数理统计试题2015
2015年数理统计期末试题
2015年数理统计期末试题一、填空题（每空2分，共30分）1.设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，已知12X X +、{}max ,15i X i ≤≤、52X p +、()251X X -，其中是统计量的为，不是统计量2.设总体,1210, , , X X X 为来自该总体的样本，101110i i X X ==∑,则()D X =____ 3.设621,,,X X X 为来自正态总体的简单随机样本，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C4. 设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从分布，自由度5. 设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为6. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则λ极大似然估计为7. 设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。
n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则对假设2020σσ=：H ；221σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是____________，它服从____________分布，自由度为____________8. 设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
则2σ的最大似然估计量为9. 设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是，置信下限10.单因子方差分析统计模型为二、（12分）某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm ）后算得x ＝175.9，y ＝172.0；1.9s 3.11s 2221==，。
假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N （μ2，σ2）其中σ2未知。
数理统计试题2015
2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。
2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。
3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。
选择题答案表2，样本然估计D.ˆθ的均方误差定义为2ˆˆ()()MSE E θθθ=-3.设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值，∑=-=ni i nX X n S 122(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（）。
A.σμ)(-X n B.nS X n )(μ- C.σμ)(1--X n D.nS X n )(1μ-- 4.下面不正确的是（）。
A.ααu u -=-1 B.)()(221n n ααχχ-=-p e 为误差E2σD.零假设成立时，才有()r n r F r n S r S e A ----,1~)()1(7.下面关于μ的置信度为α-1的置信区间的说法，不正确的是（???）。
A.置信区间随样本的变化而变化，是随机变量?B.对固定的样本，置信区间要么一定包含真值μ，要么一定不包含真值μC.μ落入区间的概率为α-1D.随机区间以１－α的概率包含了参数真值μ 8.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,μ=EX ，则下列正确的是（）。
A.1X 是μ的无偏估计量B.1X 是μ的极大似然估计量9.设. A.31σ10.A.C.，则3.设n X X X ,,,21 是来自均匀分布总体),0(θU （0>θ是参数）的一个样本，则θ的矩估计为。
4.单因素方差分析中，数据s j n i X j ij ,,2,1;,,2,1, ==取自s 个总体()s j N X j j ,,2,1,,~2 =σμ，则jn i ijj n XX j∑==1服从分布。
5.设总体),(~2σμN X，2,σμ为未知参数，样本n X X X ,,,21 的均值和方差分别为X 和2S ，则假设0:0:10≠↔=μμH H 的t 检验使用的统计量=t 。
04183概率论与数理统计(经管类)2015年真题2套及标准答案
全国高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）2015年10月真题(课程代码：04183)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，则P(A∪B)=（ ）A.0B.0.2C.0.4D.0.62.设随机变量X ～B(3,0.3)，则p={X-2}=（ ） A.0.189 B.0.21 C.0.441 D.0.73.设随机变量X 的概率密度为( )=⎩⎨⎧≤≤=a x ax x f ，则常数其他,,0,10,)(2 A.0 B.31 C. D.3214.设随机变量X 的分布律为( ){}==-12.06.02.01012X P P X ，则 A.0.2 B.0.4C.0.6D.0.85.设二维随机变量(x,y)的分布律为( ){}==11.02.01.013.02.01.00210\X P YX 则 A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.46.设随机变量X ～N(3，)，则E(2X+2)=( )22 A.3 B.6 C.9 D.157.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y 服从参数为的指数分布，且X,Y51互相独立，则D(X-2Y+1)=( ) A.23 B.28C.103D.1048.已知X 与Y 的协方差Cov （X,Y ）=，则Cov （-2X,Y ）=( )21- A. B.021- C. D.1219.设为总体X 的一个样本，且为样本均值，)2(,...,,21＞n x x x n ，未知)()(μμ=X E x 则的无偏估计为( )μ A. B.x n xC. D.x n )1(-x n )1(1-10.设a 是假设检验中犯第一类错误的概率，为原假设，以下概率为a 的是( )0H A. B.{}不真接受00|H H P {}真拒绝00|H H P C. D.{}不真拒绝00|H H P {}真接受00|H H P 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.袋中有编号为0，1，2，3，4的5个球，从袋中任取一球，取后放回；再从袋中任取一球，则取到两个0号球的概率为_____.12.设A,B 为随机事件，则事件“A,B 至少有一个发生”可由A,B 表示为_____.13.设事件A,B 相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则=_____.)(B A P 14.设X 表示某射手在一次射击命中目标的次数，该射手的命中率为0.9，则P{x=0}=_____.15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ＞2}=_____.16.设二维随机变量(X,Y)的分布律为则c=_____.cYX 2561256259010\17.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则P{X≤0，Y≤0}用F(x,y)表示为_____.18.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:-1≤x≤2,0≤y≤2的均匀分布，则(X,Y)概率密度f(x,y)在D 上的表达式为_____.19.设X 在区间[1,4]上服从均匀分布，则E(X)_____.20.设,则D(X)=_____.⎪⎭⎫⎝⎛515～B ，X 21.设随机变量X 与Y 的协方差Cov(X,Y)=,E(X)=E(Y)=1,则E(XY)=_____.21-22.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:0≤x≤4,0≤y≤4上的分布，则____.=+)(22Y X E 23.设总体X ～N(0，1)，为来自总体X 的一个样本，且123x x x ，，，则n=______.2222123~()x x x n χ++24.设X ～N(0,1)，Y ～(10)，且X 与Y 互相独立，则_____.2X =10/Y X25.设某总体X 的样本为_____.=⎪⎭⎫⎝⎛=∑-n i l n x n D X D x x x 12211,)(,,...,,则σ三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.已知甲袋中有3个白球、2个红球；乙袋中有1个白球、2个白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
2015级数理统计试卷
t n，则统计量
()
X X
,,,
求常数C= .
二、 设母体X 的概率密度为1,0()0,0x e x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
，其中0θ>为未知参数，今取
得子样观测值12,,
,,n x x x 求未知参数θ的最大似然估计值。
（10分）
三、 设母体X 的分布密度为()1,01;0,
x x f x θθθ-⎧⋅<<=⎨⎩其他，其中0θ>为未知参数。
今取得子样12,,
,n X X X ，求未知参数θ的矩估计量。
（10分）
六、 某电子零件的平均电阻为2.64Ω，改变工艺后，测得100个零件的平均电阻 2.62x =，电阻标准差 0.04s =，问新工艺对此零件的电阻值有无显著影响()0.05α= ? (10分)
七、 甲、乙两台机床加工零件，依次分别取6个和9个，（假定零件长度是正态
母体），测得 222,s 12s **==甲乙，问是否可以认为乙机床加工的零件长度方差超过
甲机床(0.05)α=？（10分）
九、 为了研究老鼠体内血糖的减少量y 和注射胰岛素的剂量x 的关系，将同样条件下繁殖的7只老鼠注射不同剂量的胰岛素，观测值的散点图呈线性变化规律，依据观测数据经计算得0.35x =，44.14y =，0.07xx L =，9.2xy L =，1372.86yy L =.
（1）求经验回归直线方程ˆˆˆy x αβ=+；（结果精确到小数点后两位）
（2）对线性回归方程进行显著性检验（取显著性水平α=0.05 ）.（10分）。
2014-2015-1-2数理统计
2014 —2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A 卷）
2
20,X 是来自__________.
则θ的费______________.
n X ,, 为来自该总体的样本，
,,
X是来自
n
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）
13,
,x 与17,,y y . 已 知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,,n x 是来
2014—2015学年第 1学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A 卷）答案及评分标准
,
,n X 是来自答案、评分标准：11
)n x θ-
ln )n x +
+ln )(n x θ++解得最大似然估计为
13,
,x 与17,,y y . 已 知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准
x是来
,,
n
答案、评分标准：
,,;)
xθ=
n
θ
,)()
h X。
2015-2016学年第二学期数理统计期末考试原卷及标准答案
XX师范大学2015–2016学年第二学期
期末考试试卷（B卷）参考答案
课程名称数理统计课程编号 XXXXXXX 任课教师
题型选择题填空题计算题证明题总分
分值15 15 50 20 100
得分
得分评阅人
一、：选择题（共5题，每题3分，共15 分）
1、样本取自正态分布总体，已知，但= 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ C ）
A. ；
B. ；
C. ；
D.
2、设总体，为其子样，，
，则有（ B ）
A．是2的矩估计量B．是2的极大似然估计
量 C．是2的最优无偏估计量D．是的优效估计量
3、在假设检验中，犯第二类错误概率的意义是( C )
A. 原假设H成立，经检验否定H的概率
00
B. 原假设H成立，经检验不否定H的概率
00
C. 备择假设成立，经检验否定的概率
D. 备择假设
H成立，经检验不否定的概率
1
4、设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的
置信区间为( C )
A. B.
C. D.
5、关于最小二乘法估计量的性质，下面说法不正确的是（ B ）
A. 是的线性无偏估计量
B. 不是一个统计量
C. 是的极大似然估计量
D. 在的线性估计量中最优。
(完整word版)2015级硕士研究生数理统计参考答案(A层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（A 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11n k k x x n ==∑。
（1nn -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．在双因素试验不考虑交互作用的方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为T A B e S S S S =++其中211()p q T ij i j S x x ===-∑∑，21()pA i i S q x x ⋅==-∑，211()p qe ij i j i j S x x x x ⋅⋅===--+∑∑21()qB j j S p x x ⋅==-∑，则e S 的自由度是 。
（(1)(1)p q --或1pq p q --+或1n p q --+其中n pq =）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24nii n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24nii L n x σσσσ=∂=-+-∂∑令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
数理统计2015年期末试题
2014-2015学年 第一学期数理统计试题(A 卷)专业------------ 姓名------------ 学号------------一．（共14分）设随机变量X 与Y 的联合密度函数为2211(,)exp{(22)}22f x y x xy y π=--+ 1). 求X 与Y 的边际分布，并判断它们是否相互独立。
2). 确定常数,a b ，使得222()(2)Z X a X bY χ=+- 。
二．（共12分）设1(,,)n X X 是取自总体X 的样本，X 的密度函数为1(1),01(;)0,x x f x ααα-⎧-<<=⎨⎩其他其中0α>为未知参数，求α的矩估计与最大似然估计。
三．（共12分）某矿区针对矿工的矽肺发病情况进行了调查，在随机抽检的400名矿工中，发现有48名患有矽肺。
1). 求矿工矽肺发病率的置信度近似95%的置信区间。
2). 在显著性水平0.05α=下，能否认为矿工的矽肺发病率低于15%？（00(1.64)0.95,(1.96)0.975Φ=Φ=0.812≈）四．（共12分）一个以减肥为主要目标的健身俱乐部宣称，肥胖者如果参加他们为期三个月的训练班，可以使体重至少减轻18斤。
调查人员随机抽查了9名参加者，得到体重记录如下：假定训练前后的体重差服从正态分布，试问该俱乐部的宣称是否可信（显著性水平0.05α=）？ （()0.0258 2.306t =，()0.058 1.860t =2.958） 五．（共20分）设1(,,)n X X 是取自总体X 的样本，X 的密度函数为22,0(;)0,0x xe x f x x λλλ-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩其中0λ>为未知参数。
1). 证明：2212(2)ni i X n λχ=∑ 。
2). 推导检验问题0010::H H λλλλ=←→≠的广义似然比检验法。
六．（共14分）设单因素方差分析模型为21,1,,,1,,(0,)0ij i ij i ij ri ii X i r j n N n μαεεσα=⎧⎪=++==⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 且相互独立求未知参数μ与,1,,i i r α= 的最大似然估计，并证明它们均具有无偏性。
自学考试真题：15-10概率论与数理统计(经管类)-含解析
2015年10月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题（课程代码04183）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸"的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.4,P(B)=0.2,则P(A ∪B)= A. 0 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 2.设随机变量X ～B （3，0.3），则P ｛X=2｝=A. 0.189B. 0.21C. 0.441D. 0.73.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他，,0,10,)(2x ax x f 则常数a=A. 0B.31 C. 21 D. 34.设随机变量X 的分布律为，则==}1{2XPA. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.85.设二维随机变量（X,Y ）的分布率为则P{X=1}=A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4 6.设随机变量X ～N （3，22），则E （2X+3）=A. 3B. 6C. 9D. 15 7.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y 服从参数为51的指数分布，且X ，Y 相互独立，则D(X-2Y+1)= A. 23 B. 28 C. 103 D. 104 8.已知X 与Y 的协方差Cov(X,Y)=-21，在Cov(-2X,Y)= A. 21-B. 0C. 21D. 1 9.设n x x x ,...,,21（n>2）为总体X 的一个样本，且E(X)=μ（μ未知），x 为样本均值，则μ的无偏估计为A. x nB. xC. （n-1）xD.x n )1(1-10.设a 是假设检验中犯第一类错误的概率，0H 为原假设，以下概率为a 的是 A. P ｛接受0H |0H 不真｝ B. P ｛拒绝0H |0H 真｝ C. P ｛拒绝0H |0H 不真｝ D. P ｛接受0H |0H 真｝二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)11.袋中有编号为0，1，2，3，4的5个球，今从袋中任取一球，取后放回；再从袋中任取一球，则取到两个0号球的概率为________.12.设A ，B 为随机事件，则事件“A ，B 至少有一个发生”可由A ，B 表示为_________. 13.设事件A ，B 相互独立，且P(A)=0.3,P(B)=0.4，则=)(B A P __________.14.设X 表示某射手在一次射击中命中目标的次数，该射手的命中率为0.9，则P ｛X=0｝=_________. 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P ｛X>2｝=_________. 16.设二维随机变量（X ，Y ）的分布率为则c=___________.17.设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F （x ，y ），则P ｛X ≤0,Y ≤0｝用F （x ，y ）表示为_________. 18.设二维随机变量（X ，Y ）服从区域D ：-1≤x ≤2，0≤y ≤2上的均匀分布，则（X ，Y ）的概率密度f(x,y)在D 上的表达式为___________.19.设X 在区间[1，4]上服从均匀分布，则E （X ）=_________. 20.设X ～B （5，51），则D （X ）=___________. 21.设随机变量X 与Y 的协方差Cov(X,Y)=-21，E(X)=E(Y)=1，则E （XY ）=_________. 22.设二维随机变量（X ，Y ）服从区域D ：0≤x ≤4，0≤y ≤4上的均匀分布，则=+)(22Y X E _________.23.在贝努利试验中，若事件A 发生的概率为P （0<P<1），今独立重复观察n 次，记⎩⎨⎧=不发生，次试验，第0发生，次试验第,1A i A i X i （i=1，2，…，n ），φ（x ）为标准正态分布函数，24.设X ～N （0，1），Y ～2χ（10），且X 与Y 相互独立，则10Y X =__________.25.设某总体X 的样本为n x x x ,...,,21，D （X ）=2σ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=ni i x nD 11____________.三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)26.已知甲袋中有3个白球、2个红球；乙袋中有1个白球、2个红球。
北航2015级硕士研究生数理统计参考答案(B层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。
（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
2015-2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(二)试卷答案
北 京 交 通 大 学2015~2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）试卷参 考 答 案一．（本题满分10分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<-=其它0101,y x y c y x f ⑴ 求常数c （5分）；⑵ 求概率{}1<+Y X P （5分）． 解：⑴ 由密度函数的性质：()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()⎰⎰⎰⎰-==+∞∞-+∞∞-y dx y c dy dxdy y x f 011,1()()6312111210cc dy y y c ydy y c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=⎰⎰，由此得6=c ． ⑵ {}()⎰⎰<+=<+1,1y x dxdy y x f Y X P()⎰⎰⎰-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=2101212102616dx y y dy y dx xx y x x ()434121321321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰dx x ．二．（本题满分10分）设随机变量Y 服从参数为1=λ的指数分布，定义随机变量k X ，()2,1=k 如下：⎩⎨⎧>≤=k Y kY X k 10 求二维随机变量()21,X X 的联合分布列．解：由题设，得随机变量Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e y f y． ()()()()111121112,100---∞--=-===≤=≤≤===⎰⎰e e dy e dy yf Y P Y Y P X X P y y ，()()()02,11021=∅=>≤===P Y Y P X X P ，()()()()2121212121112,101-----=-===≤<=≤>===⎰⎰e e edy e dy y f Y P Y Y P X X P y y，()()()()22222122,111-∞+-+∞-+∞=-===>=>>===⎰⎰e e dy e dy yf Y P Y Y P X X P yy ．因此，()21,X X 的联合分布列为三．（本题满分12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01421,22y x y x y x f ．⑴ 求随机变量X 及Y 各自的边缘密度函数()x f X 与()y f Y （8分）；⑵ 判断随机变量X 与Y 是否相互独立（4分）？ 解：⑴ 当11<<-x 时， ()()()4212212182121421421,22x x y x ydy x dyy x f x f x x X -=⋅===⎰⎰+∞∞-， 所以，随机变量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它11182142x x x x f X ．当10<<y 时， ()()2523322724731421421,y y y y y ydy x dx y x f y f yyyyY =⋅=⋅===--+∞∞-⎰⎰， 所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yx f X ． ⑵ 因为()()()y f x f y x f Y X ≠,，所以随机变量X 与Y 不独立．四．（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出()Y X ,的联合分布列及X 与Y 各自的边际分布的某些取值：试计算该表的其它数值． 解：()()()2418161,,12111=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ， ()()()4161241,1111=======y Y P y Y x X P x X P ，()()()()1218124141,,,2111131=--===-==-====y Y x X P y Y x X P x X P y Y x X P ， ()()()214181,1212=======x X P y Y x X P y Y P ，()()()3141121,1313=======x X P y Y x X P y Y P ，()()43411112=-==-==x X P x X P ，()()()838121,,21222=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ， ()()()4112131,,31332=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ．表中其余各值如下表所示：可以验证，对于上述表中各值，X 与Y 相互独立．五．（本题满分12分）将3个球随机地放入4个杯子中．令X 表示杯子中球的最大个数．求：⑴ X 的分布列（6分）；⑵ X 的数学期望()X E 与方差()X D （6分）． 解：⑴ X 的可能取值为3,2,1．且{}8341334===P X P ．{}1614433===X P ．{}{}{}1691618313112=--==-=-==X P X P X P ．所以，随机变量X 的分布列为⑵ ()1616316281=⨯+⨯+⨯=X E ．()1651161316928312222=⨯+⨯+⨯=X E ．因此，()()()()2568716271651222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ． 六．（本题满分10分）记掷n 颗均匀的骰子点数之和为X ，求()X E （5分）与()X var （5分）． 解：以k X 表示掷第k 颗均匀的骰子出现的点数，()n k ,,2,1 =，则随机变量n X X X ,,,21相互独立，而且同分布，∑==nk k X X 1．k X 的分布列为所以，(){}27621616161====⋅=∑∑==k k k k k X P k X E ． (){}691616126122===⋅=∑∑==k k kk k X P k XE所以，()()()()1235273691var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k k k X E X E X ．因此，()()n X E X E X E nk nk k n k k 2727111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．再由n X X X ,,,21 的相互独立性，得()()n X X X nk nk k n k k 12351235var var var 111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．七．（本题满分14分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律（6分）． ⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律（4分）．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义（4分）． 解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且 (){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=， （其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ． 即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．八．（本题满分10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布()1,0N ．令随机变量22Y X Z +=．⑴ 试求随机变量Z 的密度函数()z f Z （6分）．⑵ 试求()Z E （4分）．⑴ 由题意，得()2221x X ex f -=π ()∞<<∞-x ， ()2221y y ey f -=π()∞<<∞-y ．设随机变量22Y X Z +=的分布函数为()z F Z ，则(){}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=22当0≤z 时，(){}()022=∅=≤+=P z Y X P z F Z ；当0>z 时，(){}()()⎰⎰≤+=≤+=zy x YXZdxdy y f x f z Y XP z F 2222⎰⎰≤++-=zy x y x dxdy e 2222221π作极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，则有()⎰⎰⎰--==zr zr Z rdr erdr ed z F 022202221πθπ所以，随机变量22Y X Z +=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000022z z rdre z F z rZ所以，随机变量22Y X Z +=的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0022z z zez F z f z Z Z ⑵ ()()⎰⎰⎰∞+-+∞-∞+-∞+∞-+-===2222222dz ezedz e zdz z f z Z E z z z z222212222ππ====⎰⎰+∞∞--+∞-dz e dz ez z ． 九．（本题满分10分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．① 求X 与Y 的相关系数（6分）；② 计算概率{}X Y P ≥（4分）．（1） 由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-， 所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y Y E Y，所以，()()()()1813161var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，()()()()923232var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ， ()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===1220222012,dx y x xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181var var ,cov ,-=-==Y X Y X YX ρ．（2） {}()()()2123232,1121=-=-===≥⎰⎰⎰⎰⎰-≥dx x dy dxdxdy y x f X Y P x xxy ．。
2015-2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(一)试卷及答案
因此，有
P(C ) = P(A1 ∪ A1B2 A3 ∪ A1B2 A3 B4 A5 ∪ A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) = P( A1 ) + P (A1B2 A3 ) + P(A1B2 A3 B4 A5 ) + P(A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) 3 7 6 3 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 2 3 + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 10 10 9 8 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 5 4 7 = = 0.58333333 ． 12 =
1 1 + +0−0−0−0+0 12 16 7 = = 0.145833333333 ． 48 =
⑵ 由于 {随机事件 A，B，C 都不发生 } = A B C = A ∪ B ∪ C ，
所以，
P{随机事件 A，B，C 都不发生 } = P A ∪ B ∪ C
= 1 − P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A) − P(B ) − P (C ) + P ( AB ) + P (BC ) + P( AC ) − P( ABC )
⑵ 将 5 颗骰子分成两组，一组 2 颗，一组 3 颗，有分法 C52 种．再将 6 个点数取 2 个， 分别分给两个组，有 P62 不同的分法．因此随机事件 B 含有 C52 ⋅ P62 个样本点．故
P (B ) =
C52 ⋅ P62 25 = = 0.03858024691 ． 65 648
二． （本题满分 8 分） 设随机事件 A 、 B 、 C 满足： P ( A) = P (B ) = P (C ) =
2015-16-1应用数理统计B
“应用数理统计”考试试题(B)2015-2016-1一、填空题（40分）1. 简单随机抽样满足的两个条件是 和 。
2. 一元线性回归模型y a bx =+，其中参数的最小二乘估计是根据___________最小的原则计算得到的。
3. 设总体的均值μ和方差2σ都存在，则μ和2σ的矩估计量分别为_____ 和______。
4. 设124,,,X X X 是总体)1,0(~N X 的一个样本，221234()()Y X X X X =+++。
当常数C= 时，CY 服从2χ分布。
5. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。
6. 参数估计量优良性的评价标准有_________ 、__________、_________ 。
7. 将曲线方程524y x =化为线性方程为 。
8. 某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）表1 因素水平表表2 极差分析数据表则较好工艺条件应为 ______________。
二、计算题（50分）9. 设21,X X 是来自总体),(~2σu N X 的一个样本。
（1）证明21X X +，21X X - 相互独立（2）假设0=u ，求221221)()(X X X X -+的分布10.总体X 服从参数为λ的泊松分布，(0)λλ>未知，求参数λ的极大似然估计量，并判断这个估计量是不是λ的无偏估计量。
（泊松分布的分布律：{}(,),0,1,2!xP X x p x e x x λλλ-==== ）11.设某车间生产的某种零件长度),(~2σu N X ，从一批这样的零件中随机抽取9件，测得长度值为（单位mm ）49.7 50.6 51.8 52.4 48.8 51.1 51.2 51.0 51.5 求这批零件平均长度的95%的置信区间：（1）221.5σ=；（2）2σ未知。
（其中计算得50.9, 1.09x s ==）12. 有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α=13.为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从某年12月和6月出生的女婴中分别随机地各取10名，测得体重（单位：g ）如下所示：12月 3520 2203 2560 2960 3260 4010 3404 3506 3478 2894 6 月 3220 3220 3760 3000 2920 3740 3060 3080 2940 3060 设冬夏季女婴的体重分别服从正态分布211(,)N μσ，222(,)N μσ，试在显著水平a=0.05下检验冬夏季出生的女婴体重的方差是否有显著差异？ 三、简述题（10分）14.主成分分析的目的与计算步骤。
2015年上海财经大学数理统计考试题库(亲测期中考试从中选取了原题)
一、填空题（总共 5 题，每题 2 分）
ˆ为参数 的 1. 称统计量
2
估计量，如果 E ( ) = 。
2. 设总体 X ~ N ( , ) ，假设要以 95%的概率保证偏差 X 0.1 ，且 2 1 ，则样本 容量 n 至少应取
2 3. 已知总体 X ~ N ( , 2 ), X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本，要检验 H o： 2 0 ，
2
ˆ1 ) 3D( ˆ2 ) 2 2D(
ˆ =2c1 ˆ1 3c2 ˆ2 也是 的无偏估计时， c1 , c2 应满足什么条件？ （1）当
ˆ 具有最小方差？ （2） c1 和 c2 取何值时，
3. 已知某批铜丝的抗拉强度 X 服从正态分布 N ( , ) 。从中随机抽取 9 根，经计算得其
(X ) n ~ S
。
二、判断题（总共 5 题，每题 2 分）
ˆ 是参数 的无偏估计，且 D( ˆ 必是 的有偏估计。 ˆ) 0 ，则 1. 设
2 2
2. 设总体 X ~N (2,4
2
) ， X1, X 2 ,
X n 为取自 X
的样本，则
X 2 ~N (0,1) 。 4
3. 检验假设 H 0 时，显著性水平 越大，接受 H 0 的可能性就越大。 4. 在假设检验中，把符合 H0 的总体判为不合格 H0 加以拒绝，这类错误称为第一类错误。
(已知：t0.975 (4)=2.776, t0.975 (3)=3.182, U 0.975 1.960 )
6. 测定家庭中的空气污染。令 X 和 Y 分别为房间中无吸烟者和有一名吸烟者在 24 小时内 的悬浮颗粒量（以 g / m 计） 。设 X ~ N (X , X 2 ) ，Y ~ N (Y , Y 2 ) ，X , Y , X 2 , Y 2
重庆大学2015概率论与数理统计试题及解答
《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.解：1．3.0)(=+B A B A P即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．λλλλλ---==+==+==≤e X P e e X P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P . 3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解 在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4．2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->>41e -=-.5．似然函数为 111(,,;)(1)(1)(,,)nn n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏1ln ln(1)ln nii L n xθθ==++∑1ln ln 01ni i d L nx d θθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ） 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）. 事实上由图 可见A 与C 不独立.2．~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 3．由不相关的等价条件知应选（B ）. 4．若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.5．1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X 的概率分布为 3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -=== 即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 0z <或1z >时()0Z f z =01z≤≤时()222z zZf z dx x z===⎰故Z的概率密度为2,01,()0,Zz zf z⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z的分布函数为20,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z zZ Zz zf z f y dy ydy z z zzz-∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.ZDzF z P Z z P X Y z dxdy zz⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.zz zz<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Zz zf z F z≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y=≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z=的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰22222880111248x y rDe dxdy e rdrdπθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r rre d e e e------=-=-⎰；（2）22818x yEZ E e dxdyπ+-+∞+∞-∞-∞==⎰⎰2222880001184r rre rdrd e r drπθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x=，样本方差20.16s=. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2:0.1Hσ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α===== 所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）20:0.1H σ≤的拒绝域为22(1)n αχχ≥-.221515 1.6240.1S χ==⨯=，20.05(15)24.996χ= 因为 220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pa b若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.（5） 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ⊃⊃，故ABC C = 同理 ABC AB =.()()()0.20.50.50.45P ABC ABC P C P AB +=+=+⨯=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()(|)()()()P AB P B P B A P A P B P B ==+ 22223322122222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =⋅==⋅=所以 21(|)2P B A =.（3）~(4,),Y B p其中 10.52201(0.5)24p P X xdx x=≤===⎰， 113341,44444EY DY =⨯==⨯⨯=， 2215()144EY DY EY =+=+=.（4）(,)X Y 的分布为这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+⨯=，0.5EY =故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =-=-=.（5）2216(){4}0.014S P S a P a >=>= 即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （ ）（2）设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A ）1/2, 1.a b == （B ）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D ）2,a b == （ ）（3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为 010.40.6X P010.40.6Y P则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ ） （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （ ） （5）设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+（C）(x u x u αα-+ （D）/2/2(x u x u αα-+ （ ） 解 （1）由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-应选C. （2）22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N -故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.（3）()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.（4）[()]E E EX EX = 应选C.（5）因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
2015-2016-2概率论与数理统计A(N)复习练习题题目
前四章一、 选择题（四选一）1．设事件B A 、至少有一个发生发生的概率为0.8，事件A 发生的概率为0.5，事件B 发生的概率为0.7，则B A 、同时发生的概率为 （ ）（A ） 0.2 （B ）0.3 （C ） 0.4 （D ）0.5 2．已知随机变量X 服从(,)B n p , 则 （ ） (A) (),()(1)E X np D X np p ==- (B) (),()(1)E X p D X n p ==- (C) ()(1),()E X np p D X np =-= (D)()(1),()(1)E X p p D X np p =-=-二、填空题1. 设事件A 发生的概率为0.5，事件B 发生的概率为0.7，若A 与B 是互不相容（互斥），则事件B A 、至少有一个发生的概率为 ；若B A 、相互独立，则事件B A 、至少有一个发生的概率为 ； 2、设A 与B 互为逆事件（对立事件），(),P A p =,则 ()P B = 。
3、设A 、B 是两个随机事件，()0.5P B =且,(|)0.5P A B =,则,则()P AB = ＿＿＿＿＿。
4、 设),(~p n B X ，则(23)E X -=_5、如果在一次试验中某事件发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生．．．．K ．次．的概率＿＿＿＿＿；至少发生一次的概率＿＿＿＿＿；一次都不发生的概率为＿＿＿＿＿；6、 设随机变量~(0,1)X N ，X 的分布函数为 ()x Φ, 则(0)Φ= 。
7、 设随机变量()2~2,X N σ，则可以有以下结论：1）()2P X <= ；2）若已知()(),P X C P X C <=≥则 C = ；3）若P (2<X <4)=0.3, 求P {X <0}= 。
8、 设随机变量的概率密度1,02()20,x f x others ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 则P (X >0.9)= 9、设(),X U a b ，则(23)E X -=_10、 设随机变量服从[-a , a ]上均匀分布，其中a >0, 若P (X >1)=1/3，则a = . 11、 已知随机变量的密度函数为,others ,01()0ax b x f x +<<⎧=⎨⎩且P (X >0.5)=5/8, 则a = , b =12、 设离散型随机变量的分布律为1{}5(1,2,)2kP X k A k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A= 。
数理统计2015试题
2015年 数理统计(研究生)试题一、(满分12分）12,,,n X X X 为来自均匀分布(0,)U θ的随机样本，证明以下三个点估计2,U X = ()1,n n V X n+=(1)(1)W n X =+ 都是θ的无偏估计，这三个估计哪一个最优？二、（满分10分） 设总体X 服从柯西分布(,)Ch λμ，其密度函数为221(),,0,.()f x x x λλμπμλ=-∞<<+∞>-∞<<+∞-+设12,,,n X X X 是总体的一个样本。
（1）求X 的特征函数；（2）利用求得的柯西分布的特征函数证明柯西分布的可加性。
（提示：||211itx t e dx e xπ+∞--∞=+⎰） 三、（满分12分）某电工器材厂生产一种保险丝，测量其融化时间，依通常情况方差为400。
今从某天产品中抽取容量为25的子样，测量其融化时间并计算得，样本均值62.24X =，样本修正方差*2404.77S =，问这天保险丝融化时间分散度与通常有无明显差异（0.01α=）？假定融化时间是正态总体。
四、(满分14分）设12,,,m X X X 和分12,,,n Y Y Y 别是从分布为 22(,)N μσ的两个母体中抽取的独立随机子样, X 和 Y 分别表示X 和Y 的样本均值, 2x S 和2y S 分别表示X 和Y 的样本方差。
（1）写出22212(1)(),/,x xm X X mS Q S μσ--=的分布； （2）对任意两个固定实数α和β,试求随机变量 的分布。
五、（满分16分）设12,,,n X X X 是总体X 的一组样本，总体的密度函数为1,01,(;)0,.x x f x else θθθ-⎧<<=⎨⎩0θ>为未知参数。
21(,)N μσ和122222()()2x y X Y H mS nS m n m n αμβμαβ-+-=+++-(1) 求1()g θθ=的极大似然估计量；(2) 求()g θ的有效估计量。
xx大学2015-2016学年第二学期数理统计期末考试原卷含答案
2．设为总体的一个样本，为样本均值，则在总体方差
的下列估计量中，为无偏估计量的是（）。
A．；B．；
C．；D．
3．设正态总体的期望的置信区间长度为，则其置信水平为（）。
A．B．C．D．
得分评阅人
二、填空题：（共3题，共15分）
4．设和均是未知参数的无偏估计量，且，则其中的估计量
更有效。
5．设某种清漆干燥时间（未知），取10的样本，得样本均值和方差分
XX师范大学2014–2015学年第二学期
期末考试试卷（A卷）
课程名称数理统计课程编号XXXX任课教师XX
题型选择题填空题计算题证明题总分
分值15154525100
得分
得分评阅人
一、：选择题（共4题，共15分）
1．样本取自正态分布总体，已知，但未知，则下列随
机变量中不能作为统计量的是（）。
A．；B．；
别为，则的置信度为95%的置信区间为：。
（）
6．和分别是来自正态总体和的样本均值，
两总体相互独立。当，已知时，检验假设用统计量；成
立时，该统计量服从；若，未知，但，欲检验上述假设，应用统计
量。得分评阅人三、计题：（共4题，共45分）7．设总体的概率密度为
，
试用来自总体的样本，求未知参数的极大似然估计。（10分）
第2页(共3页)
得分评阅人
四、证明题：（共2题，共25分）
11．设为总体的一个样本，样本均值和方差分别为，试证
明服从正态分布，服从自由度为n-1的分布。（15分）
12．在线性模型中，若，，试证明是的最优
线性无偏估计量。(10分)
第3页(共3页)
第1页(共3页)
8．用某仪器间接测量某物质的温度，测5次，数据是1250，1265，1245，1260，1275，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题
1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。
2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。
3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。
选择题答案表
一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。
1. 设总体),(~2
11σμN X ，),(~2
22σμN Y 相互独立，样本量分别为1n ，2n ，样本
方差分别为21S ，22S ，检验2
221122210::σσσσ<↔≥H H 的拒绝域为（ ）。
A. )1,1(212221--<n n F S S α
B. )1,1(212222
1--<n n F S S α
C. )1,1(212221-->n n F S S α
D. )1,1(21222
2
1-->n n F S S α
2. 假设ˆθ是θ的一个点估计，那么以下说法中错误的是（ ）。
A.如ˆ()E θ
θ=，则ˆθ是θ的无偏估计 B.如ˆθ
是θ的无偏估计，则ˆ()g θ是()g θ的无偏估计 C.如ˆθ
是θ的极大似然估计，()g θ有单值反函数，则ˆ()g θ是()g θ的极大似然估计 D.ˆθ
的均方误差定义为2
ˆˆ()()MSE E θθθ=-
3. 设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2
σμN 的简单随机样本，X 为样本均值，
∑=-=n
i i n
X X n S 1
22)(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
A.
σ
μ)
(-X n B.
n S X n )
(μ-
C.
σ
μ)
(1--X n D.
n
S X n )
(1μ--
4. 下面不正确的是（ ）。
A. ααu u -=-1
B. )()(2
2
1n n ααχχ-=-
C. )()(1n t n t αα-=-
D. )
,(1
),(1n m F m n F αα=-
5.以下关于假设检验的说法，正确的是（ ）。
A. 第一类错误是指，备择假设是真，却接受了原假设
B. 利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显著性水平称为检验的p 值
C. 当检验的p 值大于显著性水平α时，拒绝原假设
D. 犯两类错误的概率不可以被同时减小
6. 对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则不正确的是（ ）.
A. 无论零假设是否成立，都有T e A S S S =+
B. 无论零假设是否成立，都有
()1~22
-r S A
χσ
C. 无论零假设是否成立，都有
()
r n S E
-22
~χσ
D. 零假设成立时，才有
()r n r F r n S r S e A ----,1~)
()
1(
7. 下面关于
μ的置信度为α-1的置信区间的说法，不正确的是（ ）。
A. 置信区间随样本的变化而变化，是随机变量 B. 对固定的样本，置信区间要么一定包含真值μ，要么一定不包含真值μ
C.
μ落入区间的概率为α-1
D. 随机区间以１－α的概率包含了参数真值
μ
8. 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本, μ=EX ，则下列正确的是（ ）。
A. 1X 是μ的无偏估计量
B. 1X 是μ的极大似然估计量
C. 1X 是
μ的相合（一致）估计量 D. 1X 不是μ的估计量
9. 设621,,,X X X 是来自),(2
σμN 的样本，2S 为其样本方差，则2
DS 的值为（ ）. A. 431
σ B. 451σ C. 452σ D.
.5
22σ 10. 某研究部门准备在全市 200 万个家庭中抽取 2000 个家庭，据此推断该城市所有职工家庭的年人均收入。
这项研究的参数是（ ） 。
A. 2000个家庭
B. 200万个家庭
C. 2000个家庭的年人均收入
D. 200万个家庭的年人均收入
二、填空题（每题2分，共20分）。
1. 设n X X ,,1 是来自总体),(~2
σμN X 的简单随机样本，2
1
2
)(σ
μ∑=-=
n
i i
X
Y ，
则~Y 。
2. 设X 的分布律为
X 1 2 3 P θ θ21- θ
已知一个样本值 1 1 1 2 2 3，则参数θ的极大似然估计值为 。
3. 设n X X X ,,,21 是来自均匀分布总体),0(θU （0>θ是参数）的一个样本，则θ 的矩估计为 。
4. 单因素方差分析中，数据
s j n i X j ij ,,2,1;,,2,1, ==取自s 个总体
()
s j N X j j ,,2,1,,~2 =σμ，则j
n i ij
j n X
X j
∑==
1
服从分布 。
5. 设总体),(~2
σμN X ，2
,σμ为未知参数，样本n X X X ,,,21 的均值和方差
分别为X 和2
S
，则假设0:0:10≠↔=μμH H 的t 检验使用的统计量
=t 。
6. 假设1225,,
,X X X 是从均匀分布(0,5)U 抽取的样本，那么样本均值X 的渐近分
布是 。
7. 单因素方差分析中，假设因子有3个水平，每个水平下重复4次试验。
现已知每个水
平下试验结果的样本标准差分别为 1.5, 2.0和 1.8，则误差平方和等于 。
8. 设总体X ~),(2
σμN ，已知σ=σ0，要使总体均值μ的置信水平为1-α的置信
区间的长度不大于l ，则需要的样本容量至少为 。
9. 设n X X X ,,,21 是来自二点分布(1,)b p 的一个样本，则p 的极大似然估计
为 。
10. 设129,,
,X X X 是来自正态总体(,0.36)N μ的一个随机样本。
经计算，样本均值
等于5，则μ的95%的置信区间为 。
三、计算题（共60分）。
1（18分）. 设总体X 具有概率密度:
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,
0,
0,1
)(2x x xe x f x θθ
其中0>θ为未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本,n x x x ,,,21 是相应的样本观察值.
（1）求θ的最大似然估计量. （2）求θ的矩估计量.
（3）求得的估计量是否是无偏估计量.
2（12分）. 设n X X X ,,,21 来自某总体X 的一个简单随机样本（50>n ），X 的均值θ为未知参数，方差2
σ已知。
请用大样本方法给出θ的置信度α-1的置信区间。
3（16分）. 设总体X 服从指数分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-,
,0,
0,1)(/其它x e x f x θ
θ0>θ未
知.从总体中抽取一容量为n 的样本.,,,21n X X X 利用结论.
)2(~22n X
n χθ
（1）求θ的置信水平为α-1的置信区间。
（2）利用上题的置信区间，试给出假设检验问题0100::θθθθ≠↔=H H 的显著性
水平为α为拒绝域.
4（14分）. 在一项调查中，研究者想要了解房屋装修情况对房屋价格（单位：万元/平方米）的影响。
为此调查了30间粗装修，35间精装修和35间毛坯房的价格情况。
现对每种房屋的价格进行方差分析，得到的部分计算结果如下表所示。
请回答：（05.0=α）
表3: 方差分析表
（1）写出上述方差分析表所检验问题的原假设和备择假设。
（2）请补充填写上面方差分析结果表中的所有空格部分。
（3）不同装修情况的房屋价格是否有显著差异？为什么？。