曲线的凹凸性与拐点

·复习 函数的单调性的定义，函数的极值。

·引入 由函数的单调性我们可知道曲线上升与下降的情况，还应知道它的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点，这就是曲线的凹向与拐点。 ·讲解新课

曲线的凹凸性与拐点

1 曲线的凹凸定义及判定法

定义1 如果曲线位于其每一点切线的上方，那么称曲线弧是凹的（如图（1）所示），如果曲线位于其每一点切线的下方，那么称曲线弧是凸的（如图（2））．

y

O

x x

y

O y f x =()

（2）

是描述一阶导数的单调性的。从上图可以看出，如果曲线是凹的，切线的倾斜角随x 的增大而增大，由导数的几何意义知()f x '随x 的增大而增大，即函数的一阶导数是单调增加的，所以()0f x ''>；同样，如果曲线是凸的，切线的倾斜角随x 的增加而减少，就是()f x '随x 的增大而减少，即函数的一阶导数是单调减少的，所以()0f x ''<。反之结论是否成立呢？下面给出曲线凹凸性的判定定理。

定理1 设函数)(x f y =在[,]a b 内连续，在),(b a 内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在),(b a 内，0)(>''x f ，则曲线曲线)(x f y =在[,]a b 上是凹的. （2）

若在),(b a 内，0)(<''x f ，则曲线曲线)(x f y =在[,]a b 上是凸的．

例1 判定曲线x y ln =的凹凸性．

解：函数x y ln =的定义域为),0(+∞，且21

)(,1)(x

x f x x f -=''='． 因为在),0(+∞上)(x f ''恒为负， 所以曲线x y ln =在其定义域内是凸的． 例2 判定曲线x

y 1

=的凹凸性． 解：函数x y 1

=

的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且322

,1x

y x y =''-='．

因为当0x 时0>''y ， 所以曲线在)0,(-∞内是凸的，在),0(+∞内是凹的， 2 曲线的拐点及其求法

定义2 把连续曲线凹凸部分的分界点叫做曲线的拐点．

定理2 （拐点的必要条件）若函数)(x f y =在0x 处的二阶导数0()f x ''存在，且点00(,())x f x 为曲线)(x f y =的拐点，则0()0f x ''=。

如何来求曲线的拐点呢？

由于拐点是曲线的凹凸部分的分界点，所以拐点左右两侧近旁的()f x ''必然异号，因此，曲线拐点横坐标x 0只可能是使()f x ''=0的点。如3x y =中，点

（0，0）就是曲线3x y =的拐点，但在x

y 1

=

中，虽然点0=x 的左右近旁)(x f ''异号，但由于在点0=x 处曲线不连续，故不能说点（0，0）是曲线x

y 1

=的拐

点。

函数二阶导数不存在的点，在曲线上相应的点也可能是拐点．如函数

3x y =的二阶导数在0=x 处不存在，但点（0，0）却是曲线的拐点．

综上所述，判定曲线)(x f y =的凹凸与拐点的一般方法为： （1）确定函数)(x f 的定义域. （2）求函数)(x f 的二阶导数.

（3）求出满足0)(=''x f 的所有点及二阶导数不存在的点.

（4）以（3）中找出的所有点，把函数的定义域分成若干个部分区间，然后考察二阶导数在各部分区间的符号，从而判定曲线在各部分区间的凹凸性与拐点．

例4 求函数14334+-=x x y 的凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为),(+∞-∞，

且321212y x x '=-，22

362436()3

y x x x x ''=-=-，

令0=''y ，得3

2

,021==x x ．

列表：

由表可知，当3

,021=

=x x 时，曲线有拐点(0,1)A 和211

(,)327

B ，表中⋃表

示曲线是凹的，⌒表示曲线是凸的．函数的图像如图（3）所示.

练习 1.判定下列曲线的凹凸性. （1）24x x y -=，（2）4x y =，（3）

3

2

x y =。

小结 1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。

2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。

作业：习题第一题