九年级下册锐角三角函数专题讲义
28.1 锐角三角函数 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
2 A＝___4___．
感悟新知
知1－练
例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定 义的前提是在直角三角形中”这一特 征，用“构造直角三角形法”求解.
感悟新知
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
感悟新知
知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜 在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正 中，∠C＝
弦 ，记 作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
感悟新知
知1－练
解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
感悟新知
知1－练
技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角 函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要 约去辅助元.
感悟新知
知1－练
2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan
《锐角三角函数》 讲义
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
北师大版数学九年级下册1.1锐角三角函数第1课时课件
tan A.
合作探究
解:设方程x2＋mx＋4＝0的两根分别为x1，x2，
根据根与系数的关系可知x1·x2＝4，
∵x1、x2为正整数解，∴x1、x2可为1、4或2、2.
又∵BC＝4，AB＝6，∴2＜AC＜10，∴AC＝4，∴AC＝BC
＝4，∴△ABC为等腰三角形.
过点C作CD⊥AB(如图)，∴AD＝3，∴CD＝ ，tan A＝
＝ .
合作探究
方法归纳交流 求解图形中有关角的正切值，在直角三角
形中可直接运用正切的定义求值，无直角三角形的要作辅助线
构造直角三角形求值.
合作探究
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
如果CD＝3，BD＝2.求tan A的值.
◎重点:正切、倾斜程度、坡度的数学意义.
预习导学
激趣导入
如图，这是上海东方明珠塔的图片，它于1994年10月1日建
成.在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世
界第三，与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望.在塔顶俯瞰上
海风景，美不胜收.你能测出东方明珠塔的高度吗？那么就开始
本章的学习之旅吧！
A.
B.
C.
D.
合作探究
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、
∠C的对边，若b＝2a，则tan A＝
.
直角三角形两边的比为3∶4，则最小角的正切为
或
.
若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位
置比本来的位置升高了 6 米.
初中数学锐角三角函数综合复习讲义
初中数学锐角三角函数综合复习讲义一、研究概念1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系2、明确概念：正弦阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角5、特征： 正弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA=∠A 的对边斜边[特殊字母] sinA=a c sinB=bc(∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→[表示法] cosA=∠A 的邻边斜边[特殊字母] cosA=bccosB=a c (∠A+∠B=90°)sinA=ac = cosB= cos (90°—∠A) cosA=bc= sinB= sin (90°—∠A)定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表示法] tanA=∠A 的对边邻边特殊字母] tanA=abtanB=b a (∠A+∠B=90°)余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切→[表示法] cotA=∠A 的邻边对边[特殊字母] cotA=b a cotB= ab(∠A+∠B=90°) tanA=ab= cotB= cot (90°—∠A) CBA c bacotA=ba= tanB= tan (90°—∠A) [文字] 一个角的正弦等于它余角的余弦 一个角的余弦等于它余角的正弦一个角的正切等于它余角的余切一个角的余切等于它余角的正切[勾股] sin 2 A+ cos 2A= 1 sin 2 B+ cos 2B= 1[运算] tanA ·cotA=1 tanB · cotB=1[正弦、余弦] tanA=sin A cosA cotA=cos AsinA tanB=cos A sinA cotB=sin AcosA[特殊值] sin30°=cos60°=12sin45°=cos45°=2若α、β是锐角，且α＞β，则sin60°=cos30°α＞sin β cos α＜cos βtan30°=cot60°α＞tan β cot α＜cot β tan45°=cot45°= 1tan60°=cot30°6、系统找下位含有特殊角的斜三角形∍内角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90° 外角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90°二、应用、例题讲解（一）直角三角形中，已知两边求锐角三角函数 1、在中，∠C 为直角，已知a=3，b=4，则cos B= （ ） (A 级)对象：cos B 角度：cos B=a c分析：a=3，b=4 [勾股] c=5 cos B=a c =35（二）直角三角形中，已知一锐角的三角函数求锐角的其它三角函数 2、∠A 为锐角，且sinA=135，则tanA 的值为 （ ） （A 级） A 、512 B 、1213 C 、1312 D 、125对象：tanA 角度 ： tanA=sin AcosA分析：sinA=135 [sin 2 A+ cos 2A= 1] cos 2A= 1－ sin 2A cosA=1312 [tanA=sin A cosA ] tanA= 1253、设x 为锐角，且满足 sin x=3cos x ，则sin x ·cos x 等于 (B 级)对象：sin x ·cos x 角度：sin 2x+ cos 2x= 1分 析：sin x=3cos x [sin 2x+ cos 2x= 1] (3cos x)2＋cos 2x= 1 cos 2x=101 sin x ·cos x= 3cos 2x=103 4、如果x= tanA+1,y=cotA+1(A 为锐角)，那么y 等于 (B 级) 对象： y 角度：tanA · cotA=1分析：x= tanA+1,y=cotA+1 [tanA · cotA=1] （x-1）(y-1)=1y=1-x x 5、如果A 为锐角，且 sinA=54，那么 （ ） (B 级) A 、0°〈 A ≤30° B 、30°〈A ≤45° C 、45°〈A 〈60° D 、60°〈A 〈90°对象：A 角度：sinA=54 分析：22〈54〈23 sin 45°〈sinA 〈sin60° ∵A 为锐角 ～ 0°〈 A 〈90° 此时 sinA 是增函数 ∴ 45°〈A 〈60°6、已知A 为锐角，且2cos sin 2cos 2sin 3=-+AA AA ，那么tanA 的值等于 (B 级)对象：tanA 角度：tanA=sin AcosA分析：2cos sin 2cos 2sin 3=-+A A A A 3 sinA+2cosA=4sinA -2cosA sinA=4cosA sin AcosA=4=tanA7、在 中，c 为斜边，a 、b 为直角边，则a 3 cosA+b 3cosB 等于 （B 级）对象：a 3 cosA+b 3cosB 角度 ：cosA=∠A 的邻边斜边勾股定理分析 ：a 3cosA+b 3cosB = a 3·b c + b 3·a c =cabc 2 = abc8、计算： （A 级）对象： 角度 ：特殊角的三角函数值分析：=213222∙+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231+ 9、计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°= （B 级）对象：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°角度：sinA= cos (90°—∠A) tanA= cot (90°—∠A)分析：sin48°=cos(90°－48°)=cos42° tan 44°=cot(90°－44°)=cot46°原式= cos 242°+ sin 242°－cot46°·tan46°·tan45°=1－1·1=010、如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11。
第二十八章 锐角三角函数++++复习课件+2024—2025学年人教版数学九年级下册
会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,
用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E
的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
【解析】原式=1-2 + =1- .
9
维度2基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,
则cos A的值为( C )
3
A.
5
3
B.
4
4
C.
5
4
D.
3
5. (2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.
答:遮阳宽度CD约为3.6 m;
13
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:
sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14, 2≈1.41)
【解析】(2)如图,
过点E作EH⊥AB于H,∴∠BHE=90°,
12
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
【解析】(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2 m,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,∴sin
α= ,
∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.9=1.8(m),∴CD=2OD=3.6 m,
3
课标 内容要求
人教版九年级数学下册 锐角三角函数 讲义
锐角三角函数知识点一、锐角三角函数的基本概念如下左图，在直角△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB 的长度是__________定理：在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半想一想：如果其它条件不变，把30°换成37°或者是其它角度，它所对的边与斜边之比是一个定值吗？如上右图，△AB 1C 1、△AB 2C 2、△AB 3C 3、△ABC 是________三角形 因此331122123A B C B C B C BC AB AB AB AB ====∠的对边斜边，即对于任意一个确定的锐角，它所对的边与斜边之比是一个定值于是我们把一个锐角A 所对的边与斜边之比叫做∠A 的正弦，记为sin A 。
A sin A =∠的对边斜边除了正弦，锐角A 还有余弦、正切、余切，这四大天王统称为锐角三角函数∠A的正弦sinA ∠A的余弦cosA ∠A的正切tanA ∠A的余切cotA对边斜边邻边斜边对边邻边邻边对边例1、在Rt△ABC中，各边的长度都缩小为原来的12，那么锐角C的三角函数（）A、都扩大为原来的2倍B、都缩小为原来的12C、不变D、都缩小为原来的14例2、在Rt△ABC中，如果边长都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的正弦值和余弦值（）A、都没有变化B、都扩大为原来的3倍C、都缩小为原来的13D、不能确定例3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若AC=3，AB=5，直接写出∠A、∠B的三角函数值（2）若AB=2AC，直接写出∠A、∠B的三角函数值1、如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）B、12 13C、3 5D、4 52、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosB的值是（）A、55B、255C、12D、23、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sinA的值是（）A、3B、12C、32D、334、在以O为坐标原点的直角坐标系平面内有一点A（2，4），如果AO与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα=______5、某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮的北偏东30°方向，且相距20海里。
完整九年级数学锐角三角函数学生讲义
锐角三角函数与解直角三角形【考大纲求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特别角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实质问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热门为依据题中给出的信息建立图形，成立数学模型，而后用解直角三角形的知识解决问题 .【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的观点以下图，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，BcaAbC锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ；斜边c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ；斜边c锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a .A的邻边b同理 sin B B的对边b； cos B B的邻边a； tan B B的对边 b ．斜边c斜边c B的邻边a重点解说：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条，，，不可以理解成s in 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不可以写成“tanAEF”；此外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞ 0．考点二、特别角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，概括以下：重点解说：(1)经过该表能够方便地知道 0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：假如知道了一个锐角的三角函数值，就能够求出这个锐角的度数，比如：若，则锐角．(2)认真研究表中数值的规律会发现：sin 0、、、、sin90的值依次为0、、、、1，而cos0、、、、cos90的值的顺序正好相反，、、的值挨次增大，其变化规律能够总结为：当角度在0°＜∠ A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 ) ②余弦值随锐角度数的增大 ( 或减小 )而减小 ( 或增大 ) ．考点三、锐角三角函数之间的关系以下图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°．(1)互余关系：，；(2) 平方关系：；(3)倒数关系：或；(4) 商数关系：．重点解说：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简易．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即三条边和两个锐角.设在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C所对的边分别为a、b、 c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2( 勾股定理 ).②锐角之间的关系：∠A+∠ B=90° .③边角之间的关系：，，，，，.④， h 为斜边上的高 .重点解说：(1)直角三角形中有一个元素为定值( 直角为 90° ) ，是已知的值 .(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其余关系( 如不等关系 ).(3)对这些式子的理解和记忆要联合图形，能够更为清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常有种类及解法已知条件解法步骤Rt △ ABC两两直角边(a，b)由边求∠ A，∠ B=90°－∠ A，由斜边，向来角边( 如 c， a)求∠ A，∠ B=90°－∠ A，锐角、邻边( 如∠ A，b)，一边向来角边一和一锐角∠ B=90°－∠ A，角锐角、对边( 如∠ A，a)，斜边、锐角 ( 如 c，∠ A)，重点解说：1．在碰到解直角三角形的实质问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意注明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，而后按先确立锐角、再确立它的对边和邻边的次序进行计算. 2．若题中无特别说明，“解直角三角形”即要求出全部的未知元素，已知条件中起码有一个条件为边 .考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很宽泛，重点是把实质问题转变为数学模型，擅长将某些实质问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实质应用问题的重点.解这种问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等观点，而后依据题意画出几何图形，成立数学模型 .(2)将已知条件转变为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实质问题转变为解直角三角形的问题 .(3) 依据直角三角形( 或经过作垂线结构直角三角形) 元素 ( 边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形 .(4) 得出数学识题的答案并查验答案能否切合实质意义，得出实质问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实质问题时，常常会用到以下观点：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示 .坡度 ( 坡比 ) ：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式 .(2)仰角、俯角：视野与水平线所成的角中，视野中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图 .(3)方向角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方向角，如图①中，目标方向 PA， PB， PC的方向角分别为是40°， 135°， 245° .(4) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA， OB， OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西 60° . 特别如：东南方向指的是南偏东 45°，东北方向指的是北偏东 45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西 45° .重点解说：1．解直角三角形实质是用三角知识，经过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的表示图.2．非直接解直角三角形的问题，要察看图形特色，适合引协助线，使其转变为直角三角形或矩形来解 . 比如：3．解直角三角形的应用题时，第一弄清题意( 重点弄清此中名词术语的意义) ，而后正确画出示企图，从而依据条件选择适合的方法求解.【典型例题】种类一、锐角三角函数的观点与性质1． (1) 以下图，在△ABC中，若∠ C＝ 90°，∠ B＝ 50°， AB＝ 10，则 BC的长为 ( )．A．10· tan50 ° B ． 10· cos50 ° C ． 10· sin50 ° D ．10 sin 50°(2)以下图，在△ ABC中，∠ C＝ 90°， sinA ＝3，求 cosA+tanB 的值．5(3)以下图的半圆中， AD是直径，且 AD＝3， AC＝2，则 sinB 的值等于 ________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，依据锐角三角函数的定义，能够用某个锐角的三角函数值和一条边表示其余边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，能够用比率系数k 表示各边．(3)要求 sinB 的值，能够将∠ B 转变到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其余三角函数值时，常用的方法是：利用定义，依据三角函数值，用比率系数表示三角形的边长；(2)题求 cosA 时，还能够直接利用同角三角函数之间的关系式sin 2 A+cos 2 A ＝1，读者可自己试试达成．贯通融会：【变式】 Rt △ ABC中，∠ C=90°， a、 b、 c 分别是∠ A、∠ B、∠ C 的对边，那么 c 等于 ( )(A) acosA bsin B(B)a b(D) (C)sin Bsin A种类二、特别角的三角函数值asin A bsin Ba b cosA sin B2．解答以下各题：(1)化简求值： tan60° tan45° sin 45°sin 30°； sin60° cos30° cos45°(2)在△ ABC中，∠ C＝ 90°，化简12sin A cos A ．．【总结升华】由第 (2) 题可获得此后常用的一个关系式：1± 2sin α cos α =(sin α± cos α ) 2．比如，若设 sin α +cos α＝ t ，则sin cos1(t 2 1)．贯通融会：【变式】若 sin 23sin，(2α，β为锐角)，求tan(2)的值.， cos233． (1) 以下图，在△ABC中，∠ ACB＝ 105°，∠ A＝ 30°， AC＝ 8，求 AB 和 BC的长；(2)在△ ABC中，∠ ABC＝ 135°，∠ A＝ 30°， AC＝ 8，怎样求 AB和 BC的长 ?(3) 在△ ABC中， AC＝ 17， AB＝ 26，锐角 A 知足sin A 12，怎样求BC的长及△ABC的面积？13若 AC＝ 3，其余条件不变呢?【思路点拨】第 (1) 题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B＝ 45°；过点C 作 CD ⊥ AB 于 D，则 Rt △ ACD是可解三角形，可求出 CD的长，从而 Rt △ CDB可解，由此得解；第 (2) 题的条件是“两角一对边” ；第 (3) 题的条件是“两边一夹角” ，均可用近似的方法解决．种类三、解直角三角形及应用4．以下图， D 是 AB上一点，且 CD⊥ AC于 C，S△ACD: S△CDB 2 : 3 ， cos DCB 4，5AC+CD＝ 18，求 tanA 的值和 AB 的长．专题总结及应用一、知识性专题专题 1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考察多以选择题、填空题为主．例 1 如图 28－ 123 所示，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， BC＝ 1，AB＝ 2，则以下结论正确的选项是()A ． sin A＝3B ．tan A＝122C． cosB＝3D． tan B＝ 3 2例 2 在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， cosA＝3,则 tan A 等于() 5A ．3B ．4C．3D．4 5543专题 2特别角的三角函数值【专题解读】要熟记特别角的三角函数值．例 4计算|－3|＋2cos 45°－(3 － 1)0．例 5计算－ 1 ＋9 ＋ (－ 1)2007－ cos 60°．2例 6计算|－ 2 |＋ (cos 60°－ tan 30° )0＋8 ．131例 7计算－ (π－ 3.14)0－ |1－ tan 60° |－.232专题 3锐角三角函数与有关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其余知识综合起来运用，考察综合运用知识解决问题的能力.例 8如图28－124所示，在△ ABC中，AD是BC边上的高，E为AC4边的中点， BC＝ 14， AD＝ 12， sin B＝．(1)求线段 DC 的长；(2)求 tan∠EDC 的值 .例 9 如图 28－ 125 所示，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的高， tan B＝ cos∠DAC .(1)求证 AC＝ BD ；12(2)若 sin C＝，BC＝12，求AD的长．例 10 如图 28－ 126 所示，在△ ABC 中，∠ B＝ 45°，∠ C＝ 30°， BC＝ 30＋30 3 ，求 AB 的长．专题 4用锐角三角函数解决实质问题【专题解读】增强数学与实质生活的联系，提升数学的应企图识，培育应用数学的能力是现在数学改革的方向，环绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐渐成为命题的热门，其主要种类有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各种应用问题时要注意掌握各种图形的特色及解法．例 13如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点 A 处观察到对岸 C 点，测得∠ CAD＝45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得∠ CBA＝ 30°，请你依据这些数据算出河宽是多少 ?(结果保存小数点后两位 )例 14如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的 A 点处发现海中的 B 点有人求救，便立刻派三名救生员前往救援． 1 号救生员从 A 点直接跳入海中； 2 号救生员沿岸边(岸边能够当作是直线)向前跑到 C 点再跳入海中； 3 号救生员沿岸边向前跑300 米到离 B 点近来的 D 点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是 6 米／秒，在水中游泳的速度都是 2 米 /秒．若∠ BAD ＝ 45°，∠ BCD＝ 60°，三名救生员同时从 A 点出发，请说明谁先抵达救援地址B．(参照数据 2 ≈， 3≈ 1.7)例 15 如图 28－ 133 所示，某货船以 24 海里 /时的速度将一批重要物质从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在它的北偏东 60°方向上，该货船航行 30 分钟后抵达 B 处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在 C 岛周围 9 海里的地区内有暗礁，若货船持续向正东方向航行，该货船有无触礁危险 ?试说明原因．例 16如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距 8 米的 A， B 两处测得 D 点和 C 点的仰角分别为45°和 60°，且 A，B，F三点在一条直线上，若BE＝ 15 米，求这块广告牌的高度．( 3 ≈，结果保存整数 )例 17如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD ＝，坝高 4 m，背水坡的坡度是1： 1，迎水坡的坡度是1：，求坝底宽BC.例 18如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m，某人在点A 处测得塔底 C 的仰角为20°，塔顶 D 的仰角为23°，求这人距CD 的水平距离 AB． (参照数据： sin 20°≈，cos 20°≈，tan 20°≈， sin 23°≈，cos23°≈，tan 23°≈ 0.424)二、规律方法专题 专题 5公式法【专题解读】本章的公式好多，娴熟掌握公式是解决问题的重点．1 sin2例 19 当 0°＜ α＜90°时，求的值．cos三、思想方法专题 专题 6类比思想【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程， 求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形， 所以对解直角三角形的观点的理解可类比解方程的观点． 我们能够像解方程 (组 )同样求直角三角形中的未知元素．例 20 在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a＝ 5 ， b2＝15，解这个直角三角形．2．专题 7 数形联合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数” ，二者奇妙联合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．例 21 如图 28－ 137 所示，已知∠ α的终边 OP ⊥ AB ，直线 AB 的方程为 y ＝－3 x ＋ 3 ，则 cos α等于()33A ．12B ．2 2C ．33D ．专题 8分类议论思想【专题解读】当结果不可以确立，且有多种状况时，对每一种可能的状况都要进行议论．例 22一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在 A 的北偏东45°方向上还有一个加油站 C， C 到高速公路的最短距离是30 km ， B， C 间的距离是60 km ．要经过 C 修一条笔挺的公路与高速公路订交，使两路交错口P 到 B，C 的距离相等，求交错口P 与加油站 A 的距离． (结果可保留根号 )专题 9转变思想例 24如图28－140所示，A，B两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修建一条高速公路(即线段 AB)，经丈量，丛林保护中心P 在 A 城市的北偏东30°和 B 城市的北偏西45°的方向上．已知丛林保护区的范围在以P 点为圆心， 50 km为半径的圆形地区内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区．为何?(参考数据： 3 ≈， 2 ≈ 1.414)例 25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图 28－ 141 所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中，恰巧四个极点都在横格线上．已知α＝ 36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题． (结果保存整数；参照数据： sin 36°≈ 0．6，cos 36°≈0． 8， tan 36°≈ 0.7)例 26 如图 28－ 142 所示，某居民楼 I 高 20 米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离 CM 为 2 米，窗户 CD 高 1． 8 米．现计划在 I 楼角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼全部住户的采光，新建Ⅱ楼最高只好盖多少米?。
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．55B.2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°锐角α30°45°60°sin αcos αtan α类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°80米OMNAP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABD CEF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
人教版九年级下册数学优质课件： 28.1锐角三角函数
第2课时 锐角三角函数
在 RtABC 中，C 90
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
a ∠A的正弦： sinA A的对边 BC a
斜边 AB c
C
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？
1、你能将“其他边之比”用比例的 B 式子表示出来吗？这样的比有多少？
tan A= BC 3 AC 4
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，
求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
B
解：在RtABC中，
3
2
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sin A BC 2，cos A AC 5 ，tan A BC 2 2 5 .
AB 3
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三角 函数.
例2 如图，在RT△ABC中，∠C=90°，
B
AB=10,BC=6,求sinA,cos A,tan A的值
6
解：由勾股定理得
AC = AC 2 -BC 2 = 102 -62 =8
A
C
因此 sin A= BC 3 AB 5
cosA= AC 4 AB 5
caLeabharlann baAbC
cb
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A 的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并 说出理由。
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
B
余弦（cosine），记作cosA， 即
浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共18张PPT)
B(山顶）
H
当锐角为30°时，
30°
西坡
其所对的直角边与
斜边之比始终
30°
A
D
B(山顶）
为 1．
C
2
E
东坡
当锐角为45°时，
其所对的直角边
30°
CF
D
B(山顶）
与 斜边之比始 终为 2 ．
2
当锐角为50°时，
G 南坡
这个比值是一个确 定的值．
C
HD
任意作一个锐角∠A，在角的边上任意取两点B
与B1分别作BC⊥AC于点C ，B1C1⊥A1C1于点C1.
判断 BC 与 B1C1 是否相等，并说明理由. B１
AB
AB1
B
A
C C１
对于每一个确定的锐角α，在角的边上任意取
一点B作BC⊥AC于点C，比值 BC 是一个确
定的值．
AB
B
A
C
直角三角形中锐角ɑ与其对边与斜边比值关系
ɑ
BC （对边与斜边比值）
1.1锐角三角函数（1）
我关心的是本质 其它都是细节（爱因斯坦）
一 情境创小设红、小强、小颖约好去爬山，他们沿不同倾 斜度的三条道路上山，若山顶与山下的铅垂距离为100 米，你能分别求出他们到达山顶要走的路程吗？
南坡
50°
小颖出发地
西坡
东坡
30°
小红出发地
45°
小强出发地
转化成的数学问题 B(山顶）
2.sinα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.
练一练
1. 如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12B.
5
计算：（1）sinA= 13.
《锐角三角函数》(九年级下册数学)公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
C A
这个问题能够归结为: 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m， 求 AB．
在上面旳问题中，假如出 水口旳高度为 50 m，那么需要 准备多长旳水管？
D B＇ B
am 50 m 35 m
A
C C＇ E
思索：由这些成果，你能得到什么结论？
结论： 在直角三角形中，假如一种锐角旳度数是30°， 那么不论三角形旳大小怎样，这个角旳对边与斜
第二十八章
28.1 锐角三角函数（1）
新知探究
比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点 偏离垂直中心线 2.1 m．至今，这座高 54.5 m 旳斜塔仍 巍然挺立．
你能用“塔身中心线 与垂直中心线所成旳角θ” 来描述比萨斜塔旳倾斜程 度吗？
比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏 离垂直中心线 2.1 m．至今，这座高 54.5 m 旳斜塔仍巍然 挺立．
你能用“塔身中心线与垂直中心线所成旳角θ”来描 述比萨斜塔旳倾斜程度吗？
2.1 m 垂直中心线
塔顶中心点 54.5 m 塔身中心线
θ
问题探究
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下旳机井房沿着 山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面旳绿地 进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角旳度数是 30°, 为 使出水口旳高度为 35 m，需要准备多长旳水管？
在图中 ∠A旳对边记作a ∠B旳对边记作b ∠C旳对边记作c
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB旳值．
求sinA就 是要拟定∠A 旳对边与斜
边旳比；求 sinB就是要 拟定∠B旳对 边与斜边旳 比
解：（1）在Rt△ABC中，
AB AC2 BC2 42 32 5
浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共25张PPT)
观察以上计算结果,你发现了什么?
sinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90）
tanA·tanB=1
(∠A+∠B=90）
B
c
a
┌
A
b
C
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
sin B b cos B a
c
c
tan B b a
如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正确
锐角A，A′的余弦值的关系为（ ） A
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定 2．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（ C）
3 A．4
4 B．3
C．4 5
3
D．
5
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，
是关于锐角α的三角函数。
AB AB AC
B
A
C
锐角α的正弦，余弦和正切统称∠α的三角函数.
比值 BC 叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
AB
BC
比值 AC
即sinα= AB
叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
AB
即cosα= AC
AB 比值 叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
b，c，则下列各项中正确的是（ ） B
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 ，则tanB等于（ ）
C
《锐角三角函数》PPT优秀课件
斜边c
B ∠A的对边a
sin A= ∠A的对边
斜边
A ∠A的邻边b C
∠A的邻边
cos A=
斜边
tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，
即tan A＝ a . b
B
斜边c
∠A的对边a
A
┌ ∠A的邻边b C
再见
在Rt△ABC中，∠C＝90°锐角正弦的定义
斜边 A
B
∠A的对边
┌
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° 我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
B
斜边 ∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
例1 如图,在 Rt△ABC 中，∠C =90°,AB=10,BC=6,求
sin A, cos A,tan A的值.
tanA的值. 解：由勾股定理,得
B 10
6
A
C
因此 sin A BC = 6 = 3， AB 10 5
cos A AC 8 4 , tan A BC = 6 = 3 .
AB 10 5
AC 8 4
利用勾股定理求三角函数值方法
已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路 是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值； 当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的 长度，然后根据定义求锐角三角函数值．
课堂练习
1. 如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则
1
人教新课标九年级数学下册《锐角三角函数》专题PPT课件
义务教育教科书人教版 九年级数学 下册
知识梳理
考点一 锐角三角函数的定义
知识梳理
考点二 特殊锐角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
知识梳理
考点三 解直角三角形
解直角三角形的定义
在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.
锐角三角函数
1.锐角三角函数的定义
⑴正弦 ⑵特殊角的三角函数值
3.解直角三角形
⑴定义
⑵解直角三角形的依据
①三边间关系 ②锐角间关系 ③边角间关系
⑶解直角三角形在实际问题中的应用
小结
知识自测
大中考p77“基础知识自测” （时间：5分钟）
作业
大中考p80“优化训练” 1.必做题：1-10题 2.选做题：11、12题
方向(位) 角
定义
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向(位)角
h∶l
l
h
α
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
（2）坡度
tan α ＝
h
l
α为坡角
知识梳理
探究一 三角函数的概念
B
考点精讲
考点精讲
B
【类题通法】 解答这类问题，常画出草图，结合已知条件构造直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求解。
考点精讲
探究四 解直角三角形的实际应用
考点精讲
c
考点精讲
c
考点精讲
2．如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度i=1∶1.5，且AB= m.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1九年级下册锐角三角函数专题讲义一．知识框架二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中:(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边2.特殊角的三角函数:A sinA cosA tanA 30°12 32 33 45°22 22 160° 321232基础训练：例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）A ． sinA ＝sinA ′B ． sinA ＝2sinA ′C ． 2sinA ＝sinA ′D ． 不能确定例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 43练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2sin 3A =，则边AC 的长是（ ）AB ．3C ．43D练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值25247C BA练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA=练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA＝4，c ＝2，则a ＝练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（ ）Ａ．12Ｂ．2Ｃ．13练习7.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3）， 则sin α= ，cos α= ，tan α=练习8.在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若56AC =，65AB =，则tan ∠ACD 的值为（ ）Ａ．5Ｂ．5 Ｃ．30Ｄ．6例3.计算：sin30°·sin60°+sin45°练习9.计算tan 602sin 452cos30+-o o o 的结果是（ ）A ．2B ．2C ．1D ．2313-练习10.计算：()0132sin 452007tan 30--⋅+-oo能力拓展例1.如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（ ）A ．（81035+）m B ．21.6m C ． 103m D ．10385⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭m例2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB等于（ ） A ．sin α B ．COS α C ．tan α D ．1tan ααy x P(2,3)O AE DCBAαPDA4例3.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=19，试求cosA 与tanA的值例4.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC 等于（ ）A ． 23B ．55C ． 105D ．13中考链接：（2008昆明，9,3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，AC = 6cm ，AB = 8cm ，把AB 边翻折，使AB边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin ∠DBE 的值为（ ）A ．13B ．310C ．37373D ．1010（2011昆明，9,3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则sin ∠CAD =（ ）A 、错误!未找到引用源。
B 、13C 、15D 、15C BA D 第9题图ED CBA5二．解直角三角形 （一）什么是解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直 角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． （二）解直角三角形用的知识解直角三角形时一般要用到下面的某些知识： （1）三边之间的关系 a ²+ b ²= c ²（勾股定理） （2）两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系sinA=斜边的对边A ∠=a c，sinB=斜边的对边B ∠=bccosA=斜边的邻边A ∠=b c ，cosB=斜边的邻边B ∠=actanA=的邻边的对边A A ∠∠=a b ，tanB=的邻边的对边B B ∠∠=ab（4）仰(俯)角:视线与水平线所成的角叫做仰(俯)角 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角坡度：通常把坡面的垂直高度和水平距离的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i 表示例1．坡角为30o 的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m Ｂ．3m Ｃ．43m Ｄ．43m 例2．如图，在某建筑物AC 上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测的仰角为030，再往条幅方向前行20米到达点E 处，看到条幅顶端B ，测的仰角为060，求宣传条幅BC 的长（小明的身高不计，结果精确到0.1米）cbaCBA6例3．如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B 点最近的D 点，再跳入海中。
救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。
若∠BAD=45°,∠BCD=60°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B 1.4≈ 1.7≈）中考链接：（2007昆明，20 ,7分）如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°，求楼CD 的高（结果保留根号）A C7AB DCE （2008昆明，21 ,7分）某住宅小区为了美化环境，增加绿地面积，决定在坡地上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地，如图，已知两楼的水平距离为15米，距离甲楼2米（即AB=2米）开始修建坡角为300的斜坡，斜坡的顶端距离乙楼4米（即CD=4米），求斜坡BC 的长度(结果保留根号)（2009昆明，20 ,7分）如图，AC 是我市某大楼的高，在地面上B 点处测得楼顶A 的仰角为45º，沿 BC 方向前进18米到达D 点，测得tan ∠ADC ＝53．现打算从大楼顶端A 点悬挂一幅庆祝建国60周年 的大型标语，若标语底端距地面15m ，请你计算标语AE 的长度应为多少？（2010昆明，21 ,8分）热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）（2011昆明，21 ,7分）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B 在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度（结果精确到1m，参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，）89（2012昆明，20 ,6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为30︒，荷塘另一端D 处与C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米，16CD =米，求荷塘宽BD 为多少米？（取3 1.73≈，结果保留整数）（2013昆明，20 ,7分）如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD 的过街天桥，若天桥斜坡AB 的坡角∠BAD 为35°，斜坡CD 的坡度为i=1:1.2（垂直高度CE 与水平宽度DE 的比），上底BC=10m,天桥高度CE=5m,求天桥下底AD 的长度？（结果精确到0.1m ，参考数据：sin35゜≈ 0.57，cos 35゜≈ 0.82, tan35゜≈ 0.70）10（2014昆明，20 ,6分）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD 的高度，在地面A 处放置高度为1.5米的测角仪AB ，测得旗杆顶端D 的仰角为32°，AC 为22米，求旗杆CD 的高度（结果精确到0.1米。
参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈ 0.62）（2015昆明，17,7分）如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=15cm ，CD=20cm ，AB 和CD之间有一景观池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）第20题图B A32°。