高中数学一轮复习 第6讲 空间向量及其运算

随堂演练巩固

1.设命题p :a ,b ,c 是三个非零向量;命题q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】:只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底.

2.如图所示,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设11B A =a ,11A D =b ,A A 1 =c ,则

下列向量中与M B 1相等的向量是

A.－21a +21

b +c

B.21a +21

b +

c C.21a －21

b +

c D.－21a －2

1

b +c

【答案】A

【解析】M B 1 =B B 1+BM =A A 1+ 2

1

(11D A －11B A ) =c +

21(b －a )=－21a +2

1

b +

c . 3.下面几项中,代表与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标的是()

A.( 1

3

,1,1)

B.(-1,-3,2)

C.(- 1,3

2

,-1) 22)

【答案】 C

【解析】 由题意可知-12a =(-12,3

2

,-1).故选C.

4.在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,设AC =x +2y +3z CC ,则x +y +z 的值为

A.611

B.

65 C.3

2

D.6

7 【答案】A

【解析】∵在平行六面体中, AC =++CC ,

又'AC =x AB +2y BC +3z 'CC ,

∴⎪⎩⎪⎨⎧===.13,12,1z y x ∴⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

===,31,21,

1z y x ∴x +y +z =611.

5.已知点A (－3,5,－2),a =(－1,1,1),在yOz 面上找一点B ,使得AB ∥a ,则点B 的坐标为

__________.

【答案】(0,2,－5)

【解析】设B (0,y ,z ),则AB =(3,y －5,z +2). ∵AB ∥a ,∴存在一个实数λ,使得AB =λa , 即(3,y －5,z +2)=λ(－1,1,1),

∴⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=--=.2,5,3λλλz y 解得λ=－3,y =2,z =－5. ∴点B 的坐标为(0,2,－5). 课后作业夯基 基础巩固

1.在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,向量'AB 、'AD 、BD 是 A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量 【答案】C

【解析】∵'AD －'AB =''D B =BD ,∴'AB 、'AD 、BD 共面. 2.下面几项中,代表与向量a =(1,-1,-2)垂直的一个向量的坐标的是() A.(

1

3

,1,1) B.(-1,-3,2)

C.(-

12,3

2

,-1) D.( 2,-3,-22)

【答案】 C

【解析】 由两向量垂直的充要条件可得.

3.已知空间四边形ABCD 中,G 为CD 的中点,则AB +1

2

(BD +BC )等于()

A. AG

B. 1

2 AG C. BC

D. 1

2

BC

【答案】 A

【解析】 依题意有AB +

1

2

(BD + BC )= AB + BG = AG .

4.若向量a =(1,λ,2),b =(2,－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为9

8

,则λ等于 A.2

B.－2

C.－2或

552

D.2或－

55

2 【答案】:C

【解析】由已知得

98=||||b a b

a ⋅=9

5422⋅++-λλ,

∴825λ+=3(6－λ),解得λ=－2或λ=55

2

.

5.已知a =(2,－1,3),b =(－1,4,－2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于

A.

762 B.

763 C.7

60

D.7

65

【答案】D

【解析】由题意得c =t a +μb =(2t －μ,－t +4μ,3t －2μ),

∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=.23,45,27μλμμt t t ∴⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧===.765,717,

733λμt

6.已知直线AB 、CD 是异面直线,AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,且AB =2,CD =1,则异面直线AB 与CD 所成角的

大小为 A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C

【解析】∵cos 〈AB ,CD 〉＝

|

|||CD AB CD

AB

=

2

12)(2

CD

CD DB CD AC =

⨯⋅++= 21, ∴AB 与CD 所成角为60°.

7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,给出以下向量表达式: ① (

11A D -1A A )-AB ;②(BC +

1BB )-11DC ;③(AD - AB )-21DD ;④

(

11B D +

1A A )+

1DD .

其中能够化简为向量1BD 的是()

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④ 【答案】 A