圆的标准方程教案

项目具体内容教师

活动学生

活动

教学

意图

教学过程情

境

引

入

教师准备一张弓形的纸和一张矩形的纸。

教师设问：在一张半径为5cm的半圆纸上，能否

裁出一个长为8cm，宽为4cm的矩形？你是如何做出

判断的？

学生通过观察，发现能否裁出与弓形有关，引入

新课：研究圆的方程。

教师

提问。

上台动

手实践

利用裁

纸的方

式引入

新课，

激发了

学生的

学习兴

趣。

复

习

引

入

上节课我们已经学过直线方程的概念，直线斜率

及直线方程的常见表达式，我们知道了关于x，y的二

元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样

的表达式呢？这节课让我们一起来学习最常见的曲线

----圆的方程的第一节圆的标准方程。

类比

直线

的方

程引

出圆

的方

程。

讲

授

新

课

一、确定圆的条件

那同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有

关知识，么哪一位同学来回答圆的概念？

是的，平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹

称为圆。定点是圆心，定长是圆的半径。圆心和半径

分别确定了圆的位置和大

小．

二、圆的标准方程

现在我们求以C（a，b）

为圆心，r为半径的圆的方

程

首先我们建立一个直角坐标系，设点M（x，y）

是圆上任意一点，那点M在圆上的条件是|MC|=r，那

么由我们已经学过的两点间的距离公式，所说条件可

以转化为方程表示：

将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)

显然，圆上任意一点M的坐标（x，y）适合方程（1）；

如果平面上一点M的坐标（x，y）适合方程（1），可

得|MC|=r，则点M在圆上。

所以方程(1)是以C(a，b)为圆心、r为半径的圆

教师

在黑

板上

引导

启发

同学

们一

起建

立圆

的标

准方

程，加

深学

生学

习印

象。

引出

圆的

标准

方程。

教学过程讲

授

新

课

的距离等于圆的半径r，即

2

2

2

)

(

)

(r

b

y

a

x=

-

+

-

如果点M。（x。，y。）在圆内，则点到圆心

的距离小于圆的半径r，即

2

2

2

)

(

)

(r

b

y

a

x<

-

+

-

例3.已知两点)3

,2

(

),1,4(

2

1

-

-

P

P，求以线段

2

1

P

P为

直径的圆的方程，并判断点M(-1,-4),N(5,2)和

Q(2,0)是在圆上、圆内,还是在圆外？

总结：熟练掌握点与圆的位置关系的判定方法

四、与圆有关的实际问题

再回到我们最初是提出的那个问题，如何用我们

今天学的方法去解决这个问题呢?

问题:在一张半径为5cm的半圆纸上，能否裁出一

个长为8cm，宽为4cm的矩形？

解：根据题意列出该圆的方程为：25

2

2=

+y

x

当x=4时，y=3，所以能裁出的长方形的宽最大为3，

所以不能裁出长为8cm,宽为4cm的长方形。

例4.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆

拱跨度AB = 20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用

一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.

总结：用圆的标准方程去解决实际问题。

课堂练习与提高

教师

亲自

讲解

例题

的解

题过

程，看

同学

反应

情况

给予

适当

提醒、

启发。

学生独

立思

考，自

觉发

言。

确定

点与

圆的

位置

关系

的条

件。

教师

书写

板书，

规范

答题

过程

实际

应用

定义

法和

待定

系数

法解

决求

圆的

方程

问题，

学以

致用。

x

y