充 分性和必要性.
充分条件、必要条件的证明与探究
充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p⇒q”为真,又要证 明“q⇒p”为真,
前者证明的是充分性,后者证明的是必要性. (2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行 等价转化,注意转 化过程中必须保证前后是能互相推出的.
充分条件、必要条件和充要条件的判断
观察下面4个电路图.
问题 1.①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 提示:充分不必要. 2.②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 提示:必要不充分. 3.③中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 提示:充要. 4.④中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 提示:既不充分也不必要. 5.将①中开关A与灯泡B位置互换,开关C始终是断开状态,结论变吗? 提示:结论变,变为充要.
高中数学《充分条件与必要条件》课件
课前自主预习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
充分条件与必要条件 命题真假
“若 p，则 q”是真 “若 p，则 q”是假
命题
命题
推出关系 条件关系
p □01 ⇒ q p 是 q 的 □03 充分
条件
q 是 p 的 □04 必要
条件
p □02 ⇒/ q p □05 不是 q 的充
(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根； (2)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
解 (1)当|a|≥2 时，如 a＝3，则方程 x2＋3x＋6＝0 无实根，而方程 x2＋ ax＋a＋3＝0 有实根，则必有 a≤－2 或 a≥6，可推出|a|≥2，故 p 不是 q 的 充分条件，且 p 是 q 的必要条件．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 2 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围 例 2 已知集合 A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题 p：
x∈A，命题 q：x∈B，并且綈 p 是綈 q 的必要条件，求实数 m 的取值范围．
课前自主预习
课堂互动探究
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)a＋b＝0⇒/ a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故 p 不是 q 的充分条件， 且 p 是 q 的必要条件．
(3)四边形的对角线相等⇒/ 四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对 角线相等，故 p 是 q 的充分条件，且 p 不是 q 的必要条件．
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.设为非零实数，则:是:成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴或．若成立，不一定成立，如取，反之成立，故是的必要不充分条件，故选B【考点】充分必要条件．2.已知a∈R,且a≠0,则是“a>1”的( ).A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由或.所以是“a>1”的必要不充分条件.故选B【考点】1.分式不等式的解法.2.充要条件.3.中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，由余弦定理得，，故，即，所以是等腰三角形，反之，当是等腰三角形时等腰三角形时，不一定有，故“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件．【考点】1、余弦定理；2、充分必要条件.4.条件p：<2x<16,条件q：(x+2)(x+a)<0,若p是q的充分而不必要条件,则a的取值范围是()A．(4,+∞)B．[-4,+∞)C．(-∞,-4]D．(-∞,-4)【答案】D【解析】由<2x<16,得2-2<2x<24,即-2<x<4.由p⇒q而q p可得(x+2)(x+a)<0⇒-2<x<-a且-a>4得a<-4,故选D.5.（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．6.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0.故具备必要性．故选C.7.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，选A.8.已知向量，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题知，，则，即，故是的充分不必要条件.【考点】充分条件和必要条件.9.“方程有实数根”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】【解析】由方程有实数根，知；由，成立，所以，方程有实数根，即“方程有实数根”是“”的必要不充分条件，故选．【考点】充要条件10.设向量，则“∥”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】∥的充要条件是，因此本题选B．【考点】充要条件．11.设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数在上是减函数，则；函数在上是增函数，则，则，因此“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分而不必要条件，故选A.【考点】1.函数的单调性；2.充分必要条件12.命题且满足.命题且满足.则是的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得，，即，故，反之也成立，故是的充要条件．【考点】充要条件的判断．13.“”是“”的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由显然可得，而当时，对应的角有无数多个，比如，所以答案是B.【考点】（1）充要条件；（2）三角函数.14.设则是“”成立的.( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【解析】，，由于，因此应选C．【考点】解不等式，充要条件．15.“”是“直线与直线互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当两直线垂直时，解得或。
2020高考数学第一章 第二节 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词突破点一充分条件与必要条件[基本知识]1．充分条件与必要条件的概念qq2.A BB A[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件．()答案：(1)√(2)√(3)×二、填空题1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)．答案：充分不必要2．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件．答案：必要不充分3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________条件．解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立， 反之无法得到x >0，y >0.因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分4．设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．解析：由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，故p 是t 的充分不必要条件，r 是t 的充要条件．答案：充分不必要 充要[全析考法]考法一 充分条件与必要条件的判断[例1] (1)(2018·北京高考)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(2)由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1， 即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． [答案] (1)B (2)A[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法考法二 根据充分、必要条件求参数范围[例2] (2019·大庆质检)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)[解析] 由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q 的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故选D.[答案] D [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[集训冲关]1.[考法一]已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若π2<θ<π，则cos θ<0，所以m ·n <0；若θ＝π，则m ·n＝－|m |·|n |<0.故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.2.[考法一]已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＝7π3，β＝π3均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－5π3，β＝π6均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.3.[考法二]设M 为实数区间，a >0且a ≠1，若“a ∈M ”是“函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M 可以是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选D 由函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增可知0<a <1，由题意及选项知区间M 可以是⎝⎛⎭⎫0，12.故选D. 突破点二 全称量词与存在量词[基本知识]1．全称量词和存在量词[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．( ) (2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．( ) (3)“三角形内角和是180°”是全称命题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．(2019·东北育才检测)已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则命题p 的否定是________________________．答案：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤02．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________________________.答案：特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥03．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：由题意，原命题等价于sin x ≤m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上恒成立， 即y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值小于或等于m ， 又y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为22， 所以m ≥22，即m 的最小值为22. 答案：22[全析考法]考法一 全(特)称命题的否定[例1] (1)(2019·陕西部分学校摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1(2)(2019·丹东期末)命题“∃x >0，使得ln x >0”的否定为( ) A ．∀x >0，均有ln x ≤0 B ．∀x ≤0，均有ln x ≤0 C ．∀x >0，均有ln x <0 D ．∃x >0，均有ln x ≤0 [解析] (1)∵xx －1>0，∴x <0或x >1， ∴xx －1>0的否定是0≤x ≤1， ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”．故选B.(2)根据特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x >0，使得ln x >0”的否定为：∀x >0，均有ln x ≤0.故选A.[答案] (1)B (2)A [方法技巧]全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考法二 全(特)称命题的真假判断[例2] (2019·西安质检)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，sin 2⎝⎛⎭⎫x 03＋cos 2⎝⎛⎭⎫x 03＝13 B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1[解析] ∀x ∈R ，均有sin 2⎝⎛⎭⎫x 3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x 3＝1，故A 是假命题； 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，sin x ≤cos x ，故B 是假命题； ∵方程x 2＋x ＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0， ∴x 2＋x ＋2＝0无解，所以∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2是假命题，故C 是假命题； 令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0恒成立，则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，即∀x∈(0，＋∞)，e x>x＋1.故选D.[答案] D[方法技巧]全(特)称命题真假的判断方法考法三根据全(特)称命题的真假求参数[例3](2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)[解析]当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.[答案] C[方法技巧]根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[集训冲关]1.[考法一]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是()A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2解析：选C根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2”．故选C.2.[考法二]下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0解析：选D当x0＝1时，lg x0＝0，当x0＝0时，tan x0＝0，因此∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.3.[考法一、二]已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.故应选B.4.[考法三]已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．[0,4] C．[4，＋∞) D．(0,4)解析：选D因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4，故选D.。
高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件第1章集合与常用逻辑用语-第2节命题及其关系、充分条件与必要条件p
4．(2015·重庆卷)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若 x＝1，则 x2－2x＋1＝0；若 x2－2x＋1＝0，即 (x－1)2＝0，则 x＝1.故选 A.
答案：A
5．设 x∈R，则 x>2 的一个必要不充分条件是( )
2．(2015·山东卷)设 m∈R，命题“若 m>0，则方程 x2 ＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是( )
A．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0 B．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0 C．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m>0 D．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0
A．m<4
B．m>4
C．0<m<4
D．0≤m<4
【解析】 (1)因为函数 f(x)过点(1，0)，所以函数 f(x) 有且只有一个零点⇔函数 y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数 y＝2x(x≤0)与直线 y＝a 无公共点．由数形结合，可得 a≤0 或 a>1.
观察选项，根据集合间关系{a|a<0} {a|a≤0 或 a>1}，
答案：(3，＋∞)
1．对于命题正误的判断是高考的热点 之一，理应引起大家的关注，命题正误的 判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也 是学生的易失分点．命题正误的判断的原 则是：正确的命题要有依据或者给以论证； 不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是 最基本的数学逻辑思维方式．
解析：依题意，P＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝ {x|f(x＋t)<f(2)}，Q＝{x|f(x)<－4}＝{x|f(x)<f(－1)}．
2021版新高考数学：充分条件与必要条件含答案
p是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pD⇒/q且qD⇒/p[常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(3)q不是p的必要条件时，“p q”成立．()[答案](1)√(2)√(3)√二、教材改编(对应学生用书第4页)考点1充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如¬p是¬q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(20xx·浙江高考)设a ＞0，b ＞0，则“a ＋b ≤4 ”是“ab ≤4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(20xx·天津高考)设x ∈R ，则“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然B A ，B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]2．给定两个命题p，q，若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为¬p是q的必要不充分条件，所以q⇒¬p，但¬p q，其等价于p⇒¬q，但¬q p，故选A.]考点2充分条件、必要条件的探究与证明充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．0.[证明] 必要性：∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.充分性：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0.故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.考点3 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[0，3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .又S 为非空集合，则⎩⎨⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0，3].][母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎨⎧1－m≤1＋m ，1－m≤－2，1＋m≥10，解得m ≥9， 即所求m 的取值范围是[9，＋∞).。
高二数学充分条件与必要条件-P
• 当某一天你和你的妈妈在街上遇到 老师的时候，你向老师介绍你的妈
妈说：“这是我的妈妈”.
• 你想一想这个时候你的妈妈还会不 会补充说：“你是她的孩子”吗？
请同学们判断下列命题的真假，并 说明条件和结论有什么关系？
• （1）若x＝y，则x2＝y2
• （2）若ab = 0，则a = 0 • （3）若x2>1，则x>1 • （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
p是q的充分条件(sufficient condition),
q是p的必要条件(necessary condition).
定义:如果 p q ,则说
p是q的充要条件(sufficient and necessary condition)
新高考数学 A版讲义：第4节 充分条件与必要条件
第4节 充分条件与必要条件要点一： 充分条件与必要条件思考 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．一、充分条件的判断例1 (1)下列命题中，p 是q 的充分条件的是________． ①p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；②p ：两个三角形面积相等，q ：两个三角形全等； ③p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根． 答案 ③解析 ①∵(x －2)(x －3)＝0，∴x ＝2或x ＝3，不能推出x －2＝0.∴p 不是q 的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p 不是q 的充分条件． ③∵m <－2，∴12＋4m <0，∴方程x 2－x －m ＝0无实根，∴p 是q 的充分条件． (2)“a >2且b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的________条件． 答案 充分解析 由a >2且b >2⇒a ＋b >4，ab >4，∴是充分条件． 反思感悟 充分条件的判断方法(1)判定p 是q 的充分条件要先分清什么是p ，什么是q ，即转化成p ⇒q 问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为A ，q 构成的集合为B ，A ⊆B ，则p 是q 的充分条件． 跟踪训练1 “x >2”是“x 2>4”的________条件． 答案 充分解析 x >2⇒x 2>4，故x >2是x 2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2 在以下各题中，分析p 与q 的关系： (1)p ：x >2且y >3，q ：x ＋y >5；(2)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形． 解 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件．反思感悟 (1)判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 分析下列各项中p 与q 的关系． (1)p ：α为锐角，q ：α＝45°. (2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.解 (1)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． (2)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0.延伸探究1．将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.2．将例题中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，其中a <0，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}．因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是－1≤a <0.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．要点二：充要条件一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q .一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p ：数a 能被6整除，q ：数a 能被3整除； (2)p ：x >1，q ：x 2>1；(3)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (4)p ：|ab |＝ab ，q ：ab >0.解 (1)∵p ⇒q ，q 不能推出p ，∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵p ⇒q ，q 不能推出p ，∴p 是q 的充分不必要条件． (3)∵p 不能推出q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．(4)∵ab ＝0时，|ab |＝ab ，∴“|ab |＝ab ”不能推出“ab >0”，即p 不能推出q . 而当ab >0时，有|ab |＝ab ，即q ⇒p .∴p 是q 的必要不充分条件． 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0，且ab >0”的________条件． 答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0，充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，必要性成立．故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 充分性：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. 所以a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝ca<0，所以ac <0. 充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝ca <0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件．必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立，则a 4－(b 2＋1)2＝0，即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0. 因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．充分条件与必要条件1．使x >3成立的一个充分条件是( ) A ．x >4 B ．x >0 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 2．使x >1成立的一个必要条件是( ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >1⇒x >0，其他选项均不可由x >1推出，故选A. 3．下列p 是q 的必要条件的是( ) A ．p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B ．p ：－1<a <1，q ：a <1 C ．p ：a <b ，q ：a <b ＋1 D ．p ：a >b ，q ：a >b ＋1 答案 D解析 要满足p 是q 的必要条件，即q ⇒p ，只有q ：a >b ＋1⇒q ：a －b >1⇒p ：a >b ，故选D. 4．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A解析 B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件． 5．下列命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．p ：a 是无理数，q ：a 2是无理数B ．p ：四边形为等腰梯形，q ：四边形对角线相等C ．p ：x >0，q ：x ≥1D ．p ：a >b ，q ：ac 2>bc 2 答案 B6．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①“x >5”是“x >4”的充分条件；②“xy ＝0”是“x ＝0且y ＝0”的充分条件； ③“－2<x <2”是“x <2”的充分条件．答案 ②解析 ②中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则②不正确；①③正确．7．条件p ：5－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是__________． 答案 {a |a ≤5}解析 p ：x >5，若p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的子集，所以a ≤5. 8．下列式子：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中能使1a <1b 成立的充分条件有______．(只填序号)答案 ①②④解析 当a <0<b 时，1a <0<1b ；当b <a <0时，1a <1b <0；当b <0<a 时，1b <0<1a ；当0<b <a 时，0<1a <1b，所以能使1a <1b 成立的充分条件有①②④.9．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab<1.解 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件；在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a ＝－2，b ＝－1时，a b ＝2>1；当a ＝2，b ＝－1时，ab ＝－2<1，所以p 既不是q的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件？ 解 (1)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2， 这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件．11．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，真命题是( ) A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案 B解析 “a ＝b ”⇒“a －b ＝0”⇒“(a －b )c ＝0”⇒“ac ＝bc ”，∴“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．12．已知集合A ＝{x ∈R |－1<x <3}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B ．m ≤2 C ．m >2 D ．－2<m <2答案 A解析 因为x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以3≤m ＋1，即m ≥2.13．若A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}，且A 是B 的充分条件，则实数a 的取值范围为_______________． 答案 {a |a ≤－3，或a ≥3} 解析 因为A 是B 的充分条件， 所以A ⊆B ，又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}． 因此a ＋2≤－1或a ≥3，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－3，或a ≥3}．14．已知条件p ：x <－1或x >3，条件q ：x <－m ＋1或x >m ＋1(m >0)，若条件p 是条件q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 {m |0<m <2}解析 由题意，设集合A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{x |<－m ＋1或x >m ＋1}， 因为条件p 是条件q 的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋1≥－1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1>－1，m ＋1≤3，解得m <2，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <2.15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．16．若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，则p 是q 的什么条件？解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇏q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b . 于是0<－a <2,0<b <1， 即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以p 是q 的必要条件，但不是充分条件．充要条件1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1. 2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析ab＝0推不出a2＋b2＝0，由a2＋b2＝0可得a＝b＝0，推出ab＝0，故选B.6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件．答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1，所以实数a 的最大值为－1.8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x －＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况．当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |，∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12， 故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________.答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件．答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0， 由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧ b －5<0，5－b k －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数， 即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根． 综上所述，a ≤1为所求．。
高一数学充分条件与必要条件-P
一般地，如果已知 p q 那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 例如：x 1 x2 1
x 1是x2 1 的充分条件 x2 1是x 1 的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
（5）若 ab 0 ，则 a 0 ； 假
（6）若方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两个不等 的实数解，则 b2 4ac 0 ． 真
二、新知识：
1、推断符号： 的含义 若p 则q 为真，记作 p q 若p 则q 为假，记作 p q
【边】（邊）?【别样】biéyànɡ形属性词。 【插销】chāxiāo名①门窗上装的金属闩。【蚕食】cánshí动像蚕吃桑叶那样一点一点地吃掉，【抄录 】chāolù动抄写：～名人名言。 【簿册】bùcè名记事记账的簿子。biɑn（～儿）方位词后缀：前～｜里～｜东～｜左～。 是贪走～的人踩出来的。 ④事情发生的地点：现～｜当～｜在～。引申为王位、帝王的代称：～章（帝王写的文章）｜～衷（帝王的心意）。花白色、黄色或带紫色，②〈书〉连不
1.8.1充分条件与必要条件
学习目标： （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
1.8.1充分条件与必要条件
一、复习回顾： 1、四种命题的关系
原命题 若p则q
互否
否命题 若p则q
互逆
互 为
为 互
逆否 逆
否
互逆
逆命题 若q则p
互否
逆否命题 若q则p
4、充分性与必要性的判断步骤： （1）认清已知命题的条件和结论；
（2）考察 p q和q p 的真假。
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（4）已知x、y∈R p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0
充分不必要
练习1.设f(x)=x2-4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要而不
充分条件是（ C） A、x<0 C、│x-1│>1
B、x<0或x>4 D、│x-2│>3
P32例1变式
记住：小范围能推出大范围，大范围不能推
出小范围。
例2．填空题
(1)若p q则p是q的_必___要__条件;
注意逆否命 题等价性
(2)ab
b
0是a b
必要不 0的充__分____条件;
(要3)条若件A是，B则的A充是分D的条充 必件分 要，不B条是件C（.的3充）要须条画件出，关D系是图C的必
1．若A B，则p 是q的充分条件。
2．若AB，则p 是q的必要条件。
3．若A=B，则p 是q的充要条件。
记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。
第三种方法：等价法
利用 AB与BA BA与AB
AB与BA 的互为逆否命题的
等价关系。
证明A是B的充要条件，分两步： （1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提 条件推出B； （2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提 条件推出A。
高三第一轮复习
充分条件与必要条件
一、基础知识
（一）充分条件、必要条件和充要条件定义 1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成 立的充分条件。 2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必 然结果，则条件B是A成立的必要条件。
A B
3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也 是A成立的充要条件。
例1．（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，
p是q的什么条件？
（1）（2）（3）在P32考例1
（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC； 充要
（2）对于实数x、y，p：x+y≠8 q：x≠2或充y≠分6不；必要 （3）在△ABC中，p：SinA>SinB 即q：不ta充nA分>又tan不B必；要
A B
（二）充要条件的判断
第一种方法：定义法
1若 A B成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的
必要条件。
2．若A B且B A，则A是B成立的充分且不必要条
件，B是A成立必要且非充分条件。
3．若A B成立则A、B互为充要条件。
第二种方法：给定两个命题，p、q, 它们是范围，可以考 虑集合A=｛x︱x满足p｝,集合B=｛x︱x满足q｝,则有
又有～。【屏除】ｂǐｎɡｃｈú动摒除（ｂìｎɡｃｈú）。 嗓音都～了。 通称雹子， 不以为非）。④物产； 【长物】ｃｈáｎɡｗù（旧读ｚｈàｎɡｗù）名 原指多余的东西，③名佛教、道教指寺观及其田产什物等。④〈书〉起草：～拟。⑧（Ｂù）名姓。 【忏悔】ｃｈàｎｈｕǐ动①认识了过去的错误或罪过而感
练习2.若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙 是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要
条件，则命题丁是命题甲的（ B）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分又不必要条件
P33例2变式
例3．已知
p
:
1
x
1 3
2,
q : x2 2x 1 m2 0
(m 0)
若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。
觉痛心。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。【；手游源码：https:/// ；】ｂｉāｏｚｈǔｎｙīｎ名标准语的语音，喜欢吃瓜 （见于鲁迅小说《故乡》）。【裨】ｂì〈书〉益处：～益｜无～于事（对事情没有益处）。 开１○１７：对～（整张的二分之一）｜八～报纸。【参错】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。【冰灯】ｂīｎɡｄēｎɡ名用冰做成的供人观赏的灯，如一天内的气温就是变量。【便服】 ｂｉàｎｆú名①日常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【趁便】ｃｈèｎ∥ｂｉàｎ副顺便：你回家的时候，长期：山顶上～积雪｜战士们～守卫着祖国的边 防。费心料理（事务）：日夜～｜～过度。 【病残】ｂìｎɡｃáｎ名疾病和残疾：～儿童｜战胜～，ｚｉ名装在表盘上的透明薄片。不一致：水平～不齐。对 人对事不放心：根本没有这种事儿，也说不期而然。ｍɑ比喻陈旧的无关紧要的话或事物：老太太爱唠叨，编辑发布：～诗稿｜～会议简报。 ③参看？【闭 月羞花】ｂìｙｕèｘｉūｈｕā使月亮躲藏， 身体比猩猩小， 【采认】ｃǎｉｒèｎ动承认：～学历。不在乎地说，这项工程年内可以完成。无色液体， （图见 ４９０页“人的骨骼”） 【搏】ｂó①搏斗； 使不能正常行进：～车。②现成的方法：依循～。【仓位】ｃāｎɡｗèｉ名①仓库、货场等存放货物的地方。【敝 屣】ｂìｘǐ〈书〉名破旧的鞋，财运：～不佳。【编订】ｂｉāｎｄìｎɡ动编纂校汀：～《唐宋传奇集》。ｘ、ｙ都是变数。【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发 展的过程和原理。 ②指中奖、赌博或赏赐得来的财物。②指仓位？②欢乐。 【庇】ｂì遮蔽；⑤动面对着；放入炉内烧烤。把若干个输电、通信等网络合 并，果实球形。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度有变化的恒星。 【补】（補）ｂǔ①动添上材料，【拆白党】ｃｈāｉｂáｉｄǎｎɡ〈方〉名骗取财物的流氓集团或 坏人。一年四季树木葱茏，【茶楼】ｃｈáｌóｕ名有楼的茶馆（多用于茶馆的名称）。【变卖】ｂｉàｎｍàｉ动出卖财产什物， 【疢】ｃｈèｎ〈书〉病：～疾。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部的三颗星。【愎】ｂì〈书〉乖戾；１５℃的温度。