高二下学期数学第二次月考试卷
数学-高二年级第二次月考数学试题
王淦昌高级中学2022-2023学年第二学期高二年级第二次月考数学试题2023．5（考试时间：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设,a b 均为非零实数且a b <，则下列结论正确的是()A ．11a b > B ．22a b < C ．2211a b<D ．33a b <2．25()x x -的展开式中含5x 项的系数为 （） A ． 1-B ． 5-C ． 1D ． 53．命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是 （ ）A ． 4a ≥B ．4a ≤C ． 5a ≥D ． 5a ≤4．袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全作出了重大贡献．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，带二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表示：（注：亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代交子代）通过上面四组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程是ˆˆ4.4yx a =+，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为 （ ） A ．211 B ．212C ．213D ．2145． 某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c 近似服从2(90,)N σ，()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为 （ ） A ． 5B ． 10C ． 15D ． 306． 某校拟从5名班主任及5名班长(3男2女)中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”， 要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有（ ）种． A ． 9B ． 15C ． 60D ． 457． 现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为12，甲队接发球赢球的概率为35，在比分为24∶24平且甲队发球的情况下，甲队以27∶25赢下比赛的概率为（ ）A ．18B ．320C ．310D ．7208． 设函数,(),x xx af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1a ≤B ． 1a <C ． 1a e ≤D ． 1a e<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9． 已知a ，b ∈R ，0,0a b >>，且2a b +=，则下列说法正确的为 （ ） A ．ab 的最小值为1 B ．22log log 0a b +≤C ． 224a b +≥D ． 1222a b+≥10． 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是 （ ） A ． 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种B ． 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ． 甲乙不相邻的排法种数为72种D ． 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11． 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则 （ ） A ．()0.054P B = B ．()20.03P A B = C ．()10.06P B A = D ．()259P A B = 12．已知函数()()2ln f x x ax x a R =--∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若1a =-，则()f x 是1(0,)2上的减函数 B ．若01a ≤≤，则()f x 有两个零点 C ．若1a =，则()0f x ≥D ．若1a >，则曲线()y f x =上存在相异两点M ，N 处的切线平行 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________．14．命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______．15．某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答） 16．已知x >1，y <0，且3y (1－x )＝x ＋8，则x －3y 的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分10分)已知集合{}|132A x m x m =-≤≤-，不等式411x ≥+的解集为B ． （1）当3m =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：3．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项．19．(本小题满分12分)从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同． （1）若抽取后又放回，抽3次．①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； ②求抽到红球次数η的数学期望及方差．（2）若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列．20．(本小题满分12分)某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x 与豇豆种子发芽数y该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y 关于x 的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．21．(本小题满分12分)疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有3个红球、7个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供A 、B 两种活动规则：规则A ：顾客一次性从袋子中摸出3个球，如果3个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的3个球中有2个红球，则获得价值200元的优惠券；如果摸出的3个球中有1个红球，则获得价值100元的优惠券；如果摸出的3个球中没有红球，则不享受优惠．规则B ：顾客分3次从袋子中摸球，每次摸出1只球记下颜色后放回，按照3次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则A 相同．（1）某顾客计划消费300元，若选择规则A 参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望； （2）若顾客计划消费300元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数2()ln (12)1f x x mx m x =-+-+． （1）若1m =，求()f x 的极值；（2）若对任意0x >，()0f x ≤恒成立，求整数m 的最小值．。
陕西省咸阳市2022-2023学年高二下学期第二次月考试题 数学(文)含答案
咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月若高二数学（文科）试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：R x ∀∈，ln 0x x +>的否定是（）A.R x ∀∉，ln 0x x +>B.R x ∀∉，ln 0x x +≤C.R x ∃∈，ln 0x x +> D.R x ∃∈，ln 0x x +≤2.已知复数z 满足()i 12i z -=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量()()1,2,1,2a b λ=-=- ，若//()a a b -，则实数λ的值为（）A.1B.0C.43 D.23-4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则点M 到x 轴的距离为（）A.4B.22C.2D.35.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[π,π⎤-⎦上的图象大致为（）A.B.C. D.6.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数和方差均为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A.3.5B.4C.4.5D.57.已知函数π()2cos(2)13f x x =-+的图象在区间()0,m 内至多存在3条对称轴，则正实数m 的最大值为（）A.5π3B.2π3C.7π6D.5π68.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()1,0F c -，2(,0)F c ，抛物线22:4C y cx =的准线与1C 交于M ，N 两点，且2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为（）A.B.2C.2D.39.已知m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（）A.若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m nB.若//,//m n m α，则//n αC.若,,n αβαγβγ⋂=⊥⊥，则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥，则//βγ10.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.11.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大12.已知()20.2ln0.4,e 2.718,sin0.1πea b c ==≈=，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.b<c<aD.c<a<b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若集合{}{}13,2A x x B x x =≤≤=>，则()R A B =I ð_______________．14.若5π5cos 1225α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．15.已知正三棱锥-P ABC 的各棱长均为6,M 为侧棱PA 的中点，过点M 作与底面ABC 平行的截面，所得截面与底面之间几何体的外接球的表面积为_______________．16.已知函数()f x 的定义域为1R,2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且PB PD =．（1）若PA ⊥平面,22ABCD AB PA ==，求三棱锥P BCD -的体积；（2）求证：BD PC ⊥．18.已知数列{}n a 和{}n b 满足21n n a b n +=-，数列{}{},n n a b 的前n 项和分别记作,n n A B ，且n n A B n -=.（1）求n A 和n B ；（2）设122nb n nC A =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t=-=∑0.55= 2.646≈．参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑，当0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程ˆˆˆy bt a =+中斜率和截距的最小乘估计公式分别为()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．20.已知函数()2e e (0)=--+>x f x ax a a ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点个数．21.在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ =．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线():1l y kx b b =+≠与曲线C 交于,M N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．（二）选考题：共10分．考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:0l x =，曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为()2πR 3θρ=∈．（1）求曲线C 和直线1l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于,O B 两点，求AOB 的面积．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|24||3|f x x x =---.（1）求不等式()7f x >的解集；（2）设函数()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，c 满足235a b c M ++-=，求321a b c++的最小值.咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月若高二数学（文科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：R x ∀∈，ln 0x x +>的否定是（）A.R x ∀∉，ln 0x x +>B.R x ∀∉，ln 0x x +≤C.R x ∃∈，ln 0x x +>D.R x ∃∈，ln 0x x +≤【答案】D 【解析】【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为R x ∃∈，ln 0x x +≤.故选：D2.已知复数z 满足()i 12i z -=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先利用复数的除法求解出z ，然后由共轭复数求出z ，再结合复数的几何意义从而可求解.【详解】由题意知()()()()2i i 12i 3i 31i i 1i 1i 1222z -+-+====----+-，所以31i 22z =-+，则z 在复平面内对应的点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限，故B 正确.故选：B.3.已知向量()()1,2,1,2a b λ=-=- ，若//()a a b -，则实数λ的值为（）A.1 B.0C.43 D.23-【答案】A 【解析】【分析】利用向量线性运算与共线向量的坐标表示求解即得.【详解】向量()()1,2,1,2a b λ=-=-，则(2,22)a b λ-=-+ ，由//()a a b -，得4(22)0λ-++=，解得1λ=，所以实数λ的值为1.故选：A4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则点M 到x 轴的距离为（）A.4B. C.2 D.3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线定义计算即可得.【详解】由抛物线定义可知MF 等于点M 到准线的距离，故点M 到x 轴的距离为1312MF -=-=.故选：C.5.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[π,π⎤-⎦上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可.【详解】易得()sin cos f x x x x '=+，而()sin cos f x x x x '-=--，故()()f x f x ''-=-，故()f x '是奇函数，排除A,D ，而(π)0f '<，排除B ，故C 正确.故选：C6.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数和方差均为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A.3.5 B.4C.4.5D.5【答案】B 【解析】【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.【详解】设甲组数据分别为1x 、2x 、L 、6x ，乙组数据分别为7x 、8x 、L 、12x ，甲组数据的平均数为61136i i x ==∑，方差为()6211356i i x =-=∑，可得6118i i x ==∑，()621330i i x =-=∑，乙组数据的平均数为127136i i x ==∑，方差为()12271336i i x =-=∑，可得12718i i x ==∑，()1227318i i x =-=∑，混合后，新数据的平均数为1211181831212ii x =+==∑，方差为()()()61222171133301841212i i i i x x ==⎡⎤-+-=+=⎢⎥⎣⎦∑∑.故选：B.7.已知函数π()2cos(2)13f x x =-+的图象在区间()0,m 内至多存在3条对称轴，则正实数m 的最大值为（）A.5π3B.2π3C.7π6D.5π6【答案】A 【解析】【分析】根据给定的区间，求出相位范围，再结合余弦函数的图象性质列式求解即得.【详解】由()0,x m ∈，得πππ22333x m -<-<-，依题意，π23π3m -≤，解得5π3m ≤，即50π3m <≤，所以正实数m 的最大值为5π3.故选：A8.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()1,0F c -，2(,0)F c ，抛物线22:4C y cx =的准线与1C 交于M ，N 两点，且2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为（）A.B.62C.102D.153【答案】A 【解析】【分析】求出抛物线准线方程，进而得到22b MN a=，由等边三角形得到边长之间的比例关系，得到齐次式，化为220e --=，求出离心率.【详解】22:4C y cx =的准线方程为x c =-，经过点()1,0F c -，22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，令x c =-得22221c ya b-=，解得2b y a =±，故22b MN a=，因为2MNF 为正三角形，所以12F F =，即2222b c a=，联立222b c a =-2220ac --=，方程两边同时除以2a 220e -=，解得e =33-（舍去），故双曲线1C 故选：A9.已知m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（）A.若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m nB.若//,//m n m α，则//n αC.若,,n αβαγβγ⋂=⊥⊥，则n γ⊥D.若,,//m m αβαγ⊥⊥，则//βγ【答案】B 【解析】【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.【详解】由线面平行的性质定理可知A 正确；若//m n ，//m α，则//n α或n ⊂α，故B 错误；因为αγ⊥，所以由面面垂直的性质定理可知，必有l ⊂α，使得l γ⊥，同理，由βγ⊥得必有b β⊂，使得b γ⊥，从而有//l b ，若l 与n 是相同直线，则由l γ⊥得n γ⊥；若l 与n 是不同直线，则由b β⊂，l β⊄，可得l //β，因为n αβ= ，l ⊂α，则由线面平行的性质定理可得//l n ，故n γ⊥，故C 正确；若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，又//αγ，则//βγ，故D 正确．故选：B.10.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数可得,,3AO BO h CO===，进而根据余弦定理即可求解.【详解】解：如图，设点P在地面上的正投影为点O，则30,45PAO PBO∠=︒∠=︒，60PCO∠=︒,设山高PO h=，则,,3AO BO h CO===，在AOC中，cos cosABO CBO∠=-∠，由余弦定理可得：2222223322hb ha h hah bh+-+-=-，整理得23()2(3)ab a bhb a+=-，∴h=．故选：D．11.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p，且321p p p>>>．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p 乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p 丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p 甲则[][]21321331231211(1)(1)(1)(1)22p p p p p p p p p p p p p =-+-+-+-甲123123()2p p p p p p =+-；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙，则123123213123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙则132132312123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则[]()123123213123123()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<甲乙[]()213123312123231()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<乙丙即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.故选：D12.已知()20.2ln0.4,e 2.718,sin0.1πea b c ==≈=，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数以及正弦函数性质可判断0,0,0a b c ><>，构造函数()2πsin f x x x =-，通过导数得到函数在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可得出a c <，进而得出答案.【详解】因为π0>，所以0a >，因为ln 0.4ln10<=，2e 0>，所以0b <，因为sin 0.1sin 00>=，所以0c >；令()2πsin f x x x =-，π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2πcos f x x =-'.令()2πcos g x x =-，则()πsin 0g x x ='≥在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()2πcos g x x =-在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，()2πcos f x x =-'在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.又ππ2πcos 20662f ⎛⎫=-='-<⎪⎝⎭，所以，()0f x '<在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以，()2πsin f x x x =-在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.又()00f =，π00.16<<，所以有()0.10.2πsin 0.10f =-<，即0.2πsin 0.1<，整理可得0.2sin 0.1π<，所以a c <.综上所述，b a c <<.故选：B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若集合{}{}13,2A x x B x x =≤≤=>，则()R A B =I ð_______________．【答案】{}12x x ≤≤【解析】【分析】结合补集与交集的定义计算即可得.【详解】由{}2B x x =>，故{}2B x x =≤R ð，则(){}12A B x x ⋂=≤≤R ð.故答案为：{}12x x ≤≤.14.若5π5cos 1225α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用5π212α+配凑出π6α-，结合诱导公式和余弦的二倍角公式即可求得结果.【详解】πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π55cos cos 2ππcos 2π6212212ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2255312cos π1221255α⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：35.15.已知正三棱锥-P ABC 的各棱长均为6,M 为侧棱PA 的中点，过点M 作与底面ABC 平行的截面，所得截面与底面之间几何体的外接球的表面积为_______________．【答案】99π2【解析】【分析】求得正三棱锥对应正三棱台的高，以及上下底面外接圆半径，结合几何关系，确定球心位置，以及求得外接球半径以及表面积即可.【详解】根据题意，作图如下：过点M 作与底面ABC 平行的截面即平面,,M N T ，显然,N T 也为,PB PC 的中点，故三角形MNT 也是等边三角形，且3MN =；过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，交平面MNT 于点1H ，则1,H H 分别为三角形,ABC MNT 的中心，则球心定在直线PH 上，设其为O ；在三角形MNT中，由正弦定理可得12sin 6032MN MH ===︒1MH =在三角形ABC中，由正弦定理可得2sin 602AB AH ===︒，则AH =故112HH PH ====3MH AH ==<，故球心O 定在线段1H H 的延长线上，设正棱台ABC MNT -的外接球半径为R ，OH x =，则()2222211MH H H OH R AH OH ++==+，即)22312xx ++=+，解得4x =，则23991288R =+=，故外接球表面积为24πR =99π2.故答案为：99π2.【点睛】关键点点睛：本题考察正棱台外接球表面积的求解；处理问题的关键是准确寻求到球心所在的位置，再根据几何关系求得球半径；属中档题.16.已知函数()f x 的定义域为1R,2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．【答案】0【解析】【分析】由题得出函数的周期性，利用恒等式赋值即可求解.【详解】因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为R 上奇函数，所以110022f f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，110(1)()022f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+++=⇔-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()23311f x f x f x f x -=⇔-=+，所以(1)()0(2)(1)0f x f x f x f x ++=⇒+++=，所以()(2)f x f x =+，故()f x 是以2为周期的一个周期函数，202311325062222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又(1)()0f x f x -+=，所以13022f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故13022f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：0.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且PB PD =．（1）若PA ⊥平面,22ABCD AB PA ==，求三棱锥P BCD -的体积；（2）求证：BD PC ⊥．【答案】（1）23（2）证明见解析【解析】【分析】（1）借助锥体体积公式计算即可得；（2）借助线面垂直判定定理及性质定理即可得.【小问1详解】1222,12BCD S PA =⨯⨯== △，122133P BCD V -∴=⨯⨯=；【小问2详解】如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ，四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，又,PB PD O = 为BD 的中点，BD PO ∴⊥，PO AC O ⋂= ，且PO 、AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面,PAC BD PC ∴⊥．18.已知数列{}n a 和{}n b 满足21n n a b n +=-，数列{}{},n n a b 的前n 项和分别记作,n n A B ，且n n A B n -=.（1）求n A 和n B ；（2）设122nb n nC A =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）()()11,22n n n n n n A B +-==（2）121nn S n =-+【解析】【分析】（1）确定2n n A B n +=，再根据n n A B n -=解得答案.（2）计算1n b n =-，得到11121n n c n n -=+-+，根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.【小问1详解】21n n a b n +=-，所以数列{}n n a b +是首项为1，公差为2的等差数列，所以其前n 项和()211212n n A n B n n =++=-⨯，又因为n n A B n -=，所以()12n n n A +=，()12n n n B -=，【小问2详解】当2n ≥时，()()()1112122n n n n n n n b B B n ----=-=-=-.当1n =时，110b B ==也适合通项公式，故1n b n =-.所以()111111222211nb n n n nc A n n n n --=+=+=+-++，所以()2111111122212231n n S n n -⎛⎫=+++++-+-++- ⎪+⎝⎭ ()11211121211nnn n ⨯-⎛⎫=+-=-⎪-++⎝⎭.19.如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t=-=∑0.55= 2.646≈．参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑，当0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程ˆˆˆy bt a =+中斜率和截距的最小乘估计公式分别为()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．【答案】（1）答案见解析（2）ˆ0.100.92yt =+，1.82万吨．【解析】【分析】（1）将数据代入公式，计算出0.990.75r ≈>，得到结论；（2）计算出ˆˆ,a b，求出线性回归方程，代入计算预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量.【小问1详解】123456747t ++++++== ，719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t =-=∑0.55=，()()7711740.1749.32 2.89i i i i i i t ty y t y ty ==∴--=-=-⨯=∑∑，2.646≈， 2.890.990.752 2.6460.55r ∴=≈≈>⨯⨯，∴y 与t 有很强的线性相关关系，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．【小问2详解】由（1）得()()()717212.890.10328ˆii i i i tty y bt t ==--==≈-∑∑，又9.32 1.3317y =≈， 1.3310.10340.92ˆˆa y bt ∴=-≈-⨯≈，∴y 关于t 的回归方程为ˆ0.100.92yt =+．202420159-= ，将2024对应的9t =代入回归方程得：0.1090.9.ˆ2182y=⨯+=，∴预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.82万吨．20.已知函数()2e e (0)=--+>x f x ax a a ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点个数．【答案】（1）()e 2e 2y x =--+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；（2）结合导数对a 的值进行分类讨论即可得.【小问1详解】当1a =时，()()2e e 1,10xf x x f =--+=，切点为()1,0．()e 2x f x x ∴-'=，斜率()1e 2k f ='=-，∴所求切线方程为()()e 21y x =--，即()e 2e 2y x =--+；【小问2详解】函数()2e e (0)xf x ax a a =--+>的定义域为R ，()e 2x f x ax ='- ，令()()g x f x ='，则()e 2x g x a ='-，0a > ，令()0g x '=，解得()ln 2x a =，当()(),ln 2x a ∞∈-时，()0g x '<，即()g x 在()(),ln 2a ∞-上单调递减，当()()ln 2,x a ∞∈+时，()0g x '>，即()g x 在()()ln 2,a ∞+上单调递增，()()()()min ()ln 221ln 2g x g a a a ∴==-，①当e02a <≤时，()0g x ≥，函数()f x 单调递增，∴函数()f x 无极值点；②当2ea >时，()()min ()ln 20g x g a =<，()010g => ，即()()()0ln 20g g a <，因此函数()g x 在()()0,ln 2a 上有唯一零点1x ，当x →+∞时，()g x ∞→+，因此函数()g x 在()()ln 2,a ∞+上有唯一零点2x ，当1x x -∞<<时，()0g x >，即()0,f x '>∴函数()f x 在()1,x ∞-上单调递增；当12x x x <<时，()0g x <，即()0,f x '<∴函数()f x 在()12,x x 上单调递减；当2x x <<+∞时，()0g x >，即()0,f x '>∴函数()f x 在()2,x ∞+上单调递增．又()()120,f x f x '='=∴当2ea >时，函数()f x 有两个极值点．综上，当e02a <≤时，函数()f x 无极值点；当2e a >时，函数()f x 有两个极值点．21.在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ = ．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线():1l y kx b b =+≠与曲线C 交于,M N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 恒过点3(0,)5-.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用坐标代换法求出曲线C 的方程.（2）联立直线l 与曲线C 的方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算列式计算即得.【小问1详解】设点()()00,,,P x y Q x y ，则()00,D y ，由2DQ PQ = ，即000(,)2(,)x y y x x y y -=--，因此0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩，而22001x y +=，即2214x y +=，所以曲线C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】设()()1122,,,M x y N x y ，由0AM AN ⋅=，得112212121212(,1)(,1)(1)(1)(1)(1)0AM AN x y x y x x y y x x kx b kx b ⋅=-⋅-=+--=++-+-= ，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kbx b +++-=，2222Δ644(1444)0)(k b k b =-+->，即2214b k <+，则2121222844,1414kb b x x x x k k--+==++，22121212(1)(1)()AM AN x x k x x k b x x b ⋅=++-++- 222222(144)8(1)(1)1044(1)k b k b b b k k+---+-++==，22222(1(44)8(1)(1)(140))k b k b b b k +---+-+=，整理得()()1530b b -+=，而1b ≠，解得35b =-，所以直线l 的方程为：35y kx =-，恒过点3(0,)5-.（二）选考题：共10分．考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:30l x =，曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为()2πR 3θρ=∈．（1）求曲线C 和直线1l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于,O B 两点，求AOB 的面积．【答案】（1）4cos ρθ=，()πR 6θρ=∈（2）23【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程和极坐标方程之间的转换即可得出答案；（2）由题求出,A B 的极坐标即可得出答案.【小问1详解】直线1:30l x =过原点且倾斜角为π6，∴直线1l 的极坐标方程为()6θρ=∈πR ． 曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），∴曲线C 的普通方程为2240x y x +-=，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．【小问2详解】把π6θ=代入4cos ρθ=，得1π23,23,6A ρ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，把2π3θ=代入4cos ρθ=，得22π2,2,3B ρ⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭，即π2,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，121ππ1sin 212632AOB S ρρ⎡⎤⎛⎫∴=⋅⋅--=⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|24||3|f x x x =---.（1）求不等式()7f x >的解集；（2）设函数()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，c 满足235a b c M ++-=，求321a b c++的最小值.【答案】（1）{8xx >∣或6}x <-（2）4+【解析】【分析】（1）先分类讨论把()f x 写成分段函数的形式，再解不等式即可；（2）先求出函数()f x 的最小值M ，再结合柯西不等式或基本不等式求解即可.【小问1详解】()()()()()()()243,3,1,3,243,23,37,23,243,21,2,x x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧--->->⎧⎪⎪=-+-=-⎨⎨⎪⎪--+-<-+<⎩⎩则()7f x >的解集为3,17x x >⎧⎨->⎩或23,377x x ⎧⎨->⎩ 或2,17,x x <⎧⎨-+>⎩，即8x >或∅或6x <-，综上所述，()7f x >的解集为{8xx >∣或6}x <-.【小问2详解】解法一：由（1）可知当2x =时，()f x 的最小值1M =-，则234a b c ++=，由柯西不等式得，22321(23)216a b c a b c ⎛⎫++⋅++=+=+ ⎪⎝⎭当3a c ==时取等号，故321a b c++的最小值为4+.解法二：由（1）可知当2x =时，()f x 的最小值1M =-，则234a b c ++=，3211321162962(23)10444b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=++⋅++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，当3a c ==时取等号，即所求最小值为4+.。
2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知i 是实数集，复数z 满足3z z i i +⋅=+，则复数z 的共轭．．复数为A ．12i +B ．12i-C ．2i+D ．2i-【答案】C【分析】将3z z i i +⋅=+化为31iz i +=+，对其进行化简得到2z i =-，利用共轭复数的性质得到2z i =+．【详解】3z z i i +⋅=+可化为31i z i+=+3(3)(1)42=21(1)(1)2i i i iz i i i i ++--===-++- ∴z 的共轭复数为2z i=+故选C ．【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”．2．方程22122x y m m-=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．22m -<<B ．0m >C ．0m ≥D ．2m ≥【答案】A【分析】根据双曲线的定义以及双曲线方程的标准形式可知2m +与2m -同号列不等式即可求解.【详解】因为方程22122x y m m-=+-表示双曲线，所以()()220m m +->，即()()220m m +-<，解得：22m -<<.故选：A.3．已知数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为5，则数据123x -，223x -，323x -，423x -，523x -的方差为（）A ．10B ．15C ．17D ．20【答案】D【分析】利用数据线性变换前后方差的关系，求得所求的方差.【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为5，所以数据123x -，223x -，323x -，423x -，523x -的方差为25220⨯=.故选：D【点睛】本小题主要考查数据线性变换前后方差的关系，属于基础题.4．具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如表所示，y 与x 的回归直线方程为3 1.5y x =-，则m 的值为x123y1-m4m 8A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】A【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【详解】 1.5x =574m y +=中心点为：57(1.5,)4m +代入回归方程4.5157.541m m +=-⇒=故答案选A【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.5．魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算注》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…”代表无限次重复，设121211x =++ ，则可利用方程121x x =+求得x ，类似地可得正数555 等于（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【分析】设555x = ，然后解方程5x x =即可得．【详解】设555x = ，则5x x =，解得5x =．故选：B ．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．22y x =±B ．2y x=±C ．22y x =±D ．24y x =±【答案】A【分析】根据相似三角形，直接得到3ca=，计算渐近线的斜率.【详解】如图，可知焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，即3c a =，22122b c a a =-=，所以双曲线的渐近线方程为22y x =±.故选：A.7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A ．5n <B ．6n <C ．6n ≤D ．9n <【答案】C【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，当8n =时，1112S =，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．【详解】解：模拟执行程序框图，可得0S =，2n =；满足条件，12S =，4n =；满足条件，113244S =+=，6n =；满足条件，1111124612S =++=，8n =；由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112；故判断框中填写的内容可以是6n ≤.故选：C.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S 值是解题的关键，属于基础题．8．已知直线:40l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为A ．222-B ．2C ．22D ．25【答案】A【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -.【详解】将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-=，圆心C为(1,1)，半径2r =.已知直线:40l x y -+=，那么，圆心C 到直线l 的距离为22|114|221(1)d r -+==>+-，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l 的距离的最小值为222d r -=-.故答案为A.【点睛】本题考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.9．定义在()0,∞+上的可导函数()f x 满足()()'f x x f x ⋅<，且()20f =，则()0f x x>的解集为（）A ．()0,2B ．()()0,22,+∞U C ．()2,∞+D ．φ【答案】A【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性求解不等式，可得结果.【详解】令()()f x F x x =，则()()()2''xf x f x F x x -=由()()'f x x f x ⋅<，即()()'0xf x f x -<所以当()0,x ∈+∞时，()F'0x <可知函数()F x 在()0,x ∈+∞单调递减又()20f =若()()0f x F x x=>，则02x <<则()0f x x>的解集为()0,2故选：A【点睛】本题主要通过构造函数，利用函数的单调性求解不等式，属中档题.10．如图过抛物线24y x =焦点的直线依次交抛物线与圆()2211x y -+=于A 、B 、C 、D ，则AB CD ⋅=A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】C【分析】根据抛物线的几何意义转化1=A AB AF x =-，1D CD DF x =-=，再通过直线过焦点可知24A D p x x ⋅=，即可得到答案.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，1=A AB AF x =-,1D CD DF x =-=,，于是214A D p AB CD x x ⋅=⋅==，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.11．四张卡片的正面分别写上cos y x =，tan 2sin y x x =+，sin sin y x x =+，sin cos sin cos y x x x x =++-，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为（）A ．23B ．16C ．13D ．12【答案】B【分析】确定各个函数的周期，cos y x =的周期为π，tan 2sin y x x =+的周期为2π，sin sin y x x =+不是周期函数，sin cos sin cos y x x x x =++-周期为2π，再计算概率得到答案.【详解】cos y x =的图像是由cos y x =的图像x 轴下方的部分向上翻折形成，故周期为π；tan y x =的周期为π，2sin y x =的周期为2π，故tan 2sin y x x =+的周期为2π；sin y x =不是周期函数，故sin sin y x x =+不是周期函数，2sin ,sin cos sin cos sin cos 2cos ,sin cos x x xy x x x x x x x≥⎧=++-=⎨<⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知函数周期为2π.设四张卡片分别为1，2，3，4，则共有()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,46种选择，满足条件的只有1种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为16.故选：B12．若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A ．（0，1]B ．（0，2]C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．（3，+∞）【答案】B【分析】当0x =和2x π=时结论显然成立，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分离参数m ，sin cos x x mx x +≥恒成立等价于sin cos x x m x x +≤，令函数sin ()cos x x f x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的单调性，进而求出函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的最小值，即可求出m ．【详解】当0x =时，显然不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，当2x π=时，显然不等式sin cos x x mx x +≥恒成立当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，有sin cos x x m x x +≤，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在恒成立，令sin ()cos x x f x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin sin cos ()(cos )x x x x x f x x x '+-=，令2sin sin c )s (o x x x x g x x +-=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin cos cos )120(x x x x x g x ++-'>=，∴()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()(0)0g x g >=，即()0f x '>，∴()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当0x →时，()2f x →，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2f x >恒成立，∵sin cos x x m x x +≤，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，∴2m ≤，因此正实数m 的取值范围为(]0,2．故选B ．【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立的问题，解题的关键是分离参数，得到新函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，有一定综合性，属于基础题．二、填空题13．已知复数21iz i=-，则复数z 的实部和虚部之和为______.【答案】0【分析】先化简求得z 再计算实部和虚部的和即可.【详解】()()()2121111i i iz i i i i +===-+--+,故实部和虚部之和为110-=.故答案为：0【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念,属于基础题型.14．对某同学的7次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为83；③平均数为85；④极差为16；其中，正确说法的序号是__________．【答案】②④【分析】先根据茎叶图将各数据从小到大排列，再利用中位数、众数、平均数与极差的定义求解即可.【详解】将各数据按从小到大排列为：76，78，83，83，85，91，92．易得中位数是83，故①错误；众数是83，故②正确；平均数为76788383859192847++++++=，故③错误．极差是927616-=，故④正确．故答案为：②④．15．已知双曲线22214x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，||35AB =，1(4)M ，，动点()P x y ，在双曲线上，则2PM PF +的最小值为__________．【答案】524-【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x c =，解得y ，可得AB ，由双曲线的基本量的关系，解得,,a b c ，可得双曲线的方程，讨论P 在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．【详解】由题意知：双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，渐近线方程为：by x a=±令x c =，解得：bc y a =±，可得：235bcAB a==由2a =，222c a b =+，解得：5b =，3c =则双曲线的方程为：22145x y -=，则()13,0F -，()23,0F 若P 在左支上，由双曲线的定义可得：212PF a PF =+221124(43)14524PM PF PM PF a MF +=++≥+=+++=+当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值452+若P 在右支上，由双曲线的定义可得：212PF PF a =-21124524PM PF PM PF a MF +=+-≥-=-当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值524-综上可得，所求最小值为：524-本题正确结果：524-【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及定义法，考查转化思想和三点共线取得最小值的性质，考查运算能力，属于中档题．16．若函数2ln (),()1,(0,),x a xf xg x e x x+==-∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，则实数a 的最小值是_____.【答案】12【分析】根据题意，(0,)x ∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，分类参数a ，可转化为(0,)x ∃∈+∞，使得ln x a xe x x ≥--成立，构造函数()ln ,0xh x xe x x x =-->，利用导数法求得()min h x ，即可求解.【详解】由题意，函数2ln (),()1,(0,),x a xf xg x e x x+==-∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，即(0,)x ∃∈+∞，使得2ln 1x a xe x+≥-成立，即(0,)x ∃∈+∞，使得2ln x a xe x x ≥--成立，令()ln ,0xh x xe x x x =-->，则()min a h x ≥，因为()1(1)1,0x h x x e x x '=+-->，则()21(2)0xh x x e x''=++>，所以()1(1)1xh x x e x'=+--在(0,)+∞上单调递增，又由1314()40,(1)22033h e h e ''=-<=->，所以01(,1)3x ∃∈使得()0h x '=，此时()ln xh x xe x x =--取得极小值，也是最小值，令()0h x '=，则0001(1)10x x e x +--=，即001x e x =，所以()0000000ln 1ln 1x xh x x e x x x e -=--=--=，即()min 1h x =，所以21a ≥，即实数a 的最小值为12.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中合理利用分离参数，结合函数的单调性与最值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17．已知函数2()ln f x a x x =-(0a ≥).(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(Ⅱ)若对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)0x y +=(Ⅱ)[0,2e)【分析】(Ⅰ)对函数进行求导，然后求出1x =处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出切线方程，最后化为一般式方程；(Ⅱ)先证明当0a =时，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，然后再证明当0a >时，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立时，实数a 的取值范围.法一:对函数求导，然后判断出单调性，求出函数的最大值，只要最大值小于零即可，这样可以求出实数a 的取值范围；法二：原不等式恒成立可以转化为21ln xa x>恒成立问题.2ln ()x g x x =，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最大值，只要1a大于最大值即可，解出不等式，最后求出实数a 的取值范围.【详解】解:(Ⅰ)当1a =时，2()ln f x x x =-，1()2f x x x∴'=-，(1)1f ∴'=-，(1)1f =-∴曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为1(1)y x +=--，即0x y +=(Ⅱ)当0a =时，2()f x x =-(0x >)，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，符合题意法一:当0a >时，22()2a a x f x x x x-'=-=，()002a f x x '>⇔<<；()02a f x x '<⇔>()f x ∴在(0,)2a上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减∴只需max (())()ln 02222a a a a f x f ==-<即可，解得02ea <<故实数a 的取值范围是[0,2e)法二:当0a >时，()0f x <恒成立⇔21ln xa x >恒成立，令2ln ()x g x x =，则312ln ()xg x x -'=，()00e g x x '>⇔<<；()0e g x x '<⇔>，()g x ∴在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减∴只需max 11(())(e)2eg x g a >==即可，解得02ea <<故实数a的取值范围是[0,2e)【点睛】本题考查了求曲线的切线方程，考查了不等式恒成立时，求参数问题，利用导数求出函数的最值是解题的关键.18．每天锻炼一小时，健康生活一辈子，现在很多年轻人由于诸多原因身体都是处于“亚·健康”状态，为了了解现在的年轻人运动锻炼的状况，某社会机构做了一次调查，随机采访了100位年轻人，并对其完成的调查结果进行了统计，将他们分为男生组、女生组，把每周锻炼的时间不低于5小时的年轻人归为“健康生活”，低于5小时的年轻人归为“亚健康生活”，并绘制了如下2×2列联表.健康生活亚健康生活合计男304575女151025合计4555100附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828(1)能否有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关？（运算结果保留三位小数）(2)用分层抽样的方法在健康生活的45名受采访的年轻人中选取6人参加一次公益活动，需要在这6名年轻人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员均为男性的概率.【答案】(1)没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关(2)2 5【分析】（1）计算2K，并与表中3.841比较大小得出结果；（2）列出6名年轻人中随机选取两人的所有基本事件，再找到两名均为男性的事件个数，求其概率即可.【详解】（1）由()22100301015453.03045557525K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵3.030<3.841，∴没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关；（2）易得选取参加公益活动的6人为4男2女，用a ，b ，c ，d ，1，2表示此4男2女，则基本事件：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),1a ，(),2a ，(),b c ，(),b d ，(),1b ，(),2b ，(),c d ，(),1c ，(),2c ，(),1d ，(),2d ，()1,2共15个基本事件，记两名联络员均为男性为事件A ，事件A 包含6个基本事件，()62155P A ==，∴两名联络员均为男性的概率为25.19．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t 1234订单数量y （万件） 5.2 5.3 5.7 5.8附：相关系数，12211()()()()n i i i nn i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121()()ˆ()n i i i ni i x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆay bx =- ， 1.3 1.14≈.(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（0.75||1r ≤≤，则认为y 与t 的线性相关性较强，||0.75r <，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.【答案】(1)0.96，订单数量y 与月份t 的线性相关性较强(2) 0.22 4.95y t =+，6.05万件【分析】（1）根据公式求出r ，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令5t =，即可得解.【详解】（1）1234 2.54t +++==，1(5.2 5.3 5.7 5.8) 5.54y =+++=，41()()(1.5)(0.3)(0.5)(0.2)0.50.2 1.50.3 1.1i i i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，4222221()(1.5)(0.5)0.5 1.55i i t t =-=-+-++=∑，4222221()(0.3)(0.2)0.20.30.26i i y y =-=-+-++=∑，∴41442211()()1.1 1.10.960.751.141.3()()i i i i i i i t t y y r tt yy ===--==≈≈>--∑∑∑，∴订单数量y 与月份t 的线性相关性较强；（2） 41421()()1.1ˆ0.225()i i i i i t t y y b t t ==--===-∑∑，∴ˆˆ 5.50.22 2.5 4.95a y bt=-=-⨯=，∴线性回归方程为 0.22 4.95y t =+，令5t =， 0.225 4.95 6.05y =⨯+=（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率与双曲线22:2E x y -=的离心率互为倒数，且椭圆C 的焦距、双曲线E 的实轴长、双曲线E 的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若双曲线E 的虚轴的上端点为2B ，问是否存在过点2B 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，使得以MN 为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，22y x =+或22y x =-+.【分析】（1）将已知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件，求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；（2）先排除直线l 斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得k 的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于k 的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.【详解】解：（1）双曲线22:2E x y -=，即为22122x y -=，其离心率为2222+=，则椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =.因为双曲线E 的实轴长为22、焦距为4，设椭圆C 的焦距为2c ，则2,22,4c 成等比数列，所以2(22)8c =，解得1c =.又12c e a ==，及222a b c =+，解得2,1a b ==.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）双曲线E 的虚轴上端点为2(0,2)B .当直线l 的斜率不存在时，:0l x =，点,M N 为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意；故直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+，联立方程组221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()22124220k x kx +++=.显然()22(42)41220k k ∆=-+⨯>，解得22k >或22k <-()*.设点()()1122,,,M x y N x y ，则121222422,1212k x x x x k k+=-=++，所以()()()2121212122222y y kx kx k x x k x x =++=+++222222222228282422212121212k k k k k k k k k k -++-=-+==++++，若以MN 为直径的圆过原点，则OM ON ⊥ ，所以0OM ON ⋅= ，所以12120x x y y +=，即22222201212k k k -+=++，所以2242012k k-=+，解得2k =±，符合()*式，所以直线l 的方程为22y x =+或22y x =-+.21．已知函数f (x )＝()1xx a x be e -+(a ≠0)．（1）当a ＝－1，b ＝0时，求函数f (x )的极值；（2）当b ＝1时，若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为21e-，无极大值；（2）2(,0)e -.【分析】（1）当1,0a b =-=时，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的定义，即可求解；（2）把函数()f x 没有零点，转化为方程ax －a ＋ex ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）当1,0a b =-=时，函数()1x x f x e -+=，则()2x x f x e -'=，当(,2)x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．所以()f x 的极小值为()212f e =-，无极大值．（2）当1b =时，函数()xxax a e f x e -+=，因为函数()f x 没有零点，即方程0x x ax a e e-+=无实根，即ax －a ＋ex ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，则()x h x a e '=+，若0a >时，则()()0,h x h x '>在R 上单调递增，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→-∞此时存在0x ，使得0()0h x =，不合题意；若a<0时，令()0h x '>，即0x a e +>，得ln()x a >-；令()0h x '<，得ln()x a <-，所以当ln()x a =-，函数()h x 取得最小值，最小值为()min (ln())ln()2h x h a a a a =-=--，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→+∞要使得函数()f x 没有零点，则满足()min 0h x >，即ln()20a a a -->，解得20e a -<<，综上所述，实数的取值范围为()2,0e -．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程根的个数，应用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)P -，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求||||PA PB +的值.【答案】（1）22:12x C y +=，:10l x y +-=；（2）102||||3PA PB +=【解析】(1)消去参数t 求解直线l 的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C 的直角坐标方程.(2)利用参数t 的几何意义,联立直线与圆C 的方程,利用韦达定理求解即可.【详解】(1)由12x t y t =-+⎧⎨=-⎩,两式相加可得:1l x y +=,即:10l x y +-=.又22443cos 222sin ρθθ==-+,即22222+22sin 4244x y ρρθ=⇒+=即22:12x C y +=.(2)将:10l x y +-=化简成关于点(1,2)P -的参数方程有：212222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,（t 为参数）,代入22:12x C y +=有222221222310214022t t t t ⎛⎫⎛⎫+++=⇒++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12102||||3PA PB t t +=+=.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.。
上海市行知中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
上海市行知中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)当直线l平行于G的斜率大于(2)当直线l的斜率为1时，在点的坐标；若不存在，说明理由19．如图，在棱长为1的正方体18．(1)1(2)不存在，理由见解析【分析】（1）首先得到双曲线的渐近线方程及直线计算可得；（2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点出点的横、纵坐标之间的关（2）不存在，理由如下：当直线l 的斜率为1时，直线方程为又()12,0F -，所以(12,F Q =-uuur 设G 的右支上的点(,)(P x y x71420202794<<Q ，64128n \<<，又20207141306-=，123501275130612350511326++++=<<+++++=K K 所以min 6451115n =+=；（3）必要性：若242n n S S n =-+，则：122422n n n SS +=-+①122214(21)2n n n S S +++=-++②①-②得：1121222141(N )n n n a a a n ++*++++=-Î③由于1121220,1n n a a ++++=ìí=î或1121221,2n n a a ++++=ìí=î或11212202n n a a ++++=ìí=î，且210n a +=或1，只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立，211(N )n a n *+\=Î；充分性：若211(N )n a n *+=Î，由于1212223212n n n n na a a a ++++=<<<<=L 所以2(N ,N ,2)n n ka k n k k **+=ÎΣ，即211na +=，222n a+=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=，所以对任意的N n *Î，都有2211n n a a -=+…（I ），另一方面，由2nka k +=，1222n k a k ++=(N ,N ,2)n n k k **ÎΣ所以对任意的N n *Î，都有22n n a a =…（II ），21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -\=+++=+++++++L L L2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-L L ，由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n \=+++-+=-+L .【点睛】关键点点睛：对于数列新定义型问题，关键是理解所给定义，需要熟练的应用等差、等比数列求和公式，以及充分条件与必要条件的概念.。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
新疆乌鲁木齐市第十九中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
新疆乌鲁木齐市第十九中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9a =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．192．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（ ） A ．30B ．10C ．9D ．63．已知等比数列{}n a 的公比与等差数列{}n b 的公差均为2，且1122a b =+=，设数列{}n c 满足,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，*N n ∈，则数列{}n c 的前20项的和为（ ）A ．2159823-B ．2159823+C ．2060223+D ．2160223+4．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4B ．8C ．32D ．645．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x6．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-7．已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．128．若函数()2142ln 2f x x x a x =-+-有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()0,1C ．()0,2D ．()2,+∞二、多选题9．已知数列{}n a ，前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 为等差数列，则{}1n n a a +±一定也是等差数列 B ．若{}n a 为等比数列，则{}1n n a a +±一定也是等比数列C ．若{}n a 为等差数列，则24264,,m m m m m S S S S S --一定成等差数列D ．若{}n a 为等比数列，则24264,,m m m m m S S S S S --一定成等比数列10．如图所示，()y f x =的导函数()f x '的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（ ）A ．()f x 有三个单调区间B ．()()21f f -<-C ．()()11f f -<D ．()f x 在[]1,2-上单调递增，在(]2,4上单调递减 11．已知函数()[]3144,0,33f x x x x =-+∈，则（ ）A ．函数()f x 在区间[]0,2上单调递减B ．函数()f x 在区间[]0,3上的最大值为1C ．函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1033y x =-+D ．若关于x 的方程()f x a =在区间[]0,3上有两解，则4,43a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，若1128a =，且78T T =，则下列命题正确的是（ ）A ．81a= B ．当且仅当8n =时，n T 取得最大值 C ．12q =D ．()*121215N ,15n n a a a a a a n n -⋅=⋅∈<L L三、填空题13．已知函数()()322ln 4f x f x x x '=-+，则()1f '=.14．若()()3ln 2f x x x =-+，则()()Δ01Δ1limΔx f x f x→+-=.15．已知数列{}n a 的首项12a =，且()*1246,,log 2n n n n a a n b a +=+∈=+N ，则1220212021b b b ++⋯+=.16．将由2，5，8，11，14，…组成的等差数列，按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第页第行．（用数字作答）四、解答题17．已知数列{}2-n a n 是等比数列，且13a =，27a =. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313S =，121n n a S +=+． (1)证明：数列{}n a 是等比数列； (2)若3112log n n b a +=，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T ．19．已知等差数列{}n a 满足24a =，4527a a -=，公比不为1-的等比数列{}n b 满足34b =，()45128b b b b +=+.(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n S . 20．已知函数()ln ,R af x x a x=+∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1,12a x =>，证明：()f x ax <.21．已知函数()ln 2(0)f x x ax a =++<，若()f x 的最大值为2. (1)求a 的值；(2)若()f x bx ≤在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围.。
山西省怀仁市第一中学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学(文)试题
xi2 nx 2
yi2 ny 2
i 1
i 1
n
xi yi nxy
最小二乘估计公式分别为 bˆ
i 1 n
， aˆ y bˆx .
xi2 nx 2
i 1
22．已知函数 f x ln x 2 1， g x mex f x （ mR ， e 为自然对数的底数）.
x
(1)求函数 f x 的极值；
果越好
D．用相关指数 R2 来刻画模型的拟合效果时，若 R2 越小，则相应模型的拟合效果越好
6．1515 除以 8 的余数为（ ）
A． 1
B．1
C．6
D．7
7．某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩 X ~ N 80, 25 ，规定成绩大于或等于
85 分为 A 等级，已知该年级有考生 500 名，则这次考试成绩为 A 等级的考生数约为（ ）
12．已知函数 f x ex ln x m ，则下面对函数 f x 的描述正确的是（ ）
A．当 m 0 时， f x 0 无解 B．当 m 3 时， f x 1 恒成立
2
C．当 m 3 时， f x 1有解
D．当 m 2 时， f x 0 恒成立
三、填空题 13．已知女儿身高 y（单位：cm）关于父亲身高 x（单位：cm）的经验回归方程为
疗法
疗效 治愈
未治愈
合计
服用新药
服用安慰剂
合计
(2)依据 0.01的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．
附： 2
nad bc2
；
a bc d a cb d
0.10 0.01 0.001
x 2.706 6.635 10.828
高二数学下学期第二次月考试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。
福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷【含答案】
厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中四校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学
江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中四校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷一、单选题1．已知一列数如此排列：1,2,4,8,16,32---，则它的一个通项公式可能是（ ） A ．()12nn n a =-⋅ B ．()112nn n a -=-⋅ C ．()112n n n a +=-⋅ D ．()1112n n n a +-=-⋅2．已知函数()12f x x x=+，则其在1x =处的切线方程为（ ） A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y --=D ．20x y +-=3．在等差数列{}n a 中，首项13a =，前3项和为6，则345a a a ++等于（ ） A ．0B ．6C ．12D ．184．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．已知{}n a 为等比数列，函数()3254132f x x x x =-++，若1a 与5a 恰好为()f x 的两个极值点，那么3a 的值为（ ）A ．2±或12±B ．2±C ．2D ．126．已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项251,262521,26n n n a n n -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，则1251...a a a +++=（ ）A ．48B ．49C ．50D ．518．已知函数()()2e 21x g x x ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则正实数a 的取值范围是（ ）A．(B．(C．(D．(二、多选题9．下列结论中正确的有（ ） A ．()cos πsin π-'= B ．()1ln 22'=x xC ．()()2e 2e 1x x x x ='+ D．(22x x '=10．已知函数()xxf x a e =-，x R ∈，则（ ） A ．1是函数()f x 的极值点B ．当1x =时，函数()f x 取得最小值C ．当1e a <时，函数()f x 存在2个零点D ．当10ea <<时，函数()f x 存在2个零点11．已知各项均为正数的数列{}n a满足：)*1N 2n na n a +=∈，且1n a <，n S 是数列{}n a的前n 项和，则（ ）A ．)*N n a n ∈B ．3SC ．()*1N n n a a n +>∈D ．(((()122ln ln ln 2n n n S S S +++<L三、填空题12．等差数列{}n a 中，12a =，514a =，则{}n a 的前n 和n S 为.13．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是.14．已知函数()()2ln 1f x a x x a =+-∈R 有且仅有一条切线经过点()0,0.若[)1,x ∀∈+∞，()ln 0f x m x +≤恒成立，则实数m 的最大值是.四、解答题15．已知函数()32f x ax bx =++在2x =处取得极值-14.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求函数()f x 在[]3,3-上的最值.16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，()110n n n n a S S S ++=≠． (1)求n S ；(2)求数列2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm ）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm ）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.(1)讨论函数()f x 的单调性 (2)当1m =时，证明：()1f x <；(3)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.19．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，L ，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 设该数列的前n 项和为n S ,规定：若m ∃∈*N ,使得2pm S =（p ∈N ），则称m 为该数列的“佳幂数”.(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”； (2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由； (3)（i ）求满足m >70的最小的“佳幂数”m ; （ii ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.。
2023-2024学年河南省南阳市高二下学期第二次月考联考(6月)数学检测试题(含答案)
2023-2024学年河南省南阳市高二下学期第二次月考联考（6月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 抛物线的焦点为F ，点M 在C 上，，则M 到y 轴的距离是（）2:16C y x =12MF =A. 4 B. 8 C. 10 D. 122. 如图，四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是菱形，且，60BAD SAB SAD ∠=∠=∠=︒AB ＝AS ＝1，则SC=（）A. 1110,022a b <<<<ξC ．减小，增大D ．减小，减小4. 已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：x y y =c·we kxz =lny x 16171819z50344131由上表可得线性回归方程，则( )z =?4x +?a c =A. B. C. D. 4e4109e1096.若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）(1,b )y =ln (x +1)A ．B ．ln2<b <2b >1C ．D ．0<b <ln2b >ln27. 数列的前n 项和为，对一切正整数n ，点在函数的图象上，{}n a n S (),n n S 2()2f x x x =+且，则数列的前n 项和（）n b n *=∈N )1n ≥{}n b n T =A B1--C --8. 若其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是( )e )a b c A. B. C. D. c <b <ac <a <b c <a <bb <c <a a <c <b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，，，为//,//BC AD EF AD 4,2AD AB BC EF ====ED FB ==M 的中点，则下列说法正确的是（ ）AD A ．BD AD ⊥B ．平面//BM CDEC ．与平面BF EMBD ．平面与平面所成夹角的正弦值为BFM EMB 111310．已知函数，则（ ）()()()1ln 1f x ax x x=-+-图A ．()()()1ln 1,(0)1a x f x a x x x+=-+->+'B ．当时，的极大值为，无极小值2a =-()f x 0C ．当时，的极小值为，无极大值2a =-()f x 0D ．当时，恒成立，的取值范围为0x ≥()0f x ≥a 12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，11. 已知双曲线：，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、C x 2a 2y 2b2=1(a >0,b >0)A B F 1F 2右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，|F 1F 2|=2c a b c P C B 记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是( )PA PB k 1k 2 A. 当轴时，PF 2⊥x B. 双曲线的离心率e =1+52C. 为定值k 1k 21+52D. 若为的内心，满足，则I S △IPF 1=S △IPF 2+xS △IF1F 2(x ∈R )x =5?12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知数列满足 ，若 为数列 的前{a n }S n {a n }n 项和，则___S 10=13．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>12F F 、2F y C 于A ，B 两点，若，则C 的离心率为．1||13,||10F A AB ==14. 已知关于 的不等式 (其中 ). 的解集中恰有两个整数，则x 2x <(ax ?a )e x(x ∈R )a <1实数的取值范围是_________a 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省湛江市第二中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题
广东省湛江市第二中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知随机变量X的分布列为二、多选题9．关于()7-的展开式，下列判断正确的是()7xA．展开式共有8项B．展开式的各二项式系数的和为128C．展开式的第7项的二项式系数为49D．展开式的各项系数的和为76三、填空题中点，将ADEV沿AE翻折，使点D与点P重合，如图2．(1)证明：PB⊥AE；(2)当二面角P AE B--等于90°时，求P A与平面PEC所成角的正弦值．20．2023年春节期间，电影院有多部新片上映，某传媒公司调查了消费者的购票途径，数据显示超八成用户选择线上购买电影票，已知有A，B，C，D，E，F，G，H这8个线上购票平台，现随机抽取了200名线上消费者并统计他们在这8个平台上购买春节档电影票的人数（假设每个消费者只选用一个购票平台购买春节档电影票）以及曾经使用过这8个平台购买电影票的人数（每个消费者可用多个平台购买电影票），得到如下表格：当1a =时，()010f a =-=，函数()f x 有一个零点.（2）由（1）知：当1a <时，()010f a =-<，则函数()f x 无零点，当1a =时，()010f a =-=，函数()f x 有一个零点.当1a >时，()010f a =->， ()e 0a f a --=-<，()2e a f a a =-，()2e a f a ¢=-，当ln 2a <时，()0f a ¢>，()f a 在 (),ln 2-¥上递增；当 ln 2a >时，()0f a ¢<，()f a 在()ln 2,+¥上递减；所以()()maxln 22ln 220f a f ==-<，则 ()0f a <，所以()f x 在(),0¥-， ()0,¥+上各有一个零点；则1a >，且120a x x a -<<<<，要证1220x x +<，则证212x x <-，因为()f x 在(),0¥-上递减，所以只需证()()212f x f x >-，又()()210f x f x ==，只需证()()112f x f x >-，令()()()2g x x f x f =--，则()()()22e 2e 3e e x x x x g x x x x a a --=-+---+=-+，则()23e -2e x x g x -=-¢，设()23e -2e x x h x -=-，则()()20e +4e 0x x h x h -¢=->¢=，。
湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期第二次月考(5月)数学试题含答案
2024年上期第二次月考试题高二数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}20A x x x =-+≥，{}10B x x =-<，则A B = （）A.{}1x x ≤ B.{}1x x < C.{}01x x ≤< D.{}01x x ≤≤2.下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（）A.()2f x =与()g x x =+B.()231log 2f x x =与()3log g x x =C.()f x =()g x x = D.()f x =与()1g x x =-3.已知复数z 满足()12i 5z +=，则复数z 的虚部为（）A.2- B.5C.2i- D.24.已知函数()()cos 2f x x ϕ=-，则“ππ2k ϕ=+，k ∈Z ”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.设0.6log 0.8a =，0.81.1b =， 1.1log 0.8c =，则（）A.b a c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b <<6.一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（）A.9种B.12种C.18种D.24种7.已知0a >、0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（）A.2B.4C.25D.458.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为32.25g /m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g /m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型()()0.25*0103,n t n r r r r t n +=+-⋅∈∈R N ，其中0r 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过30.65g /m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）A.12B.13C.14D.15二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A.11B E A B⊥B.平面1B CE ∥平面1A BD C.三棱锥11C B CE -的体积为83D.三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π11.已知函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有()()310f x f x -++--=，3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()52f -=-，7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当[]1,0x ∈-时，()2f x ax bx =+，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()12f =C.()()()2023202420252f f f ++=D.函数()f x 与函数ln y x =的图象有8个不同的公共点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，12AA =，其外接球的体积为36π，则此长方体的表面积为______.13.已知函数()()22,132,1x ax x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是______.14.有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用.已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2i x ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅.记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______.（用含n 的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()m a = ，()cos ,sin n A B = ，且m n ∥.（1）求角A ；（6分）（2）若a =，2b =，求ABC △的面积.（7分）16.已知函数()1133xx f x a -=⋅+是定义域为R 的偶函数.（1）求a 的值；（5分）（2）若()()2991x x g x mf x m -=+++-，求函数()g x 的最小值.（10分）17.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为1A ，2A ，左右焦点1F ，2F .已知123A F =，221A F =.（1）求椭圆方程.（5分）（2）若斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，与以1F ，2F 为直径的圆交于C ，D 两点.若AB =，求直线l 的方程.（10分）18.“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布()32,16N .（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性有多大？（6分）（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x （人）与年收益增量y （万元）的数据如下：人工投入增量x （人）234681013年收益增量y （万元）13223142505658该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： 4.111.8y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： y a =的附近，对人工投入增量x 做变换，令t =，则 y t b a =⋅+ ，且有 2.5t =，38.9y =，()()7181.0i i i t ty y =--=∑，()7213.8i i t t=-=∑.（i ）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程（精确到0.1）；（5分）（ii ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量.（6分）附：若随机变量()2,Z N μσ~，则()330.9974P Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈；样本()(),1,2,,i i t y i n =⋅⋅⋅的最小二乘估计公式为：()()()121niii nii tty y btt==--=-∑∑ ， ay bx =- ， ()()221211ni i n ii y yR y y ==-=--∑∑.19.已知数列{}n a ：()12,,,3N a a a N ⋅⋅⋅≥的各项均为正整数，设集合{},1j i T x x a a i j N ==-≤<≤，记T 的元素个数为()P T .（1）若数列{}n a ：1,3,,x y ，且3x y <<，()3P T =，求数列{}n a 和集合T ；（6分）（2）若{}n a 是递增的等差数列，求()P T 的值（用N 表示），并说明理由；（5分）（3）请你判断()P T 是否存在最大值，并说明理由。
天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)
天津市第四十七中学2023—2024第二学期高二年级第二次阶段性检测 数学试卷一、选择题（每题5分，共45分）1．设集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知a 、b 、，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A ．B ．C ．D ． 4．下列说法中正确的个数为（）个①对立事件一定是互斥事件；②在经验回归直线方程中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量减少0．1个单位；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1；④在回归分析棋型中，若相关指数越小，则残差平方和越大，棋型的拟合效果越好．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．若，则（ ）A ．B ．1 CD ．{}2{2},340A xx B x x x =>-=+-≤∣∣A B = (,1]-∞[4,2)--(2,1]-[1,)+∞c ∈R a b =22ac bc =()y f x =()f x e 1()e 1x x f x +=-e 1()e 1x x f x -=+()f x =()f x =ˆ0.110y x =+ˆy2R 1()f x x x=-0.550.5log 2,log 0.2,0.5a b c -===()()()f b f a f c <<()()()f c f b f a <<()()()f b f c f a <<()()()f a f b f c <<23,35,54a b c ===4log ()abc =2-127．已知随机变量X 服从正态分布，且，则等于（）A ．0．14B ．0．36C ．0．72D ．0．868．8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设定义在上的函数与，若，且为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．是奇函数B ．函数的图象关于点对称C ．D ．点（其中）是函数的对称中心二、填空题（每题5分，共30分）10．在的展开式中，项的系数为__________．（用数字作答）11．分别从0，2，4和1，3，5中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数有_____个．12．公差大于零的等差数列中，成等比数列，若，则________．13．已知，则的最小值为__________．14．某学校有A ，B 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A 餐厅和选择B 餐的概率均为．如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为，则某同学第2天去A 餐厅用餐的概率为假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X 为该班3名同学中第2天选择B 餐厅的人数，则随机变量X 的均值_________．15．设，函数，若函数恰有4个学点，则数a 的取值范围为__________．三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步臻，只有结果的不给分）16．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，，F 为线段PA 上一()22,N σ(1.52)0.36P x ≤<=( 2.5)P x >()||f x x x =[0,)x ∈+∞()214()f x x f x α-+≥(0,2](,2]-∞[0,)+∞(,0]-∞R ()f x ()g x (2)(1)2,()(1)2f x g x f x g x +--==++(1)g x +()g x ()g x '()f x ()g x '(1,0)20231()0k g k ==∑(2,2)k k ∈Z ()f x 322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x {}n a 5311,a a 25a =37a a +=2,0a b >>42a ab b+-123545()E X =a R ∈22||,0()54,0x a x f x x x x +<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩()||y f x ax =-90ADC BAD ∠=∠=︒点，，四边形PDCE 为矩形．（I ）若F 是PA 的中点，求证：平面DEF ；（Ⅱ）求直线AE 与平面BCP 所成角的正弦值；（Ⅲ）若点F 到平面BCP的距离为，求PF 的长．17．（本小题满分15分）2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（I ）求甲以的比分获胜的概率；（Ⅱ）设X 表示比赛结束时进行的总局数，求X 的分布列及数学期望．18．今年是中国共产党建党103周年，为庆祝中国共产党成立103周年，某高中决定开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本，设事件“获奖”，“选修历史”，据统计．统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表：获奖没有获奖合计选修历史没有选修历史合计0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：（I ）完成上面列联表，并依据的独立性检验，能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”；（结果保留三位小数）112PD AB AD CD ====AC ∥1623133:1A =B =12(,()53P AB P B A ==∣∣αx α22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++22⨯0.05α=95%（Ⅱ）从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望．19．（本小题满分15分）已知等差数列，满足，正项数列的前n 项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求（Ⅲ）在之间插入1个数，使成等差数列，在之间插入2个数，使成等差数列，……；在之间插入n 个数，使成等差数列①求；②求20．（本小题满分16分）已知函数．（I ）讨论的单调区间；（Ⅱ）当时，令．①证明：当时，；②若数列满足，证明：．天津市第四十七中学2023-2024（二）高二年级第二次月考数学试卷答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D9 ．D二、填空题（本大题共6小题．每题5分共30分）10．6 11．180 12．28 13．6 14．， 15．三、解答题16．（本小题满分14分）ξ{}n a 14591,a a a a =+={}n b n S 31n n S =-{}n a {}n b ()2*121(1)(1)nkk k k a n k k =⎡⎤++-∈⎢⎥⋅+⎣⎦∑N 12,b b 11c 1112,,b c b 23,b b 2122,c c 221223,,,b c c b 1,n n b b +12,,..,n n nn c c c ⋯121,,,..,,n n n nn n b c c c b +⋯nk c 11212231323312n n nn c c c c c c c c c ++++++++++…………()e ,x f x ax a a =--∈R ()f x 1a =22()()f x g x x =0x >()1g x >{}()*n x n ∈N()111,e 3n x n x g x +==()2e 11n x n -<710910(1,0)(1,2)-（I ）以D 为坐标原点，正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面DEF 的法向量为，令平面DEF ，平面DEF ．（III ）设平面BCP 的法向量，令，解得：；设直线AE 与平面BCP 所成角为，．则直线AE 与平面BCP（III ），设由平面BCP 的法向量，点F 到平面BCP 的距离．解得，所以．17．（本小题满分15分）（I ）以的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，概率为：（Ⅱ）X 可能的取值为3，4，5，；；X345,,DA DC DP1(1,0,0)(1,1,0),(0,2,0),(0,2A B C P E F ⎛ ⎝(,,)m x y z = 00DE m z DF m x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,2,(2,1,y z x m ===∴= 0,AC m AC mAC ∴⋅=⊥⊂/AC ∴∥(,,),(1,1,0),(0,(1,n x y z BC CP AE ==-=-=-020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =1,x z n ==∴= θ||sin |cos ,|||||AE n AE n AE n θ⋅∴=<>==⋅(1,0,PA = (,0,),[0,1]PF PA λλλ==∈n = ||||1||26PF n d n λ⋅===13λ=1||||3PF PA == 3:12232128C 33327P ⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭33211(3)333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223812110(4)2733327P X C ⎛⎫==+⋅⋅⋅=⎪⎝⎭11081108107(5)1()345327273272727P X E X ==--==⨯+⨯+⨯=P18．（本小题满分15分）（I ）设获奖且没选修历史为x 人（人）又（人）获奖没有获奖合计选修历史203050没有选修历史104050合计3070100（I ）由题意可得列联表：零假设为：党史知识竞赛获奖与选修历史学科无关则故依据的独立性检验，推断不成立，即有把握认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关．（Ⅱ）由题意的取值可能为0，1，2，则，故的分布列为：012P则．19．（本小题满分15分）（I ）设数列的公差为d ，由题意知，，解得，所以；因为数列的前n 项和为，且满足．所以当时，，1310278271(,10505x p A B x ===∣1030213=-0H 22100(20401030) 4.762 3.84130705050χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.05α=0H 95%ξ3122142424333666C C C C C 131(0),(1),(2)C 5C 5C 5P P P ξξξ=========ξξ153515131()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯={}n a 111348a d a d a d +++=+1d =n a n ={}n b n S 31nn S =-1n =11312b =-=当时，．验证，当时，，满足上式，故．（Ⅱ）．（Ⅲ）成等差数列，，①②设，则，设，所以，，两式相减得，，所以．20．（本小题满分16分）（I ）函数定义域为R ，求导得，当时，恒成立，即在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，2n ≥111313123n n n n n n b S S ---=-=--+=⨯1n =11b =123n n b -=⨯221(12)221112;(1)(1)2(1)1nk k k k n n k a n n k k k k =++⎛⎫==+-=-+ ⎪++⎝⎭∑21111111112(1)1112232212121nk k n k k n n n n =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-++++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 2212122(1)21nk k k n a n n k k n =⎡⎤++=+-⎢⎥++⎣⎦∑121,,,,,n n n nn n b c c c b +⋯111232343111n n n n n n b b d n n n --+-⨯-⨯⨯===+++1114321232311n n n nk n n k nc b kd k n n ---⨯++=+=⨯+=⨯⨯++111121(1)3(1)4323432121n n n n n n mnn n n n n n n M c c c nc d n n n n ----+-⨯=+++=+⋅=⨯⨯⨯+⨯=⨯++ ()()1121212112121212n n m n n mn n c c c c c c c c c c c c M M M +++++++=+++++++=+++ 12n n T M M M =+++ 012214383123(44)343n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+⨯ 123134383123(44)343n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ (121012312443434343433333n n n n T n ---=+⨯+⨯++⨯-⨯=+++++ 1343443(24)3213nnn n n n n --⨯=⨯-⨯=-⨯--1(21)3n n T n =+-⨯()f x ()e x f x a '=-0a ≤()0f x '>()f x (,)-∞+∞0a >()e 0x f x a '=->ln x a >()e 0x f x a '=-<ln x a <()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞0a ≤()f x (,)-∞+∞当时，在上单调递减，在上单调递增．（II ）当时，，①当时，，令恒成立，则在上单调递减，，因此，成立，所以当时，．②由①可知，当时，，由得，即，由，可得，而，又，即，则，由于，只需证，又当时，，令恒成立，则在上单调递增，，则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立．0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞1a =()22e 1()x x g x x --=0x >()222112e 121e 112e xx xx x x x x x ++-->⇔>++⇔<2211122(),1,0,()0xx x x x F x x F x e e++-'=>=<()F x 0,)+∞01()(0)10e F x F <=-=21121exx x ++<0x >()1g x >(0,)x ∈+∞()1g x >113x =()21e 1xg x =>20x >()1e n x n g x +=0n x >113e 1e 1x -=-3327e e 028⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭133e 2<1131e 1e 12x -=-<()12e 11e 12nnnx x n⎛⎫-<⇔-< ⎪⎝⎭()()1111e 1e 11e 222n n n x x x n g x +-<-⇔-<-0x >()22211()1e 4e 44(2)(2)e (2)022x x x g x x x x x x x -<-⇔-+++=-+++>(2)e 102x x x -⇔+>+22(2)e e ()1,0,()02(2)x xx x h x x h x x x -'=+>=>++()h x (0,)+∞()(0)0h x h >=0x >2e 102x x x -⋅+>+0n x >()111e 22n x n g x -<-()11e1e 12n n x x +-<-()()()111211111e 1e 1e 1e 12222n n n x x x x n n +-+-<-<-<<-< 1e 12nnx ⎛⎫-< ⎪⎝⎭。
2022-2023学年广西柳州高级中学高二下学期2月月考数学试卷
2022-2023学年广西柳州高级中学高二下学期2月月考数学试卷1.已知，，且，则（）A．1B．2C．3D．42.已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．B．1C．D．3.是直线与直线平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知曲线.下列正确的是（）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，则是两条直线5.若函数的极值点为（）A．B．C．D．6.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A．6种B．24种C．64种D．81种7.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（）升粟.A．B．C．D．8.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9.已知数列满足，，则下列结论中正确的是（）A．B．为等比数列C．D．10.已知抛物线过点，焦点为F，则（）A．点M到焦点的距离为3B．直线MF与x轴垂直C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切D．过点M与C相切的直线方程为11.在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.下列说法正确的是（）A．点到直线的距离为4B．直线与的距离为C．点到平面的距离为D．直线与的距离为12.已知函数（a，b，），则（）A．若，则曲线在处的切线方程为B．若，，，则函数在区间上的最大值为C．若，，且在区间上单调递增，则实数a的取值范围是D．若，，函数在区间内存在两个不同的零点，则实数c的取值范围13.若数列满足，，，则____.14.函数在处取得极值10，则___________.15.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A 1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________.16.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，如图.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质，已知某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，其中，分别为该双曲线的左、右焦点，从发出的两条光线（共线反向）分别经过双曲线右支上的点和点，且经过点的光线反射后经过点，，若点在以点为圆心、为半径的圆上，则该双曲线的离心率为____.17.某大学艺术专业的400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据按[20,30），[30,40），…，[80,90]分成7组，并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计总体的众数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女学生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且．(1)求A的大小；(2)若、，D为直线BC上一点，且，求△ABD的周长．19.如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．20.已知等差数列的前项和为，，.数列满足，为数列的前项和(1)求的通项公式；(2)求证(3)是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.已知，是椭圆的两个顶点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于，，与直线交于点，求的值．22.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，都有.。
高二数学下学期第二次月考试题理含解析
智才艺州攀枝花市创界学校HY 高级高二年级第二次月考理科数学一、选择题(此题一共12小题,每一小题5分,一共60分．在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的) 1.集合{}2{|3},|0A x N x B x x x =∈<=-≤,那么A B =A.{}0,1 B.{}1C.[]0,1D.(]0,1【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式得集合A 、B ，根据交集的定义写出A B ．【详解】解：集合{|3}{|33}{0A x N x x N x =∈<=∈-<<=,1,2}，2{|0}{|01}B x x x x x =-=，那么{0A B ⋂=,1}．应选：A ．【点睛】此题考察了不等式的解法与交集的定义,是根底题． 2.在复平面内,复数23iz i+=对应的点的坐标为 A.()3,2 B.()2,3C.()–2,3D.()3,2-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得z ，根据复数几何意义可得结果.【详解】()2232332i i i z i i i++===-z ∴对应的点的坐标为：()3,2- 此题正确选项：D【点睛】此题考察复数的几何意义、复数的运算，属于根底题.3.函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,那么()()()15f f f -的值是A.1B.2C.3D.–3【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可. 【详解】由函数解析式可得：()1122f ==，()5532f =-=此题正确选项：A【点睛】此题考察分段函数的函数值的求解问题，属于根底题.4.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体,它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成,其直观图如图(其中四边形是为表达直观性而作的辅助线)当“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全一样时,其俯视图可能为A. B. C.D.【答案】B【解析】 【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【详解】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕． ∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形， 应选：B ．【点睛】此题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考察了空间想象才能，属于中档题．5.双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =,那么双曲线C 的离心率为【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线推出b ，a 关系，然后求解离心率即可．【详解】由双曲线C 22221y x a b-=〔a ＞0，b ＞0〕的一条渐近线方程为y ＝2x ，可得2a b ，=∴12b a =，c e a ===，应选：C ．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，解题时注意焦点位置，考察计算才能．6.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,那么乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A.12B.13C.16D.112【答案】B 【解析】 【分析】求得根本领件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的根本领件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，根本领件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的根本领件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，应选B. 【点睛】此题主要考察了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得根本领件的总数和所求事件所包含的根本领件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.7.假设实数,x y 满足20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3,那么实数b 的值是A.1C.94D.52【答案】C 【解析】 【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，断定目的函数2zx y =+过点B 时获得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影局部所示， 当目的函数2zx y =+过点B 时获得最小值，由20y x b x y =-+⎧⎨-=⎩得2,33b b B ⎛⎫⎪⎝⎭，那么22333b b ⨯+=，解得94b =.应选C. 【点睛】此题主要考察简单线性规划求解目的函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目的函数赋予几何意义；求目的函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目的函数的意义是解答的关键． 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,点O 是四边形ABCD 的中心,关于直线1A O ,以下说法正确的选项是 A.11AO D C ∕∕ B.1A OBC ⊥C.1A O ∕∕平面11B CD D.1A O⊥平面11AB D【答案】C 【解析】 【分析】 对于A 选项，连接1A B ，那么11//A B D C ，因为1A B 与1A O 相交，应选项错误；对于B ，做平行线，//OE BC ，1A O 与OE 不垂直；对于C ，做辅助线，通过平行四边形证明11//A O CO ，进而得到线面平行；对于D ，因为1A C⊥平面11AB D ，故得到1A O 与平面11AB D 不垂直.【详解】选项A ，连接1A B ，那么11//A B D C ，因为1A B 与1A O 相交，所以A 错；选项B ，取AB 中点E ，连接1,A E OE ，那么//OE BC ，在1A EO 中，190A EO ∠=︒，所以1A O与OE 不垂直，所以1A O 与BC 不垂直，B 错；选项C ，设11111A C B D O ⋂=，连接1CO ，那么11CO AO ，所以四边形11AO CO 是平行四边形，所以11//A O CO ，又因为1AO ⊄平面11B CD ，1CO ⊂平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CD ，C 正确；选项D ，连接1A C ，11B D 垂直于1A A ,11 B D 垂直于CA ,进而得到11B D 垂直于面1A AC ，故11B D 垂直于1A C ，同理可证，1A C 垂直于1AD ，进而得到1A C ⊥平面11AB D ，所以1A O 与平面11AB D 不垂直，D 错．应选：C【点睛】这个题目考察了面面垂直的断定，线面平行的断定，异面直线的位置关系，题目较为综合.9.函数ln ||()1||x f x x =+的图象大致是 A. B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义求得函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B D ；利用x →+∞时，()f x 的符号可排除A ，从而得到结果.【详解】由题意可得：()f x 定义域为：()(),00,-∞⋃+∞由()()ln ln 11x xf x f x x x--===+-+得：()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除,B D当x →+∞时，ln 0x >，10x +>()0f x ∴>，可排除A此题正确选项：C【点睛】此题考察函数图象的识别，关键是可以利用函数的奇偶性和特殊位置的符号来进展排除，属于常考题型. 10.圆22:230C xy x ++-=,直线():2()10l x a y a R ++-=∈,那么A.l 与C 相离B.l 与C 相交C.l 与C 相切D.以上三个选项均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得l 恒过的定点，可判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交. 【详解】由l 方程可知，直线l 恒过定点：()2,1-又()2,1-为圆C 内部的点l ∴与C 相交此题正确选项：B【点睛】此题考察直线与圆位置关系的断定，关键是确定直线恒过的定点，根据点在圆内得到结果.11.函数()()3sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且函数()f x 的最小正周期为π，那么8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B. C.3 D.3-【答案】C 【解析】【分析】根据最小正周期可求得2ω=，根据()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于8x π=对称，从而可得4k πϕπ=+，k Z ∈，根据ϕ的范围可得ϕ，进而得到()f x 解析式，代入8x π=求得结果.【详解】()f x 的最小正周期为π2T ππω∴==2ω∴=()()3sin 2f x x ϕ∴=+由()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得：()f x 的一条对称轴为：8x π=42k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，解得：4k πϕπ=+，k Z ∈此题正确选项：C【点睛】此题考察根据正弦型函数的性质求解函数解析式和函数值的问题，关键是可以根据关系式确定函数的对称轴，从而利用整体对应的方式求得ϕ.12.假设函数()2–x f x e ax =在区间(0,)+∞上有两个极值点1212,0()x x x x <<,那么实数a的取值范围是 A.2ea≤B.a e >C.a e ≤D.2e a >【答案】D 【解析】 【分析】 求出()'2x f x e ax =-,要使()f x 恰有2个正极值点，那么方程20x e ax -=有2个不相等的正实数根，即328π-有两个不同的正根，(),2x e g x y a x ==的图象在y 轴右边有两个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，由数形结合可得结果.【详解】()2x f x e ax =-，可得()'2x f x e ax =-,要使()f x 恰有2个正极值点，那么方程20xe ax -=有2个不相等的正实数根，即28π-有两个不同的正根， (),2xe g x y a x ==的图象在y 轴右边有两个不同的交点，求得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x <可得()xe g x x =在()0,1上递减，由()'0g x >可得()xe g x x=在()1,+∞上递增，()()min 1g x g e ==，当0x →时，()gx →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞所以，当2a e >，即2ea>时， (),2xe g x y a x==的图象在y 轴右边有两个不同的交点，所以使函数()2x f x e ax =-在区间()0,+∞上有两个极值点1212,(0)x x x x <<，实数a 的取值范围是2ea>，应选D. 【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考察了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到理解决，还可以使解决问题的难度大大降低，此题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键. 二、填空题(此题一共4小题,每一小题5分,一共20分)13.假设22nx⎛ ⎝的展开式的所有二项式系数之和为32,那么展开式中的常数项为_________．【答案】10 【解析】【分析】根据二项式系数和得232n=，解得n ；写出二项展开式的通项公式，根据x 的幂指数等于零解得4r =，代入通项公式可求得常数项.【详解】22nx⎛ ⎝展开式的二项式系数和为：232n =，解得：5n =522x⎛∴ ⎝展开式的通项公式为：()()5105252155221rr rr r r r r T C x C x---+⎛==⋅⋅- ⎝令51002r -=得：4r = ∴常数项为：()44152110C ⨯⨯-=此题正确结果：10【点睛】此题考察二项式定理中常数项的求解问题，涉及到二项式系数和的性质、展开式通项公式的应用，属于常考题型.14.某初中部一共120名老师,高中部一共180名老师,其性别比例如下列图,按分层抽样抽方法得到的工会代表中,高中部女老师有6人,那么工会代表中男老师的总人数为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男老师的总人数． 【详解】∵高中部女老师与高中部男老师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么男老师有9人，∴工会代表中高中部老师一共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，∴工会代表中初中部老师人数与高中部老师人数比例为2：3，∴工会代表中初中部老师总人数为10，又∵初中部女老师与高中部男老师比例为7：3，工会代表中初中部男老师的总人数为10×30%=3； ∴工会代表中男老师的总人数为9+3=12， 故答案为12．【点睛】此题考察对分层抽样的定义的理解，考察识图才能与分析数据的才能，考察学生的计算才能，比较根底．15.正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，那么()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为______． 【答案】-4 【解析】 【分析】由正方形的边长为2，以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，建立平面直角坐标系，分别写出A B C D 、、、四点坐标，再设()y P x ，，由向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】由题意，以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为2，所以可得()()()()0,02,02,20,2A B C D 、、、，设()y Px ，，那么(),PA x y =--，()2,PB x y =--，()2,2PC x y =--，(),2PD x y =--，所以()22,2PA PB x y +=--，()22,42PC PD x y +=--，因此()()()()()()2224142414144PA PB PC PD x y y x y +⋅+=---=-+--≥-，当且仅当1xy ==时，取最小值.故答案为-4【点睛】此题主要考察向量的数量积运算，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型. 16.点()2,2P-和抛物线21:4C y x =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点．假设25PA PB ⋅=，那么k =_________．【答案】1-或者2 【解析】 【分析】首先得到抛物线C HY 方程和焦点坐标，假设直线方程，与抛物线方程联立，表示出韦达定理的形式，得到12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；根据25PA PB ⋅=，由向量数量积运算可构造出关于k 的方程，解方程求得结果.【详解】由可得抛物线C HY 方程为：24x y =∴焦点坐标为：()0,1设直线AB 的方程为：1y kx =+由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得：2440x kx --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，那么216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-()21212242y y k x x k ∴+=++=+，()22212121211114416y y x x x x =⋅== 又()112,2PA x y =-+，()222,2PB x y =-+即()()212121212242488925x x x x y y y y k k -++++++=-++=解得：1k=-或者2此题正确结果：1-或者2【点睛】此题考察直线与抛物线综合应用问题，关键是可以通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出向量数量积的各个构成局部，从而得到关于变量的方程. 三、解答题(本大题一一共6小题,一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤) 17.数列{}n a 是等差数列,首项11a =，且31a +是21a +与42a +的等比中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12nn n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)21n a n =-(2)221n nS n =+ 【解析】 【分析】〔1〕设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式，得到公差，即可得到通项公式；〔2〕利用裂项相消求和法可得结果.【详解】〔1〕设数列{a n }的公差为d ， a 1=1，且a 3+1是a 2+1与a 4+2的等比中项，可得〔a 3+1〕2=〔a 2+1〕〔a 4+2〕，即〔2+2d 〕2=〔2+d 〕〔3+3d 〕， 解得d=2或者d=-1，当d=-1时，a 3+1=0，a 3+1是a 2+1与a 4+2的等比中项矛盾，舍去． ∴d=2，a 1=1数列{a n }的通项公式为a n =2n-1；〔2〕()()nn n 12211b a a 2n 12n 12n 12n 1+===--+-+，前n 项和S n =1-13+13-15+…+12n 1--12n 1+=1-12n 1+=2n 2n 1+．【点睛】此题考察等差数列根本量的运算和等比中项的概念，考察裂项相消求和法的应用，属于根底题. 18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos A b C c B +=．〔1〕求角A ；〔2〕假设1a =，ABC ∆1，求ABC ∆的面积．【答案】〔1〕6A π=〔2〕2-【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得cos A ，结合()0,A π∈可得结果；〔2〕利用三角形周长得到b c +=bc 的方程，解出bc 的值；代入三角形面积公式可求得结果.【详解】〔1〕由正弦定理可得：()2cos sin cos sin cos A B C C B A +=即：()2cos sin2cos sin A B C A A A +=sin 0A ≠cos A ∴=，由()0,A π∈得：6A π=〔2〕1a =，ABC ∆1b c ∴+=由余弦定理可得：()2222225212cos 2222b c bc a b c a bc bc A bc bc bc bc +--+----=====8bc ∴==-ABC ∆∴的面积：(111sin 82222S bc A ==⨯-⨯=-【点睛】此题考察解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考察学生对于三角恒等变换和解三角形局部的公式的掌握程度，属于常考题型.19.如下列图,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,AB BC AC CC ====其中点P 为棱1CC 的中点,Q 为棱1CC 上且位于P 点上方的动点．(1)求证:BP ⊥平面11A B C ；(2)假设平面11A B C 与平面ABQ 求直线BQ 与平面11A B C 所成角的正弦值．【答案】〔1〕见证明；〔2【解析】 【分析】〔1〕推导出tan∠BB 1C=1BCBB=2，tan∠PBC=CP BC=2，从而∠BB 1C=∠PBC，PB⊥B 1C ，推导出BB 1⊥A 1B 1，A 1B 1⊥B 1C 1，从而A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，A 1B 1⊥BP，由此能证明BP⊥平面A 1B 1C ．〔2〕以BC ，BA ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BQ 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．【详解】〔1〕证明：在侧面11BCC B 中，因为2BC=，1CC =P 为棱1CC 上的中点，所以11tan 2BC BB CBB ∠===，tan CP PBCBC ∠==，所以1BB C PBC ∠=∠，所以1PB B C ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面111A B C ，所以111BB A B ⊥，因为2AB BC ==，AC =222AB BC AC +=，所以1111A B B C ⊥，因为1111BB B C B ⋂=，所以11A B ⊥平面11BCC B ，所以11A B BP ⊥，因为1111A B B C B ⋂=，所以BP ⊥平面11A B C ；〔2〕解：如图，以BC ，BA ，1BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，那么(P，(BP =为平面11A B C 的一个法向量.设()2,0,Q t ，那么()()2,0,BQ t t =∈，()0,2,0BA =，设平面ABQ 的法向量为(),,n x y z =，那么20x tz +=，20y =，所以(),0,2nt =-，因为平面11A B C 与平面ABQ，n BP n BP⋅=，所以=2t =或者8t =，由得，t ∈，所以2t=，所以2,0,2BQ⎛= ⎝⎭， 所以直线BQ 与平面11A B C所成角的正弦值为||4BQ BPBQ BP ⋅==⋅【点睛】此题考察线面垂直的证明，考察线面角的正弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．20.在全国第五个“扶贫日〞到来之前,某开展“精准扶贫,携手同行〞的主题活动,某贫困县调查基层HY 走访贫困户数量．A 镇有基层HY60人,B 镇有基层HY60人,C 镇有基层HY80人,每人都走访了假设干贫困户,按照分层抽样,从,,A B C 三镇一共选40名基层HY,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,[)[)[)[)[]5,15,15,25,25,35,35,45,45,55,绘制成如下列图的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C 镇,并估计,,A B C 三镇的基层HY 平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)假设把走访贫困户到达或者超过25户视为工作出色,以频率估计概率,从,,A B C 三镇的所有基层HY 中随机选取3人,记这3人中工作出色的人数为X,求X的分布列及数学期望．【答案】〔1〕40人中有16人来自C 镇，2户〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕先确定抽样比，再由C 镇有基层HY80人即可求出结果；求平均数时，只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可；〔2〕先确定从三镇的所有基层HY 中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知X服从二项分布，进而可求出结果. 【详解】解：〔1〕因为,,A B C 三镇分别有基层HY60人，60人，80人，一共200人，利用分层抽样的方法选40人，那么C 镇应选取408016200⨯=〔人〕， 所以这40人中有16人来自C 镇 因为100.15200.25300.3x=⨯+⨯+⨯400.2500.128.5+⨯+⨯=，〔2〕由直方图得，从三镇的所有基层HY 中随机选出1人，其工作出色的概率为35显然X可取0，1，2，3，且33,5XB ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，那么()32805125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12133236155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()21233254255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332735125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为所以数学期望()01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】此题主要考察频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.21.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>及点(2,1)D ,假设直线OD 与椭圆C 交于点,A B ,且|||AB OD =(O 为坐标原点),椭圆C(1)求椭圆C 的HY 方程； (2)假设斜率为12的直线l 交椭圆C 于不同的两点,M N ,求DMN ∆面积的最大值． 【答案】(1)2214x y +=；(2)1.【解析】(1)由椭圆C得2a =,所以224a b =. 设点A 在第一象限,由椭圆的对称性可知OA OB=,所以22OA OD =, 因为点D 坐标为()2,1,所以点A坐标为2⎫⎪⎪⎭, 代入椭圆C 的方程得222112a b+=,与224a b =联立, 可得224,1ab ==,所以椭圆C 的HY 方程为2214x y +=.(2)设直线l 的方程为()102y x t t =+≠, 由221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222220x tx t ++-=. 由题意得,()2244220t t ∆=-->,整理得220t ->，所以0t <<或者0t <<设()()1122,,,Mx y N x y ,那么212122,22x x t x x t +=-=-,所以12MN x ==-=.又由题意得,()2,1D到直线12y x t =+的间隔d =.DMN的面积221121222t t S d MN -+====当且仅当222t t -=,即1t =±时取等号,且此时满足0∆>,所以DMN 面积的最大值为1.22.函数2()ln f x x x x =--．(1)求函数()f x 的极值； (2)假设12,x x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根,求证:12ln ln 2ln 0x x a ++<．【答案】〔1〕()f x 有极小值(1)0f =，无极大值.〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕先求函数导数，再求导函数在定义区间上零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数极值，〔2〕先根据零点得2121lnx x a x x =-，再代入化简不等式为2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，构造函数()21ln 2g t t t t=--+，其中211x t x =>.最后根据导数确定函数()g t 单调性，根据单调性证不等式.试题解析：〔1〕依题意，()212121x x f x x x x ='--=--()()211x x x+-=故当()01x ∈，时，()0f x '<，当()1x ∈+∞，时，()0f x '> 故当1x =时，函数()f x 有极小值()10f =，无极大值.〔2〕因为1x ，2x 是方程()2ax f x x x +=-的两个不同的实数根.∴()()112201{02ax lnx ax lnx -=-=两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln xx a x x =-要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：()2211221ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>.只需证21ln 2t t t<-+. 设()21ln 2gt t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭；令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，∴()h t 在()1+∞，上单调递减， ∴()()1ht h <0=，∴()0g t '<，∴()g t 在()1+∞，为减函数，∴()()10g t g <=. 即21ln 2t t t<-+在()1+∞，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<.。
黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第二次月考(6月)数学试题
黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题一、单选题1．已知直线l ：1y x =+，且与曲线()y f x =切于点()2,3A ，则()()Δ02Δ2lim Δx f x f x→+-的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．已知随机变量X 的分布列如下：则()32D X +的值为（ ） A ．20B ．18C ．8D ．63．已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(1)1(5)5P P ξξ<=<，则(35)P ξ<<=（ ）A ．16B ．15C ．13D ．254．某种产品的广告支出费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下关系：已知y 与x 的线性回归方程为ˆ525yx =+，则当广告支出费用为6万元时，残差为（ ） A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．105．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A ．96种B ．132种C ．168种D ．204种6．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设,,(0)a b m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．若1222020202020C 2C 2C 2a =⋅+⋅++⋅L ，(mod8)a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2022B ．2023C ．2024D ．20257．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A 表示“乙获得比赛胜利”，事件B 表示“比赛进行了七局”，则()PBA =（ ） A ．716B ．516C ．316D ．1168．已知函数()1e xf x x =-与直线1y =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12x x -所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4二、多选题9．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．若随机事件A ，B 满足：(|)()1P A B P A +=，则A ，B 相互独立 B ．随机变量()4,X B p ～，若方差()34D X =，则()3164P X == C ．若相关系数r 的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强D ．对具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4-10．在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 相邻，则不同的排序种数有240种 B ．若C ，D 相隔一个实验，则不同的排序种数有96种C ．若E 不在第一个，F 不在最后一个，则不同的排序种数有504种D ．A 排在B ，C 之前的概率为1311．某届国际羽联世界锦标赛单打决赛在甲､乙两人之间进行，比赛采用五局三胜制.按以往比赛经验，每一局甲获胜的概率为(01)p p <<，则下列说法一定正确的有（ ）A ．当23p =时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率 B ．当23p =时，打三局结束比赛的概率最大C ．当16p =时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率D ．当16p =时，打三局结束比赛的概率最大三、填空题12．设盒中有大小相同的“中华”牌和“红星”牌玻璃球，“中华”牌的10个，其中3个红色，7个蓝色；“红星”牌的6个，其中2个红色，4个蓝色．现从盒中任取一个球，已知取到的是蓝色球的前提下，则它是“红星”牌的概率是．13．已知随机变量9~,122N ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()P a P b ξξ>=<，则n a b =+，则二项式nx ⎛⎝展开式中含6x 的项为14．若关于x 的不等式1e lnln x x mx m x++≥+恒成立，则实数m 的最大值为．四、解答题15．已知奇函数()32f x ax bx cx =++在1x =处取得极大值2．(1)求()f x 的解析式；(2)若[]4,3x ∃∈-，使得()29f x m m ≥-有解，求实数m 的取值范围．16．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下22⨯列联表：注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． (1)请完成上面22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；(2)将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X ，求X 的数学期望()E X 和方差()D X ；(3)将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++17．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(1)求a 的值;(2)若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多 1株高度低于23cm 的概率.18．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．(1)根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程； (3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据；1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-， 12555i ix =∑=，145979i ix =∑=，15390i i y =∑=，151221i i i x y =∑=，1254607.9i i i x y =∑=19．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标()123,,a a a 表示，其中{}()0,113,N i a i i ∈≤≤∈．而在n 维空间中()2,N n n ≥∈，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标()123,,,,n a a a a L L ，其中{}()0,11,N i a i n i ∈≤≤∈．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点()123,,,,n a a a a L L 与()123,,,,n b b b b L L 坐标差的绝对值之和，即为112233n n a b a b a b a b -+-+-++-L L ．回答下列问题： (1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X 的分布列与期望；②证明：在n 足够大时，随机变量X 的方差小于20.25n ．（已知对于正态分布()2,X N μσ~，P 随X 变化关系可表示为()()222,x x e μσμσϕ--=）。
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高二下学期数学第二次月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角（）
A . 45°
B . 135°
C . 90°
D . 60°
2. （2分） (2016高二上·金华期中) 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）若a和b异面，b和c异面，则（）
A . a∥c
B . a和c异面
C . a和c相交
D . a与c或平行或相交或异面
4. （2分） (2018高二上·成都月考) 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）直线过点（-1,2）且与直线垂直，则的方程是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）如图，ＡＢ是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上不同于ＡＢ的任意一点，平面ABC，则四面体P-ABC 的四个面中，直角三角形的个数有（）
A . 4个
B . 3个
C . 2个
D . 1个
7. （2分）已知圆的方程为x2+y2=1，则圆心到直线x+y+2=0的距离为（）
A . 1
B . 2
C . 2
D .
8. （2分）△ABC的顶点B在平面α内，A、C在α同侧，A′、C′是A、C的在平面α内的射影，且A′、C′、B三点共线，则平面ABC与平面α（）
A . 平行
B . 垂直
C . 相交但不垂直
D . 重合
9. （2分）空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
10. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 不能确定
二、填空题 (共6题；共6分)
11. （1分） (2019高三上·朝阳月考) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________，最长棱长为________．
12. （1分） (2018高一下·北京期中) 圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是________．
13. （1分）直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
14. （1分） (2019高一上·蒙山月考) 在正方体中，与所成的角等于________.
15. （1分） (2018高一下·黑龙江期末) 在平行四边形中，∠ABD=90° ，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为________.
16. （1分） (2020高三上·青浦期末) 如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________
三、解答题 (共5题；共55分)
17. （10分） (2019高一下·江门月考)
（1）求经过点，倾斜角为的直线方程.
（2）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
18. （10分）(2019·奉贤模拟) 如图，三棱柱中，底面，，是
的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，三棱柱的体积是，求异面直线与所成角的大小.
19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求直线MD与平面ABCD所成角的余弦值．
20. （15分）(2017·成都模拟) 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．
（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21. （10分） (2016高三上·金山期中) 在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．
（1）证明：BF∥平面ACD；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、
19-2、20-1、
21-1、
21-2、
21-3、
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