中国古代数学的主要成就PPT参考
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中国古代数学ppt课件
评述
1.巴比伦：60进位的分数 2.埃及：单位分数 3.阿拉伯：主分数，单位分数 ——都未能给出行之有效的分数算法
中算分数算法的特点.
1. 除法运算定义分数 2. 分数概念的两重性 运算结果：独立的数； 运算过程：母与子 3 .基本性质 分子、分母同乘不为零的数，其值不变。 4. 通分——“齐同术” 母互乘子谓之齐，母相乘谓之同
初等数学理论的发展 刘徽：《九章算术注》（264AD） 祖冲之：3.1415926<π<3.1415927
刘 徽（造像）
祖冲之（造像）
隋唐:589-960AD
国家数学教育 国子监:明算科 李淳风:编纂“十部算经” 周髀算经、九章算术、海岛算经 缀术(唐朝佚） 数术记遗（南宋补） 孙子算经、张丘建算经、夏侯阳算经 五曹算经、五经算术 缉古算经
2 注释者
刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 “徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。” ——刘徽：《九章算术注》
祖冲之，祖暅:南北朝，圆周率，球体体积公式 李淳风：唐朝，“十部算经”国子监教科书 杨辉：南宋，《详解九章算法》 吴敬：明，《九章算法比类大全》 李潢：清，《九章算术细草图说》 现代：钱宝琮校点《算经十书》 白尚恕《〈九章算术〉注释》《〈九章算术〉今译》 李继闵《〈九章算术〉与刘徽注研究》《〈九章算术〉校证》 《〈九章算术〉导读与译注》 郭书春：汇校《九章算术》 沈康身：《〈九章算术〉导读》
负数是怎样进入数学的？
盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。 问题：那个文明最早使用负数？
1.巴比伦：60进位的分数 2.埃及：单位分数 3.阿拉伯：主分数，单位分数 ——都未能给出行之有效的分数算法
中算分数算法的特点.
1. 除法运算定义分数 2. 分数概念的两重性 运算结果：独立的数； 运算过程：母与子 3 .基本性质 分子、分母同乘不为零的数，其值不变。 4. 通分——“齐同术” 母互乘子谓之齐，母相乘谓之同
初等数学理论的发展 刘徽：《九章算术注》（264AD） 祖冲之：3.1415926<π<3.1415927
刘 徽（造像）
祖冲之（造像）
隋唐:589-960AD
国家数学教育 国子监:明算科 李淳风:编纂“十部算经” 周髀算经、九章算术、海岛算经 缀术(唐朝佚） 数术记遗（南宋补） 孙子算经、张丘建算经、夏侯阳算经 五曹算经、五经算术 缉古算经
2 注释者
刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 “徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。” ——刘徽：《九章算术注》
祖冲之，祖暅:南北朝，圆周率，球体体积公式 李淳风：唐朝，“十部算经”国子监教科书 杨辉：南宋，《详解九章算法》 吴敬：明，《九章算法比类大全》 李潢：清，《九章算术细草图说》 现代：钱宝琮校点《算经十书》 白尚恕《〈九章算术〉注释》《〈九章算术〉今译》 李继闵《〈九章算术〉与刘徽注研究》《〈九章算术〉校证》 《〈九章算术〉导读与译注》 郭书春：汇校《九章算术》 沈康身：《〈九章算术〉导读》
负数是怎样进入数学的？
盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。 问题：那个文明最早使用负数？
刘徽数学成就PPT课件
16
.
三、刘徽的重差术
重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不 可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和提高， 写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在 序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重 差．”全书只有九道题，但很有代表性．
例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈 高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对 齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好 过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线 也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？
20
.
2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》 的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而 同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个 数学研究都贯穿了这一思想．例如，他把许多平面几 何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘 徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术 的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体 现．
若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未 知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比 例．
刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个
数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方
程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言
8
之”．
.
对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每 行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改 变方程组的解；
9
.
3．几何
(1)割圆术 刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精
确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数 据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆 周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多， 其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了 科学的求圆周率方法---割圆术．具体来说，就是以1 尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增 边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192 边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面 积在数值上等于圆周率，从而简化运算．
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三、刘徽的重差术
重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不 可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和提高， 写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在 序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重 差．”全书只有九道题，但很有代表性．
例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈 高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对 齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好 过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线 也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？
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2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》 的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而 同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个 数学研究都贯穿了这一思想．例如，他把许多平面几 何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘 徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术 的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体 现．
若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未 知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比 例．
刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个
数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方
程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言
8
之”．
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对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每 行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改 变方程组的解；
9
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3．几何
(1)割圆术 刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精
确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数 据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆 周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多， 其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了 科学的求圆周率方法---割圆术．具体来说，就是以1 尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增 边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192 边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面 积在数值上等于圆周率，从而简化运算．
中国古代数学中的数学文化PPT
书等多种古代珍贵的文献，还有一部数
学著作，据写在一支竹简反面的字迹识 别，这部竹简算书的书名叫?算数书?， 它是中国现存最早的数学专著。经研究 ，它和?九章算术?〔公元1世纪〕有许 多相同之处，体例也是“问题集〞形式 ，大多数题都由问、答、术三局部组成 ，而且有些概念、术语也与?九章算术? 的一样。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
2002年湖南龙山里耶战国－秦汉城址考古
• 2002年7月，考古 人员在湖南龙山里
耶战国－秦汉古城 出土了36000余枚 秦简。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
秦简 (2002年湖南龙山里耶出土)
• 记录的是秦始皇二十 六年至三十七年〔即
公元前221－前210年 〕的秦朝历史，其中
九九乘法表
• 文学作品中，就有很多“九九〞乘法口诀。 • ?西游记?中，唐僧师徒四人去西天取经，沿途
经历七七四十九劫，九九八十一难。 • ?越王勾践?中，翻过九九八十一座山，渡过八
八六十四条溪，走了七七十九天，终于找到秦 溪山。 • 方言俗语、地方谚语，均能看到乘法表的影子 。 • “六六三十六，阎王接你吃腊肉〞、“不管三七 二十一〞等。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
?史记·夏本纪?
大禹治水 (公元前21世纪)
先秦时期——中国古代数学的萌芽
• 在殷墟出土的商代甲骨文中， 有一些是记录数字的文字，说 明中国已经使用了完整的十进 制记数，包括从一至十，以及 百、千、万，最大的数字为三 万。这是对世界数学最伟大的 奉献。
殷墟甲骨上数学 (商代, 公元前1400-前1100年 )
• 如图，Plato对等腰直角三 角形作了证明，他把腰上 两个正方形沿对角线切开 ，所得四个全等的等腰直 角三角形可以拼成原三角 形斜边上的正方形。
学著作，据写在一支竹简反面的字迹识 别，这部竹简算书的书名叫?算数书?， 它是中国现存最早的数学专著。经研究 ，它和?九章算术?〔公元1世纪〕有许 多相同之处，体例也是“问题集〞形式 ，大多数题都由问、答、术三局部组成 ，而且有些概念、术语也与?九章算术? 的一样。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
2002年湖南龙山里耶战国－秦汉城址考古
• 2002年7月，考古 人员在湖南龙山里
耶战国－秦汉古城 出土了36000余枚 秦简。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
秦简 (2002年湖南龙山里耶出土)
• 记录的是秦始皇二十 六年至三十七年〔即
公元前221－前210年 〕的秦朝历史，其中
九九乘法表
• 文学作品中，就有很多“九九〞乘法口诀。 • ?西游记?中，唐僧师徒四人去西天取经，沿途
经历七七四十九劫，九九八十一难。 • ?越王勾践?中，翻过九九八十一座山，渡过八
八六十四条溪，走了七七十九天，终于找到秦 溪山。 • 方言俗语、地方谚语，均能看到乘法表的影子 。 • “六六三十六，阎王接你吃腊肉〞、“不管三七 二十一〞等。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
?史记·夏本纪?
大禹治水 (公元前21世纪)
先秦时期——中国古代数学的萌芽
• 在殷墟出土的商代甲骨文中， 有一些是记录数字的文字，说 明中国已经使用了完整的十进 制记数，包括从一至十，以及 百、千、万，最大的数字为三 万。这是对世界数学最伟大的 奉献。
殷墟甲骨上数学 (商代, 公元前1400-前1100年 )
• 如图，Plato对等腰直角三 角形作了证明，他把腰上 两个正方形沿对角线切开 ，所得四个全等的等腰直 角三角形可以拼成原三角 形斜边上的正方形。
中国数学史 ppt课件
中国现存最早的数学书： 《算数书》 (西汉, 约公元前170年, 1983-1984 年 间 湖 北 江 陵张家山出土)
《周髀算经》
《周髀算经》(西汉, 约公元前100年)
数学内容主要有三方面：
复杂的分数乘除运算
勾股定理的普遍形式 （中国最早关于勾股定理的书面记载） 求邪至日者，以日下为 勾，日高为股，勾股各 自乘，并而开方除之， 得邪至日。
徽率157/50即3.14
《九章算术注》
刘徽的割圆术
《九章算术注》
割圆术(6边形)
《九章算术注》
割圆术(12边形)
《九章算术注》
割圆术(24边形)
《九章算术注》
割圆术(48边形)
《九章算术注》
割圆术(96边形)
《缀术》
刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之推进和发展
祖冲之(南朝宋、齐, 429-500)
3.中算发展的第三次高峰 数学全盛时期
社会背景
毕升(北宋, 约970-1051)
毕升发明活字印刷术 (1041—1048)
《九章算术》等雕版算书 出版（1084，1212）
促进了数学著作的保存与 流传
贾宪三角
（北宋，公元11世纪上半叶）
贾宪三角
贾宪：《黄帝九章算术细草》(约1050)
发明“增乘开方法”：
中国传统数学的形成与兴盛： 1世纪——14世纪
将中国传统数学分成3个阶段： ➢《》与《九章算术》 ➢ 刘徽与祖冲之
这分别反映了中国传统数学发展的3次高峰。
1
中国传统数学的发展
《周髀算经》与《九章算术》 刘徽与祖冲之 宋元数学
1.中算发展的第一次高峰
数学体系的形成
秦汉时期：形成中国传统数学体系 《算数书》
《周髀算经》
《周髀算经》(西汉, 约公元前100年)
数学内容主要有三方面：
复杂的分数乘除运算
勾股定理的普遍形式 （中国最早关于勾股定理的书面记载） 求邪至日者，以日下为 勾，日高为股，勾股各 自乘，并而开方除之， 得邪至日。
徽率157/50即3.14
《九章算术注》
刘徽的割圆术
《九章算术注》
割圆术(6边形)
《九章算术注》
割圆术(12边形)
《九章算术注》
割圆术(24边形)
《九章算术注》
割圆术(48边形)
《九章算术注》
割圆术(96边形)
《缀术》
刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之推进和发展
祖冲之(南朝宋、齐, 429-500)
3.中算发展的第三次高峰 数学全盛时期
社会背景
毕升(北宋, 约970-1051)
毕升发明活字印刷术 (1041—1048)
《九章算术》等雕版算书 出版（1084，1212）
促进了数学著作的保存与 流传
贾宪三角
（北宋，公元11世纪上半叶）
贾宪三角
贾宪：《黄帝九章算术细草》(约1050)
发明“增乘开方法”：
中国传统数学的形成与兴盛： 1世纪——14世纪
将中国传统数学分成3个阶段： ➢《》与《九章算术》 ➢ 刘徽与祖冲之
这分别反映了中国传统数学发展的3次高峰。
1
中国传统数学的发展
《周髀算经》与《九章算术》 刘徽与祖冲之 宋元数学
1.中算发展的第一次高峰
数学体系的形成
秦汉时期：形成中国传统数学体系 《算数书》
中国古代数学史ppt
“割
的
圆术”和求积理论。
数
割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆
学
内接正六边形出发将边数逐次
成 就
加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而
无所失矣。”
割圆术的基本原理
设圆面积为S0、半径为 r、 圆内接正n边形边长为 ln 、
•《九章算术》标志着中 国传统数学的知识体系 已初步形成。代表了中 国传统数学体系和思想 方法的特点：注重实际 问题的数值计算方法， 缺少抽象的理论和逻辑 系统性，使用算筹，形 成世界上独有的计算工 具和程序化计算方法
刘徽，公元3世纪魏晋时人，
刘
于公元263年撰《九章算注》。 该书包含了刘徽本人的许多创
的骨架加上汉代的皮肉。”
《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股 定理证明的数学家是三国时期的赵爽 （公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中 给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。
《九章算术》成书于公元前后，
是我国最重要、影响最深远的
一本数学著作。后世不少人，
如刘徽、祖冲之、李淳风等人
九
均对《九章算术》作过注。特
章
别是刘徽的注，加进了不少自
算
己的精辟见解，阐述了重要的
术
数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的
重要补充和媒介。
日本数学家小苍金之助把《九
章算术》说成是中国的《几何
原本》。吴文俊教授也认为，
《九章算术》和刘徽的《九章
禾一秉，实三十九斗；上禾二
秉，中禾三秉，下禾一秉，实
的
圆术”和求积理论。
数
割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆
学
内接正六边形出发将边数逐次
成 就
加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而
无所失矣。”
割圆术的基本原理
设圆面积为S0、半径为 r、 圆内接正n边形边长为 ln 、
•《九章算术》标志着中 国传统数学的知识体系 已初步形成。代表了中 国传统数学体系和思想 方法的特点：注重实际 问题的数值计算方法， 缺少抽象的理论和逻辑 系统性，使用算筹，形 成世界上独有的计算工 具和程序化计算方法
刘徽，公元3世纪魏晋时人，
刘
于公元263年撰《九章算注》。 该书包含了刘徽本人的许多创
的骨架加上汉代的皮肉。”
《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股 定理证明的数学家是三国时期的赵爽 （公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中 给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。
《九章算术》成书于公元前后，
是我国最重要、影响最深远的
一本数学著作。后世不少人，
如刘徽、祖冲之、李淳风等人
九
均对《九章算术》作过注。特
章
别是刘徽的注，加进了不少自
算
己的精辟见解，阐述了重要的
术
数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的
重要补充和媒介。
日本数学家小苍金之助把《九
章算术》说成是中国的《几何
原本》。吴文俊教授也认为，
《九章算术》和刘徽的《九章
禾一秉，实三十九斗；上禾二
秉，中禾三秉，下禾一秉，实
中国古代数学史PPT课件
第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。
第七章“盈不足”讲述算术中盈 亏问题的解法。盈不足术实际上 是一种线性插值法。该方法通过 丝绸之路传入阿拉伯国家，受到 特别重视，被称为“契丹算法”。 后来传入欧洲，13世纪意大利数 学家斐波那契的《算经》一书中 专门有一章讲“契丹算法”。
第二章“粟米”讲述有关粮食交换 中的比例问题。书中的“今有术” 给出比例式中已知三数求第四数的 方法，欧洲迟至15世纪才出现。
第三章“衰分”讲述配分比例和等 差、等比等问题。
第四章“少广”讲述由田亩面积求 边长，由球体积求经长的算法，这 是世界上最早的多位数开平方、开 立方法则的记载。
今有积五万五千二百二十五步， 问为方几何？答曰：二百三十 五步。
周长为 Ln、面积为 Sn 。将边
数加倍后,得到圆内接正2n边
形，其边长、周长、面积分别
记为 l2n , L2n , S 2n 。 刘徽首先指出，由 ln 及勾股 定理可求出 l2n
其次知道了圆内接正n 边形的
一本数学著作。后世不少人，
如刘徽、祖冲之、李淳风等人
九
均对《九章算术》作过注。特
章
别是刘徽的注，加进了不少自
算 术
己的精辟见解，阐述了重要的 数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的
重要补充和媒介。
日本数学家小苍金之助把《九
章算术》说成是中国的《几何
原本》。吴文俊教授也认为，
《九章算术》和刘徽的《九章
中国古代数学的主要成就
《周髀算经》是我国最早的天
文著作，系统地记载了周秦以Leabharlann 来适应天文需要而逐步积累的
周
科技成果。该书的主要内容是
中国古代数学ppt课件
第四章 源远流长、成就卓著的 中国古代数学
中国是世界上最古老的文明发源地之一.中 国古代数学作为中国文化的一个重要组成 部分,由于其自身的渊源,形成了与西方迥然 不同的风格.
`.
1
华夏民族的远古历史至少可追溯到公 元前3000年的炎帝部落和黄帝部落。 初期的部落联盟中产生了尧、舜这样 的军事领袖，舜禅让位于禹后，禹建 立了中国历史上第一个王朝—夏朝。 商王汤推翻夏王桀后建立商朝，直到 周武王灭纣建立周朝。经过东周以及 西周的春秋战国时期，秦王赢政征服 列国，开辟了中国长达两千多年的中 央高度集权制的封建专制政治格局。 2
4
中国的数学发展史可分为
秦以前：数学知识的早期积累
秦
汉：系统数学理论的奠定
晋
唐：数学理论的充实
宋
元：数学理论的发展
明
清：传统数学的沉寂和复苏
5
将理论体系形成之前的历史阶段称为 数学知识的早期积累阶段。这一时期 的中国数学大致包括：数字和记数方 法、筹算术、数概念的扩展、图形知 识、定义与命题等。这五个方面后来 以数与形两条认识渠道得到充实和发 展
25
4.2.2 《九章算术》
《算术》包括了四大算法系统和两大求 积公式系统。四大算法系统是分数算法 、一般比率算法、组合比率算法、开方 算法；两大求积公式系统是面积公式系 统和体积公式系统
26
4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
27
28
4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
23
4.2.2 《九章算术》
《算术》的体系是中国数学理论体系的 典型代表。这个体系的基本结构是：以 题解为中心，在题解中给出算法，根据 算法组建理论体系。即以题解为中心的 算法体系。
中国是世界上最古老的文明发源地之一.中 国古代数学作为中国文化的一个重要组成 部分,由于其自身的渊源,形成了与西方迥然 不同的风格.
`.
1
华夏民族的远古历史至少可追溯到公 元前3000年的炎帝部落和黄帝部落。 初期的部落联盟中产生了尧、舜这样 的军事领袖，舜禅让位于禹后，禹建 立了中国历史上第一个王朝—夏朝。 商王汤推翻夏王桀后建立商朝，直到 周武王灭纣建立周朝。经过东周以及 西周的春秋战国时期，秦王赢政征服 列国，开辟了中国长达两千多年的中 央高度集权制的封建专制政治格局。 2
4
中国的数学发展史可分为
秦以前：数学知识的早期积累
秦
汉：系统数学理论的奠定
晋
唐：数学理论的充实
宋
元：数学理论的发展
明
清：传统数学的沉寂和复苏
5
将理论体系形成之前的历史阶段称为 数学知识的早期积累阶段。这一时期 的中国数学大致包括：数字和记数方 法、筹算术、数概念的扩展、图形知 识、定义与命题等。这五个方面后来 以数与形两条认识渠道得到充实和发 展
25
4.2.2 《九章算术》
《算术》包括了四大算法系统和两大求 积公式系统。四大算法系统是分数算法 、一般比率算法、组合比率算法、开方 算法；两大求积公式系统是面积公式系 统和体积公式系统
26
4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
27
28
4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
23
4.2.2 《九章算术》
《算术》的体系是中国数学理论体系的 典型代表。这个体系的基本结构是：以 题解为中心，在题解中给出算法，根据 算法组建理论体系。即以题解为中心的 算法体系。
中国古代数学史 ppt课件
刘徽，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学 名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进 行“析理”，才能使数学著作简明严密。他的《九章算术》注不仅是 对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在 论述的过程中有很大的发展。
刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并 推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方 程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解 只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加 法消元可以统一为一种方法。
《周礼》中的六艺 礼—礼节。五礼者，吉、凶、宾、军、嘉也。 乐—音乐。六乐 ：云门、大咸、大韶、大夏、大镬、大武 射—射箭技术。五射：白矢、参连、剡注、襄尺、井仪 御—驾驶马车的技术。鸣和鸾、逐水车、过君表、舞交衢、逐禽左 书—文学。六书：象形 、指事、会意、形声、转注、假借 数—算术与数论知识
几何学 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发 现，故又有称之为商高定理。 商高曰:……折矩以为勾广三、股修田,径隅五…”
中国数学的兴起—原始社会至西周的数学
1.圆形观念的形成与规矩准绳
人类在与自然接触的过程中认识了圆，古代用规画圆，用矩画方
2.十进位制计数法的形成与算筹的创造
十进位制计数法最早出现于殷商的甲骨文，在春秋时期已经相当的完善
3.数学形成一门学科
春秋，九九表和整数乘除法则已出现
中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学
竹简著作《算数书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成 书时间应更早，是一部比较完整的，也是目前可以见到的中 国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有69个小标 题，，71条相当抽象的公式，近百道数学问题及其解法，内 容包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等 等。
刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并 推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方 程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解 只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加 法消元可以统一为一种方法。
《周礼》中的六艺 礼—礼节。五礼者，吉、凶、宾、军、嘉也。 乐—音乐。六乐 ：云门、大咸、大韶、大夏、大镬、大武 射—射箭技术。五射：白矢、参连、剡注、襄尺、井仪 御—驾驶马车的技术。鸣和鸾、逐水车、过君表、舞交衢、逐禽左 书—文学。六书：象形 、指事、会意、形声、转注、假借 数—算术与数论知识
几何学 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发 现，故又有称之为商高定理。 商高曰:……折矩以为勾广三、股修田,径隅五…”
中国数学的兴起—原始社会至西周的数学
1.圆形观念的形成与规矩准绳
人类在与自然接触的过程中认识了圆，古代用规画圆，用矩画方
2.十进位制计数法的形成与算筹的创造
十进位制计数法最早出现于殷商的甲骨文，在春秋时期已经相当的完善
3.数学形成一门学科
春秋，九九表和整数乘除法则已出现
中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学
竹简著作《算数书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成 书时间应更早，是一部比较完整的，也是目前可以见到的中 国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有69个小标 题，，71条相当抽象的公式，近百道数学问题及其解法，内 容包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等 等。
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 中国古代的筹算表现为算法的形式，而具有模式 化、程序化的特征。中国的筹算不用运算符号， 无须保留运算的中间过程，只要求通过筹式的逐 步变换而最终获得问题的解答。因此，中国古算 中的“术”，都是用一套一套的“程序语言”所 描写的程序化算法，并且中算家经常将其依据的 算理蕴涵于演算的步骤之中，起到“不言而喻， 不证自明”的作用。可以说“寓理于算”是古代 筹算在表现形式上的又一特点。
《九章算术》注
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 东晋以后，祖冲之父子，把传统数学大大向前推 进了一步。他们的数学工作主要有：
• 计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；
• 提出祖暅原理。“幂势既同则积不容异”，即等 高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等， 则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理。 祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体 积公式
秦九韶
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 名家的命题论述了有限长度可分割成一个无 穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割 的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数 学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展 是很有意义的。。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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求得牟合方盖的体积，然后利用刘 徽的结果，得到了球体积公式。
祖暅还明确总结出了“幂势既 同，则积不容异”这样一条求 积原理。该原理现被称为“祖 暅原理”。事实上，刘徽也使 用过这一原理，只是未能将其 概括为一般形式。这一原理在 西方被称为卡瓦列里原理，但 他17世纪前叶才提出，比祖暅
迟了1100多年。
[鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上
有三十五头，下有九十四足。
问雉、兔各几何？答曰：雉二
十三，兔一十二。
孙
术曰：上置头，下置足，半其
子
足，以头除足，以足除头，即
算
得。
经
[物不知数]今有物，不知其数。
三三数之，剩二；五五数之剩
三；七七数之，剩二。问物几
何？答曰：二十三。
明代数学家程大位的《算法统
宗》中所载的“孙子歌”以诗
弦 图
《九章算术》成书于公元前后，
是我国最重要、影响最深远的
一本数学著作。后世不少人，
如刘徽、祖冲之、李淳风等人
九
均对《九章算术》作过注。特
章
别是刘徽的注，加进了不少自
算 术
己的精辟见解，阐述了重要的
数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的
重要补充和媒介。
日本数学家小苍金之助把《九
元
《详解九章算法》（杨辉）、
数
《益古演段》（李冶）和《四
学
元玉鉴》（朱世杰）等
问题：求满足的
N r 1 ( m o d p 1 ) r 2 ( m o d p 2 ) ...... r n ( m o d p n )
大
最小自然数N。
衍
◆设 M pi， Mi M/ pi
总
求乘率 M
i
使
MiMi 1(modpi)
是把《周髀算经》看作具有周
代的骨架加上汉代的皮肉。”
昔者周公问于商高曰：“窃闻
于大夫善数也，请问古者包牺
立周天历度，夫天不可阶而升，
地不可得尺寸而度，请问数安
勾
从出？”商高曰：“数之法出
股
于圆方，圆出于方，方出于矩，
定 理
矩出于九九八十一。故折矩， 以为勾广三，股修四，径隅 五。”
《周髀算经》中荣方与陈子的
中国古代数学的主要成就
《周髀(音同“币”)算经》是我
国最早的天文著作，系统地记
载了周秦以来适应天文需要而
周
逐步积累的科技成果。该书的
髀
主要内容是周代传下来的有关 测天量地的理论和方法。
算 经
《周髀算经》也是中国最古的 算书，成书确切年代没有定论，
一般认为在公元前2、3世纪。
李约瑟认为：“最妥善的办法
史料上没有关于祖冲之推算圆周
率方法的记载，一般认为是沿用
了刘徽的“割圆术”。刘徽用
“割圆术”从圆内接正六边形出 发，算到圆内接正192边形，得到 圆周率约为3.14124，如果用这一 方法算到圆内接正24576边形，便
得到圆周率在3.1415926和 3.1415927之间。祖冲之在圆周率
的计算方面领先于西方近千年。 为了纪念祖冲之的贡献，20世纪
数
则总数
章算术》说成是中国的《几何
原本》。吴文俊教授也认为，
《九章算术》和刘徽的《九章
九
算术注》，在数学的发展历史
章
中具有崇高的地位，足可与希
算
腊的《几何原本》东西辉映，
术
各具特色。
《九章算术》全书共分9章，
246道题，体例采用问题集形
式。
刘徽，公元3世纪魏晋时人，
刘
于公元263年撰《九章算术 注》。该书包含了刘徽本人的
冲
公府参军，都是地位不高的小官，
之
但他却成为历代为数不多能名列正 史的数学家之一。
的
祖冲之最大的数学成就是对圆周率
数
的精确计算。得出了圆周率的上限
学
3.1415927（盈数），下限 3.1415926（肭数）。另外还得出了
成
圆周率的两个分数形式的近似值约
就
率22/7，和密率（祖率）355/113。
出于官方数学教育的需要，唐
高宗亲自下令对以前的数学著
作进行整理。公元656年由李
淳风负责编定了算经十书：
算
《周髀算经》、《九章算术》、
经
《孙子算经》、《五曹算经》、
十 书
《张邱建算经》、《夏候阳算 经》、《缉古算经》、《海岛 算经》、《五经算术》和《缀
术》，后因《缀术》失传，而
以《数术记遗》替代。
歌形式介绍了物不知数问题的
解法：“三人同行七十稀，五
孙
树梅花廿一枝，七子团圆整半 月，除百零五便得知。”
子 歌
这一问题的解法后经秦九韶推
广到一般情形，被称为“孙子
定理”，又称为“中国剩余定
理”。
宋元时期（960-1368）的杰出
数学家秦九韶、杨辉、李冶、 朱世杰被称为“宋元四大家”。
宋
宋元时期的数学代表著作有 《数书九章》（秦九韶）、
的日本天文学家将自己发现的一 颗行星以祖冲之的名字命名。
从东汉以来，有关球体积的计算公 式，经过张衡、刘徽等人的努力， 最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成， 成为中国数学史上的一件大事。祖 氏父子的这一成就，被唐代李淳风 记录在自己的《九章算术注》中， 才使人们得以了解其具体的研究方
法。祖氏父子利用“两等高几何体， 若在任意同一高度上的截面积均相 等，则它们的体积相等”这一原理，
一段对话中，则包含了勾股定
勾
理的一般形式。
股
陈子曰：“若求邪至日者，以
定
日下为勾，日高为故，勾、股
理
各自乘，并而开方除之，得邪 至日，…”
《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股
定理证明的数学家是三国时期的赵爽
（公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中 给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。
刘徽的面积、体积理论建立在一 条简单而又基本的原理之上，这
就是“出入相补原理”：一个几 何图形被分成若干部分后，面积 或体积的总和保持不变。刘徽利
用这条原理成功地证明了《九章 算术》中的许多面积公式。
祖冲之（公元429—500）活跃于南
祖
朝宋、齐时代，出生于历法世家， 本人做过南徐州（镇江）从事史和
徽
许多创造，其中最突出的成就
的
是“割圆术”和求积理论。
数
割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆
学
内接正六边形出发将边数逐次
成 就
加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而
无所失矣。”
刘徽用“割圆术”从圆内接正六 边形出发，算到圆内接正192边形， 得到圆周率约为3.14124，其精确 到小数点后两位的近似值 3.14=157/50，被称为“徽率”。
祖暅还明确总结出了“幂势既 同，则积不容异”这样一条求 积原理。该原理现被称为“祖 暅原理”。事实上，刘徽也使 用过这一原理，只是未能将其 概括为一般形式。这一原理在 西方被称为卡瓦列里原理，但 他17世纪前叶才提出，比祖暅
迟了1100多年。
[鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上
有三十五头，下有九十四足。
问雉、兔各几何？答曰：雉二
十三，兔一十二。
孙
术曰：上置头，下置足，半其
子
足，以头除足，以足除头，即
算
得。
经
[物不知数]今有物，不知其数。
三三数之，剩二；五五数之剩
三；七七数之，剩二。问物几
何？答曰：二十三。
明代数学家程大位的《算法统
宗》中所载的“孙子歌”以诗
弦 图
《九章算术》成书于公元前后，
是我国最重要、影响最深远的
一本数学著作。后世不少人，
如刘徽、祖冲之、李淳风等人
九
均对《九章算术》作过注。特
章
别是刘徽的注，加进了不少自
算 术
己的精辟见解，阐述了重要的
数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的
重要补充和媒介。
日本数学家小苍金之助把《九
元
《详解九章算法》（杨辉）、
数
《益古演段》（李冶）和《四
学
元玉鉴》（朱世杰）等
问题：求满足的
N r 1 ( m o d p 1 ) r 2 ( m o d p 2 ) ...... r n ( m o d p n )
大
最小自然数N。
衍
◆设 M pi， Mi M/ pi
总
求乘率 M
i
使
MiMi 1(modpi)
是把《周髀算经》看作具有周
代的骨架加上汉代的皮肉。”
昔者周公问于商高曰：“窃闻
于大夫善数也，请问古者包牺
立周天历度，夫天不可阶而升，
地不可得尺寸而度，请问数安
勾
从出？”商高曰：“数之法出
股
于圆方，圆出于方，方出于矩，
定 理
矩出于九九八十一。故折矩， 以为勾广三，股修四，径隅 五。”
《周髀算经》中荣方与陈子的
中国古代数学的主要成就
《周髀(音同“币”)算经》是我
国最早的天文著作，系统地记
载了周秦以来适应天文需要而
周
逐步积累的科技成果。该书的
髀
主要内容是周代传下来的有关 测天量地的理论和方法。
算 经
《周髀算经》也是中国最古的 算书，成书确切年代没有定论，
一般认为在公元前2、3世纪。
李约瑟认为：“最妥善的办法
史料上没有关于祖冲之推算圆周
率方法的记载，一般认为是沿用
了刘徽的“割圆术”。刘徽用
“割圆术”从圆内接正六边形出 发，算到圆内接正192边形，得到 圆周率约为3.14124，如果用这一 方法算到圆内接正24576边形，便
得到圆周率在3.1415926和 3.1415927之间。祖冲之在圆周率
的计算方面领先于西方近千年。 为了纪念祖冲之的贡献，20世纪
数
则总数
章算术》说成是中国的《几何
原本》。吴文俊教授也认为，
《九章算术》和刘徽的《九章
九
算术注》，在数学的发展历史
章
中具有崇高的地位，足可与希
算
腊的《几何原本》东西辉映，
术
各具特色。
《九章算术》全书共分9章，
246道题，体例采用问题集形
式。
刘徽，公元3世纪魏晋时人，
刘
于公元263年撰《九章算术 注》。该书包含了刘徽本人的
冲
公府参军，都是地位不高的小官，
之
但他却成为历代为数不多能名列正 史的数学家之一。
的
祖冲之最大的数学成就是对圆周率
数
的精确计算。得出了圆周率的上限
学
3.1415927（盈数），下限 3.1415926（肭数）。另外还得出了
成
圆周率的两个分数形式的近似值约
就
率22/7，和密率（祖率）355/113。
出于官方数学教育的需要，唐
高宗亲自下令对以前的数学著
作进行整理。公元656年由李
淳风负责编定了算经十书：
算
《周髀算经》、《九章算术》、
经
《孙子算经》、《五曹算经》、
十 书
《张邱建算经》、《夏候阳算 经》、《缉古算经》、《海岛 算经》、《五经算术》和《缀
术》，后因《缀术》失传，而
以《数术记遗》替代。
歌形式介绍了物不知数问题的
解法：“三人同行七十稀，五
孙
树梅花廿一枝，七子团圆整半 月，除百零五便得知。”
子 歌
这一问题的解法后经秦九韶推
广到一般情形，被称为“孙子
定理”，又称为“中国剩余定
理”。
宋元时期（960-1368）的杰出
数学家秦九韶、杨辉、李冶、 朱世杰被称为“宋元四大家”。
宋
宋元时期的数学代表著作有 《数书九章》（秦九韶）、
的日本天文学家将自己发现的一 颗行星以祖冲之的名字命名。
从东汉以来，有关球体积的计算公 式，经过张衡、刘徽等人的努力， 最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成， 成为中国数学史上的一件大事。祖 氏父子的这一成就，被唐代李淳风 记录在自己的《九章算术注》中， 才使人们得以了解其具体的研究方
法。祖氏父子利用“两等高几何体， 若在任意同一高度上的截面积均相 等，则它们的体积相等”这一原理，
一段对话中，则包含了勾股定
勾
理的一般形式。
股
陈子曰：“若求邪至日者，以
定
日下为勾，日高为故，勾、股
理
各自乘，并而开方除之，得邪 至日，…”
《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股
定理证明的数学家是三国时期的赵爽
（公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中 给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。
刘徽的面积、体积理论建立在一 条简单而又基本的原理之上，这
就是“出入相补原理”：一个几 何图形被分成若干部分后，面积 或体积的总和保持不变。刘徽利
用这条原理成功地证明了《九章 算术》中的许多面积公式。
祖冲之（公元429—500）活跃于南
祖
朝宋、齐时代，出生于历法世家， 本人做过南徐州（镇江）从事史和
徽
许多创造，其中最突出的成就
的
是“割圆术”和求积理论。
数
割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆
学
内接正六边形出发将边数逐次
成 就
加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而
无所失矣。”
刘徽用“割圆术”从圆内接正六 边形出发，算到圆内接正192边形， 得到圆周率约为3.14124，其精确 到小数点后两位的近似值 3.14=157/50，被称为“徽率”。