数列通项公式的求法PPT优秀课件
合集下载
数列通项公式的求法PPT优秀课件1
题型3：构造基本数列求通项公式
2 n 1 2 n
已知数列 { a } 中 a 1 , a 0 , 且 a a 4 , 例4： n 1 n 求数列 { a } 通项 n
分析： 由条件 a2n1 a2n 4可知 ,构造数列 {bn}
其中 bn a2n ,则bn1 bn 4,由此可知 bn b ) 4 1 (n 1) 4 4n 3 1 (n 1 即： a 4n 3, 又an 0,an 4n 3
例5：已知数列{an}中a1=1,且an+1=2an+3,求 {an}的通项。
解： a n 1 2 a n 3 ( n N *) a n 1 3 2 ( a n 3 ) { a n 3}是以 a 1 3 4 为首项， 2 为公比的等比数列 an 3 4 2 综上， a n 2
1 1 1 （ 2 ） 为 等 差 数 列 （ n 1 ） 2 = 2 n s s n n s 1 1 1 1 又a s s = sn = n n n 1 2 n 2 ( n 1 ) 2n
1 an ( n 2) 2n(n 1)
而 a1 1 ; 2
2
an a n 1 2 n 3
经检验： n 1时满足上式。 an ( n 1) 2 ( n ∈ N + )
题型2：利用累加（等差）、累积（等比）求数列的通项
思考：满足何种条件时，采用“累积法”求通项？
a n1 an
g () ng ( () n 能 求 乘 积 )
n2
时，有
a a a a 2 3 4 q , q , = q , , n q a a a a 1 2 3 n 1
数列通项公式的求法(共21张PPT)
a2 a3 a4 a5 an1 an 31 32 33 34 3n2 3n1 a1 a2 a3 a4 an2 an1
n ( n 1) an 1 23 n 1 3 3 2 a1
an a1 3
n ( n 1) 2
注意:并非每一个数列都可以写出通项公式,数列的通项公式,也 并非是唯一的. 数列也可以用作下面两个条件结合起来的方法表示: (1)给出最初的n项或一项. (2)给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式,这种方法叫 做递推法,后者称为该数列的递推公式. 一、观察法
(1) 1,1,1,1,1,1 ( 2) 1,0,1,0,1,0,
令bn an1 an (n N ),b1 2
则bn an1 an 2 2n1 2n
an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) (a2 a1 ) a1 2n 1 2n 2 2n 3 2 1 2 1
又a1 3, S1 S2 2a2 , a2 6.
当n 2时, an 6 3n2 2 3n1.
(n 1) 3 an n 1 2 3 (n 2)
法二（统一成关于 Sn 的递推关系）
Sn1 Sn 2an1 2(Sn1 Sn ),
2n 2 3n 1 2n 2 4n 2 3n 3 1 4n 5
经验证(1)不包含在(2)中,所以由(1)(2)知通项公式为
（一）已知前n项和公式求通项公式
2, 当n 1时 an 4n 5, 当n 2时
an 的前项和为Sn 3n2 2n, 求通项公式an . (2) 已知数列
由数列的递推公式求通项公式课件
+1
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
数列的通项公式课件ppt
故有an1＋1－a1n＝2.故数列a1n是首项为a11＝13，
公差为 2 的等差数列，所以a1n＝31＋2(n－1)＝6n3－5，
故 an＝6n3－5.
答案：6n3－5
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
观察法
根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3,33,333,3 333，…；
试一试：
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，
且 Sn＝n＋n 1，则a15＝ (
)
5
6
A.6 B.5
1 C.30
D．30
解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n 1－n－n 1＝nn1＋1，
则 a5＝5×1 6＝310.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当 n＝1 时，2×31－1＝2≠a1，
故 an＝42，×3n－1，
n＝1， n≥2.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
求数列通项公式ppt
求数列通项公式
目录
• 数列通项公式的定义和重要性 • 数列通项公式的求解方法 • 常见数列通项公式的求解 • 数列通项公式的应用 • 总结与展望
01
数列通项公式的定义和重要性
数列通项公式的定义
定义
数列通项公式是表示数列中每一项的 数学表达式，通常用$a_n$表示第 $n$项。
描述
通项公式可以完整地描述数列的性质 和规律，通过它我们可以了解数列的 任意一项的值。
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
详细描述
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
03
常见数列通项公式的求解
等差数列的通项公式
总结词
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，它表示数列中每一项与首项的差是 一个常数。
详细描述
等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是数列中任意一项 与前一项的比值是一个常数。
VS
详细描述
等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项， $a_1$ 表示首项，$r$ 表示公比，$n$ 表 示项数。
斐波那契数列的通项公式
通过数学归纳法证明数列的通项公式。
详细描述
数学归纳法是一种证明数列通项公式的有效方法。它通过两个步骤证明数列的通项公式：第一步是证明数列的 前几项满足公式；第二步是证明如ห้องสมุดไป่ตู้数列的前n项满足公式，那么数列的第n+1项也满足公式。如果能够证明这 两个步骤，那么就可以断定数列的通项公式成立。
目录
• 数列通项公式的定义和重要性 • 数列通项公式的求解方法 • 常见数列通项公式的求解 • 数列通项公式的应用 • 总结与展望
01
数列通项公式的定义和重要性
数列通项公式的定义
定义
数列通项公式是表示数列中每一项的 数学表达式，通常用$a_n$表示第 $n$项。
描述
通项公式可以完整地描述数列的性质 和规律，通过它我们可以了解数列的 任意一项的值。
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
详细描述
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
03
常见数列通项公式的求解
等差数列的通项公式
总结词
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，它表示数列中每一项与首项的差是 一个常数。
详细描述
等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是数列中任意一项 与前一项的比值是一个常数。
VS
详细描述
等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项， $a_1$ 表示首项，$r$ 表示公比，$n$ 表 示项数。
斐波那契数列的通项公式
通过数学归纳法证明数列的通项公式。
详细描述
数学归纳法是一种证明数列通项公式的有效方法。它通过两个步骤证明数列的通项公式：第一步是证明数列的 前几项满足公式；第二步是证明如ห้องสมุดไป่ตู้数列的前n项满足公式，那么数列的第n+1项也满足公式。如果能够证明这 两个步骤，那么就可以断定数列的通项公式成立。
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
2024届高三数学一轮复习-求数列通项公式的方法 课件(共25张ppt)
再得出 的表达式
例五.2
在数列 中，1 = 1，+1 =
，求通项公式 ？
3 +2
解：由题意，两边同取倒数，得
设
1
an+1
+k=2
1
an
+k
即
1
an+1
1
an+1
=
=
1
2
an
1
2 +3
an
+k
对比原式，得k = 3
∴
1
an
1
an
+ 3 为首项为4，公比为2的等比数列
+ 3 = 4 · 2n−1 = 2n+1
解题思路：设 ，构造等比数列{ + }
具体步骤： 设+1 + = +
即+1 = ⋅ + − 1 ·
对比原式，得k =
q
p−1
得到以1 +为首项，为公比的等比数列{ + }
例四.1
在数列 an 中，a1 = 1，an+1 = 3an + 1，求通项公式an ？
故an =
1
2n+1 −3
六、取对数法
①形如+1 = ⋅
对数运算法则： log ⋅ = log + log
解题思路：等式两边同取对数，构造等比数列
log ⋅= · log
具体步骤： 两边同取以p为底的对数，得log +1 = log + 1
使用条件：已知+1 − =
解题思路： 2 − 1 = 1
数列通项公式的求法最全PPT课件
0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。
类型二、前n项和Sn法 已知前n项和，求通项公
式
an
S1 Sn
Sn1
(n 1) (n 2)
例2：设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1,
求﹛an﹜的通项公式.
提示：当n 2时，an Sn (n2 2n - 1) - [(n - 1)2 2(n
lg an lg a1 2n1 lg 32n1 即 an 32n1
类型六、（2）形如 an1 Aan2 Ban C 递推式
例.已知数列an 中， a1 1, an1 3an2 12an 10 ，求an
分析：先转化后取对数再构造等比数列
解： an1 3an2 12an 10 变形为：
.......
a3 a2 3 以上各式相加得
a2 a1 2
an a1 (2 3 4 n)
(n+2)(n-1)
练：已知
an
=1+
中,a1
2 1, an
3n1
an1
(n
2)证明：an
3n 1 2
类型二、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
an
4n
2n
类型五、（3）形如 an1 pan qan1an 的递推式
相除法 两边同除以an+1an
例8：已知a1 2, an 0,且an1 an 2an1an ,求an.
解：
an1 an 2an1an
11 2aຫໍສະໝຸດ an1 1 an
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与an+1的更为明显的关系式，从而求出.
6.辅助数列法 （构造法或待定系数法）
这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
…………………
f ( n 1 ) f ( n 2 ) L f ( 2 ) f ( 1 ) a 1
a3 = a2 + f(2) a2 = a1 + f (1)
n1
an a1 f (k) k1
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1).
例设 an是 首 项 为 1的 正 数 项 数 列 ,且
(n1)an12nan2an1an0(n1,2,3,L)
求 an的 通 项 公 式 .
由(n1)an12 nan2 an1an 0 an1 n 本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过 an n1因式分解（一般情况时用求根公式）得到an
=1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 – 1 当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1
备 注：
已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于 n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函 数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等 差数列求和;
例 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列 {an}的通项公式。
解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） …… … … a3= a2 + 3 a2= a1 + 2
各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2 =1+ n+(n-1)+…+3+2
= n(n+1)/2 当n=1时，a1=(1×2)/2=1, 故，an= n(n+1)/2
求 例 数 已 列 知 {数 an列 }的 {通 an项 }中 公 ,a式 1 .1,aann 1
n, n1
a n a a n n 1a a n n 1 2L a a 2 3a a 1 2 n n 1 n n 1 2 L 2 3 1 2 n 1
例 .已 知 数 列an 的 a11,sn2sn s n111(n2).
求 an
分 析 :sn2sn s n1 1 1 s1nsn 112 11
1 s1 a1
{ 1}是首项为1,公差为2的等差数列 sn
4. 叠加法 (也称累加法）
一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式， 只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。
（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等
差数列，则an=a1+(n-1)d
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：
由 an+1=an+f(n)得：当n>1时，有
an =an-1 + f(n-1)
也可用横式来写：
an-1 =an-2 + f(n-2) an (an an1) (an1 an2) L (a2 a1) a1
法。
aห้องสมุดไป่ตู้
（1）当f(n)为常数,即：
n
1
q （其中q是不为0的数）,
an
此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
a由naann1aannf1(n aa) n得n12n>L1 时aa，12aaan1n1 f(fn ()nf (1n ) ，1 )L f(1 )a 1
3.S n法
例 .a n 的 前 n 和 为 sn ,求 a n 的 通 项 公 式
(1 )sn 2 n 2 3 n ;(2 )sn ( 1 )n 1n ;(3 )sn2 n 1
主 要 是 公 式 an s s1 nsn 1
(n1)的 运 用 (n2)
例 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数 列{an}的通项公式。
解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) …… … … a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1
各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21) -[(n-1) +(n-2)+…+2+1]
数列通项公式的求法
1.观察法
观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： 9，99，999，9999，…
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1， 104―1，…
∴通项公式为： an 10n 1
2.公式法
当已知数列为等差或等比数列时，可直 接利用等差或等比数列的通项公式，只 需求得首项及公差公比。
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等 比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
5.叠乘法 (也称累乘法、累积法）
对于型如：an+1=f(n)·an 类的通项公式，当 f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn} 是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (b(1x3)－求=1数f)2(，列q－且{ a1a)n1，=}和f ({db－n1})的，通a3项=公f (式d+；1)，b1 = f (q+1)， 解 ∴ ∴ 又 ∴： adb=31==q－(122)af，，∵1(=q由∴a+d1qa1=2)n∈－==f (R(adqd，1－+－2，(且1n2)－bq)=23≠=1=)(12ddf，d－(=，q得2－2)q(21n=，)－=－a(1q32)；－=，2f)(2d，+1)= d 2， ∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
6.辅助数列法 （构造法或待定系数法）
这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
…………………
f ( n 1 ) f ( n 2 ) L f ( 2 ) f ( 1 ) a 1
a3 = a2 + f(2) a2 = a1 + f (1)
n1
an a1 f (k) k1
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1).
例设 an是 首 项 为 1的 正 数 项 数 列 ,且
(n1)an12nan2an1an0(n1,2,3,L)
求 an的 通 项 公 式 .
由(n1)an12 nan2 an1an 0 an1 n 本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过 an n1因式分解（一般情况时用求根公式）得到an
=1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 – 1 当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1
备 注：
已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于 n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函 数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等 差数列求和;
例 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列 {an}的通项公式。
解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） …… … … a3= a2 + 3 a2= a1 + 2
各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2 =1+ n+(n-1)+…+3+2
= n(n+1)/2 当n=1时，a1=(1×2)/2=1, 故，an= n(n+1)/2
求 例 数 已 列 知 {数 an列 }的 {通 an项 }中 公 ,a式 1 .1,aann 1
n, n1
a n a a n n 1a a n n 1 2L a a 2 3a a 1 2 n n 1 n n 1 2 L 2 3 1 2 n 1
例 .已 知 数 列an 的 a11,sn2sn s n111(n2).
求 an
分 析 :sn2sn s n1 1 1 s1nsn 112 11
1 s1 a1
{ 1}是首项为1,公差为2的等差数列 sn
4. 叠加法 (也称累加法）
一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式， 只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。
（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等
差数列，则an=a1+(n-1)d
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：
由 an+1=an+f(n)得：当n>1时，有
an =an-1 + f(n-1)
也可用横式来写：
an-1 =an-2 + f(n-2) an (an an1) (an1 an2) L (a2 a1) a1
法。
aห้องสมุดไป่ตู้
（1）当f(n)为常数,即：
n
1
q （其中q是不为0的数）,
an
此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
a由naann1aannf1(n aa) n得n12n>L1 时aa，12aaan1n1 f(fn ()nf (1n ) ，1 )L f(1 )a 1
3.S n法
例 .a n 的 前 n 和 为 sn ,求 a n 的 通 项 公 式
(1 )sn 2 n 2 3 n ;(2 )sn ( 1 )n 1n ;(3 )sn2 n 1
主 要 是 公 式 an s s1 nsn 1
(n1)的 运 用 (n2)
例 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数 列{an}的通项公式。
解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) …… … … a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1
各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21) -[(n-1) +(n-2)+…+2+1]
数列通项公式的求法
1.观察法
观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： 9，99，999，9999，…
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1， 104―1，…
∴通项公式为： an 10n 1
2.公式法
当已知数列为等差或等比数列时，可直 接利用等差或等比数列的通项公式，只 需求得首项及公差公比。
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等 比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
5.叠乘法 (也称累乘法、累积法）
对于型如：an+1=f(n)·an 类的通项公式，当 f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn} 是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (b(1x3)－求=1数f)2(，列q－且{ a1a)n1，=}和f ({db－n1})的，通a3项=公f (式d+；1)，b1 = f (q+1)， 解 ∴ ∴ 又 ∴： adb=31==q－(122)af，，∵1(=q由∴a+d1qa1=2)n∈－==f (R(adqd，1－+－2，(且1n2)－bq)=23≠=1=)(12ddf，d－(=，q得2－2)q(21n=，)－=－a(1q32)；－=，2f)(2d，+1)= d 2， ∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1