初一数学分班考试资料

第一讲计数原理

知识纵横：

如果完成一件事情，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事的方法总数，即各类方法的总和，就是我们要掌握的加法原理。

加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有m1种方法，第二类方法中有m2种方法……第n类有m n种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m1+ m2+ m3+…+m n。

完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握的乘法原理。

乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第三步有m3种方法……第n步有m n种方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。

例题求解：

【例1】 10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？

【例2】一天有6节不同的课，这一天的课表有多少种排法？

【例3】 1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？

【例4】 4只鸟飞入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也不同），每个笼子只能进一只鸟。若都不飞进自己的笼子里去，有种不同的飞法。

【例5】如果组成三位数abc的三个数字a，b，c中，有一个数字是另外两个数字的乘积，则称它为“特殊数”。在所有的三位数中，共有个“特殊数”。

【例6】如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？

【例7】恰有两位数字相同的三位数共有多少个？

基础夯实

1、一件工作可以用3种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，有6人会用第3种方法完成。选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？

2、一件工序可以分3步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6人会做第3步，每个人只会做一步。选出三个人来完成这组工序共有多少种选法？

3、用1、2、3、

4、5这五个数字组成的不含重复数字的四位数有多少个？其中有多少个偶数？

4、有20个队参加篮球比赛，比赛先分三组，第一组7个队，第二组6个队，第三组7个队，每组先进行单循环赛，然后由每小组的前两名共6个队，再进行单循环赛，决出冠亚军。问：共需要比赛多少场？

5、7个人并排站成一排，如果甲必须站在中间，有多少种排法？如甲、乙两人必须站在两端，有多少种排法？

6、某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

7、四位数2336、2445、2782、2116等有一些共同的特征，每个数都以2开头，并且恰好每个数中只有两个相同的数字，求这样的四位数一共有多少个？

综合创新：

8、如下图，一共有九个点，相邻两个点之间的距离为1厘米，求用这九个点一共可以组成多少个三角形？

第二讲抽屉原理

知识纵横：

抽屉原理：有m件物体，放进n个抽屉里去。如果物体比抽屉多（即m大于n），那么必有一个抽屉要放进两件或两件以上的物体。

例题求解：

【例1】把10个苹果摆到9个盘子里，不管怎么摆，一定有一个盘子里至少有_______个苹果。

有4个同学练习投篮，一共投进30个球，一定有一个人至少投进了几个球？

【例2】有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请问，这5个人中至少有几个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的？

【例3】一副扑克牌（去掉两张王），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌花色情况是相同的？

【例4】从2，4，6，…30这15个偶数中，任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34.

【例5】用红、蓝两种颜色将一个3×9的矩形中的小方格随意涂色，证明：必有两列，他们的小方格中涂的颜色完全相同。

【例6】学校图书馆里有A、B、C、D四类书，规定每个同学最我可以借2本书，在借书的85名同学中，可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的？

【例7】问在1，3，5，7……97，99这50个奇数中，最多能取出多少个数，使其中任何一个数都不是另一个数的倍数。

基础夯实

1、6只小鸡飞进5个鸟笼里，不管怎么飞，一定有一个笼子里至少飞进了（）只小鸟。

2、三名同学到图书馆借书，他们共借了7本书，那么一定有一个同学至少借了（）本书。

3、一位同学一星期读完了一本80页的故事书，那么他一定有一天至少读了（）页。

4、某小学有367个同学，那么一定有两人的生日是同一天，为什么？

5、有13个学生，其中至少有两个人在同一个月内过生日，为什么？

6、棕、蓝、绿、橙四种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋里，一次摸出小球5个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？

7、小朋友帮助幼儿园的阿姨搬运兔、狗、长颈鹿三种塑料玩具，每个小朋友从中任意选择两件，那么，至少要有几个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同？

8、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？

9、有19个同学参加了生物组、音乐组、美术组等课外活动，每人可参加一个组，两个组或三个组，这些同学中至少有几个同学参加了相同的组？

10、从10到20这11上自然数中，任取7个数，证明：其中一定有两个数之和是29.

拓展延伸：

用红、黄两种颜色将一个2×5的矩形中的小方格，随意涂色，每个方格涂一种颜色。证明：必有两列，他们的小方格中涂的颜色完全相同。