概率论大数定律及其应用

概率论大数定律及其应用Revised as of 23 November 2020概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。

概率论中讨论的向的定律。

概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。

本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。

关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。

偶然之中包含着必然。

从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。

这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。

深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。

然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。

这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。

大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。

那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。

即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。

一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。

正文：发展历史：概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是大数定律要研究的问题.1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。

拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。

1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。

这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。

20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显着进展。

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。

因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。

它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。

它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。

通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。

不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于21。

频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。

而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。

随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如切比雪夫大数定律，伯努利大数定律就是切比雪夫大数定律的一个特例。

再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。

主要含义：大数定律(law of large numbers)，又称，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。

但是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律”，但是大数定律并不是经验规律，而是了的定理。

有些无规律可循，但不少是有规律的，这些“有规律的随机事件”数学家伯努利在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。

确切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出现的的，即频率的稳定性和平均结果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。

简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”。

该描述即。

相关数学家：拉普拉斯拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎数学教授，1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。

1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长，1827年3月5日卒于巴黎。

拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的、和，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

德莫佛），法国数学家。

德莫佛对数学最着名的贡献是德莫佛公式（de Moivre Formula）和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，以及他对正态分布和概率理论的研究。

德莫佛还写了一本概率理论的教科书，The Doctrine of Chances，据说这本书被投机主义者（gambler）高度赞扬。

德莫佛是和概率理论的先驱之一；他还最早发现了一个二项分布的近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。

大数定理的意义：在一个中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有稳定性。

在数理统计中，一般有三个定理，贝努利定理和定理，如：反映和频率的稳定性。

当n很大时，算术平均值接近；频率以概率收敛于事件的概率。

表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。

就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。

由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

大数定律的表现形式：由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη ，如果对于任意的0ε>，有()lim 1n n P ηηε→∞-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),p n n ηη−−→→∞。

定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若(){}lim 1n n P ηωη→∞==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a e n n ηη−−→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ⋅⋅⋅,使得对任意的0ε>,有11lim 1n i n n i P a n ξε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ （8） 成立，则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律。

定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、r nE η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0rn n E ηη→∞-=则称n ηr 次平均收敛到η。

记作 rL n ηη−−→。

此时必有r r n E E ηη=。

当r=2时是常用的二阶矩，2L n ηη−−→称为均方收敛。

定义5 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有则称随机变量序列12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从弱大数定律。

定义6 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有 ()1lim 01n k k n i P E n ξξ→∞⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑或等价地.110n n a e k k i i E n n ξξ-−−→∑∑， 则称12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从强大数定律。

上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。

定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数ε，有()2D P a ξζεε-≥≤， 则称此式子为切比雪夫不等式。

粗糙地说，如果D ξ越大，那么()P a ζε-≥也会大一些。

大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。

定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1）,则0ε∀>，有 lim 1n n P p n με→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭（5） 此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

定理3 （切比雪夫大数定律） 设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数0C >,使有,1,2,3i D C i ξ≤=⋅⋅⋅，则对于任意的0ε>,有1111lim 1n ni i n i i P E n n ξξε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑ （9） 在上述的定理中，因为用到切比雪夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。