坐标系与参数方程 文科

坐标系与参数方程 知识归纳

1. 极坐标系

①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。 ②平面直角坐标与极坐标的区别：

在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，

虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

③极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

④如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

2.极坐标与直角坐标的互化：

（1）互化的前提：

①极点与直角坐标的原点重合；极轴与x 轴的正方向重合；③ 两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ， ⎪⎩

⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ 注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法.

常见参数方程（直线、圆、椭圆）

例题讲解

1、已知点的极坐标分别为)4,3(π

-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，)2

,4(π-D ，求它们的直角坐标。

答案：A

(((0,4)B C D -- 2、已知点的直角坐标分别为)32,2(),3

5,0(),3,3(---C B

A ，求它们的极坐标。

答案：34),)(4,).6323

A B C π

ππ 课堂练习

一、选择题

1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）

A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩

B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t t y t =-+⎧⎨=

-⎩

为参数与坐标轴的交点是（ ）

x

A ．21(0,)(,0)52、

B ．11(0,)(,0)52

、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5

(0,)(8,0)9、

3．直线12()2x t t y t

=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ） A ．125 B

4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2

4()4x t t y t

⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ） A ．极点 B ．极轴 C ．一条直线 D ．两条相交直线

6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）

A ．cos 2ρθ=

B ．sin 2ρθ=

C ．4sin()3πρθ=+

D ．4sin()3π

ρθ=- 二、填空题 1．已知曲线2

2()2x pt t p y pt

⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，

120t t +=且，那么MN = 。

2

．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -

。 3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ

=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为 。

4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为 。

5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩

相切，则θ= 。 坐标系与参数方程参考答案

一、选择题

1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制

2．B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5

； 当0y =时，12t =

，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2 3．

B 11221x x t y t y ⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=

12125t t -===12t -=4．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4

5．D cos 20,cos 20,4k πρθθθπ===±

，为两条相交直线 6．A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x =

圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切

二、填空题

1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴，121222MN p t t p t =-=

2．(3,4)-,或(1,2)- 22221()),,22t t +==

=± 3．5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ

=+⎧⎨=-⎩得2225x y +=

4 圆心分别为1(,0)2和1(0,)2 5．6π，或56

π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时， 易知倾斜角为6π，或56

π 三、解答题

1．已知曲线C 1：4cos ,3sin ,

x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π

=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线

332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩

（t 为参数）距离的最小值。 答案解解析：（Ⅰ）22

22

12:(4)(3)1,: 1.649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.

2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）当2t π

=时，3(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2

P Q M θθθθ--++故

3C 为直线3270,|4cos 3sin 13|.5

x y M C d θθ--==--到的距离