数列通项公式的求法PPT优秀课件

例 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数 列{an}的通项公式。
解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) …… … … a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1
各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21) -[(n-1) +(n-2)+…+2+1]
与an+1的更为明显的关系式，从而求出.
6.辅助数列法 （构造法或待定系数法）
这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn} 是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (b(1x3)－求=1数f)2(，列q－且{ a1a)n1，=}和f ({db－n1})的，通a3项=公f (式d+；1)，b1 = f (q+1)， 解 ∴ ∴ 又 ∴： adb=31==q－(122)af，，∵1(=q由∴a+d1qa1=2)n∈－==f (R(adqd，1－+－2，(且1n2)－bq)=23≠=1=)(12ddf，d－(=，q得2－2)q(21n=，)－=－a(1q32)；－=，2f)(2d，+1)= d 2， ∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
=1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 – 1 当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1
备 注：
已知,a1=a， an+Βιβλιοθήκη Baidu=an+f(n),其中f(n)可以是关于 n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函 数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等 差数列求和;
求 例 数 已 列 知 {数 an列 }的 {通 an项 }中 公 ,a式 1 .1,aann 1
n, n1
a n a a n n 1a a n n 1 2L a a 2 3a a 1 2 n n 1 n n 1 2 L 2 3 1 2 n 1
法。
a
（1）当f(n)为常数,即：
n

1

q （其中q是不为0的数）,
an
此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
a由naann1aannf1(n aa) n得n12n>L1 时aa，12aaan1n1 f(fn ()nf (1n ) ，1 )L f(1 )a 1
…………………
f ( n 1 ) f ( n 2 ) L f ( 2 ) f ( 1 ) a 1
a3 = a2 + f(2) a2 = a1 + f (1)
n1
an a1 f (k) k1
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1).
例 .已 知 数 列an 的 a11,sn2sn s n111(n2).
求 an
分 析 :sn2sn s n1 1 1 s1nsn 112 11
1 s1 a1
{ 1}是首项为1,公差为2的等差数列 sn
4. 叠加法 (也称累加法）
一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式， 只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。
例设 an是 首 项 为 1的 正 数 项 数 列 ,且
(n1)an12nan2an1an0(n1,2,3,L)
求 an的 通 项 公 式 .
由(n1)an12 nan2 an1an 0 an1 n 本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过 an n1因式分解（一般情况时用求根公式）得到an
3.S n法
例 .a n 的 前 n 和 为 sn ,求 a n 的 通 项 公 式
(1 )sn 2 n 2 3 n ;(2 )sn ( 1 )n 1n ;(3 )sn2 n 1
主 要 是 公 式 an s s1 nsn 1
(n1)的 运 用 (n2)
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等 比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
5.叠乘法 (也称累乘法、累积法）
对于型如：an+1=f(n)·an 类的通项公式，当 f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方
（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等
差数列，则an=a1+(n-1)d
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：
由 an+1=an+f(n)得：当n>1时，有
an =an-1 + f(n-1)
也可用横式来写：
an-1 =an-2 + f(n-2) an (an an1) (an1 an2) L (a2 a1) a1
数列通项公式的求法
1.观察法
观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： 9，99，999，9999，…
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1， 104―1，…
∴通项公式为： an 10n 1
2.公式法
当已知数列为等差或等比数列时，可直 接利用等差或等比数列的通项公式，只 需求得首项及公差公比。
例 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列 {an}的通项公式。
解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） …… … … a3= a2 + 3 a2= a1 + 2
各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2 =1+ n+(n-1)+…+3+2
= n(n+1)/2 当n=1时，a1=(1×2)/2=1, 故，an= n(n+1)/2